高中物理实用微积分

高中物理实用微积分

问题：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？

分析：自由落体的运动公式是

（其中g是重力加速度），当时间增量

很小时，从3秒到（3＋

）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大，因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度。

从3秒到（3＋

）秒这段时间内位移的增量：

从而

.

从上式可以看出，

越小，

越接近29.4米/秒；当

无限趋近于0时，

无限趋近于29.4米/秒，此时我们说，当

趋向于0时，

的极限是29.4.

当

趋向于0时，平均速度

的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.

1、极限

极限的严格定义比较繁琐，此处从略。通俗来说，如果当自变量x无限趋近某一数值

（记作

）时，函数

的值无限趋近某一确定的数值A，则A叫做

时函数

的极限值，记作

例如：

；

，

时趋于无穷，

时等于0。对于稍复杂的函数求极限，可把函数化成几部分的初等运算，先求每一部分的极限，然后再对各部分的极限进行初等运算，得到最后的极限。

练习：

2、导数

2.1.某点的导数：

对于函数y=f(x)，在点x0附近，当x发生变化△x时，函数值有变化量

△y=△f(x0)，定义△y/△x在△x→0时的值称为f(x)在x0处的导数，记为：

例：f(x)=x2 在x=3处的导数

x=3时，f(x)=9，当x=3+△x 时，f(3+△x)=( 3+△x)2，则△f(x)=

(3+△x)2-9 故

2.2.导函数：

函数f(x)在其定义域内每一点的导数构成一个新的函数，这个函数称为f(x)的导函数，记为：

例如我们研究函数f(x)=x2在其定义域内的任意一个点x：

当x有变化△x时，△f(x)=(x+△x)2-x2=2x△x+(△x)2

由导数的定义：

即f(x)=x2 在任意一个点x处的导数的值为2x,这个新的函数2x即称为原函数f(x)=x2的导函数，记为

常见函数的导数：(A为与x无关的定值)

思考：

练习：求导函数：

,

,

,

,

,

2.3.导数的意义：

2.3.1斜率：函数f(x)在x0处的导数即为f(x)的图像在x0处的切线的斜率

2.3.2变化率：

即y对x的变化率。

位移x的变化率即为速度：

速度v的变化率即为加速度：

动量p=mv的变化率即为合力：

电流：

动能

对合力方向上位移x的变化率即为合力：

电势

对电场方向距离x的变化率即为场强：

例：已知简谐运动的函数

，试分析其速度、加速度函数，并推导出简谐运动的周期公式

2.3.3利用导数判断函数单调性和极值

判断单调性：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内

，那么函数y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内

，那么函数y=f(x) 为这个区间内的减函数。

确定极大值与极小值：

是函数

在

处取极值的必要不充分条件。那么在

的前提下，

在什么情况下是函数的极值点呢？

如左图（下页）所示，若

是

的极大值点，因此，

的左侧附近

只能是增函数，即

。

的右侧附近

只能是减函数，即

，同理，如右图所示，若

是极小值点，则在

的左侧附近

只能是减函数，即

，在

的右侧附近

只能是增函数，即

，从而我们得出结论：若

满足

，且在

的两侧

的导数异号，则

是

的极值点，

是极值，并且如果

在

两侧满足“左正右负”，则

是极大值；如果

在

两侧满足“左负右正”，则

是极小值。

3.积分

3.1原函数

当物体沿

坐标轴运动时，已知物体的位置坐标函数

，可通过计算该函数对时间的导数求出物体运动的速度。现提出一个相反的命题：若已知速度函数

，怎样求该物体运动的坐标函数。换句话说，已知某函数的导数，如何求这个函数？

若

，则称

为

的一个原函数。例如

，则

为

的一个原函数；

，则

是

的一个原函数；

，故

为

的一个原函数。可见，积分是求导的逆过程。

由于常数C的导数为0，故

也是

的原函数。由此可见，只要

有一个原函数，它就有无穷多个原函数，彼此间只差一常数。

3.2 不定积分

函数

的所有原函数叫作

的不定积分，记作

，C的值由初始条件确定。

例：某质点在一直线上运动，速度变化规律为v=3t2+5，t=0时s=3,试求质点的第3秒末的加速度及位移。

解：由

=>

|t=3=18

由s(t)|t=0=3 =>