晶向与晶面

同一晶带轴中的所有晶面的共同特点 ：所有晶面的法线都与晶带轴垂直。
晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l）之间存在以下 关系
hu ＋ kv ＋ lw＝0 ————晶带定律 凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为晶带轴的晶带
如果（h1k1l1）（h2k2l2）（h3k3l3）属于同一 晶带，则（nh1+mh2+jh3 nk1+mk2+jk3 nl1+ml2+jl3）仍属于上述晶带.
(012)和(123)晶面的确定
例6：立方晶系晶面指数的标注
几点说明：
1.hkl分别对应xyz上的截距，不可互换; 2.若晶面与对应坐标平行，则截距为∞,在该坐标上
的指数为0. 晶面指数规律： (1)某一晶面指数代表了一组相互平行且无限大的
晶面。 (2) 若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面
(1)晶向指数----[uvw]
求法1（平移法） 1） 确定坐标系 2） 过坐标原点，作直线 （OP）与待求晶向平行； 3） 在该直线上取点（距原 点最近），并确定该点P的 坐标（x，y，z） 4）该值乘最小公倍数化成 最小整数u，v，w并加以方 括号[u v w]即是。
设坐标，求坐标，化整数，列括号
求法2（两点法）
1. 以晶胞的某一阵点为原点，以晶 轴为坐标轴X、Y、Z，以晶胞的边 长为三坐标轴的长度单位。
2. 确定晶向上任两点的坐标 (x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。
3. 计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2-z1 ； 4. 化成最小、整数比u：v：w ； 5. 放在方括号[uvw]中，不加逗号，
例如：a1轴的指标可以是[1000]，也可以是 [2110].
解决方法：加限制条件：前三个指标之和为0 例如：晶向指标为[u v t w],则u+v+t=0,故a1轴的指
标应选[2110].
六方晶系一些晶面的指数
a3 ＝－（a1＋a2）
六方晶系的晶面指数与晶向指数
2.3 晶面间距、晶面夹角和晶带定理
解决办法：引入第四个坐标轴：
a1,a2,c,不变，a3＝－( a1+a2)
引入四指数后，晶体学上等价的 晶面具有类似的指数。
例如： {1010}=(1010),(1100),(0110) {1120}=(1120),(1210),(2110)
指标的不唯一性
在确定六角晶系的晶向、晶面的四轴指标时，会出现 新的问题：指标不唯一。
例：(110)、(311)在同一晶带， (421)是否也属于同一晶带
晶带定律的应用（1）
晶向1 [h1 k1 l1] 晶向2 [h2 k2 l2]
hu ＋ kv ＋ lw＝0
晶面 (u v w)
u : v : w k1 l1 : l1 h1 : h1 k1 k2 l2 l2 h2 h2 k2
u vw u vw
OA为X轴，OB为Y轴，OC为Z轴；长度单位 a=b=c=1。
确定OD的晶向指数：
将坐标原点选在待定晶向上（O点），晶向指数 为[111]。
确定CE的晶向指数[11 1]
例1:立方晶系晶向指数的标注
正交晶系一些重要晶向的晶向指数
A B
D C
E F
0
G
例2：在一个面心立方晶胞中画出[012]和[123]晶向。
三、晶体的对称性 crystalline symmetry symmetrization of crystals
对称性——晶体的基本性质
对称元素（symmetry elements）
回转对称轴（n）1，2，3，4，6
宏观对称性 元素 对称面（m）
对称中心（i） 回转 — 反演轴 1，2，3，4，6
晶向与晶面
晶体性质的各向异性，表明晶体结构具有方向性。 一、晶向
晶列 ：相互平行的直线系。
晶向的特点
（1）一族平行晶列把所有格点包括无遗。 （2）同族的相邻晶列的间距相等。 （3）通过任一格点有无限多个晶列。 （4 ）有无限多族平行晶列。
2.2 晶向指数和晶面指数
晶向——通过晶体中任意两个原子中心连成直线来表 示晶体结构的空间的各个方向。 晶面——晶体结构一系列原子所构成的平面。 晶向指数和晶面指数是分别表示晶向和晶面的符号， 国际上用Ｍiller指数（Ｍiller indices ）来统一标定。
<111>晶向族如右图。
(2)晶面指数-------（hkl）
例3：
（1）截距r、s、t分别为3，3，5
z
（2）1/r : 1/s : 1/t = 1/3 : 1/3 : 1/5
（3）最小公倍数15，
（4）于是，1/r，1/s，1/t分别
c
乘15得到5，5，3，
ab
y
因此，晶面指标为（553）。
微观对称性
元素
滑动面 螺旋轴
a，b，c，n，d 21；31，32；41，43，42；61，65，62，64，63
点群（point group）—晶体中所有点对称元素的集合 根据晶体外形对称性，共有32种点群 空间群（space group）—晶体中原子组合所有可能方式 根据宏观、微观对称元素在三维空间的组合，可能存在 230种空间群（分属于32种点群）
的晶面间距应为1/2d001。
dhkl除以2的情况： 对于体心立方，当h+k+L=奇数，间距除以2； 对于面心立方，当h、k、L三个数不全为奇数，或不全为偶
数时，间距除以2； 对于底心立方，当h+k+L=奇数，间距除以2；
例7：
立方晶胞中（111）晶面的晶面间距d111为 2.035Å，求其（320）晶面间距d320。
(1)晶面间距 两相邻近平行晶面间的垂直距离—晶面间距，用dhkl表示 ，从原点作（h k l）晶面的法线，则法线被最近的（h k l ）面所交截的距离即是。
通常，低指数的面间距 较大，而高指数的晶面 间距则较小
晶面间距愈大，该晶面 上的原子排列愈密集； 晶面间距愈小，该晶面 上的原子排列愈稀疏。
晶面间距公式的推导
x
晶面指数的例子
Z
（010）
（100）
（120）
（102）
Y
（111）
（321）
X
立方点阵中一些晶面的面指数
例4：晶面指数的标注
截距——取倒数——化整数
例5：在一个面心立方晶胞中画出(012)和(122)晶面。
z
(012) z3
z3
y4 O3
z4 (122)
O4 y y3
X3 x4 x
z [123] P1[012]
P2
O1 x
O2 y
晶向指数还有如下规律：
（1）某一晶向指数代表一组在空间相互平行且方向一致的 所有晶向。 （2）若晶向所指的方向相反，则晶向数字相同符号相反。
仅对立方晶系适用！
立方系中OA、OB、OC边的晶向指数[100]、[010] 、[001]、[100]、[010]、[001]等六个晶向，由于 对称关系，它们的性质完全相同，用<100>表示。
cos2 cos2 cos2 1
d2 hkl
h a
2
k b
2
l c
2
cos2
cos2
cos2
必须注意：
按以上这些公式所算出的晶面间距是对简单晶胞而言的，如 为复杂晶胞（体心立方、面心立方），在计算时应考虑到晶 面层数增加的影响。例如在体心立方或面心立方晶胞中，上 下底面（001）之间还有一层同类型的晶面（002）故，实际
已知铜具有面心立方结构，其点阵常数为 0.3615nm，计算铜晶体（111），（112）晶 面间距。
(2)晶面夹角
两晶向[u1v1w1]与[u2v2w2]间夹角：
cos
u1u2 v1v2 w1w2
u12 v12 w12 u2 2 v2 2 w2 2
晶面（hkl）与晶向[uvw]间夹角：
思考题
晶体的晶面指数的个数有上限吗？例如 （111，100，1）这样的晶面有吗？
理论上讲，晶面指数的个数是无限的， 只要能找到极端复杂的晶胞。但对实际的一 个晶体，晶面的数目是一定的。
晶面族：
原子排列和分布规律完全相同，仅空间位向不同的一组 晶面属于一个晶面族。用{hkl}表示。常存在对称性（ 立方晶系）高的晶体中。
是以原点为对称中心，且相互平行的晶面。如 （110）和（110）互相平行。
立方晶系几组晶面及其晶面指标。
（100）晶面表示晶面与a轴相截与b轴、c轴平行； （110）晶面表示与a和b轴相截，与c轴平行； （111）晶面则与a、b、c轴相截，截距之比为1:1:1
(100) (110) (111) 在点阵中的取向
hk l
hk l
u1 v1 w1 u2 v2 w2
u1 v1 w1 u2 v2 w2
h v1w2 v2 w1, k w1u2 w2u1, l u1 v2 u2v1
晶带定律的应用（3）
晶轴1 [u1 v1 w1] 晶轴2 [u2 v2 w2] 晶轴3 [u3 v3 w3]
若
u1 v1 w1
在立方结构中若晶面指数和晶向指数的指数和符 号相同，则该晶向与晶面必定是互相垂直。即(hkl) ⊥ [uvw] ,h=u k=v l=w 如：[111] ⊥（111）、 [110] ⊥（110）、[100] ⊥（ 100）
六角结构的四指数表示
三指数表示晶向和晶面，原则上适用于任何晶系 ，但用于六角晶系有一个缺点：等效的晶面不具有 相同的指数。例：六棱柱的两个相邻表面，在晶体 学上是等价的，但其密勒指数却分别为(100)和 (110)。
利用：
dhkl
a h2 k2 l2