晶向与晶面

在立方结构中若晶面指数和晶向指数的指数和符 号相同，则该晶向与晶面必定是互相垂直。即(hkl) ⊥ [uvw] ,h=u k=v l=w 如：[111] ⊥（111）、 [110] ⊥（110）、[100] ⊥（ 100）
六角结构的四指数表示
三指数表示晶向和晶面，原则上适用于任何晶系 ，但用于六角晶系有一个缺点：等效的晶面不具有 相同的指数。例：六棱柱的两个相邻表面，在晶体 学上是等价的，但其密勒指数却分别为(100)和 (110)。
h1 k1 l1 h2 k2 l2
h1 k1 l1 h2 k2 l2
u k1l2 k2l1, v h2l1 h1l2 , w h1k2 h2k1
晶带定律的应用（2）
晶面1 (u1 v1 w1) 晶面2 (u2 v2 w2)
hu ＋ kv ＋ lw＝0
晶带轴 晶向 [h k l]
h : k : l v1 w1 : w1 u1 : u1 v1 v2 w2 w2 u2 u2 v2
解决办法：引入第四个坐标轴：
a1,a2,c,不变，a3＝－( a1+a2)
引入四指数后，晶体学上等价的 晶面具有类似的指数。
例如： {1010}=(1010),(1100),(0110) {1120}=(1120),(1210),(2110)
指标的不唯一性
在确定六角晶系的晶向、晶面的四轴指标时，会出现 新的问题：指标不唯一。
已知铜具有面心立方结构，其点阵常数为 0.3615nm，计算铜晶体（111），（112）晶 面间距。
(2)晶面夹角
两晶向[u1v1w1]与[u2v2w2]间夹角：
cos
u1u2 v1v2 w1w2
u12 v12 w12 u2 2 v2 2 w2 2
晶面（hkl）与晶向[uvw]间夹角：
思考题
晶体的晶面指数的个数有上限吗？例如 （111，100，1）这样的晶面有吗？
理论上讲，晶面指数的个数是无限的， 只要能找到极端复杂的晶胞。但对实际的一 个晶体，晶面的数目是一定的。
晶面族：
原子排列和分布规律完全相同，仅空间位向不同的一组 晶面属于一个晶面族。用{hkl}表示。常存在对称性（ 立方晶系）高的晶体中。
同一晶带轴中的所有晶面的共同特点 ：所有晶面的法线都与晶带轴垂直。
晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l）之间存在以下 关系
hu ＋ kv ＋ lw＝0 ————晶带定律 凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为晶带轴的晶带
如果（h1k1l1）（h2k2l2）（h3k3l3）属于同一 晶带，则（nh1+mh2+jh3 nk1+mk2+jk3 nl1+ml2+jl3）仍属于上述晶带.
的晶面间距应为1/2d001。
dhkl除以2的情况： 对于体心立方，当h+k+L=奇数，间距除以2； 对于面心立方，当h、k、L三个数不全为奇数，或不全为偶
数时，间距除以2； 对于底心立方，当h+k+L=奇数，间距除以2；
例7：
立方晶胞中（111）晶面的晶面间距d111为 2.035Å，求其（320）晶面间距d320。
求法2（两点法）
1. 以晶胞的某一阵点为原点，以晶 轴为坐标轴X、Y、Z，以晶胞的边 长为三坐标轴的长度单位。
2. 确定晶向上任两点的坐标 (x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。
3. 计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2-z1 ； 4. 化成最小、整数比u：v：w ； 5. 放在方括号[uvw]中，不加逗号，
晶向与晶面
晶体性质的各向异性，表明晶体结构具有方向性。 一、晶向
晶列 ：相互平行的直线系。
晶向的特点
（1）一族平行晶列把所有格点包括无遗。 （2）同族的相邻晶列的间距相等。 （3）通过任一格点有无限多个晶列。 （4 ）有无限多族平行晶列。
2.2 晶向指数和晶面指数
晶向——通过晶体中任意两个原子中心连成直线来表 示晶体结构的空间的各个方向。 晶面——晶体结构一系列原子所构成的平面。 晶向指数和晶面指数是分别表示晶向和晶面的符号， 国际上用Ｍiller指数（Ｍiller indices ）来统一标定。
三、晶体的对称性 crystalline symmetry symmetrization of crystals
对称性——晶体的基本性质
对称元素（symmetry elements）
回转对称轴（n）1，2，3，4，6
宏观对称性 元素 对称面（m）
对称中心（i） 回转 — 反演轴 1，2，3，4，6
u 2
v2
w2
0
u3 v3 w3
则 三个晶轴同在一个晶面上
晶带定律的应用（4）
晶面1 (h1 k1 l1)
晶面2 (h2 k2 l2)
晶面3 (h3 k3 l3)
若
h1 k1 l1
h2
k2
l2
0
h3 k3 l3
则 三个晶面同属一个晶带
例：(110)、(311)、(132)是否在同一晶带。
例如：a1轴的指标可以是[1000]，也可以是 [2110].
解决方法：加限制条件：前三个指标之和为0 例如：晶向指标为[u v t w],则u+v+t=0,故a1轴的指
标应选[2110].
六方晶系一些晶面的指数
a3 ＝－（a1＋a2）
六方晶系的晶面指数与晶向指数
2.3 晶面间距、晶面夹角和晶带定理
例：(110)、(311)在同一晶带， (421)是否也属于同一晶带
晶带定律的应用（1）
晶向1 [h1 k1 l1] 晶向2 [h2 k2 l2]
hu ＋ kv ＋ lw＝0
晶面 (u v w)
u : v : w k1 l1 : l1 h1 : h1 k1 k2 l2 l2 h2 h2 k2
u vw u vw
是以原点为对称中心，且相互平行的晶面。如 （110）和（110）互相平行。
立方晶系几组晶面及其晶面指标。
（100）晶面表示晶面与a轴相截与b轴、c轴平行； （110）晶面表示与a和b轴相截，与c轴平行； （111）晶面则与a、b、c轴相截，截距之比为1:1:1
(100) (110) (111) 在点阵中的取向
x
晶面指数的例子
Z
（010）
（100）
（120）
（102）
Y
（111）
（321）
X
立方点阵中一些晶面的面指数
例4：晶面指数的标注
截距——取倒数——化整数
例5：在一个面心立方晶胞中画出(012)和(122)晶面。
z
(012) z3
z3
y4 O3
z4 (122)
O4 y y3
X3 x4 x
(1)晶面间距 两相邻近平行晶面间的垂直距离—晶面间距，用dhkl表示 ，从原点作（h k l）晶面的法线，则法线被最近的（h k l ）面所交截的距离即是。
通常，低指数的面间距 较大，而高指数的晶面 间距则较小
晶面间距愈大，该晶面 上的原子排列愈密集； 晶面间距愈小，该晶面 上的原子排列愈稀疏。
晶面间距公式的推导
(1)晶向指数----[uvw]
求法1（平移法） 1） 确定坐标系 2） 过坐标原点，作直线 （OP）与待求晶向平行； 3） 在该直线上取点（距原 点最近），并确定该点P的 坐标（x，y，z） 4）该值乘最小公倍数化成 最小整数u，v，w并加以方 括号[u v w]即是。
设坐标，求坐标，化整数，列括号
<111>晶向族如右图。
(2)晶面指数-------（hkl）
例3：
（1）截距r、s、t分别为3，3，5
z
（2）1/r : 1/s : 1/t = 1/3 : 1/3 : 1/5
（3）最小公倍数15，
（4）于是，1/r，1/s，1/t分别
c
乘15得到5，5，3，
ab
y
因此，晶面指标为（553）。
OA为X轴，OB为Y轴，OC为Z轴；长度单位 a=b=c=1。
确定OD的晶向指数：
将坐标原点选在待定晶向上（O点），晶向指数 为[111]。
确定CE的晶向指数[11 1]
例1:立方晶系晶向指数的标注
正交晶系一些重要晶向的晶向指数
A B
D C
E F
0
G
例2：在一个面心立方晶胞中画出[012]和[123]晶向。
微观对称性
元素
滑动面 螺旋轴
a，b，c，n，d 21；31，32；41，43，42；61，65，62，64，63
点群（point group）—晶体中所有点对称元素的集合 根据晶体外形对称性，共有32种点群 空间群（space group）—晶体中原子组合所有可能方式 根据宏观、微观对称元素在三维空间的组合，可能存在 230种空间群（分属于32种点群）
(012)和(123)晶面的确定
例6：立方晶系晶面指数的标注
几点说明：
1.hkl分别对应xyz上的截距，不可互换; 2.若晶面与对应坐标平行，则截距为∞,在该坐标上
的指数为0. 晶面指数规律： (1)某一晶面指数代表了一组相互平行且无限大的
晶面。 (2) 若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面
利用：
dhkl
a h2 k2 l2
求得: a d111 111 2.035 * 3 3.525 Å
于是:
d320
3.525 0.977 Å 32 22 02
立方晶系中，某一晶面包含（000）、（1/2 0 1/4）、（1/2 0 1/2）三点，画出此晶面， 标注其密勒指数。
作图表示六方晶系中[1213]，（1120）.
在实际晶体中，立方晶系最为普遍，因此晶带 定理有非常广泛的应用。
(1)可以判断空间两个晶向和两个晶面是否垂直；(θ=90°) (2)可以判断某一晶向是否在某一晶面上(或平行于该晶面)；（晶 向与晶面法线间θ=90°或 hu ＋ kv ＋ lw＝0 ） (3)若已知晶带轴，可以判断哪些晶面属于该晶带；(hu ＋ kv ＋ lw＝0 ) (4)若已知两个晶带面为（h1k1l1）和（h2k2l2），则可用晶带定理 求出晶带轴(应用1)； (5)已知两个不平行的晶向，可求出过这两个晶向的晶面(应用2) ； (6)已知一晶面和晶面上的任一晶向，可求出该面上与该晶向垂直 的另一晶向；（联合方程组） (7)已知一晶面及其在面上的任一晶向，可求出过该晶向且垂直于 该晶面的另一晶面。 （联合方程组）
Βιβλιοθήκη Baidu
sin
hu kv lw
h2 k 2 l 2 u2 v2 w2
例：立方（111）与 [100]间夹角？
（111）与 （320）间夹角？
[111]与 [112]间夹角？
(3)晶带定理
相交于同一直线（或平行于同一直线 ）的所有晶面的组合称为晶带，晶带 中的晶面称为共带面，该直线称为晶 带轴。
z [123] P1[012]
P2
O1 x
O2 y
晶向指数还有如下规律：
（1）某一晶向指数代表一组在空间相互平行且方向一致的 所有晶向。 （2）若晶向所指的方向相反，则晶向数字相同符号相反。
仅对立方晶系适用！
立方系中OA、OB、OC边的晶向指数[100]、[010] 、[001]、[100]、[010]、[001]等六个晶向，由于 对称关系，它们的性质完全相同，用<100>表示。
dhkl
a h
cos
b k
cos
c l
cos
d2 hkl
h a
2
k b
2
l c
2
cos2
cos2
cos2
晶面位向
晶面指数确定了晶面的位向和间距。 晶面的位向是用晶面法线的位向来表示的； 空间任意直线的位向可以用它的方向余弦来表示。 对立方晶系
h : k : l cos : cos : cos
负号记在上方 [uv w] 。
1、红线代表的晶向由两个结点的坐标之差确定
2、晶向指数同乘、除一个数，晶向不改变。 如[012]---[0 ½ 1]
▪ 如图为立方晶系： X轴、Y轴、
Z轴；长度单位a=b=c=1。
▪例： OD为[101]；
▪ Om为：坐标1/2、1、1/2；化
简后[121]；
▪EF为：[111]
hk l
hk l
u1 v1 w1 u2 v2 w2
u1 v1 w1 u2 v2 w2
h v1w2 v2 w1, k w1u2 w2u1, l u1 v2 u2v1
晶带定律的应用（3）
晶轴1 [u1 v1 w1] 晶轴2 [u2 v2 w2] 晶轴3 [u3 v3 w3]
若
u1 v1 w1
cos2 cos2 cos2 1
d2 hkl
h a
2
k b
2
l c
2
cos2
cos2
cos2
必须注意：
按以上这些公式所算出的晶面间距是对简单晶胞而言的，如 为复杂晶胞（体心立方、面心立方），在计算时应考虑到晶 面层数增加的影响。例如在体心立方或面心立方晶胞中，上 下底面（001）之间还有一层同类型的晶面（002）故，实际