高数二下练习题答案完整版(全部)

高等数学II 练习题

________学院_______专业 班级 ______ ____学号_______

反常积分、定积分应用（一）

1、求无穷限积分0

ax e dx +∞-⎰

（0>a ）

。

1

ax e dx a

+∞-=

⎰

(过程略)

2

、求瑕积分2

1

⎰

。

()()()2

21

102

10

2

3/21/2013/21/20lim lim 12

lim 1213828

= lim 2333

d x x x εεεεεεεεε+++++→+→→+→==-⎡⎤=-+-⎢⎥

⎣⎦⎡⎤++=

⎢⎥⎣⎦⎰

⎰⎰

3、求由曲线2

2y x =与4x y +=所围成图形的面积。

2223

224428

2244(4)d (4)18226

x x y x y y x y y y y

S y y y --==⎧=⎧⎧⇒⎨⎨

⎨==-+=⎩⎩⎩∴=--=--=⎰解：或是两交点 4、求由曲线1=xy 和直线x y =，2=x 所围成的平面图形的面积。

2113

ln 22S x dx x ⎛⎫=-=- ⎪⎝

⎭⎰

或

1201113

22ln 222

S xdx dx x ⎛⎫=⨯⨯-+=- ⎪⎝⎭⎰⎰（请自己画草图，体会两种不同的求法）

5、抛物线342

-+-=x x y 与其在点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成的图形的面积。 解：

过点)3,0(-的切线方程为 34y x +=，而过)0,3(处的切线方程为 ()23y x =-- 故求的两切线交点为 )3,2

3(，则所要求图形的面为：

()()()()3/2

322120

3/29

434326434

S S S x x x dx x x x dx ⎡⎤⎡⎤=+=---+-+-+--+-=⎣⎦⎣⎦⎰

⎰

6

、设椭圆的参数方程为2cos ,x t y t ==，求椭圆的面积。

解：由椭圆的对称性，椭圆的面积可表示为：

(

)20

20

/2

442cos sin S ydx td t tdt ππ===-=⎰⎰

（简单的计算过程略，希望同学们自行补充完成）

7、在]1,0[上给定函数2

x y =，问t 取何值时，右图中曲边三角形OACO 与ADBA 的面积之和最小？何时最大？

22

23

3

1

2

20

322()22()(1()

3

3

4133

1

()42,()0,02

1

[0,]()021

[,1]()021112(0),(),(1)3243

1t t t OACO ADBA A t A t y y y y y t t A t t t A t t t t A t t A t A A A t ∴=+-=+-=-+''∴=-=∴==

'∈<'∈>===

=⎰

⎰解：设曲边三角形和的面积之和为令或当时，，函数单调减少

当时，，函数单调增加

所以当时，1

2t =面积之和最大，当时，面积之和最小。

x

高等数学II 练习题

________学院_______专业 班级 ______ ____学号_______

定积分应用（二）

1、求由曲线x y =2

和2

x y =围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积。 解：

(

)()2

1

2

20

3

10V x dx π

π=-=⎰

2

x =,2y x =-及x 轴所围成的图形绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的

体积。

解：

绕x 轴旋转而成的旋转体的体积

()

1

2

2

2201

8d (2)d +

5

3

15

x V x

x x x π

π

πππ=+-=

=

⎰⎰ 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积

1

222100

5111[(2)]d (4)236

y V y y y y y y πππ=--=-

+=⎰

3、求由曲线2

y x =和直线2=x 、0=y 所围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转的旋转体的体积。

解：

图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积

()

2

2

20

32d 5

x V x

x ππ==

⎰ 图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积

2

4

2

24d 8y V y πππ=⨯⨯-=⎰

4、求曲线sin ((0,))y x x x π=∈所围成的图形绕y 轴旋转的旋转体体积。

（参考课本第214页（4） 的（6.37）的做法，注意是按圆环体来分隔） 解：

图形绕y 轴旋转的旋转体体积

()2

2

3300

2d 2sin d 2cos 22cos d 24sin 4sin d 28V x f x x x x x x x x x x

x x x x πππ

ππ

π

πππππππππ

===-+=+-=-⎰⎰⎰⎰