第10章---第3节

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单
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在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于
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直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．
【解析】 记事件 A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”．
如图，不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的 直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦，当弦为 CD 时，就是等边三角形的边长(此时 F 为 OE 中点)．
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(2011·湖南高考)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25， 设点A是圆C上任意一点，则点A到直线l的距离小于2的概率为 ________．
【解析】 由 x2＋y2＝12，知圆心 O(0,0)， |0＋0－25| 2 2 ＝5， 3 ＋4
2－1 2 故所求概率为 P＝ ＝ . 1 3 2－ 2
【答案】 2 3
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菜
单
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πx 1 在区间[－1,1]上随机取一个数 x， cos 的值介于 0 到 之间的概 2 2 率为( A. 1 3 ) B. 2 π C. 1 2 D. 2 3
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第三节 几何概型
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1 1 4．已知函数 f(x)＝log2x，x∈[ ，2]，在区间[ ，2]上任取一点 x0， 2 2 使 f(x0)≥0 的概率为________．
【解析】 由 f(x0)≥0，得 log2x0≥0，
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∴x0≥1，即使 f(x0)≥0 的区域为[1,2]，
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x＋y－ 2≤0 在区域x－y＋ 2≥0 内任取一点 P，则点 P 落在单位 y≥0
圆 x2＋y2＝1 内的概率为( A. π 2 B. π 8 C. π 6 ) D. π 4
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x＋y－ 2≤0 【解析】 如图所示，不等式x－y＋ 2≥0 y≥0
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1 2
图10－3－1
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【解析】
“点 Q 取自△ABE 内部”记为事件 M，由几何概型
1 · |AB|· |AD| S△ABE 2 1 得 P(M)＝ ＝ ＝ . |AD| 2 S矩形ABCD |AB|·
【答案】
菜 单
C
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π 【思路点拨】 先判断 x 的范围，然后根据 y＝cos x 的图象寻找 2 π π 1 x 满足的条件，从而确定使 cos x 的值介于 0 到 的 x 的取值范围． 2 2 2
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菜
单
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弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离 小于 OF. 1 ×2 2 1 由几何概型公式得：P(A)＝ ＝ . 2 2
【答案】
菜 单 课 时 知 能 训 练
1 , 2
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(2011· 江西高考)小波通过做游戏的方式来确定周末活动， 他随 1 机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于 ，则周末去看 2 1 电影；若此点到圆心的距离小于 ，则去打篮球；否则，在家看书．则 4 小波周末不在家看书的概率为________．
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【思路点拨】 由于随机往单位圆内掷一点，落在任何一处是等可
能的，因此，根据几何概型可分别求出小波周末看电影与打篮球的
概率，进而利用互斥事件概率加法公式可解．
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菜
单
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【尝试解答】Βιβλιοθήκη Baidu记“小波周末去看电影”为事件 A， “小波周末
3． (2012· 广州质检)一只小蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞
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行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个面的距离均大于 1， 称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( 1 A.8 1 B.16 1 C.27 3 D.8 )
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ABCD的中心，在正方体ABCD—A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到 点O的距离大于1的概率为________．
【解】 由题意，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 内任取一点，满 足几何概型，记“点 P 到点 O 的距离大于 1”为事件 A，则事件 A 发生时，点 P 位于以 O 为球心，以 1 为半径的半球外． 14 3 2 3 又 V 正方体 ABCD—A1B1C1D1＝2 ＝8，V 半球＝ ·π·1 ＝ π. 23 3 2 8－ π 3 π ∴所求事件概率 P(A)＝ 8 ＝1－12.
构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
单
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P(A)＝
菜
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1．“概率为1的事件一定是必然事件，概率为0的事件一定是不可能 事件”，这个说法正确吗？ 【提示】 不正确．如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点
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菜
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思想方法之十五 数形结合思想在几何概型中的应用
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【答案】
C
菜
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2．(2011· 福建高考)如图 10－3－1，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点． 若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q， 则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( A. C. 1 4 ) 1 B. 3 2 D. 3
【答案】 13 , 16
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1．(教材改编题)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M，并以线 段 AM 为边作正方形，则正方形面积介于 36 cm2 和 81 cm2 之间的概 率为( A. 1 2 ) B. 3 4 C. 1 4 D. 2 3
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【解析】 试验的全部结果构成的区域长度为 12，所求事件的 区域长度为 9－6＝3，故所求概率为 P＝ 3 1 ＝ . 12 4
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π 1 设事件 A 为 cos x 的值介于 0 到 之间． 2 2 2 1 则事件 A 发生的区域长度为 ，∴P(A)＝ . 3 3
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【答案】
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A
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2．古典概型与几何概型有哪些异同点？ 【提示】 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的
，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型的基本事件有无限
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个．
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菜
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表示的平面区域是△ABC 的内部及其边界，
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又圆 x2＋y2＝1 的圆心(0,0)到 x＋y－ 2＝0 与 x－y＋ 2＝0 的距
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离均为 1， ∴直线 x＋y－ 2＝0 与 x－y＋ 2＝0 均与单位圆 x2＋y2＝1 相切， 记“点 P 落在 x2＋y2＝1 内”为事件 A， 1 1 ∵事件 A 发生时，所含区域面积 S＝ π，且 S△ABC＝ ×2 2× 2 2 2 1 π 2 π ＝2，故所求事件的概率 P(A)＝ ＝ . 2 4
【尝试解答】
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在区间[－1,1]上随机取一个数 x，试验的全部结
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果构成的区域长度为 2； π π π 又－1≤x≤1，∴－ ≤ x≤ . 2 2 2 π 1 π π π π π π 由 0≤cos x≤ ，得 ≤ x≤ 或－ ≤ x≤－ ， 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 ∴ ≤x≤1 或－1≤x≤－ . 3 3
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【答案】
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D
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用橡皮泥做成一个直径为6 cm的小球，假设橡皮泥中混入了一 个很小的砂粒，求这个砂粒距离球心不小于1 cm的概率． 【思路点拨】 砂粒在橡皮泥中的分布是随机的，可用几何概型．
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打篮球”为事件 B，依题意，事件 A，B 互斥，且 A＋B 表示“小波 周末不在家看书”． 又全部试验区域的面积为 π·12＝π，事件 A，B 发生所在区域面 1 3 1 π 积分别为 S1＝π－( )2π＝ π，S2＝( )2π＝ ， 2 4 4 16 3 π π 4 3 16 1 ∴P(A)＝ ＝ ，P(B)＝ ＝ ， π 4 π 16 3 1 13 则 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝ ＋ ＝ ， 4 16 16 13 因此小波周末不在家看书的概率为 . 16
【解析】 棱长为 3 的正方体由 27 个单位正方体组成，由题意
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知，蜜蜂“安全飞行”的区域为 27 个单位正方体中最中心的一个单 位正方体区域， 1 因此，所求事件的概率为 P＝ . 27
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【答案】 C
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在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O为底面
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1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成 比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的两个基本特点
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3．几何概型的概率公式
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的长度、面积、体积均为0，则它的概率为0，事件可能发生．所以概
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率为0的事件不一定是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部
区域扣除一个单点，则它的概率为1，但它不是必然事件．
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【尝试解答】 设“砂粒距离球心不小于 1 cm”为事件 A，球心
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为 O，砂粒位置为 M，则事件 A 发生，即为 OM≥1 cm. 4 3 4 3 πR － πr 3 3 r 26 ∵R＝3，r＝1，则 P(A)＝ ＝1－( )3＝ ， 4 3 R 27 πR 3 26 故砂粒距离球心不小于 1 cm 的概率为 ., 27