送货路线-数学建模-一等奖

摘要

摘要本文讨论了送货员送货路线的优化设计问题, 即在给定送货地点和给定设计规范的条件下，综合考虑最大载重范围、最大带货体积以及各货物送货时限，确定业务员的最佳运行路线策略.并总结出一些在这类图中求解近似最优回路的有效法则.

对于问题1，采用了两种方法进行了计算，第一种是通过Floyd算法做出各顶点间的最短路径矩阵，然后选出1~30号货物所送达的顶点间的最短路径及距离，用二边逐次修正法求解Hamilton圈；第二种是通过蚁群算法获得多条近似优解，选取最佳线路.

对于第二问，则采用改进的遗传算法，求解有时间约束条件的TSP问题，根据线路规划问题的特点，基于遗传算法（GA）建立了一个适用于带有时间约束的送货路线规划模型.实验证明了此算法的有效性和可行性.

对于第三问，利用分割求解法和蚁群算法的合成算法，运用共同链分割全图，对每一个分图进行最优求解，由此得到全图的最优解。

关键词送货问题；优化路线；TSP模型；蚁群算法

送货路线设计的数学模型

1 问题重述

现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个送货员需要以最快的速度及时将货物送达，而且他们往往一人送多个地方，请设计方案使其耗时最少.

现有一快递公司，库房在图1中的O点，一送货员需将货物送至城市内多处，请设计送货方案，使所用时间最少.该地形图的示意图见图1，各点连通信息见表3，假定送货员只能沿这些连通线路行走，而不能走其它任何路线.各件货物的相关信息见表1，50个位置点的坐标见表2.

假定送货员最大载重50公斤，所带货物最大体积1立方米.送货员的平均速度为24公里/小时.假定每件货物交接花费3分钟，为简化起见，同一地点有多件货物也简单按照每件3分钟交接计算.

现在送货员要将100件货物送到50个地点.请完成以下问题.

1. 若将1~30号货物送到指定地点并返回.设计最快完成路线与方式.给出结果.要求标出送货线路.

2. 假定该送货员从早上8点上班开始送货，要将1~30号货物的送达时间不能超过指定时间，请设计最快完成路线与方式.要求标出送货线路.

3. 若不需要考虑所有货物送达时间限制(包括前30件货物)，现在要将100件货物全部送到指定地点并返回.设计最快完成路线与方式.要求标出送货线路，给出送完所有快件的时间.由于受重量和体积限制，送货员可中途返回取货.可不考虑中午休息时间..

2 模型的假设与符号说明

2.1 模型假设

1．假设送货员只能沿如图所示连通线路行走，而不能走其它任何路线； 2．在连通线路中业务员可以任意选择路线；

3．假设送货员每到达一个地点，交接一件货物花费都为3分钟，交接完毕马上前往下一个地点，期间不花费时间；

4．假设送货员的速度保持匀速，即保持24公里/小时，不考虑堵车，发生意外等现象； 2.2 符号说明

i W ：第i 个货物的重量；(,)i x y ：序号为i 的送货点的坐标； i V ：第i 个货物的体积；C ：送货路线总路程；

N ：送货员送货次数；t ：送货所用总时间；

(,)G V E ：赋权连通图；i G ：(,)G V E 的第i 个子图；

i L ：子图i G 中的最佳回路；()e ω：边e 的边权；()v ω：点v 的点权；

i l ：i L 的各边权之和；i e ：i L 的各点权之和； T ：送货中的停留时间； u ：送货员的行驶速度；点权()i v T V ω=⨯.

为叙述方便起见，我们在文中不加说明地使用上述变量和符号的变形形式，

它们的含义可以通过上下文确定.

3 模型的分析与建立

3.1 模型的建立

把快递公司送货地点示意图抽象为一赋权连通图(,)G V E ，在权图G 中，

i v ∈()V G 对应示意图中的快递公司地点及货物送达点，0v 表示快递公司所在地，j e ∈()E G 对应示意图中路径.边权()j e ω∈对应示意图中的路径长度.

建立的数学模型如下：

{}

0(),(),(G),(),e E G e N v V v T V v V ωω∀∈∃∈∃∈∃∈⨯∈

求G 中回路12,,

,(1)k L L L k >，使得满足：

（1）0(),1,2,,;i v V L i k ∈=（2）

1

()();k

i i V L V G ==

（3）1()

()min(i n

i e E L e ω=∈=∑

∑

目标为总距离最短）

或 1()()max ()()min(i i j k

e E L e V L e v ωω≤≤∈∈⎧⎫⎪⎪

+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭

∑∑目标为时间最短）

为了讨论方便，先给出图论中相关的一些定义.

定义1 经过图G 的每个顶点正好一次的圈，称为G 的哈密顿环路，也称Hamilton 圈.

定义2 在加权图(,)G V E =中

(1)权最小的哈米顿圈称为最佳Hamilton 圈；

(2)经过每个顶点至少一次且权最小的闭通路称为TSP 回路问题.

由定义2可知，本问题是一个寻找TSP 回路的问题.TSP 回路的问题可转化为最佳Hamilton 圈的问题.方法是由给定的图(,)G V E =构造一个以V 为顶点集的完备图(,)G V E ''=，E '中每条边(,)x y 的权等于顶点x 与y 在图中最短路径的权，即

111min{,}m m m m ij im mj ij d d d d ---=+

在图论中有以下定理：

定理1 加权图G 的送货员回来的权和G '的最佳Hamilton 圈的权相同； 定理2 在加权完备图中求最佳Hamilton 圈的问题是NPC 问题. 在解决问题的过程中，我们用到以下算法：

算法一（Floyd 算法）：令n D 表示一个N N ⨯矩阵，它的(,)i j 元素是m ij d ． 1．将图中各顶点编为1,2,

,N ．确定矩阵0D ，其中(,)i j 元素等于从顶点i 到

顶点j 最短弧的长度(如果有最短弧的话)．如果没有这样的弧，则令0ij d =∞．对于i ，令00ij d =．

2．对1,2,

,m N =，依次由m-1D 的元素确定m D 的元素，应用递归公式