函数单调性与导数优秀课件

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数学:3.3.1函数的单调性与导数课件

数学:3.3.1函数的单调性与导数课件
3.3.1函数的单调性与导数
第一页,编辑于星期日:十二点 三十五分。
一、复习引入:
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上,当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1< x 2 时
1)都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是增函数;
2)都有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是减函数;
的图象就“平缓”一些.
如图,函数 y f (x) 在 (0,b)或 (a,0)内的图 象“陡峭”,在(b,) 或(, a)
内的图象平缓.
第十二页,编辑于星期日:十二点 三十五分。
练习
函数 y f (x)的图象如图所示, 试画出导函数 f (x图) 象的
大致形状
第十三页,编辑于星期日:十二点 三十五分。
第二十页,编辑于星期日:十二点 三十五分。
• 解法二:(数形结合)
• 如图所示,f′(x)=(x-1)[x-(a-1)].若在 (1,4)内f′(x)≤0,(6,+∞)内f′(x)≥0,且f′(x)=0 有一根为1,则另一根在[4,6]上.
所以ff′′((46))≤≥00,, 即35((57--aa))≤≥00,, 所以 5≤a≤7.
总结
在某个区间上,f '(x)>0(或<0) ,f(x)在这个区间上单调递增 (递减);但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而仅 仅得到 f '(x)>0(或<0)是不够的。还有可能导数等于0也能使 f(x)在这个区间上单调,所以对于能否取到等号的问题需要 单独验证。
数.
第十六页,编辑于星期日:十二点 三十五分。
练习
1.判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

数学:3.3《函数的单调性与导数》课件(新人教版A选修1-1)

数学:3.3《函数的单调性与导数》课件(新人教版A选修1-1)

上面是否可得下面一般性的结论:
1.回顾一下函数单调性的定义,利用导数的几何 意义,研究单调性的定义与其导数正负的关 系? 在某个区间(a,b)内, ①如果f’(x)>0, 那么函数y=f(x)在这个区间内单调 递增. ②如果f’(x)<0, 那么函数y=f(x)在这个区间内单调 递减.
1.如果在某个区间内恒有f’(x)=0,那么函数f(x) 有什么特性?
本题用到一个重要的转化:
m≥f(x)恒成立 m f (x)max m f (x)恒成立 m f (x )min
练习2 若f (x)在(0, 1]上是增函数,求a的取值范围。
已知函数f (x)= 2ax - x 3,x (0, 1],a 0,
解:f (x)=2ax - x3在( 0, 1]上是增函数, f '(x)=2a - 3x 0在( 0, 1]上恒成立, 3 2 即:a x 在(0, 1]上恒成立, 2 3 2 3 而g( x ) x 在(0, 1]上的最大值为 , 2 2 3 a 。 3 2 [ , )
练习: 已知 x 1 ,求证: x ln( x 1)
提示:运用导数判断单调性,
根据函数的单调性比较函数值大小
单调性的定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 , x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x) 在区间D上是增函数.
对于函数y=f(x)在某个区间上单调递增或 单调递减的性质,叫做f(x)在这个区间上的 单调性,这个区间叫做f(x)的单调区间。
解: (3) 因为
, 所以
因此, 函数

2024版《函数的单调性》全市一等奖完整版PPT课件

2024版《函数的单调性》全市一等奖完整版PPT课件

利用单调性证明不等式
1 2
构造函数 根据不等式的特点,构造一个与不等式相关的函 数。
判断函数单调性 通过求导或差分等方法判断所构造函数的单调性。
3
利用单调性证明不等式 根据函数的单调性,结合不等式的性质,证明不 等式成立。
2024/1/29
18
利用单调性解决实际应用问题
要点一
建立数学模型
要点二
判断函数单调性
2024/1/29
21
导数与微分在函数单调性研究中的应用
导数大于零的区间内函数单调 增加,导数小于零的区间内函 数单调减少。
2024/1/29
导数等于零的点为函数的驻点, 需要进一步判断其左右两侧导 数的符号来确定该点的单调性。
微分的概念可以应用于函数单 调性的研究,通过微分可以分 析函数的局部变化率,进而判 断函数的单调性。
14
指数函数与对数函数
对数函数 $y = log_a x$($a > 0, a neq 1$)的单调 性
当 $0 < a < 1$ 时,函数在 $(0, +infty)$ 上单调递减。
当 $a > 1$ 时,函数在 $(0, +infty)$ 上单调递增。
指数函数与对数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称,即 互为反函数。
2024/1/29
19
05
函数单调性与其他知识点关联
2024/1/29
20
函数奇偶性与周期性对单调性影响
奇函数在对称区间上的单调性相 同,偶函数在对称区间上的单调
性相反。
周期函数在一个周期内的单调性 与整体单调性一致,可以通过研 究一个周期内的单调性推断整体
的单调性。

高中数学第四章导数应用1.1导数与函数的单调性ppt课件

高中数学第四章导数应用1.1导数与函数的单调性ppt课件
证明
y′=axln a-ln a=ln a(ax-1), 当a>1时,由于ln a>0,ax<1, 所以y′<0,即y在(-∞,0)上是减少的; 当0<a<1时,由于ln a<0,ax>1, 所以y′<0,即y在(-∞,0)上是减少的. 综上,函数y=ax-xln a在(-∞,0)上是减少的.
12345
4 B.m>3
C.m≤43
4
D.m<3 ,3)内可导,其图像如下图,记y=f(x)的导
函数为y=f′(x),那么不等式f′(x)≤0的解集是 答案 解析
√-1 3
12345
3.假设函数f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)上是添加的,那么m的 取值范围答是案 解析

No
Image
∵函数f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)上是添加的,
答案
如下图,函数y=f(x)在(0,b)或(a,0) 内导数的绝对值较大,图像“峻峭〞, 在(b,+∞)或(-∞,a)内导数的绝对值 较小,图像“平缓〞.
梳理
普通地,假设一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么 函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图像就比较“峻峭 〞(向上或向下);反之,函数的图像就“平缓〞一些.
第四章 §1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性
学习目的 1.了解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判别(证明)函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超越三次多项式函数的单调 区间.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 函数的单调性与导函数正负的关系
思索
察看以下各图,完成表格内容

3.1.1 导数与函数的单调性 课件(北师大选修2-2)

3.1.1 导数与函数的单调性 课件(北师大选修2-2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)函数的定义域为R,y′=3x2-1. 3 3 令3x -1<0,解得- <x< ; 3 3
2
3 3 令3x -1>0,解得x<- 或x> . 3 3
2
因此-
3 3 , 为函数的单调递减区间, 3 3
3 3 , ,+∞为函数的单调递增区间. 3 3
1 解得a≥ . 3 1 当a= 时,f′(x)=x2-2x+1=0, 3 有且只有f′(1)=0. 1 所以,实数a的取值范围为[ ,+∞). 3
[一点通] 已知函数y=f(x),x∈[a,b]的单调性,求参数 的取值范围的步骤:
(1)求导数y=f′(x);
(2)转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在x∈[a,b]上恒成立问题;
3.判断y=ax3-1(a∈R)在R上的单调性. 解:∵y′=3ax2,又x2≥0. (1)当a>0时,y′≥0,函数在R上单调递增; (2)当a<0时,y′≤0,函数在R上单调递减; (3)当a=0时,y′=0,函数在R上不具备单调性.
[例2]
求下列函数的单调区间:
(1)y=2x-ln x; x (2)y= +cos x; 2 (3)y=x3-x.
②判断f′(x)的符号;
③给出单调性结论.
1.下列函数中,在(0,+∞)上为增加的是 A.y=sin x C.y=x3-x B.y=x·x e
(
)
D.y=ln x-x
解析:(sin x)′=cos x, (x·x)′=ex+x·x=(1+x)·x, e e e 1 (x -x)′=3x -1,(ln x-x)′=x-1,
3 2
当x∈(0,+∞)时,只有(x·x)′=(1+x)·x>0. e e

函数的单调性与导数-图课件

函数的单调性与导数-图课件

单调减函数的性质
03
04
05
函数图像从左至右下降 。
若$f(x)$在区间$I$上单 调递减,且$a, b in I$, 且$a < b$,则有$f(a) geq f(b)$。
若函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减,则其反函 数在相应的区间上单调 递增。
单调性与导数的关系
01
导数与单调性的关系
如果函数在某区间的导数大于0,则该函数在此区间单调递增;如果导
数小于0,则函数在此区间单调递减。
02
导数不存在的点
对于使导数不存在的点,需要单独判断其单调性。
03
高阶导数与单调性的关系
高阶导数的符号可以提供关于函数单调性更精细的信息。例如,二阶导
数大于0表示函数在相应点处有拐点,即由单调递增变为单调递减或反
之。
02 导数在判断函数单调性中 的应用
导数大于0与函数单调性的关系
定义法判断单调性
• 定义法判断单调性是指通过比较函数在某区间内任意两点x1和x2的函数值f(x1)和f(x2),来判断函数在该区间内的单调性。 如果对于任意x1<x2,都有f(x1)<f(x2),则函数在该区间内单调递增;如果对于任意x1<x2,都有f(x1)>f(x2),则函数在该 区间内单调递减。
03 导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化,例如边际成本、边际收 益等,帮助企业做出更好的经济
决策。
最优化问题
导数可以用来解决最优化问题,例 如最大利润、最小成本等,为企业 提供最优的资源配置方案。
需求弹性
导数可以用来分析需求弹性,例如 价格敏感度、需求变化等,帮助企 业制定更加精准的市场策略。

函数的单调性与导数优秀ppt课件

函数的单调性与导数优秀ppt课件
①当1<x<4时,f’(x)>0; ②当x>4,或x<1时,f’(x)<0; ③当x=4,或x=1时,f’(x) =0. 试画出函数f(x)图象的大致形状。
y y=f(x)
O1
4
x
7/20/2024
例2 求函数 f (x) 2x3 3x2 12x 1 的单调区间
解: f '(x) 6x2 6x 12
7/20/2024
例1
设 f '( x)是函数 f ( x) 的导函数,y f '( x)的图象如
c 右图所示,则 y f ( x) 的图象最有可能的是( )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '( x)
o 1 2x o 1 2x
(A)
y y f (x)
(B)
o
2x
y y f (x)
G=(a,b)
y
y
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在G上是增函数或减函数,
则 f(x) 在G上有单调性。
G 称为单调增(减少)区间
新授 画出下列函数的图像,并根据图像指出每个函数的单调区间
y x2
y x3
y1 x
y
y
y
ox
ox
o
x
(-∞,0) (0,+∞)
(- ∞ ,+∞) (-∞,0) (0,,+∞)
为增区间; (4)解不等式f’(x)<0,解集在定义域内的部分
为减区间.
7/20/2024
课堂练习 求下列函数的单调区间。
(1) f (x) x2 2x 3 (2) f (x) x3 3x

导数与函数的单调性ppt课件

导数与函数的单调性ppt课件

x1x2 x1 - x2
x0x
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在
该区间有下面的结论:
如果在某区间上f/(x)>0,则f(x)为该区间上的增函数;
如果在某区间上f/(x)<0,则f(x)为该区间上的减函数.
引例:讨论函数y=x2-4x+3的单调性.
(方法3:导数法)
解:函数的定义域为R, f/(x)=2x-4 令f /(x)>0,解得x>2, 则f(x)的单增区间为(2,+∞). 再令f /(x)<0,解得x<2, 则f(x)的单减区间(-∞,2).
上是单调递增的,求a的取值范围. a 16

f
(x) 2x
a x2
0对任意x [2, )恒成立.
2x3 a 0对任意x [2, )恒成立.
2x3 a对任意x [2, )恒成立.
变式:(2已x3)知min函数a对f (任x)意xx2[2,a(a)恒 R成)立在.x (, 2] x
课外作业
教材P84页 习题4-1 第1题
步骤:根据导数确定函数的单调性
1.确定函数f(x)的定义域.
. 2.求出函数的导数f/(x)
3.解不等式f/(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f/(x)<0,得函数单减区间.
例5:已知函数f (x) x2 a (a R)在x [2, ) x
解:函数的定义域为x>0, f/(x)=lnx+1.
当lnx+1>0时,解得x>1/e.则f(x)的 单增区间是(1/e,+∞). 当lnx+1<0时,解得0<x<1/e.则f(x) 的单减区间是(0,1/e).

函数的单调性与导数 课件

函数的单调性与导数   课件

探究 2 判断函数在某个区间(a,b)内的单调性可从以下几个 方面入手:
(1)利用函数单调性的定义:在定义域内任取 x1,x2(x1<x2), 通过判断 f(x1)-f(x2)的符号来确定函数 f(x)的单调性.
(2)图像法:利用函数图像的变化趋势直观判断,图像在某个 区间呈上升趋势,则函数在这个区间内是增函数;图像在某个区 间呈下降趋势,则函数在这个区间内是减函数.
探究 1 (1)利用导数求函数的单调区间和判断函数单调性的 基本步骤:
①确定函数 f(x)的定义域; ②求出函数 f(x)的导数 f′(x); ③令 f′(x)>0,在定义域内解不等式,求得 x 的相应区间为 f(x)的单调递增区间; ④令 f′(x)<0,在函数定义域内解不等式,求得 x 的相应区 间为 f(x)的单调递减区间.
解法三:∵f′(x)=2a-3x2,f(x)在(0,1)上是增函数,∴f
′(x)≥0 在(0,1)上恒成立.
又∵f′(x)为二次函数,且开口向下,
f′(0)≥0, ∴f′(1)≥0,解得a≥32.
a>0,
∴a 的取值范围是[23,+∞).
(2)f′(x)=a-1x=ax- x 1,
①当 a≤0 时,f′(x)<0,即 f(x)在(0,2)上单调递减,不合
题型一 求函数的单调区间
例 1 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x3-3x+1; (2)f(x)=2x-lnx; (3)f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π;
(4)f(x)= ax (a≠0)(-1<x<1). 1-x2
【解析】 (1)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 令 f′(x)>0,得 x<-1 或 x>1. 令 f′(x)<0,得-1<x<1. ∴f(x)的增区间是(-∞,-1),(1,+∞); f(x)的减区间是(-1,1). (2)由 x>0,得函数定义域为(0,+∞). f′(x)=2-1x.令 2-1x>0 解得 x>12;令 2-1x<0,得 0<x<12.所 以 f(x)的增区间是(12,+∞);减区间为(0,12).

人教版选修2-2第一章函数的单调性与导数2(共20张PPT)教育课件

人教版选修2-2第一章函数的单调性与导数2(共20张PPT)教育课件
所 以 f( x ) 的 单 调 减 区 间 为 ( 2 a , 0 )
例求1参:数求的参取数值范的围范围 若函数f(x) ax3 - x2 x - 5在(-,+)上单调递增, 求a的取值范围
a1 3
求参数
已知函数(f x) 2ax
1
,x (0,1],若(f x)在
x2
x (0,1]上是增函数,求a的取值范围.
解:由已知得
f
'(x)
2a
2 x3
因为函数在(0,1]上单调递增
f '(x)>0,即a - 2 在x (0,1]上恒成立
而g(x)
1
x3
在(0,1]上单调递增,
x3
g(x)max g(1)=-1 a〉- 1
已知函数( f x) 2ax 1 ,x (0,1],若( f x)在 x2
x (0,1]上是增函数,求a的取值范围.
练习2
已知函数f(x)=2ax - x3,x (0,1],a 0,
若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围。
[
3 2
,)
已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数, 求a的取值范围。
; 陌陌红包群 / 陌陌红包群 ;
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '(x)
o 1 2x o 1 2x
o
2x
(A)
(B)
y y f (x)
y y f (x)
2
o1
x o 12
x
(C)
(D)
函 数 yxcosxsinx在 下 面 哪 个 区 间 内 是 增 函 数 (B )

二轮(理科数学) 函数的单调性与导数课件(全国通用)

二轮(理科数学) 函数的单调性与导数课件(全国通用)

(2)转化为不等式恒成立问题,即“若函数单调递增,则f′(x)≥0;若函数单调递
减,则f′(x)≤0”来求解,当然,在转化过程中要注意所给区间的开闭及不等式
中等号有无等细节;
(3)要注意区分“函数在区间(a,b)上单调”与“函数的单调区间为(a,b)”.
变式 1:若函数 f(x)= 3x2 ax (a∈R)在区间(1,3)单调递增,求实数 a 的取值范围. ex
(1)[f(x)eαx]′=f′(x)eαx+αf(x)eαx;
(2)[f(x)xα]′=f′(x)xα+αf(x)xα-1.在具体题目中将α用符合题意的具体的数 值代入即可.
变式 1:定义在(0, π )的函数 f(x),函数 f′(x)是它的导函数,且恒有 2
f(x)<f′(x)tan x 成立,则( )
3
3
3
的两不等实根,
代入得
2 2
4 3 4 3
a 3
a, 3
6
,
解得
a=8.
变式 3:若函数 f(x)= 3x2 ax (a∈R)在区间(-1,1)上不单调,求实数 a 的取值范围. ex
解:因为 f′(x)= 3x2 6 a x a ,由函数 f(x)在区间(-1,1)上不单调知,
解:因为 f′(x)= 3x2 6 a x a ,由 f(x)在(1,3)上单调递增知,
ex
f′(x)≥0 在[1,3]上恒成立,即-3x2+(6-a)x+a≥0 在[1,3]上恒成立,

x=1
时,不等式恒成立;当
1<x≤3
时,a≤
3x2 6x 1 x
恒成立,只需
a≤
3x2 6x 1 x

《函数单调性与导数》课件

《函数单调性与导数》课件

导数在物理问题中的应用
速度与加速度
在运动学中,导数可以用来描述 物体的速度和加速度。例如,自 由落体运动中,物体的速度和加
速度可以通过求导得到。
热传导
在热力学中,导数可以用来描述 热量传递的过程。例如,通过求 导得到温度场的变化率,可以帮
助我们理解热传导的规律。
弹性力学
在弹性力学中,导数可以用来描 述物体的应力应变关系。例如, 通过求导得到物体的应力分布和 应变状态,可以帮助我们理解物
调性
利用导数的符号变化,确定函数 在某区间内的增减性
通过求解一阶导数的不等式,判 断函数的单调性
利用导数判断函数单调性的方法
直接求导
对于已知函数,直接求导并分 析导数的符号变化
利用导数的几何意义
通过导数的几何意义,绘制函 数图像,直观判断函数的单调 性
构造新函数
通过构造函数并求导,利用导 数判断新函数的单调性来研究 原函数的单调性
成本效益分析
导数可以用来分析企业的成本效益,从而制定最优的经营策略。例如,通过求导找到最小 化成本或最大化的利润点,可以帮助企业制定合理的价格和产量策略。
投资组合优化
在金融领域,导数可以用来优化投资组合,以实现最大的收益或最小的风险。例如,通过 求导找到最优的投资组合比例,可以帮助投资者实现资产配置的目标。
详细描述:导数的计算方法包括定义法、求导公式和法则、复合函数求导、隐函数求导、参数方程确定的函数求导等。
03
利用导数判断函数单调性
导数与函数单调性的关系
导数大于零,函数单 调递增
导数等于零,函数可 能为极值点或拐点
导数小于零,函数单 调递减
单调性判定定理的推导
基于极限的导数定义,通过分析 函数在某区间的变化率来判断单

导数与函数的单调性第一课时.ppt

导数与函数的单调性第一课时.ppt

导数与函数单调性
观察函数y=x2-4x+3的图象上的点的切线:
y
0
. . . .. ..
2
总结:该函数在区间 (-∞,2)上递减, 切线斜率小于0,即其 导数为负,在区间(2, +∞)上递增,切线斜 率大于0,即其 导数为正.而当x=2时 其切线斜率为0,即导 x 数为0.函数在该点单 调性发生改变.
y y
y f ( x)
1 2
x o
y
y f ( x)
1 2 x
y f '( x )
2 x
o
o
(A)
y
(B)
y
y f ( x)
2
y f ( x)
1 2
x
o
1
x
o
(C)
(D)
课 堂 小结
1、利用导数法确定函数的单调性及单调区间 2、利用导数法确定函数的大致图像
教学目标
1 从感性上认识函数单调性与导数之间的关系,体
会由特殊到一般的、数形结合的研究方法。
2.掌握如何求简单高次函数单调性的一般方法。
3 能由导函数信息绘
1 过去我们求函数单调性有什么办法?
2 如何判断下列函数的单调性呢?
(1) y x 2 x x;
3 2
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 解: f ( x )的大致形状如右图:
变化,切线平行x轴
y f ( x)
y A B
这里,称A,B两点为“临界点”
o
2
3 x
y 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数, f '( x )的图象如 右图所示,则 y f ( x ) 的图象最有可能的是( C )

课件12:1.3.1 函数的单调性与导数

课件12:1.3.1 函数的单调性与导数

温馨提示 在区间(a,b)内f′(x)>0,是f(x)在该区间 内单调递增的充分不必要条件.例如,f(x)=x3在R 上为增函数,但f′(0)=0.
2.函数单调性与导数值大小的关系 一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)内: (1)如果|f′(x)|越大,函数在区间(a,b)内变化越快, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); (2)如果|f′(x)|越小,函数在区间(a,b)内变化越慢, 函数的图象就比较“平缓”(向上或向下).
变式训练 函数y=ax3-x在R上是减函数,求a的取值 范围.
解:因为y=ax3-x在R上是减函数,所以y′=3ax2-1≤0
在R上恒成立,即3ax2≤1在R上恒成立.
当x=0时,要满足题意,则a∈R;

x≠0
时,3ax2≤1

R
上恒成立,等价于
1 a≤3x2
在 R 上恒成立,则 a≤0.
综上可得a的取值范围是(-∞,0].
归纳升华 1.利用导数求函数的单调区间和判断函数单调性的基本 步骤: (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求出函数f(x)的导数f′(x); (3)令f′(x)>0,在定义域内解不等式,求得x的相应区间为 f(x)的单调递增区间;
(4)令f′(x)<0,在函数定义域内解不等式,求得x的相应区 间为f(x)的单调递减区间. 注意:①求函数的单调区间,必须在函数的定义域内进 行.②函数的单调区间之间只能用“和”或“,”隔开, 不能用符号“∪”连接.
4.已知函数y=f(x),x∈(a,b)的单调性,求参数的取值 范围的步骤: (1)求导数y′=f′(x); (2)转化为f′(x)≤0(≥0)在x∈(a,b)上恒成立问题; (3)由不等式恒成立求参数的取值范围; (4)验证等号是否成立.
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(1)函数y=f(x)在区间I内单调增
f′(x) ≥0
(2)在区间I内f′(x) ≥ 0 不能 函数y=f(x)在I内单调增
新知2:如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x) 为 函数
▪ f′(x) >0是f(x)为增函数的
条件;
▪ f′(x)≥0是f(x)为增函数的
条件.
▪ 即若在某个区间上有有限个点使得f'(x)=0, 而在其余的点恒有f'(x)>0(或f'(x)<0),则该 函数在该区间上仍为增函数(减函数)
4.函数 f(x)2x2ln2x的单调递增区间是____
5.已知函数f(x)=2ax-x3(a>0),若f(x)在(0,1)上 是增函数,求a的取值范围
6.函数f(x)2x3a2x1在区间(, 0)和(2, ) 内单调递增,
2.应用导数信息确定函数大致图像
例2、已知导函数 f '( x ) 的下列信息: 当1<x<4时,f '( x ) >0;
当x>4,或x<1时,f '( x ) <0;
当x=4,或x=1时,f '( x ) =0.则函数f(x)图象的大致
形状是( D )。
y
y f (x)
y
y
y f (x) y f (x)
函数单调性与导数优秀课件
二、复习引入:
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上,当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1< x 2 时
1)都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是增函数; 2)都有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是减函数;
(2) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;
解: f (x) =6x2+6x-24=6(x2+x-4)
当 f (x) >0,
即 x1 17或 x117 时,
2
2
函数单调递增;
(3) f(x)=sinx-x ; x∈(0,)
解: f (x) =cosx-1<0
y
从而函数f(x)=sinx-x o
观察: 下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的
函数 h(t)4.9t26.5t1的0图象, 图(2)表示高台跳水运
动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t)4.9t6.5的图象.
运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时
间的运动状态有什么区别? ①运动员从起跳到 h
G=(a,b)
若 f(x) 在G上是增函数或减函数, 则 f(x) 在G上具有严格的单调性。
G 称为单调区间
2:常见函数的导数:
C’ = ______; (sinx)’=_____; ( ax )’= ______; (logax)’=_____;
( xn )’ = _____; (cosx)’=_____; ( ex )’= ______; (lnx)’=_______.
例4:已知a>0,函数f(x)=x3-ax在x>=1时是单 调递增函数。求a的取值范围
分析:由题目可获得以下主要信息:
( 1 ) .a 0 ; 2 ) .当 ( x [ 1 ,) 时 f'(x ) , 0
所以本题转 可化 f以 '(x) 为 0 先 ,对 x 把 [1,)问 恒题 成立的解 问 a的题
(C) (-∞,-1)
(D) (-∞,-1) ,(1, +∞)
2、若函数y=a(x3-x)的递减区间为(
则a的取值范围为( A )
(A) a>0 (B) –1<a<1 (C) a>1
3 , 3 ), 33
(D) 0<a<1
3、当x∈(-2,1)时,f(x)=2x3+3x2-12x+1是( B )
(A) 单调递增函数 (B) 单调递减函数 (C) (C) 部分单调增,部分单调减 (D) 单调性不能确定
解:f'因 (x)3 为 x2a,且[1 在 ,) 上是增函数
所f'以 (x)3x2a0对任 x [1, 意 ) 恒成立。
所以 a, 3x2对任 x[意 1, )恒成立;
又 3x23,x[1, ),
所0以 a3
分层训练
1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( A )
(A) (-1,1)
(B) (1,2)
新知1函数的单调性与其导函数的正负关系:
设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有导数,如果在 这个区间内f′(x) >0,那么y=f(x)为这个区间内的增 函数;如果在这个区间内f′(x) <0,那么y=f(x)为这
个区间内的减函数. 如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数
探究二:下列命题正确吗? (用I表示某个区间) (1)函数y=f(x)在区间I内单调增 不能 f′(x) >0
y
y f (x)
o1 4 x o 1 4 x o1 4 x o 1 4 x
A
B
C
D
导函数f’(x)的-正---负--与原函数f(x)的增减性有关
试试:判断下列函数的的单调性,并求出单调区间:
(1)f(x)=x3+3x ; (2) f(x)2x33x224x1

(3) f(x)sinxx,x (0,) (4)y=ex-x+1
x
在x∈(0,)单调递减,
见右图。
f (x) sin x x
(4)判定函数 y=ex-x+1 的单调区间. 递增区间为(0,+∞) 递减区间为(-∞,0)
解题小结:如何用导数判断单调性、求单调 区间?
用导数法确定函数的单调性时的步骤是: (1)确定函数f(x)的定义域
(2)求出函数f(x)的导函数 (3)在定义域内求解不等式f ′(x)>0,求得其解
最高点,离水面的高度h 随时间t 的增加而增加,
v
(1)
(2)
t
Oa
b
即h(t)是增函数.相应
地,v(t)h(t)0.
t Oa b
②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的 增加而减少,即h(t)是减函数.相应地, v(t)h(t)0.
2.观察下面四个函数的图象,探讨函数的单调性与其导 函数正负的关系.
集,再根据解集写出单调递增区间
(4)在定义域内求解不等式f ′(x)<0,求得其解
集,再根据解集写出单调递减区间
注:单调区间不以“并集”出现。
3.用导数证明函数在某个区间上的单调性
例3 求证函数f(x)=x+ 1 (0, 1 )为单
调减函数.
x
y
1 fx) = x+ x
2
-1 O 1
x
-2
4.已知函数单调性求参数的取值范围
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