固体物理学_金属电子论之各向同性弹性散射和弛豫时间

外，碰撞项又可化为：
E k , k k k
dk 3 2 x
由弹性散射的性质 k k ，故积分实际上在关于 k 的等能面上进行。 我们可以在极坐标下完成这一积分，取k 的方向为极轴，k 和 k 的夹角为 ，如 下图：
2
3
2
3
将 f 按 E 的级数展开，有：
f f 0 f1
f1 代入方程 将 f 0 代入玻耳兹曼方程，则碰撞项为0，故将 f 0 代入方程左方， 右方，得到一级方程：
q dk E k f0 k k , k f k f k 3 1 1 2
f1 k f1 k k , k dk
2
3
E kx k , k E k x
dk
2
3
k 变化，否则 k , k 0。故 E 可提出积分号 由弹性散射的性质E E且不随
第5节 各向同性弹性散射和弛豫时间
上节引入的弛豫时间 (k ) 物理意义不够明确,因此考虑一个具体的实例导出 弛豫时间是很有意义的,晶体的各向同性弹性散射正是这样一个特例。
各向同性弹性散射的含义： 1、它的能带情况是各向同性的，也就是说 E (k )与 k 的方向无关，只是 k 的函数
k 只跃迁到能量相同的 k 态，用公式表示如下： 2、散射是弹性的，
qE k x dE f 0 dk k , k f k f k 1 3 1 k dk E 2
取试探解：
f1 (得：
k k
k k
k

k
(k k ) 可分解为垂直和平行于 k 的分量：
k k k k k k
如果环绕极轴积分，由于 k , k 只依赖于 ，故它在积分中保持为常数， 由对称性可知，垂直分量的积分为0，故积分只保持平行分量：
由此可见，碰撞项可写成 k x 和一个关于 k 的函数的乘积的形式，这正好符 合了玻耳兹曼方程，且可以由此写出弛豫时间。 由于
kx E f1 f f 0
dk f f0 2 k uv
故碰撞项可写成 ： f1 k f1 k k, k
2
3
其中：
1 dk k , k 1 cos 3 k 2
一级玻耳兹曼方程可化为如下形式：
k x E f1 qE k x dE f 0 k dk E k k
由此可求得：
f1
q k E k x dE f 0 k dk E
这和上节所讨论的一般情况一致。
散射角对电阻的影响：
1、散射角越小，则因子1 cos 趋于0，对积分的贡献很小，弛豫时间越 大，因此对电阻的贡献越小； 2、散射角越大，以致趋于 时，因子1 cos 趋于2，对积分的贡献很大， 弛豫时间越小，因此对电阻的贡献越大； 3、物理意义：小角散射对定向运动破坏小，因而对电阻的贡献小，散射角 很大时，定向运动遭到很大破坏，弛豫时间很短，电子很容易回复到无规 运动状态，故电阻很大。
由于 f 0 只是 E (k ) 的函数，且能带是各向同性的，故方程左端可写成：
q q k dE f 0 f E k E k 0 E E k dk E
若选 x 轴沿电场 E 的方向则方程化为：
如果 E (k ) E (k ) ，则 k , k 0 3、各向同性还意味着 k , k 0 只依赖于 k 和 k 的夹角，与它们的方向无关，
由此可以看出：
k, k k, k
玻耳兹曼方程可写为如下形式:
q E k f k b a
k k k 1 cos
此时，碰撞项最后可写成：
f1 k f1 k k , k
dk
2
3
dk E k k , k 1 cos 3 2 x dk k x E k , k 1 cos 3 2
具体写出碰撞项:
b a f k 1 f k k , k f k 1 f k k, k
k , k f k f k dk


dk