量子力学第四版卷一习题答案

x a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件

e 2

nh

得a 2

----

m

代入(2)，解出

设粒子限制在长、宽、高分别为

a,b,c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性 碰

撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为

P x n x h/2a ,

n x ,n y ,n z 1,2,3,

粒子能量

第一章 1 设质量为m 的粒子在谐振子势 V(x) -m

2

量子力学的诞生

2x 2

中运动，用量子化条件求粒子能量

E 的可能取值。

提示：利用 0 P dx nh, n 1,2, j2m[E V(x)]

解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 其中a 由下式决定：E V (x) 1 -m 2

由此得

a j2E/m 2

口 p dx 2 j2m(E

a '

2 2 X .

x )

2m

a _ __________

J a 2 x 2

dx

a

2m

a 2 nh

E n n

1,2,3,

(4)

积分公式： J a

2

u 2du

arcs in^ c 2 a

X, y, z 轴方向，把粒子沿 X, y, z 轴三个 方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于

X 方向，有

口 P x dx n x h

n x 1,2,3, P x 2a n x h (2a :—来一回为一个周期)

同理可得,

P y n y h/2b . P z n z h/2c ,

mh ，

因而平面转子的能量

1,2,3,

有一带电荷e 质量m 的粒子在平面内运动 （解）带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动 条件是：

,垂直于平面方向磁场是 B,求粒子能量允许值

,设圆半径是r ,线速度是v ,用高斯制单位,

E

n x n y n 2m 2 2

2 2

、

P y P z ) 2m 2

n x ―2

a

2

n

y b 2

2

n z

c

n x ,n y , n z 1,2,3,

设一个平面转子的转动惯量为I

， 求能量的可能取值。 2

提示：利用0 p d nh, n

1,2, ,p 是平面转子的角动量。转子的能量 P

2

/2I 。

解：平面转子的转角（角位移） 记为 它的角动量p I （广义动量） 是运动惯量。按量子化条件 p dx

mh

m 1,2,3,

Bev 2

mv

(1

)

又利用量子化条件 P 电荷角动量 转角 2 口 pdq 0 mrvd

2 mrv nh ⑵ 即 mrv nh 由（1）（2）求得电荷动能 再求运动电荷 ⑶ =1 2 --mv 2 在磁场 Be n 2mc 中的 势能，按电磁学通电导体 在磁场中的势能 磁矩*场强 电流*线圈面积*场强

2

ev* r * B e r

一 , v 是电荷的旋转频率，v 六，代入前式得

运动电荷的磁势能--B^^ （符号是正的 2mc

点电荷的总能量-动能+磁势能-E-Be n

2mc

(n 1,2,3 )

，未找到答案

E m

P

2

/2I m 2 2

/2I ，

洛伦兹与向心力平衡

I

n 1(

a 2 X 2 ^J

b 2 (

c X 2)

n 1x X

求此式变分，令之为零，有：I n 1

n

2(c

J b 2

(c X)2

X)

这个式子从图中几何关系得知

，就是(5).

(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度

v 应等于光波的群速度

V G 光程原理作

v G

dl 0,依前题相速

(1) 试用Fermat 最小光程原理导出光的折射定律

rnsi n 1 n

2sin 2

(2)

光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难:

射定律

n

1sin

3

n

3sin

1

媒质到另一种媒质 E 仍不变，仍有

pdl 0，你怎样解决矛盾

I

n 1AQ

n 2QB

设A , B 到界面距离是a,b(都是常量)有

1

n 1

asec

1 n

2

bsec

2

atg 1 btg 2 c

⑶与⑷消去d 1和d 2得

"Sin 1

n

2sin

2

⑸

如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理

pd l

认为

p mv 则 pdl 0这将导得下述折

这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子:

EV

仍就成立，E 是粒子能量，从一种

c

(解)甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播,

因此自定点

A 到定点

B 的路径是两段直线：光程

又AB 沿界面的投影c 也是常数，因而 1

2存在约束条件:

求(1)的变分，而将

2看作能独立变化的

,有以下极值条件

I n

“asec j tg

i

d 1 n

2

bsec

2

t

g

2d

2

再求(2)的变分

2

■

2

asec

d bsec

2d

2

［乙法］见同一图，取x 为变分参数,取0为原点, 则有：