材料力学第四章 平面弯曲1

集中力偶为逆 时针时，向下 跳(从左向右 看); 顺时针时， 向上跳(从 左向右看). 上次例 4
40
根据微分关系作剪力图和弯矩图 (1) 求支反力； (2) 建立坐标系(一般以梁的左端点为原点)； (3) 分段 确定控制面； (4) 求出控制面上的Q、M值； (5) 根据微分关系连线，作出剪力图和弯矩图。
RA
1 2
ql
Pb l
1 Pa
RB
q 2
l
l
RA1
若梁分别受到这两种载
荷的作用：
RA2
RB RB1 RB522
约束反力
1 Pb
RA
ql 2
l
RA
1 Pa
RB
q 2
l
l
若梁分别受到这两种载
荷的作用：
RA1
1 2
ql,
RA1
1 RB1 2 ql
RA2
Pb , l
RB2
Pa l
RA2
RB RB1 RB523
NAdA
My
zdA
A
Mz
My
N
Mz
ydA
A
由梁段的平衡有: X0 N0
my 0 My 0
mz 0 Mz M
64
对横截面上的内力系，有:
NAdA
My
zdA
A
Mz
ydA
A
由梁段的平衡有: N 0, My 0, Mz M
Q(x)dxq(x)dxdx0
2
略去高阶微量
dM(x) Q(x)dx 0
dM(x) Q(x) dx
还可有：
d2 M(x) dx2
q(x)
34
q(x)、Q(x)和M(x)间的微分关系
dQ(x) q(x) dx
上次例 3
dM(x) Q(x) dx
d2 M(x) dx2
q(x)
由微分关系可得以下
结论
35
分布载荷
8
作用在梁上的载荷形式
分布荷载
集中力
Me
均匀分布荷载
集中力偶
3 静定梁的基本形式 主要研究等直梁。 简支梁
外伸梁
悬臂梁
10
§4. 3 平面弯曲时梁的内力
下面求解梁弯曲时的内力。
例子
已知：q = 20 RAx
kN/m, 尺寸
x
如图。
RAy
RC
求：D截面处的内力。
解：求内力的方法——截面法。建立x坐标如图。
38
(4) 在集中力作用点： 剪力图有突变，突变值 即为集中力的数值，突 变的方向沿着集中力的 方向(从左向右观察)； 弯矩图在该处为折点。
上次例 2
(5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值 即为集中力偶的数值。
39
(5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值即为集中力偶的数值。
l
M(x) Pbx (0xa) l
M(x)Pa(lx) l (axl)
21
例3
已知：悬臂梁如图。
求：剪力方程，弯
矩方程，并作剪力
图和弯矩图。
解：(1) 求支反力
RA ql,
MA
1 2
ql2
(2) 求剪力方程和弯矩方程
为使计算简单，取x截面，右段受力如图。
22
(2) 求剪力方程和 弯矩方程
为使计算简单， 取x截面，右段 受力如图。
RAx
横截面上的内力如图。
RA
QD
x
N
MD
X0
N RAx 0
Y 0
QDRAqx8020 x
MD(F)0
M DR A xqx/2 80x10x2
13
RAx
x
RA
RC
若从D处截开，取右段。 横截面上的内力如图。
RAx
QD
RA
QD
x
N
MD
MD
RC
计算可得QD, MD的数值与取左段所得结果相同。
但从图上看，它们的方向相反。
(0.6x 1.2m 28 )
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AD段 取x截面，左段受力如图。
由平衡方程，可得:
Q(x)RAP 7 kN
(0.6x1.2m
M (x ) P R x A (x 0 .6 )
7x6
(0.6x 1.2m
DB段 取x截面，右段受力如图。
Q (x)q(2.4x) RB 1910x (1.2x2.42m 9
上次例 3
M(x) 为二次函数， 弯矩图为抛物线。 当q(x) > 0(向上)时, 抛物线是下凸的； 当q(x) < 0(向下)时, 抛物线是上凸的；
(3) 在剪力Q为零处,
弯矩M取极值。
37
(3) 在剪力Q为零处, 弯矩M取极值。
注意: 以上结论只在该 段梁上无集中力 或集中力偶作用 时才成立。
弯矩图。
25
例4 已知：外伸梁如图。 求：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和弯矩图.
解：(1) 求支反力
RA 10kN,RB 5kN
26
(1) 求支反力
RA 10kN, x RB 5kN
(2) 求剪力方程和弯矩方程 需分段求解。分为3段：CA, AD和DB段。
CA段 取x截面，左段受力如图。 由平衡方程，可得:
3
§4. 2梁的简化
1 支座的几种基本形式 固定铰支座 桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。
6
1 支座的几种基本形式 固定铰支座 可动铰支座
1个约束，2 个自由度。 如：桥梁下 的辊轴支座， 滚珠轴承等
7
固定端约束
FAx FAy
游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。
2 载荷的简化
集中力
集中力偶
若梁分别受到这两种载 荷的作用：
RA1
1 2
ql,
RB1
1 2
ql
RA
RA2
Pb , l
RB2
Pa l
可以看出：
RA1
RARA1RA2
RBRB1RB2
弯矩方程
RA2
RB RB1 RB524
弯矩方程
AC段：
M1qlx1q2xPb x RA
RB
22 l
CB段：M1qlx1qx2 Pa(l x) 22 l
解： 支反力
RA
1 4
qa
5 qa 2 4
RB
7 4
qa
RB 49 qa 2 32
49
已知：剪力图，且
梁上无集中力偶。
求：载荷图和弯
矩图。
4kN
解：
3kN
q=1kN/m
2kN
3kN
50
4kN
q=1kN/m
弯矩图
3kN 6kNm 2kN
3kN
M
4kNm 4.5kNm
51
已知：q, P。
求：用叠加法作弯矩图。 RA 解： 约束反力
x
DB段 取x截面，右段受力如图。
Q (x)q (2 .4x)R B1910x (1.2x2.4m
M (x)R B(2.4x)12q(2.4x)2
1 25x5(2.4x)2
(1.2x2.4m
(3) 画剪力图和弯矩图
30
(3) 画剪力图和弯矩图
31
END
§4. 5 弯矩、剪力和载荷集度间的关系
对图示的直梁, 考察dx 微段的 受力与平衡。
FCs F
MC Fl
M C2F lF l0
F
B
D
F Ds
MD
F
DB
FDs F MD 0
16
§4. 4 剪力方程、弯矩方程、剪力图、弯矩图
剪力方程 QQ(x) 弯矩方程 MM(x)
上例中
RAx
x
QDRAqx RA
RC
M DR A xqx/2
剪力图和弯矩图
17
例2
已知：简支梁如图。
求：剪力方程，弯矩
横截面上只有正应 力而无切应力。 纯弯曲的变形特征
57
纯弯曲的变形特征
58
纯弯曲的变形特征 基本假设1: 平面假设 变形前为平面的横截 面变形后仍为平面， 且仍垂直于梁的轴线。 基本假设2: 纵向纤维无挤压假设 纵向纤维间无正应力。 中性层与中性轴
59
中性层与中性轴
60
一 纯弯曲时横截面的正应力
B处： Qqa,
Mqa2 /2
D处：
Q 0, M qa2
弯矩图
1 qa 2 2
qa 2
46
已知：外伸梁如图。 求： 利用微分关系作剪力图和弯矩图。
解：(1) 求支反力
RA 10kN,RB 5kN
47
(2) 画剪力图和弯矩图
48
END
已知：内力图。
求：利用微分 RA 关系找出图中 的错误并改正。
32
考察dx微段的受力与 平衡
Y 0
C
Q( x) q(x)dx
[Q(x)dQ(x)] 0
q(x)dxdQ (x)0
dQ(x) q(x)
dx
MC(F)0
M(x) [M (x)dM (x)]Q(x)dxq(x)dxdx 0
2
33
dQ(x) q(x) dx
MC(F)0
C
M(x) [M (x)dM (x)]
由微分关系可得以下结论
(1) 若q(x) = 0 Q(x) =常数，
上次例 2 (书例4. 2)
剪力图为水平线；
M(x) 为一次函数， 弯矩图为斜直线。
(2) 若q(x) = 常数 Q(x)为一次函数，
剪力图为斜直线；
M(x) 为二次函数，
弯矩图为抛物线。
36
(2) 若q(x) = 常数 Q(x)为一次函数， 剪力图为斜直线；
剪力和弯矩的正负号规则如何？
14
剪力和弯矩的正负号规定
剪力
使其作用的一 段梁产生顺时 针转动的剪力 为正。
Q Q
弯矩 使梁产生上凹 (下凸)变形的 弯矩为正。
15
FA
A
MA FA
A
MA
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
2Fl
lC
l
FCs
l
C MC
2Fl
FCs
MC
C
l
F
B D
FCs F
MC Fl
1 变形几何关系
取坐标系如图，z轴为中性轴；
y轴为对称轴。
为求出距中性层 y处的应变，
取长dx的梁段研究:
纵向线bb变形后
的长度为:
bb(y)d
纵向线bb变形前的长度
中性层长度不变, 所以有:
61
纵向线bb变形后
的长度为:
bb(y)d
bb变形前的长度
中性层长度不变, 所以
bbOOOO d
纵向线bb的应变为
解：(1) 求支反力 RD 0, MDqa2
(2) 坐标系
(3) 确定控制面 (4) 计算控制面的Q和M
B处： Qqa, Mqa2/2
MDx
RD
44
(4) 计算控制 面的Q和M
B处： Qqa,
Mqa2 /2
D处：
Q 0,
M qa2
(5) 连线
QQ
qa
MDx
RD
x
45
(4) 计算控制 面的Q和M
方程，并作剪力图和
弯矩图。
解：(1) 求支反力
RA
Pb l
,
RB
Pa l
(2) 求剪力方程和弯矩方程
需分段求解。分为两段：AC和CB段。
AC段 取x截面，左段受力如图。
18
(2) 求剪力方程和弯矩方程
需分段求解。
分为两段：AC和CB段。
x
AC段
取x截面，左段受力如图。
由平衡方程，可得:
Q
Q(x) Pb l
(y)dd y
d
即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截
面高度呈线性分布。
62
2 物理关系
因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极
限时，由胡克定律有:
E
E y
即：纯弯曲时横截面上任一点的正
应力与它到中性轴的距离y成正比。
也即，正应力沿截面高度呈线性分布。
3 静力关系
63
3 静力关系
对横截面上的内力系，有:
(0xa)
M
M(x) Pbx
(0xa)
l
CB段 取x截面，
19
CB段 取x截面， 左段受力如图。 由平衡方程，可得:
Q(x) Pa (axl) l
M(x)Pa(lx) l (axl)
(3) 画剪力图和弯矩图
x
Q
x
M
20
(3) 画剪力图和 弯矩图
Q(x) Pb (0xa) l
Q(x) Pa (axl)
Q(x)P3kN (0x0.6m)
M(x)Px3x (0x0.6m) 27
CA段
取x截面，左
段受力如图。
x
由平衡方程，
可得: Q(x)3kN
(0x0.6m)
M(x)3x
(0x0.6m)
AD段 取x截面，左段受力如图。
由平衡方程，可得:
Q(x)RAP 7 kN
(0.6x1.2m)
M(x)PxRA(x0.6) 7x6
41
已知：简支梁
如图。
A
B
求：利用微分
关系作剪力图
和弯矩图。 解：
qa QQ
(1) 求支反力
2
(2) 坐标系
(3) 确定控制面
qa / 2
(4) 计算控制面的Q和M (5) 连线
C x
qa 2
x
42
作弯矩图
1 qa 2 8
1 qa 2 8
43
已知：悬臂梁 如图。
求：利用微分 关系作剪力图 和弯矩图。
材料力学
第四章 平面弯曲
2020年10月16日
1
第四章 平面弯曲
本章内容: 1 平面弯曲的概念 2 梁的简化 3 平面弯曲时梁的内力 4 剪力方程、弯矩方程、剪力图、弯矩图 5 弯矩、剪力和载荷集度间的关系
2
6 平面弯曲时梁横截面的正应力 7 截面的惯性矩及抗弯截面模量 8 弯曲正应力强度条件 9 提高梁的弯曲强度的措施
(1) 求支座反力 取整体，受力如图。
X0
RAx 0
11
RAx
RA
(1) 求支座反力
x
RC
取整体，受力如图。
X0
RAx 0
MC(F)0
RA 80kN
Y 0
RC 40kN
(2) 求D截面内力
RAx
从D处截开，取左段。
x
横截面上的内力如图。
RA
QD N
MD 12
(2) 求D截面内力
从D处截开，取左段。
结论
在小变形的情况下，约束反力和内力都是外载
荷的线性函数，可以使用叠加法。
叠加法作弯矩图 55
叠加法作弯矩图 P q , a l 3 l/5 , b 2 l/5
+ +
56
= =
§4. 6平面弯曲时梁横截面的正应力
横力弯曲 梁的横截面上同时有弯 矩和剪力的弯曲。
纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩 时的弯曲。
由平衡方程，可得:
Q
M
Q(x)q(lx) M(x) q(l x) l x 1q(l x)2
22
23
Q(x)q(lx) M(x)1q(lx)2
2
(3) 画剪力图和 弯矩图
24
作剪力图和弯矩图的步骤 (1) 求支座反力； (2) 建立坐标系(一般以梁的左端点为原点)； (3) 分段 在载荷变化处分段； (4) 列出每一段的剪力方程和弯矩方程； (5) 根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和