运动学基础

ad d vtττvτ2naττannaτan
切向加速度:
a
d v dt
s
表示速度矢量大小的变化率；
法向加速度:
an
v 2
表示速度矢量方向的变化率；
点的速度与加速度
描述点的运动的弧坐标表示法
讨论1：
弧坐标中的加速度表示：
点沿着一螺旋线自外向 内运动。点所走过的弧长 与时间的一次方成正比。 请判断点的运动性质：
s
弧坐标中的加速度表示：
P'
P
/2
dτ
d
lim τ lim 2τ
0
0
sin
2
sin
lim
2
0
1
当 0时，
2 的极限方向垂直于 ，亦即n方向。
dτ n d
点的速度与加速度
描述点的运动的弧坐标表示法
s
弧坐标中的加速度表示：
P'
P
/2
d dsd 1
dt
dt
ds
vτ
其中：
d 1 曲率 ds
平移刚体上各点的加速度
平移的特点
平移的特点
应该注意，平移刚体内的点，不一定沿直线运动，也 不一定保持在平面内运动，它的轨迹可以是任意的空间曲 线。
—运动副
高副—通过点、线接触
低副—通过面接触
移动副 转动副
6.2 点的运动
描述点的运动的矢量法
z
O
x
位置矢量为变矢量
P
P´
r = r (t) ---点的运动方程
r r´ r P
点P在运动过程中，其位置矢量 的端点描绘出一条连续曲线
y ----位矢端图(运动轨迹)
点的速度与加速度 描述点的运动的矢量法
点的速度与加速度
描述点的运动的直角坐标法
zP
v
不受约束的点在空间有 3个自由度，在直角坐标
系中，点在空间的位置由
rz a
3个方程确定：
k iO
j
x
xy
x = f1(t)
y
y = f2(t)
z = f3(t)
点的速度与加速度
描述点的运动的直角坐标法
rxiyjzk
zP
v d r (d x i d yj d zk ) (x d i y d j zd k )
机构必须有一个固定件，至少有一个主动件
构件与运动副
两构件组成有确定 相对运动的可动联接
—运动副
高副—通过点、线接触
低副—通过面接触
移动副 转动副
B
A C E
D
构件与运动副
组成机构的各 相对运动实体
固定件 —支承运动构件的构件
– 构件 主动件 —驱动力作用的构件
从动件 —随主动件运动而运动的构件
两构件组成有确定 相对运动的可动联接
已： 知 r, t, 常,数
求：M点的运动方程、速度和加速度。
v x x r 1 ct o ,v y s y r st in
v v x 2 v y 2 r2 ( 1 co t ) 2 r s s2 i t（ n 0 t 2 )
a x x r2 sit,n a y y r2 co t s
刚体平移时，刚体内任一线段AB的长度和方向都保持不变。
因而 d AB 0 dt
故
drB drA dt dt
或
vB vA
z
B2
B
B1
上式再对时间t求导一次，即得
vB
aB aA
rB
A2
即，在每一瞬时，平移刚体 内任意两点的速度和加速度 O
A rA
vA A1
y
分别相等。
x
平移刚体上各点的速度
平移的特点
a ax2ay2 r2
6.3 刚体的基本运动
平动和定轴转动是刚体的两种最简单、最基本的 运动；以后可以看到，刚体的更复杂的运动可以看成 是由这两种运动的合成。因此，这两种运动称为刚体 的基本运动。
一、 刚体平移的定义
平动
在运动过程中，刚体上任意一条直线的方位都保持不变。具有这
种特征的刚体运动，称为刚体的平行移动，简称为平移。
变矢量法－结果简明，具有概括性，且与坐标选择 无关。对于实际问题需将变矢量及其导 数表示成标量及其导数的形式。
直角坐标法－实际问题中，一种广泛应用的方法。
弧坐标法－应用于运动轨迹已知的情形，其最大特 点是将速度矢量大小的变化率和方向变 化率区分开来，使得数学表达式的含义 更加清晰。
点的速度与加速度 例 题 1 椭圆规机构 ＝＝常数,
求：P点的运动方程、速度、加速度。 解：P点的运动方程：
x2ldco s2ldco ts ydsindsin t
P点的速度： vx xω(2ld)siωnt vy yωdcoωst
P点的加速度：ax xω2(2ld)coωst ay yω2dsiωn t
例6-2 列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀 加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到 达54km/h。求列车起点和未点的加速度。
z
O x
v
P r
P´
r(t) r
(t＋t)
t 瞬时: 矢径 r(t) t＋ t 瞬时: 矢径 r (t ＋ t )
或r(t)＋ r(t)
位移: r(t)＝ r (t＋t)－r(t)
速度:
y
vlimrdrr
t0t dt
方向沿轨迹切线方向，指向点的运动方向。
点的速度与加速度
描述点的运动的矢量法
z
v
d t d t d t d t d t d t d t
rz a
在Oxyz定参考系中: di dj dk 0
dt dt dt
vdxidyjdzk dt dt dt
vxivyjvzk
k iO
j
x
xy
y v xd d x t x , vyd d y ty , v z d d z t z
点的速度矢量在直角坐标轴上的投 影 等于点的相应坐标对时间的一阶导数。
② t2min120s
anvR 2(18m 50 m s)0 20.28 m1 s2
a at2an 20.30m 8s2
例6-3 已知点的运动方程为x=2sin 4t m， y=2cos 4t m，z=4t m。
求：点运动轨迹的曲率半径 。
解：由点M的运动方程，得
v x x 8 c4 t o ,a x s x 3 s4 2 t in
二、平移的特点
1.当刚体作平移时，刚体上所有各点的轨迹形状相同，
并且位置平行。
2.当刚体作平移时，同一瞬时，刚体上各点的速度相
等，各点的加速度也相等。
z
B2
证明： 刚体作平移时的特点1
B
B1
vB
可由图说明。
rB
A2
刚体作平移时的特点2 可证明如下：
O
A rA
vA A1
y
x
AB为刚体上任意一矢量，则有 rBrAAB
OAABACl, BPd
求：P点的运动方程、 速度、加速度。
1、建立固定参考系Oxy；
2、将所考察的点置于坐标系中的一般位置；
3、根据已知的约束条件列写点的运动方程。
点的速度与加速度 例 题 1 椭圆规机构
＝＝常数,
OAABACl, BPd
求：P点的运动方程、 速度、加速度。
解：P点的运动方程：
x2ldco s2ldco ts ydsindsin t
•v vττ
中 v 和 分别表示速度的大小与方向。
点的速度与加速度
描述点的运动的弧坐标表示法
弧坐标中的加速度表示：
根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式
ad dv td d t(vττ)d d vtττvτd dτ t
dτ dτ d dt d dt
dτ ?
d
d?
dt
点的速度与加速度
描述点的运动的弧坐标表示法
建立物体的运动方程 分析点的运动速度、加速度和刚体的角速度、角加速度等 研究物体运动的分解与合成规律
2. 运动学模型及其运动形式
(1) 运动学模型
研究卫星轨道时，卫星
可以看作一个点。
研究卫星运动姿态时，卫 星不再是一点，而应看作刚体 。
6.1 机构运动简图
机械—能完成一定机械运动的装置
机构
dr limr 1
ds t0 s
运动轨迹在P点处的切向单位矢量
ds dt
＝s＝vτ
v vττ
点的速度在切线轴上的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。
点的速度与加速度 描述点的运动的弧坐标表示法
弧坐标中的速度表示：
几点讨论
v vττ
若 s0 则 vτ 0，即点沿着s+的方向运动； 反之点沿着s－的方向运动；
1.多个实体的组合 2.各实体间具有确定的相对运动
3.能进行能量转换或完成有效的机械功
机器
机器必然包含一个以上的机构 机构传递运动；机器进行能量交换或利用机械能作功。
构件与运动副 固定件 —支承运动构件的构件 组成机构的各 – 构件 主动件 —驱动力作用的构件 相对运动实体 从动件 —随主动件运动而运动的构件
点的速度与加速度
例 题 1 椭圆规机构
＝＝常数,
OAABACl, BPd
求：P点的运动方程、 速度、加速度。
解：P点的运动方程：
x2ldco s2ldco ts
ydsindsin t
从中消去t得到 P点的轨迹方程
x
2
y2
1
2l d d
点的速度与加速度
例 题 1 椭圆规机构