高考数学-圆锥曲线简化计算技巧

高考数学-圆锥曲线简化计算技巧

圆锥曲线计算技巧——整理自有道精品课关旭老师公开课“新高三圆

锥曲线专项” 给定一个椭圆和一条直线：椭圆方程：x2a2+y2b2=1 直

线方程：y=kx+b 一般做法： 1) 联立方程组 x2a2+y2b2=1 y=kx+b 2) 将直线方程带入椭圆方程中x2a2+kx+m2b2=1 3) 通分

b2+a2k2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0 4) 求判别式

Δ=(2a2km)2-4(b2+a2k2)(a2m2-a2b2) 5) 当Δ>0，用韦达定理求

x1+x2,x1x2 x1+x2=2a2kmb2+a2k2 x1x2= a2m2-a2b2b2+a2k2 上面的运算数不是有点复杂呢，那接着往下看看关旭老师提供的计算技

巧吧：巧运算 1) 联立方程组 x2a2+y2b2=1 y=kx+b 2) 将直线方

程带入椭圆方程中x2a2+kx+m2b2=1 不用通分！上式可换做：

1a2+k2b2x2+2kmb2x+m2b2-1=0 记x2的系数为A,x的系数为B,常数项为

C 则上式可记为：Ax2+Bx+C=0 3) 求判别式Δ=（2km/b2）

2-4(1/a2+k2/b2)(m2/b2-1)=-4m2/a2b2-4/a2+4k2/b2 这个式子展开后

有五项，然而有两项是可以消掉的，所以只剩三项。

4) 当Δ>0，用韦达定理求x1+x2,x1x2 x1+x2=-BA x1x2= CA （这

样子运算是不是简单了很多呢！）此外，常用的两个结论还有：一、直

线交椭圆的弦长：L=1+k2ΔA （因为只要联立了方程组，就一定要求判

别式，将判别式代入这个式子求弦长会比一般做法简单很多）二、y1+y2=k(x1+x2)+2m y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 用此方法可大幅节省运算时间，圆锥曲线是不是简单了不少呢？这里给出了两道非常简单的例题，快用简洁的方法算一算吧。

1、.若椭圆与直线y=2x+5相切，求椭圆方程。

2、.若直线y=kx+与椭圆．交于不同的两点A、B，O为坐标原点，且•>2，求k的取值范围？答案:1.a=9 2. 1/4