大学概率论与数理统计复习资料全

第一章 随机事件及其概率

知识点：概率的性质 事件运算 古典概率

事件的独立性 条件概率 全概率与贝叶斯公式

常用公式

)

()()()()()2(加法定理AB P B P A P B A P -+= )

,,()

()(211

1

有限可加性两两互斥设n n

i i n

i i A A A A P A P ∑===)

,(0)()()()()(互不相容时独立时与B A AB P B A B P A P AB P ==)

()()()()5(AB P A P B A P B A P -==-)

()

()()()(时当A B B P A P B A P B A P ⊂-==-))

0(,,()

()/()()()6(211

>Ω=∑=i n n

i i i A P A A A A B P A P B P 且的一个划分为其中全概率公式 )

,,()]

(1[1)(211

1

相互独立时n n

i i n i i A A A A P A P ∏==--=)/()()/()()()4(B A P B P A B P A P AB P ==)

(/)()/()3(A P AB P A B P =)

()

/()()

/()()/()7(1

逆概率公式∑==

n

i i

i

i i i A B P A P A B P A P B A P )(/)()(/)()1(S L A L A

P n

r A P ==

应用举例

1、已知事件,A B 满足)()(B A P AB P =，且6.0)(=A P ，则=)(B P （ ）。

2、已知事件,A B 相互独立，,)(k A P =6.0)(,2.0)(==B A P B P ，则=k （ ）。

3、已知事件,A B 互不相容，,3.0)(=A P ==)(,5.0)(B A P B P 则（ ）。

4、若,3.0)(=A P ===)(,

5.0)(,4.0)(B A B P B A P B P （ ）

。 5、,,A B C 是三个随机事件，C B ⊂，事件()A C B -与A 的关系是

（ ）。

6、5数字卡片上分别写着1，2，3，4，5，从中任取3，排成3位数，则排成3位奇数的概率是（ ）。

某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。 （1）试求他在5:40~5:50到家的概率；

（2）结果他是5:47到家的。试求他是乘地铁回家的概率。 解（1）设1A ={他是乘地铁回家的}，2A ={他是乘汽车回家的}，

i B ={第i 段时间到家的}，4,3,2,1=i 分别对应时间段5:30~5:40，5:40~5:50，5:50~6:00，6:00以后 则由全概率公式有

)|()()|()()(2221212A B P A P A B P A P B P +=

由上表可知4.0)|(12=A B P ，3.0)|(22=A B P ，5.0)()(21==A P A P

35.05.03.04.05.0)(2=⨯+⨯=B P （2）由贝叶斯公式

7

4

35.04.05.0)()()|(22121=⨯==

B P B A P B A P 8、盒中12个新乒乓球，每次比赛从中任取3个来用，比赛

后仍放回盒中，求：第三次比赛时取到3个新球的概率。

看作业习题1: 4, 9, 11, 15, 16

第二章 随机变量及其分布

知识点：连续型（离散型）随机变量分布的性质

连续型（离散型）随机变量分布（包括随机变量函数的分布） 常用分布

重要容

）（R x x f ∈≥0)(

)

()()(12121x F x F x x x F ≤⇒<单调递增，即）（1

)(lim )(0

)(lim )(2==+∞==-∞+∞

→-∞

→x F F x F F x x ）（)

()0()(3x F x F x F =+右连续，即）（R

x x F ∈≤≤10)4(）（1

=∑i

i

p

2．分布律的性质

...)

2,1(,10=≤≤i p i 1.分布函数的性质

（1）非负性 （2）规范性

3.分布密度函数的性质

⎰+∞

=1

)(dx x f （1）非负性

（2）规范性

4. 概率计算

5.常用分布

）

（或泊松分布

λλπP X X ~)(~)

0,...;1,0(,!

)(>==

=-λλλk e k k X P k

1221()()()

P x X x P X x P X x ∴<≤=≤-≤)

()(a F a X P =≤)

0()()(--==a F a F a X P ⎰=

≤<21

)()(21x x dx

x f x X x P 0)0()()(=--==a F

a F a X P ⎰+∞

=

dx x f X a P )()(⎰∞

-=

≤a

dx x f a X P )()(为连续型随机变量：X ),(~,~p n b X p n B X ）或（记为 二项分布: ),...1,0(,)(n k q

p C k X P k

n k k n ===-泊松定理

)

(,!

)

1(np e k p p C k

k

n k

k

n

=≈

---λλλ

%73.991)3(2}3|{|%

45.951)2(2}2|{|%

27.681)1(2}1|{|=-Φ=⋅<-=-Φ=⋅<-=-Φ=⋅<-∴σμσμσμX P X P X P