子式和代数余子式
余子式与代数余子式的定义
余子式与代数余子式的定义余子式与代数余子式的定义一、什么是余子式与代数余子式余子式和代数余子式是矩阵理论中常见的概念，它们与行列式密切相关。
我们来明确一下余子式和代数余子式的定义。
余子式：对于一个n阶矩阵A，若去掉其中的第i行和第j列后得到的（n-1）阶矩阵记作A(i, j)，则A(i, j)的行列式称为矩阵A的余子式，记作M(i, j)。
代数余子式：对于一个n阶矩阵A，矩阵A的任一元素a(i, j)与其对应的余子式M(i, j)的乘积记作A(i, j)，即A(i, j) = a(i, j)·M(i, j)。
其中，正负号由元素的位置(i, j)决定，根据“剪切法则”确定。
总结起来，余子式就是一个矩阵中去掉某行某列后得到的子矩阵的行列式，而代数余子式则是某个元素与其对应的余子式的乘积。
二、深入探讨余子式与代数余子式的性质与作用接下来，我们将从深度和广度两个维度分别探讨余子式和代数余子式的性质与作用。
1. 深度探讨：余子式的性质和作用余子式在矩阵理论和线性代数中有着重要的地位和作用，具体表现在以下几个方面：1.1. 行列式的计算：余子式是行列式计算中的关键环节。
通过递归地计算余子式，可以得到行列式的值。
具体而言，对于一个n阶矩阵A，我们可以选择任意一行或一列，计算该行（列）中每个元素与其对应的余子式的乘积，并按照正负号相加得到行列式的值。
1.2. 矩阵的逆与伴随矩阵：通过余子式的概念，可以定义矩阵的逆和伴随矩阵。
对于一个n阶可逆矩阵A，其逆矩阵A^(-1)的第i行第j列的元素可以表示为A^(-1)(i, j) = M(j, i) / |A|，其中M(j, i)为A的余子式，|A|为A的行列式。
1.3. 特殊矩阵的性质：余子式在研究特殊矩阵的性质时发挥了重要作用。
如果一个方阵A的所有余子式都为零，则A必定是奇异矩阵，即不可逆；又如，一个上（下）三角矩阵A的对角线上所有元素的余子式都为1，则A是一个单位上（下）三角矩阵。
余子式与代数余子式
2424
第二章 行列式
5 3 1 2
1 25 2 0 2
3
1
r2
Байду номын сангаас
2r1
2
5
2 4
3 1
1 4
0 4 1 4 r3 r1
2 35
02 35
2 3 1
10 0 7 2 10 2 7 2
66 0 66
20 42 12 1080.
§6 行列式按一行（列）展开 © 2009, Henan Polytechnic University
把D的第i行依次与第i 1行,第i 2行,第1行对调, 0 aaiijj 0
得 D 1 i1 ai1,1 ai1, j ai1,n
an1 anj ann
§6 行列式按一行（列）展开 © 2009, Henan Polytechnic University
1111
第二章 行列式
例
a x1 a
a Dn
a x2
a a .
a
a a xn
解 依第n列把 Dn 拆成两个行列式之和
p11
0
D
pk1 c11
pkk c1k
q11
,
cn1 cnk qn1 qnn
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
§6 行列式按一行（列）展开 © 2009, Henan Polytechnic University
44
第二章 行列式
例 计算
12300 21000
D 1 0 1 0 0.
§6 行列式按一行（列）展开 © 2009, Henan Polytechnic University
子式与代数余子式_2022年学习资料
证：（只对行证）1.先假定D的第1行的元素除a:-外全为零，即：-02-2n-0n2-要证：-D=a1A1 =a1-11+1M11=a1M11-§3.4子式与代数余子式
033-也就是说：D=a11-子式的每项-0n2-都可写作：1aa.a,其中j2j3…jn是n-1个数码,3n的一个排列.注意项1与元素a,的乘积：-2aaaa.该乘积的元素位于D的不同行与-不同列上，是D的一 -§3.4子式与代数余子式
例3例1中的4阶行列式D的元素a,的代数余子-式：-02-04-A23=（-12+3M23=-M23=-3-032-下面考察一个特殊情形：-阶行列式某行（列）的元素最多有一不为-零的情形.-§3.4子式与代数余 式
定理3.4.1若在一个行列式-00-中，第行（或第列）的元素除a,外全为零，则：-D=aiAi-这个行列式 于4，与其代数余子式的乘积，-§3.4子式与代数余子式
定理3.42行列式D等于它任一行（列）的所-有元素与它们对应的代数余子式的乘积-之和.也就是说：-行列式有 行或依列的展开式：-3D=a1A1+a2A2++anAmi=1,2,,n-（4D=a1A1y+a2yA2+ +anAi=1,2…,n.-在证明之前，先注意以下事实：-§3.4子式与代数余子式
等式右边个行列式的每一个，除了第行外，其-余的对应行都相同.-'.每个行列式的第行的元素的代数余子式-与D 第行对应元素的代数余子式相同，-由T3.4.1,得到3式，-↓下页定理3.4.3在某种意义下与上一定理是平 的.-§3.4子式与代数余子式
定理3.4.3行列式-的某一行（列的-元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于-零，就是说： ⑤aA1+0242++44n=0i-6a1,A1+a2A2++anwA=0S≠-§3.4子式与代数余子式
一、余子式、代数余子式
练习：
a 0 0 0 a 0 1. 计算行列式 Dn 0 0 a 1 0 0
1 0 0 . a
a1 b 2. 设 D 1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
f f , 求 A11 A21 A31 A41 . f f
答案： 1. a n a n2
2014-9-28
数学科学学院 李本星
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n11
a1n a2 n
an1,1 an1,2 0 0
an1,n1 an1,n 0 1
a11 a12 a11 a12 a11 a12
a1,n1 a1,n1 a1,n1
2014-9-28
数学科学学院 李本星
称 Aij
( ai a j ) 1 j i n
注： 范德蒙行列式 Dn 0 a1 , a2
2014-9-28
an 中，至少两个相等．
数学科学学院 李本星
例3.证明：
a11 a1k 0 0 a1k b11 akk br 1 b1r brr
a11 ak 1 akk 0 0 c11 c1k b11 b1r a k1 cr 1 crk br 1 brr
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
i 1,2, ,n
ain Ain aik Aik
k 1
n
或 D a1 j A1 j a2 j A2 j
j 1,2, ,n
anj Anj akj Akj
k 1
n
2014-9-28
数学科学学院 李本星
推论
称之为元素 a ij 的余子式,记作 M ij ．
1-2余子式与代数余子式
a nn
把 a jk 换成 a ik ( k 1,, n), 可得
a11 ai1 a i 1 A j 1 a in A jn ai1 a1 n a in , a in
第i 行 第 j行
相同
当 i j 时,
a n1
a nn
ai 1 A j1 ai 2 A j 2 ain A jn 0,
n
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 , 当 i j; k 1
n
1 ,当 i j， 其中 ij 0 ,当 i j .
思考题
设n阶行列式
1 2 3 n 1 2 0 0 Dn 1 0 3 0 1 0 0 n
n
1 ,当 i j， 其中 ij 0 ,当 i j .
3 5 3
例３ 计算行列式 D 0 7 解 按第一行展开，得
D 3 1 0 7 2 5 0 0 7 2
1 0 7 2
3
0 1 7 7
27.
5 1
例４ 计算行列式
3 7
1 2 0 2 5 2 3 3 1 0 5 0
(i j ).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j ).
关于代数余子式的重要性质
D ,当 i j , aki Akj D ij 0 ,当 i j; k 1
n
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 , 当 i j; k 1
1 0 0 n
求第一行各元素的代数余子式之和
A11 A12 A1n .
余子式和代数余子式的转换
余子式和代数余子式的转换余子式和代数余子式是线性代数中常见的两个概念，它们经常出现在矩阵的求逆过程中。
在学习线性代数的过程中，我们常常会遇到需要将一个矩阵的余子式转化成代数余子式，或者反过来。
下面，我们就来详细地介绍一下如何进行这样的转化。
1. 什么是余子式首先，我们需要知道什么是余子式。
对于一个矩阵$A$，其中第$i$行第$j$列的元素为$a_{ij}$，那么我们将$a_{ij}$所在的行和列分别去掉，得到的新矩阵为$A_{ij}$，这个新矩阵的行数和列数均比原矩阵少$1$。
那么，$A_{ij}$的行列式就是矩阵$A$的第$i$行第$j$列的余子式，记作$M_{ij}$，即：$$M_{ij}=(-1)^{i+j}det A_{ij}$$2. 什么是代数余子式接下来，我们来了解一下什么是代数余子式。
在同一个矩阵$A$中，与$i$和$j$异号的余子式的和就是矩阵$A$的第$i$行第$j$列的代数余子式，记作$A_{ij}$，即：$$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$所以，我们可以将代数余子式看成余子式的一种特殊形式，它们的计算方式也很相似。
3. 怎么将余子式转化成代数余子式那么，如何将矩阵$A$的余子式转化成代数余子式呢？我们需要按照以下步骤来进行操作：（1）首先，将矩阵$A$的第$i$行第$j$列的余子式$M_{ij}$求出来。
（2）判断$i+j$的奇偶性。
如果是偶数，那么代数余子式$A_{ij}$就等于$M_{ij}$；如果是奇数，$A_{ij}$就等于$-M_{ij}$。
（3）将$A_{ij}$填入矩阵$B$的第$i$行第$j$列，得到矩阵$B$。
4. 怎么将代数余子式转化成余子式反之，如果我们需要将矩阵$A$的代数余子式转化成余子式，我们需要按照以下步骤来进行操作：（1）首先，将矩阵$A$的第$i$行第$j$列的代数余子式$A_{ij}$求出来。
（2）判断$i+j$的奇偶性。
余子式与代数余子式
又 A11 1 11 M11 M11,
从而 D a11A11.
在证一般情形, 此时
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0
an1 anj ann
把D的第i行依次与第i 1行,第i 2行,第1行对调, 0 aaiijj 0
a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij与它的 代数余子式的乘积，即 D aij A．ij
a11 a12 a13 a14 例如 D a21 a22 a23 a24
an1 anj ann
aiij 0 0
于是有 ai1, j ai1, j1 ai1,n aij Mij ,
故得
anj aaiijj
an, j1 0
ann 0
D 1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n 1 i j aijMij .
anj an, j1 ann
aij 0 0
元素aij在行列式ai1, j ai1, j1 ai1,n 中的
anj an, j1 ann
余子式仍然是aij在
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0 中的余子式 Mij .
a11
a22 a32
a23 a33
一、余子式与代数余子式.
证 把行列式D按第 j 行展开,
第 i行
b1 Aj1 b2 Aj 2
bn ann
bn Aj n
第 j行
10
例 证明范德蒙行列式 1 1 1 x1 x2 x3 2 2 2 x2 x3 Dn x1
1 xn
A44 (1)44 M44 M44 .
4
引理 如果n阶行列式第i 行所有元素除ai j外都为零，
那末行列式等于ai j与它的代数余子式的乘积,D=ai j Ai j． 例如
D
a11 a 21 0 a 41
a12 a 22 0 a 42
a13 a 23 a 33 a 43
a14 a 24
a12 a13 a14 a22 a23 a24 , a32 a33 a34 a42 a43 a44
1 2
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 , a41 a43 a44
A12 (1)
M12 M12
a11 a12 a13 M 44 a21 a22 a23 , a31 a32 a33
a12
0
a11
D
a1n
0 ai n
ai1 0 0 0 ai 2 0 an1 an 2
ann
6
a11 a12
ai 1 0
a1n
0
a11 a12
0
a1n
0 ...
ai 2
an1 an2
a11 a12
... 0 0
ann
a1n
an1 an2
ann
ai n ai1 Ai1 ai 2 Ai 2
行列式的余子式和代数余子式
行列式的余子式和代数余子式行列式是线性代数中的重要概念，它有许多重要的性质和应用，其中余子式和代数余子式是行列式的重要组成部分。
本文将生动地介绍余子式和代数余子式，并解释它们的意义和应用。
首先，我们来了解余子式。
余子式是行列式中划去某一行和某一列后所得到的新的行列式。
具体而言，对于一个n阶行列式A，划去第i行和第j列后所得到的新行列式，记作Mij。
例如，对于3阶行列式A，划去第2行和第3列所得到的新行列式M23就是一个2阶行列式。
余子式与原行列式有着密切的关系，它们可以在求行列式的值以及解线性方程组等问题中发挥重要作用。
接下来，我们来探讨代数余子式的概念。
代数余子式是在余子式的基础上进行符号的变换。
具体而言，对于余子式Mij，我们将其乘以(-1)^(i+j)，得到的新的数称为代数余子式，记作Aij。
例如，对于3阶行列式A，其代数余子式A23就是余子式M23乘以(-1)^(2+3)=-1。
代数余子式的符号变换是与原行列式的位置相关的，这也体现了行列式的性质和规律。
余子式和代数余子式在行列式的计算中起着重要的作用。
首先，根据余子式和代数余子式的定义，我们可以将n阶行列式的计算分解为多个小的行列式的计算，从而简化计算的复杂性。
其次，余子式和代数余子式可以用于求解线性方程组。
通过将线性方程组转化为行列式，我们可以利用余子式和代数余子式求解出未知量的值。
此外，余子式和代数余子式还具有非常重要的性质，如行列式与其对应的余子式和代数余子式之间的关系等。
总结起来，余子式和代数余子式是行列式中的重要概念，它们在行列式的计算以及线性方程组的求解中有着重要的作用。
通过了解余子式和代数余子式的定义和性质，我们可以更好地理解行列式的规律，并应用它们解决实际问题。
因此，在学习线性代数和矩阵理论时，我们应该重视余子式和代数余子式的学习和理解。
只有掌握了它们的相关知识，我们才能更好地应用行列式解决实际问题，并在更高层次的数学和工程领域中发展。
代数余子式定理
代数余子式定理
代数余子式定理主要指的是关于行列式的拉普拉斯定理，也被称为按k行展开定理。
该定理表述如下：
在n阶行列式D中，任意取定k行（列），k为小于n的正整数，由这k行（列）的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式D的值。
其中，k阶子式是在行列式中任取k行k列，位于这些行和列的交点上的元素按照原来的次序组成的一个k阶行列式。
而代数余子式则是由余子式衍生出的概念，余子式是在n阶行列式中，把元素所在的第o行和第e列划去后，留下来的n-1阶行列式。
代数余子式是在此基础上再乘以-1的o+e次幂得到的。
请注意，该定理在理论方面的应用较为广泛，而在实际计算行列式时可能并不方便。
同时，该定理也是线性代数中的重要内容，对于理解行列式的性质和计算方法具有重要意义。
线性代数第一章第四节
n 阶行列式
D
a 21 a n1
a n 2 a nn
等于它的任意一行 (列) 的各元素与其对
应的代数余子式乘积之和，即
D a i 1 Ai 1 a i 2 Ai 2 a in Ain (i 1,2,, n)
或
D a1 j A1 j a 2 j A2 j a nj Anj ( j 1,2,, n)
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
定义6 在 n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j
这个定理叫做行列式按行（列）展开法则，利用 这一法则并结合行列式的 性质，可简化行列式的 计算。
推论 n 阶行列式 D det(aij ) 某一行（列）的
元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积
之和等于零，即
ai 1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0 （i j）
n x2 2
1 x3
1 xn
n n x3 2 xn 2
n-1阶范德蒙德行列式
Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 )
n i j 2
( xi x j )
n i j 1
( xi x j ).
例9 计算行列式
a ij与其代数余子式的乘积，即 Bij aij Aij
证 先看i , j 1的情形，
余子式与代数余子式
例如 D
a 21 0 a 41
a 22 0 a 42
a 23 a 33 a 43
a11
a 24 0 a 44
a12 a14
3 3 1 a 33 a 21 a 22 a 24 .
a 41
© 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按一行（列）展开
© 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按一行（列）展开
1010
第二章 行列式
a11 a1 j a1n D 0 aij 0 an1 anj ann 把D的第i行依次与第i 1行, 第i 2行, 第1行对调, 0 aij 0 ij
证明
D D1 D2 .
2 2
© 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按一行（列）展开
第二章 行列式
证明
对 D1 作运算 ri krj，把 D1 化为下三角形行列式
p11 0 设为 D1 p11 pkk ; pk 1 pkk
a42
a 44
9 9
第二章 行列式
证
当 aij 位于第一行第一列时, a11 0 0
a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
即有 D a11 M11 .
A11 1
11
又
从而
M 11 M 11 ,
D a11 A11 .
再证一般情形, 此时
0 2 4 2 1
4 1 3 2
6 2 12.
© 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按一行（列）展开
余子式和代数余子式之间的关系
余子式和代数余子式之间的关系
余子式和代数余子式的区别主要在于：首先他们的指代是各不相同的，也就是行列式的阶如果越低的话就越容易计算，于是很自然的能够提出把高阶行列式转换为低阶行列式来计算。
余子式和代数余子式有三个区别：指代不同、特点不同、用处不同。
三、用处相同1、余子式：单位矩阵矩阵称作a的充斥矩阵。
充斥矩阵类似逆矩阵，当a对称时需用去排序a的逆矩阵。
2、代数余子式：在排序元素的代数余子式时，首先必须特别注意不要忽略余子式的代数符号。
当排序一行（或一列）的元素余因子的线性组合时，可以轻易排序每个余因子，然后将其议和。
一、余子式与代数余子式
( i ≠ j ).
同理 a1i A1 j + a 2 i A2 j + L + a ni Anj = 0, ( i ≠ j ).
关于代数余子式的重要性质
D ,当 i = j , ∑ aki Akj = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
n
D ,当 i = j , ∑ aik Ajk = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
得
aij L 0 L 0 ij M M M i −1 j −1 D = ( − 1) ⋅ ( − 1) a i − 1 , j L a i − 1 , j − 1 L a i − 1 , n M M M anj L an , j −1 L ann
aij aij M M anj aij M = ( − 1)
A12 = (− 1) M 12 = − M 12 . a11 a12 a13 M 44 = a21 a22 a23 , A44 = (− 1)4+ 4 M 44 = M 44 . a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
阶行列式， 引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 外都为零， 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的 代数余子式的乘积， 代数余子式的乘积，即 D = a ij Aij ． a11 a12 a13 a14 例如 D =
中的余子式 M ij .
an1 L anj
aij aij
M M anj
故得 aij aij M
L
0 M M
L
0 M M
于是有 ai −1, j L ai −1, j −1 L ai −1,n = aij M ij ,
子式与代数余子式
§3.4 子式与代数余子式
反之, 由于行列式D的每项都含有第1 行的一个元素, 而第1行元素除a11外全为 零, ∴ D的每项都可写成⑵的形式.
就是说, D的每项都是a11与其子式M11 的某项的乘积, ∴ D与a11M11有相同的项. 乘积⑵在D中的符号是:
(1) (1) (1 j2 j3... jn )
§3.4 子式与代数余子式 行列式依行依列展开
容易验证, 对3阶行列式有:
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11
a22 a32
a23 a33
a21
a12 a32
a13 a33
a31
a12 a22
a13 a23
这就把3阶行列式计算转化为较简单的2阶行列式计算.
显然, (j2,j3,...,jn) = (j21,j31,...,jn1). 这 样, 乘积⑵在a11M11中的符号与在D中的符号相 同, 有:
D = a11M11.
§3.4 子式与代数余子式
⒉ 考察一般情形.
a11 ... a1, j1 a1 j a1, j1 ... a1n ... ... ... ... ... ... ...
... ai1, j1 ... ai1, j1 ... ...
ai1, j1 ai1, j1
...
... ai1,n ... ai1,n ... ...
anj an1 ... an, j1 an, j1 ... ann
§3.4 子式与代数余子式
例2 例1的4阶行列式中, 元素a23的余子式是:
M23 =
a a a 11
12
14
a a a 31
代数余子式求法
代数余子式求法代数余子式是矩阵理论中的一个重要概念，用于计算矩阵的逆、行列式等相关运算。
代数余子式的求法是通过对矩阵中每个元素取代数余子式的方法进行计算。
代数余子式的定义给定一个n阶矩阵A，它的元素记为Aij，其中i表示行号，j表示列号。
矩阵A的第i行第j列的代数余子式记为Aij*，它等于删除第i行和第j列之后，剩余元素的行列式值乘以-1的i+j次方，即Aij* = (-1)^(i+j) * Mij，其中Mij表示矩阵A删除第i行和第j列之后剩余元素的行列式。
代数余子式的求法代数余子式的计算可以通过三种方法进行：直接法、附属式法和对角线法。
1. 直接法：直接法是通过求解子矩阵的行列式来计算代数余子式的值。
对于n阶方阵A，它的代数余子式Aij*可以通过以下步骤求解：a. 删除矩阵A的第i行和第j列，得到一个(n-1)阶的子矩阵B。
b. 计算子矩阵B的行列式值，记为det(B)。
c. 代数余子式Aij* = (-1)^(i+j) * det(B)。
2. 附属式法：附属式法利用矩阵的伴随矩阵来计算代数余子式的值。
对于n阶方阵A，它的代数余子式Aij*可以通过以下步骤求解：a. 计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)。
b. 代数余子式Aij* = Adj(A)ij。
3. 对角线法：对角线法是通过对角线元素的代数余子式值之和来计算矩阵的行列式。
对于n阶方阵A，它的代数余子式Aij*可以通过以下步骤求解：a. 将矩阵A的元素Aij与对应的代数余子式Aij*相乘，得到Aiij*。
b. 计算Aiij*的和，即为该矩阵的行列式值。
例如，对于2阶方阵A，它的行列式值为det(A) =A11*A11* + A12*A12*。
通过以上三种求法，我们可以计算出矩阵的代数余子式值，从而进行行列式、逆矩阵等相关运算。
代数余子式的应用代数余子式在线性代数和矩阵理论中有着广泛的应用。
其中，代数余子式在求解矩阵的逆矩阵时起着重要的作用。
代数余子式和余子式的关系
代数余子式和余子式的关系当然！关于代数余子式和余子式的关系，我来给你讲讲。
这事儿啊，听起来有点复杂，其实细想一下也不那么难。
我们可以从基础开始，逐步深入。
就像做菜，先把材料准备好，再慢慢炒出美味的菜肴。
1. 余子式和代数余子式的基本概念1.1 余子式，这个词听上去有点高深，但它其实就是在说，我们在一个大矩阵里，删掉某一行和某一列，剩下的那个小矩阵叫做余子式。
就像你在拼图游戏里，把一块儿拼图拿掉，剩下的部分就是余子式。
1.2 而代数余子式嘛，就是在余子式的基础上，加上一个小小的“调料”——符号。
具体来说，代数余子式要根据你删掉的行和列的“位置”来决定符号是加还是减。
这就像做菜，有的食材需要煮，有的则要生吃，顺序错了味道就大打折扣。
2. 两者的关系2.1 说到两者的关系，简单来说，余子式是代数余子式的基础。
换句话说，你没有余子式，就谈不上代数余子式。
它们之间的关系就像是面包和黄油，缺一不可。
没有面包，你连黄油都抹不上去，更别提做成三明治了！2.2 在计算行列式的时候，代数余子式常常被用来简化计算。
想象一下，在做复杂的数学题时，你有个小帮手，随时给你提供有用的信息，那就是代数余子式。
它的引入让原本复杂的事情变得更加简单，真是个好帮手！3. 实际应用3.1 在实际运算中，我们经常需要用到这些概念。
比如在解线性方程组的时候，余子式和代数余子式就是你解题路上的好伙伴。
它们不仅帮助你找到答案，还能让你更清晰地理解矩阵的结构。
想象一下，你正在探险，地图就是这些余子式，它们指引着你通向正确的道路。
3.2 另外，这些知识还常常用在工程和物理学中，帮我们解决实际问题。
比如说，在分析电路的时候，余子式可以帮助我们计算出每个元件的影响，代数余子式则为我们提供了更为准确的结果。
就好像在修理一台机器时，得先找出故障所在，余子式就帮你找到问题根源，代数余子式则让你修得更精准。
总结最后，余子式和代数余子式的关系真的是妙不可言，它们就像两位默契的搭档，一起帮助我们解开数学的谜团。
子式和代数余子式
3.4 子式和代数余子式 行列开的依行依列展开教学目的：1. 掌握计算行列 式的能力2. 通过一些比较典型的例题分析和习题训练,掌握行列式计算中的一些技巧 教学内容:1. 子式和余子式:定义1 在一个n 阶行列式D 中任意取定k 行k 列.位于这些行列相交处的元素所构成的k 阶行列式叫做行列式D 的一个k 阶子式. 例1 在四阶行列式D=44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a中，取定第二行和第三行，第一列和第四列，那么位于这些行列的相交处的元素就构成D 的一个二阶子式M=34312421a a a a定义2 n(n>1)阶行列式D= nnnj n in ij i nja a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯111111的某一元素ij a 余子式ij M 指的是在D 中划去ij a 所在的行和列后所余下的n-1阶子式.例2 例子的四阶行列式的元素23M = 444241343231141211a a a a a a a a a定义 3 n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 附以符号ji +-)1(后,叫做元素ij a 的代数余子式.元素ij a 的代数余子式用符号ij A 来表示:ij A =j i +-)1(ij M .例3 例1中的四阶行列式D 的元素23a 的余子式是23M =2332)1(M +-=-23M =- 444241343231141211a a a a a a a a a现在先看一个特殊的情形，就是一个n 阶行列式的某一行（列）的元素最多有一个不是零的情形。
定理3.4.1若在一个n 阶行列式D= nnnj n in ij i nja a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯111111中，第I 行（或第j 列）的元素除a ij 外都是零，那么这个行列式等于a ij 与它代数余子式A ij的乘积：D= a ij A ij证 我们只对行来证明这个定理。
余子式的计算
余子式的计算
余子式是矩阵中的一个重要概念，它是由矩阵中去掉某一行和某一列后所得到的子矩阵的行列式。
余子式的计算可以通过代数余子式来实现。
代数余子式是指将某一元素所在的行和列去掉后所得到的子矩阵的行列式乘以-1的i+j次方，其中i和j分别为该元素所在的行和列的编号。
这个过程可以用公式来表示：A(i,j)=(-1)^(i+j)M(i,j)，其中A(i,j)为元素所对应的代数余子式，M(i,j)为该元素所在的子矩阵的行列式。
在实际计算中，可以通过余子式的计算来求解矩阵的逆矩阵。
逆矩阵是指对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则B称为A的逆矩阵。
通过余子式的计算，可以得到矩阵的伴随矩阵，再通过伴随矩阵与矩阵的行列式的乘积得到逆矩阵。
在实际应用中，余子式的计算也被广泛应用于线性代数、微积分、概率论等领域。
在求解线性方程组、计算曲面积分、计算概率密度函数等问题中，都需要用到余子式的计算。
余子式的计算是矩阵运算中的重要概念之一，它的应用范围广泛，对于深入理解和应用矩阵运算具有重要意义。
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3.4 子式和代数余子式 行列开的依行依列展开教学目的：1. 掌握计算行列 式的能力2. 通过一些比较典型的例题分析和习题训练,掌握行列式计算中的一些技巧 教学内容:1. 子式和余子式: 定义1 在一n 阶行列式D 中任意取定k 行k 列.位于这些行列相交处的元素所构成的k阶行列式叫做行列式D 的一个k 阶子式. 例1 在四阶行列式D=44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a中，取定第二行和第三行，第一列和第四列，那么位于这些行列的相交处的元素就构成D 的一个二阶子式M=34312421a a a a定义2 n(n>1)阶行列式D=nnnjn in ij i n j a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯111111 的某一元素ij a 余子式ijM指的是在D 中划去ij a 所在的行和列后所余下的n-1阶子式.例2 例子的四阶行列式的元素23M = 444241343231141211a a a a a a a a a定义 3 n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ijM 附以符号ji +-)1(后,叫做元素ij a 的代数余子式.元素ij a 的代数余子式用符号ij A 来表示:ij A =j i +-)1(ijM.例3 例1中的四阶行列式D 的元素23a 的余子式是23M=2332)1(M+-=-23M=- 444241343231141211a a a a a a a a a现在先看一个特殊的情形，就是一个n 阶行列式的某一行（列）的元素最多有一个不是零的情形。
定理3.4.1若在一个n 阶行列式D= nnnjn in ij i nj a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯111111中，第I 行（或第j 列）的元素除a ij 外都是零，那么这个行列式等于a ij 与它代数余子式A ij的乘积：D= a ij A ij证 我们只对行来证明这个定理。
1）先假定D 的第一行的元素除a ij 外都是零。
这时D=nnn n n a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21222211100我们要证明， D=a 11A 11= a 11（-1）11+M 11= a 11M 11，也就是说，D= a 11nnn n n n a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯323333222322（1）子式M 11的每一项都可以写作a 22j a 33j ……a n nj ，此处j 2，j 3，…，j n 是2，3，…n 这n-1个数码的一个排列。
我们看项（1）与元素a 11的乘积a 11 a 22j a 33j ……a n nj ，这一乘积的元素位在D 的不同的行与不同的列上，因此它是D 的一项。
反过来，由于行列式D 的每一项都含有第一列的一 个元素，而第一行的元素除a 11外都零，因此D 的每一项都可以写成（2）的形式，这就是说，D 的每一项都是a 11与它的子式M 11的某一项的乘积，因此D 与a 11M 11有相同的项，乘积（2）在D 的符号是（-1）21j （πnj ⋯）=（-1）2j （πnj ⋯）另一方面，乘积（2）在a 11M 11中的符号就是（1）在M 11中的符号。
乘积（1）的元素既然位在D 的第2，3，…，n 行与第j 2，j 3，…j n 列，因此它位在M 11的第1，2，…，n-1行与j 2-1，j 3-1，…，j n -1列，所以（1）在M 11中的符号应该是（-1）)1(2-j （π)1(-⋯nj ）。
显然，л（j 2…j n ）=л（（j 2-1）…（j n -1））。
这样，乘积这（2）在a 11M 11中的符号与D 中的符号一致。
所以D= a 11M 11现在我们来看一般的情形。
设D=nnj n njj n n j n j j j a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+-+-1,1,1111,111,1110000我们变动行列式D 的行列，使a ij 位于第一行与第一列，并且保持a ij 的余子式不变。
为了达到这一目的，我们把D 的第I 行依次与第I-1，I-2，…2，1行变换，这样，一共经过了I-1次交换两行步骤，我们就把D 的第I 行换到第一行的位置。
然后在把第j 列依次与j-1，j-2，…，2，1列交换，一共经过j-1次交换两列的步骤，a ij 就被换到第一行与第一列的位置上，这时，D 变为下面形式的行列式：D 1=nnj n j n n njr i j i j i i j i n i j i j i i j i n j j j ij a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ............................................................................................................0...00 (01),1,1,11,11,11,1,1,11,11,11,1,111,11,1111+-+++-+++-+-----++1D 是由D 经过(i-1)+(j-1)次换行换列的步骤而得到的.由命题3.3.3,交换行列式的两行或两列,行列式改变符号.因此 D=)1()1()1(-+--j i 1D =ji +-)1(1D .在1D 中,ija 位在第一行与第一列,并且第一行的其余元素都是零;由1),D=ij a nnj n j n n n i j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+-+++-++-+----+-1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111 =ij a ijM因此D=ji +-)1(1D =ji +-)1(ij a ijM=ij a j i +-)1(ijM=ij a ijA .这样,定理得到证明.定理 3.4.2 行列式D 等于它任意一行(列)的所有元素与它们的对应代数余子式的乘积的和.换句话说,行列式有依行或依列的展开式:D=inin i i i i A a A a A a ⋯++2211(I=1,2,…，n)， （ 3） D=⋯++j j j j A a A a 2211njnj A a (j=1,2,…，n)。
（4）在证明这一定理这前，我们先注意以下事实： 设1D = nnn n in i i n a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212111211 ，2D = nnn n in i i n a a a b b b a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212111211是两个N 阶行列式，在这两个行列式中除去第I 行外，其余的相应行都不得相同。
那么，1D 的第I 行的对应元素有相同的代数余子式。
事实上，ija 的子式是划去1D 的第I 行第J 列后所得的N-1阶行列式。
由于1D 与2D 只有第I 行不同，所以划去这两个行列式的第I 行和第J列，我们得到同一的行列式。
因此ija 与ijb 的子式相同，而它们的代数余子式也相同。
显然对列来说，也有同样的事实。
现在我们来证明定理3.4.2.我们只对行来证明,换句话说,只证明公式(3).公式(4)的证明是完全类似的.先把行列式D 写成以下形式:D= nnn n ini i n a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯++⋯+⋯+⋯++++⋯++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212111211000000也就是说,D 的第I 行的每一元素写成N 项的和.根据命题3.3.9,D 等于个行列式的和:D=nnn n i n a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2111121100 +nnn n i n a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2121121100+…+ nnn n in n a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯211121100 .在这N 个行列式的每一个中,除了第I 行外,其余的行都不得与D的相应行相同。
因此，每一行列式的第i 行的元素代数余子式与D 的第i 行的对应元素的代数余子式相同。
这样，由定理3.4.1，in i i i i Aa A a A a D +++= 2211 以下定理在某种意义下和定理3.4.2平行。
定理3.4.3 行列式nnn n jn j j in i i n a a a a a a a a a a a a D21212111211=的某一行（列）的元素与另外一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零。
换句话说：),(02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++ （5）).(02211t s A a A a A a nt ns t s ts ≠=+++ （6）证 我们只证明等式（5）。
看行列式)(.)(21212111211j i a a a a a a a a a a a a D nnn n jn j j in i i n= 1D 的第i 行与第j 行完全相同，所以01=D 。
另一方面，1D 与D 仅有第j 行不同，因此1D 的第j 行的元素的代数余子式与D 的第j 行的对应元素的代数余子式相同。
把1D 依第j 行展开，得jnin j i j i A a A a A a D +++= 22111 因而2211=+++jn in j i j i A a A a A a例4 计算四阶行列式335111243152113------=D在这个行列式里，第三行已有一个元素是零。
由第一列减去第三列的二倍，再把第三列加到第四列上，得3550100131111115-----=D根据定理3.4.1551111115)1(133-----⨯=+D 把所得三阶行列式的第一行加到第二行，得.405526)1(105502611531=----⨯=---+所以D=40。
例5 计算阶行列式123211000000000100001a x a a a a x x x x n n n n +---=∆---按第一列展开，得()1000001000111000000000100001112321----++---=∆+---xx xa a x a a a a x x x x xn n n n n n这里的第一个1-n 阶行列式和n ∆有相同的形式，把它记作1-∆n ；第二个1-n 阶行列式等于()11--n 。