子式和代数余子式

3.4 子式和代数余子式 行列开的依行依列展开

教学目的：

1. 掌握计算行列 式的能力

2. 通过一些比较典型的例题分析和习题训练,掌握行列式计算中的一些技巧 教学内容:

1. 子式和余子式: 定义1 在一

n 阶行列式D 中任意取定k 行k 列.位于这些行列相交处的元素所构成的k

阶行列式叫做行列式D 的一个k 阶子式. 例1 在四阶行列式

D=

44

43

42

41

343332312423222114131211

a a a a a a a a a a a a a a a a

中，取定第二行和第三行，第一列和第四列，那么位于这些行列的相交处的元素就构成D 的一个二阶子式

M=

34

31

2421a a a a

定义2 n(n>1)阶行列式

D=

nn

nj

n in ij i n j a a a a a a a a a ⋯

⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯⋯⋯⋯1

11111 的某一元素ij a 余子式ij

M

指的是在D 中划去ij a 所在的行和列后所余下的n-1阶子式.

例2 例子的四阶行列式的元素

23

M = 44

42

41

3432311412

11a a a a a a a a a

定义 3 n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij

M 附以符号j

i +-)

1(后,叫做元素ij a 的代数余子

式.

元素ij a 的代数余子式用符号ij A 来表示:

ij A =j i +-)1(ij

M

.

例3 例1中的四阶行列式D 的元素23a 的余子式是

23

M

=23

3

2)

1(M

+-=-23

M

=- 44

42

41

343231

141211

a a a a a a a a a

现在先看一个特殊的情形，就是一个n 阶行列式的某一行（列）的元素最多有一个不是零的情形。

定理3.4.1若在一个n 阶行列式

D= nn

nj

n in ij i n

j a a a a a a a a a ⋯

⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯⋯⋯1

1

1111

中，第I 行（或第j 列）的元素除a ij 外都是零，那么这个行列式等于a ij 与它代数余子式A ij

的乘积：

D= a ij A ij

证 我们只对行来证明这个定理。 1）

先假定D 的第一行的元素除a ij 外都是零。这时

D=

nn

n n n a a a a a a a ⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯⋯⋯2

1

222211100

我们要证明， D=a 11A 11= a 11（-1）1

1+M 11= a 11M 11，

也就是说，

D= a 11

nn

n n n n a a a a a a a a a ⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯⋯⋯3

2

3333222322

（1）

子式M 11的每一项都可以写作

a 22j a 33j ……a n nj ，

此处j 2，j 3，…，j n 是2，3，…n 这n-1个数码的一个排列。我们看项（1）与元素a 11的乘积

a 11 a 22j a 33j ……a n nj ，

这一乘积的元素位在D 的不同的行与不同的列上，因此它是D 的一项。反过来，由于行列式D 的每一项都含有第一列的一 个元素，而第一行的元素除a 11外都零，因此D 的每一项都可以写成（2）的形式，这就是说，D 的每一项都是a 11与它的子式M 11的某一项的乘积，因此D 与a 11M 11有相同的项，

乘积（2）在D 的符号是

（-1）

21j （πn

j ⋯）

=（-1）

2j （πn

j ⋯）

另一方面，乘积（2）在a 11M 11中的符号就是（1）在M 11中的符号。乘积（1）的元素既然位在D 的第2，3，…，n 行与第j 2，j 3，…j n 列，因此它位在M 11的第1，2，…，n-1行与j 2-1，j 3-1，…，j n -1列，所以（1）在M 11中的符号应该是（-1）

)1(2-j （π)1(-⋯n

j ）

。

显然，л（j 2…j n ）=л（（j 2-1）…（j n -1））。这样，乘积这（2）在a 11M 11中的符号与D 中的符号一致。所以

D= a 11M 11

现在我们来看一般的情形。设

D=

nn

j n nj

j n n j n j j j a a a a a a a a a a a ⋯

⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+-+-1

,1

,1

111,111,1110000

我们变动行列式D 的行列，使a ij 位于第一行与第一列，并且保持a ij 的余子式不变。

为了达到这一目的，我们把D 的第I 行依次与第I-1，I-2，…2，1行变换，这样，一共经过了I-1次交换两行步骤，我们就把D 的第I 行换到第一行的位置。然后在把第j 列依次与j-1，j-2，…，2，1列交换，一共经过j-1次交换两列的步骤，a ij 就被换到第一行与第一列的位置上，这时，D 变为下面形式的行列式：

D 1=

nn

j n j n n nj

r i j i j i i j i n i j i j i i j i n j j j ij a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ...

...

..........................................

............................................................0...00 (01)

,1

,1

,11,11,11,1,1,11,11,11,1,111,11,1111+-+++-+++-+-----++

1

D 是由D 经过(i-1)+(j-1)次换行换列的步骤而得到的.由命题3.3.3,交换行列式的两行或两列,

行列式改变符号.因此 D=)

1()1()

1(-+--j i 1D =

j

i +-)1(1

D .

在1

D 中,

ij

a 位在第一行与第一列,并且第一行的其余元素都是零;由1),

D=ij a nn

j n j n n n i j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a ⋯

⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+-+++-++-+----+-1

,1

,1

,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111 =ij a ij

M

因此

D=

j

i +-)

1(1D =

j

i +-)1(ij a ij

M

=

ij a j i +-)1(ij

M

=

ij a ij

A .