对数换底公式讲解

一、新课引入：

已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求log 65=?

像log 65这样的对数值是不能直接从常用对数表中查出的。能不能将以5为底的对数，换成以10为底的对数呢？这就要学习对数换底公式。什么是对数换底公式？怎样用我们所掌握的知识来得到它呢？又如何运用它呢？这就是本节课要解决的问题。

二、新课讲解： 公式：

b N N a a b log log log = 证明：设N log x b =，则N b x =，两边取以a 为底的对数，得

x N

log b log a a =b log N log x a a =⇒,即b log N log N log a a b =。 1、

成立前提：b>0且b ≠1,a>0,且a ≠1 2、 公式应用：对数换底公式的作用在于“换底”，这是对数恒等变形中常用的工具。一般常换成以10为底。

3、 自然对数 lnN=log N e e=2.71828

三、巩固新课：

例1、求证：1：1a log b log b a =⋅

2： b log m n b log a n a m =

例2、求下列各式的值。

（1）、log 98•log 3227

（2）、（log 43+log 83）•(log 32+log 92)

(3)、log 49•log 32

(4)、log 48•log 39

(5)、（log 2125+log 425+log 85）•(log 52+log 254+log 1258)

例3、若log 1227=a,试用a 表示log 616.

解：法一、换成以2为底的对数。

法二、换成以3为底的对数。

法三、换成以10为底的对数。

练习：已知log 189=a,18b =5,求log 3645。

例4、已知12x =3,12y =2,求y x x +--1218的值。

练习：已知

7log log ,5log log 248248=+=+a b b a ，求a •b 的值；

例5、有一片树林，现有木材22000方，如果每年比上一年增长2.5%，求15年后约有多少方木材？

解：设15年后约有木材A 方，则

A=22000（1+2.5%)15=22000×1.02515

LgA=lg22000+15×lg1.025

=4.3424+15×0.0107

=4.5029

∴ A=131840

答：15年后约有木材131840方。

练习：

1、某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）个。

2、在一个容积为a 升的容器里满盛着酒精。先向外倒出x 升，再用水注满；第二次又倒出x 升溶液，再用水注满；如此操作t 次后，容器里剩余的纯酒精为b 升，试用含有a 、b 、t 的式子表示x 。

三、小结：对数换底公式：b N N a a b log log log =