曲面论的基本定理 曲线论中, 我们在 R - x2

在曲线论中, 我们在曲线上每一点取三个互相垂直的单位矢量 α, β , γ , 并且把它们 对于曲线的弧长的导矢量写成它们自己的线性组合. 这样就得到了曲线论的基本公式— Frenet-Serret公式, 它们在曲线论中占有中心的位置. 在曲面论里, 我们在曲面上每一点已经引进了三个不共面的矢量 r u , r v , n . 我们若把这 三个矢量对 u, v 的偏导矢量写成这三个矢量的线性组合, 将得到五个公式, 它们可以称为曲 面论的基本公式— Gauss 公式和 Weigarten公式. 但是, 由于矢量 r u , r v 一般不是单位矢 量, 也不垂直, 也由于一般不能找到参数 u, v 像曲线弧长那样具有普遍的不变意义, 如果我 们不引进一整套完全新的记号, 所得到的公式是比较复杂而难以运用的. 为此我们引进如 下一系列新记号. 原记号 r = r (u, v ), n = n(u, v ), ru , rv ; nu , nv , E, F, G; EG − F 2 , LN − M 2 , dr = r u du + r v dv, ru × rv , n= |r u × r v | I = (dr )2 = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 , II = Ldu2 + 2M dudv + N dv 2 , L, M, N, r uu , r uv , r vv 新记号 r = r (u1 , u2 ) n = n(u1 , u2 ) r i (i = 1, 2); ni (i = 1, 2) g11 , g12 , g22 ; b11 , b12 , b22
§2.7 曲面论的基本定理
曲线论中, 我们在 R3 的合同变换群观点下讨论了曲线的两个基本不变量—曲率和挠率; 反过来, 曲线论的基本定理告诉我们, 这两个基本量可以完全刻画曲线, 即“给出两个连续 函数 k (s) > 0, τ (s) , 则能确定惟一(允许相差一个合同变换) 一条曲线 C : r = r (s) , 以 s 作 为弧长参数, 且以 k (s), τ (s) 为其曲率和挠率.” 曲面论中, 我们同样讨论了曲面的两个基本不变量—第一基本型和第二基本型, (至于 曲面上曲线的弧长、两条曲线的夹角、曲面域的面积、法曲率、主曲率、高斯曲率, 平均 曲率等都是由第一基本型和第二基本型完全确定的量), 它们既刻画了曲面上曲线的弧长 微元, 又反映了曲面在空间中的形状, 类似于曲线论的基本定理, 我们自然提出如下问题: 给出两个关于 du, dv 的二次微分形式, E (u, v )du2 + 2F (u, v )dudv + G(u, v )dv 2 , L(u, v )du2 + 2M (u, v )dudv + N (u, v )dv 2 , 能否确定一个曲面 S : r = r (u, v ) , 使得它以这两个微分形式作为它的第一和第二基本形 式? 如果这样的曲面存在的话, 它是否惟一? 事实上, 要确定一张曲面 S : r (u, v ) = {x(u, v ), y (u, v ), z (u, v )} 只需要确定三个函数 x(u, v ), y (u, v ), z (u, v ) , 而给出了两个微分形式相当于给出了六个函数 E (u, v ), F (u, v ), G(u, v ); L(u, v ), M (u, v ), N (u, v ) . 因此可以想象到, 若由给出的六个函数可以确定一张曲 面, 以它们为第一及第二基本形式系数, 那么这六个函数之间一定存在着某种关系, 而且可 以猜想到这六个函数之间应满足三个关系. 本节的目的在于找出这三个关系, 即Gauss方程 和Codazzi方程, 然后证明当六个函数满足Gauss方程和Codazzi方程时, 则存在一张曲面, 它的第一和第二基本形式正好是给出的两个二次微分形式, 并且在相差一个 R3 的合同变 换下, 曲面是惟一的. 【注 1】 曲线论的情形, 要确定一条曲线 C : r (s) = {x(s), y (s), z (s)} , 只需要确定三 个函数 x(s), y (s), z (s) , 而我们给出了三个条件, 即以已知连续函数 k = k (s) 和 τ = τ (s) 分 别作为曲线的曲率和挠率, 以 s 作为曲线的弧长. 因此, 一般来说我们能确定曲线. 另一种观点, 既然曲率和挠率分别刻画了曲线的弯曲程度和扭曲程度, 而曲线在空间只 表现为这两种形态, 因此, 用这两个基本量可以确定曲线. 2.7.1 曲面 论的基 本公式 112
k=1
ni = −
2
(7.3) g jk bki r j , 114 (Weigarten formula)
k,j =1
2.7.2 曲面 论的基 本方程 和 Gauss 定 理 现在我们利用曲面的运动方程来研究曲面的第一、第二基本形式系数之间的关系. 设 C k 阶 (k ≥ 2)曲面 S 的方程为 r = r (u1 , u2 ) , 则曲面的基本公式为 r ij = Γk r k + bij n ij n = − bk r , (bk = g kl b ),
=
利用 r 1 , r 2 , n 是线性无关就得出 ∂ Γk ∂ Γk ij il + − ∂uj ∂ul
k Γm ij Γml − k k k Γm il Γmj = (bij bj − bil bj ),
(7.5) (7.6)
∂bij ∂bil − j + l ∂u ∂u
Γm ij bml −
k=1
Γk ij gkl ,
1, i = l 2 命 (g ij ) 是 (gij ) 的逆矩阵, 即 ,则 g ik gkl = δli = 0, i = l k=1
2
Γk ij =
l=1
1 kl g 2
∂gil ∂gjl ∂gij + − ∂uj ∂ui ∂ul
,
i, j, l = 1, 2
k 为第二类黎曼曲率张量. 显然 Rk = −Rk , 因此 Rk + Rk + Rk = 0 . 再定义 称 Rijl lij jli ijl ilj ijl 2
Rmijk =
l=1
l gml Rijk ,
称 Rmijk 为第一类黎曼曲率张量. 容易验证如下恒等式 Rijkl = Rklij , Rijkl = −Rijlk , Rijkl = −Rjikl ,
当 i = 1 时,
(7.7)
当 i = 2 时,
(7.8)
这说明Codazzi方程包含两个独立的关系式. • Gauss方程 为考察高斯方程中独立关系式的个数, 我们先引进记号, 令
k = Rijl
∂ Γk ∂ Γk ij il − + ∂uj ∂ul
k Γm ij Γml −
k Γm il Γmj
2 g11 g22 − g12 ≡g
r ij (1 ≤ i, j ≤ 2)
b11 b22 − b2 12 ≡ b
2
dr =
i=1
r i dui
r1 × r2 n= √ g
2
I = (dr )2 =
i,j =1 2
gij dui duj
II =
i,j =1
bij dui duj
为了书写方便, 我们将采用Einstein求和约定: 在一个单项式中, 若一个指标字母(以 i, j, · · · 或 α, β, · · · 表 示)作 为 上 标 和 下 标 各 出 现 一 次, 则 该 式 就 表 示 对 这 个 指 标 字 母 从1到2的求和式, 而上下指标多对重复出现就表示该式是多重求和式, 这样我们将省略求 和号 . 需要注意的是, 不同的求和要用不同的重复上下指标字母. 113
Γm il bmj = 0,
因此曲面 S 的第一, 第二基本形式系数 gij 、bij 必须满足(7.5), (7.6)两式, 我们称这两组 方程为 曲面的基本方程, 其中(7.5)式称为 Gauss 方程, (7.6)式称为 Codazzi 方程, 合称为 Gauss-Codazzi 方程, 或称为曲面的 结构方程. 【注 2】 当然我们从 nji = nij , 也可以推出第一, 第二基本形式系数所满足的关系 式, 但可以证明由 nij = nji 得出的关系式可由 Codazzi 方程推出, 因此得不出新的关系式 了. 参阅苏步青等著《微分几何》 P125−126 . 在(7.5)和(7.6)中, 由于 i, j, k, l = 1, 2 , 所以Gauss方程和Codazzi方程是两组方程, 这两 组方程形式上很复杂, 但实质上, Gauss方程中只有一个独立的方程, 而Codazzi方程中有两 个独立的方程, 下面我们分别给予说明. • Codazzi方程
2
edgij = r i · r j gil = r i · r l gjl = r j · r l 注意到 r ij = r ji , 所以 1 2
⇒ ⇒ ⇒
l = 1, 2 l = 1, 2 ed l = 1, 2
∂gil ∂gjl ∂gij + − ∂uj ∂ui ∂ul
= r ij · r l =
(7.2)
k Γk ij 称为Christoffel记号, 简称克氏记号, 显然 Γij 由曲面的第一类基本量完全确定. • 确定 µj 将(7.1)的后一式两边与 r k 作内积, 得到 i
µj i
2
=−
k=1
g jk bik .
至此我们得到了曲面论的 Gauss公式 和 Weigarten 公式(也称为曲面的 运动方程): 2 r ij = Γk (Gauss formula) ij r k + bij n,
Rijkl + Riklj + Riljk = 0. 因此黎曼曲率张量的16个分量中只有一个独立分量, 即 R1212 = R2121 = −R1221 = −R2112 , 其余都是零, 故高斯方程中只有一个独立的关系式, 即是 R1212 = b12 b21 − b11 b22 . 总结上述讨论我们得出: 第一、第二类基本量之间满足三个关系式, 即 ∂b11 ∂b12 − + ∂u2 ∂u1 Γm 11 bm2 − 116 Γm 12 bm1 = 0, (7.9)
现在我们可以直接令 r ij = ni =
j 其中 Γk ij , λij , µi 都是待定系数. 2 k=1 2 j =1
Γk ij r k + λij n, i, j = 1, 2 (7.Fra Baidu bibliotek) i = 1, 2
µj i rj ,
• 确定 λij • 确定 Γk ij
(7.1)的前一式两边与 n 作内积, 即得 λij = bij (第二基本形式系数). ∂gij = r il · r j + r i · r jl , ∂ul ∂gil = r ij · r l + r i · r lj , ∂uj ∂gjl = r ji · r l + r j · r li , ∂ui
j j k j lj
(7.4)
对向量 r i , n 运用二阶连续偏导数可交换次序的法则, 必须成立 r ijl = r ilj , 因此必须有 ∂ Γk ij rk + ∂ul ∂ Γk il rk + ∂uj Γk ij ( Γk il ( ∂bij n + bij (− ∂ul ∂bil Γm n + bil (− kl r m + bkj n) + ∂uj Γm kl r m + bkl n) + bk l rk ) bk j r k ),
∂bij ∂ul
−
∂bil ∂uj
+
Γm ij bml − 115
Γm il bmj = 0
显然当 j = l 时, Codazzi 方程为恒等式, 而且当 j 与 l 对调时, Codazzi 方程不变. 故可令 j = 1, l = 2 , 则 ∂bi1 ∂bi2 − + ∂u2 ∂u1 ∂b11 ∂b12 − + ∂u2 ∂u1 ∂b21 ∂b22 − + ∂u2 ∂u1 Γm i1 bm2 − Γm 11 bm2 − Γm 21 bm2 − Γm i2 bm1 = 0, Γm 12 bm1 = 0, Γm 22 bm1 = 0,