2013全国数学建模竞赛B题优秀论文

基于最小二乘法的碎纸片拼接复原数学模型

摘要

首先对图片进行灰度化处理,然后转化为0-1二值矩阵，利用矩阵行（列）偏差函数，建立了基于最小二乘法的碎纸片拼接数学模型，并利用模型对图片进行拼接复原。

针对问题一，当两个数字矩阵列向量的偏差函数最小时，对应两张图片可以左右拼接。经计算，得到附件1的拼接结果为：

08,14,12,15,03,10,02,16,01,04,05,09,13,18,11,07,17,00,06。

附件2的拼接结果为:

03,06,02,07,15,18,11,00,05,01,09,13,10,08,12,14,17,16,04。

针对问题二，首先根据每张纸片内容的不同特性，对图片进行聚类分析，将209张图片分为11类；对于每一类图片，按照问题一的模型与算法，即列偏差函数最小则进行左右拼接,对于没有拼接到组合里的碎纸片进行人工干预，我们得到了11组碎纸片拼接而成的图片；对于拼接好的11张图片，按照问题一的模型与算法，即行偏差函数最小则进行上下拼接,对于没有拼接到组合里的碎纸片进行人工干预。我们最终经计算，附件3的拼接结果见表9，附件4的拼接结果见表10。

针对问题三，由于图片区分正反两面，在问题二的基础上，增加图片从下到上的裁截距信息，然后进行两次聚类，从而将所有图片进行分类，利用计算机自动拼接与人工干预相结合，对所有图片进行拼接复原。经计算，附件5的拼接结果见表14和表15

该模型的优点是将图片分为具体的几类，大大的减少了工作量，缺点是针对英文文章的误差比较大。

关键字：灰度处理，图像二值化，最小二乘法，聚类分析，碎纸片拼接

一、问题重述

碎纸片的拼接复原技术在司法鉴定、历史文献修复与研究、军事情报获取以及故障分析等领域都有着广泛的应用。近年来，随着德国“斯塔西”文件的恢复工程的公布，碎纸文件复原技术的研究引起了人们的广泛关注。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。对于一页印刷文档，针对不同的破碎方法，讨论下列三个问题：

（1）将给定的一页印刷文字文件纵切，建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件1、附件2给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。

（2）对于碎纸机既纵切又横切的情形，设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。

（3）对于双面打印文档，研究如何进行碎纸片的拼接复原问题。附件5给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。要求尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原结果。

二、模型的基本假设

（1）待拼接的碎纸片来自同一页印刷文字文件。

（2）待拼接复原的碎纸片是规整的矩形。

（3）模型中的碎纸片长度、宽度和面积都相等。

（4）附件中照片都是同标准拍摄。

三、符号说明

,209)

=1,2,,209)

,209)

=1,2,,209)

=1,2,,209)

四、问题分析

将不规则的文档碎纸片进行拼接，一般是利用碎纸片的边缘曲线，尖点、尖角、面积等几何特征，搜索与之匹配的相邻碎纸片。但对于边缘形状相似的碎纸片，这种基于边界几何特征的拼接方法失效，拼接时不但要考虑待拼接碎纸片边缘是否匹配，还要判断碎片内的字迹断线或碎片内的文字内容是否匹配。

本问题给定的碎纸片有以下几个特点：

1、每一张碎纸片都是规整的矩形；

2、所有的碎纸片的长度、宽度都相等，形状是完全一样的；

3、每一张碎纸片里都包含着文字（汉字、英文），不存在空白的碎纸片；

4、不同的碎纸片之间没有重叠部分。

由于碎纸片的形状相同，因而不能针对碎纸片的几何特征建立数学模型；碎纸片间无重叠，也不能利用图像融合技术进行图像配准。

根据上述分析，我们考虑将图片进行数字化处理，根据每张碎纸片上的边缘文字特征进行匹配，也就是利用图片边缘文字的像素进行最优化匹配。

五、模型的建立与求解

5.1问题一的建模与算法

由于碎纸片本身不具有体现其拼接特性的数字特征，我们需要将其数字化、矩阵化，将问题转化为矩阵之间的相关性。

利用photoshop软件，将附件中所给的BMP格式的图片转化成JPG格式，去除图片的多彩性。为了对碎纸片进行数字化，我们将图像进行灰度处理，取出图像中每一个像素点的灰度值，灰度值的大小与像素点颜色的红绿蓝成分有关。

根据文献[1]，每个像素点的=0.30+0.59+0.11

⨯⨯⨯

灰度值红色绿色蓝色，即

=⨯+⨯+⨯，

Gray r g b

0.300.590.11

其中，,,

r g b的取值范围是0~255。

问题一将同一页印刷文字文件纵切为19张图片（见图1），根据实际情况，我们将每张图片设置为198072

⨯的灰度矩阵。

⨯格式，于是，每张图片对应一个198072

图1 附件1未进行拼接的19张碎纸片

将图片进行灰度处理以后，每个像素的灰度值介于0~255之间。灰度值不能直接用于文字图片的拼接，还须进行二值化处理。

将图片放入直角坐标系，规定：若(,)x y 点的像素灰度值大于或等于T ，该点用数值1表示，并将其设定为白色；若(,)x y 点的像素灰度值小于T ，该点用数值0表示，并将其设定为黑色。由此得到像素点的二值化函数：

1,(,),

(,)0,(,),

Gray x y T w x y Gray x y T >⎧=⎨<⎩

其中，T 为预先设定的全局灰度阈值。于是，每张图片的灰度矩阵转化为下列198072

⨯的0,1数字矩阵：

1117219801

198072a a A a a ⨯⨯⨯⎛⎫

⎪=

⎪ ⎪⎝⎭

,

其中

1, 1,

0, 0.ij a ⎧=⎨⎩

代表空白的像素点代表有文字的像素点

5.1.3最小二乘法

1、图片左右拼接的数学模型

设,A

B 分别表示左右放置的两张图片对应的数字矩阵，定义前一个矩阵的最后一列与后一个矩阵的第一列之间的偏差函数为：

1

(,)i f A B ==

其中，(,72),(,1)A i B i 分别表示矩阵,A B 第72列和第1列的元素。

对于给定的矩阵A ，若存在矩阵B ，使得A 与B 之间的偏差函数(,)f A B 达到最小，则称A 与B 可以匹配，此时A 与B 对应的图片可以左右拼接。

2、图片上下拼接的数学模型

类似地，设,C D 分别表示上下放置的两张图片对应的数字矩阵，定义上面矩阵的最后一行与下面矩阵的第一行之间的偏差函数为：

72

1

(,)j h C D ==

其中，(1980,),(1,)C j D j 分别表示矩阵,C D 第1980行和第1行的元素。 对于给定的矩阵C ，若存在矩阵D ，使得C 与D 之间的偏差函数(,)h C D 达