《向量的加法》ppt课件
合集下载
数学人教A版(2019)必修二6.2.1向量的加法运算(共19张ppt)
Ԧ
A
问题2：结合例1，探究|Ԧ + |，||，
Ԧ
||之间的关系.
如果向量，不共线，如图，三角形两边之和大于第三边，所以
Ԧ
|Ԧ + | < ||
Ԧ + ||.
O
Ԧ
A
Ԧ
B
综上可知，|Ԧ + | ≤ ||
Ԧ + ||，当且仅当，方向相同时等号成
Ԧ
立.
数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和
如图，已知非零向量，，在平面内取任意一点A，作
Ԧ
= ，
Ԧ
= ，则向量叫做与的和，记作
Ԧ
Ԧ + ，即Ԧ + = + =
.
Ԧ
C
Ԧ
Ԧ
A
Ԧ
B
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法，
称为向量加法的三角形法则.
如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力1 与2 的作
结合律呢？
如图，作 = Ԧ ， = ，以AB，AD为邻边作▱，
Ԧ
D
Ԧ
A
C
Ԧ + Ԧ
Ԧ
Ԧ
B
容易发现 = ， = Ԧ ，故 = + = Ԧ + .
又 = + = + Ԧ ，所以Ԧ + = + Ԧ .（交换律）
km/h，同时江水的速度为向东6 km/h.
（1）用向量表示江水速度、船速以及船
实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小（结果
保留小数点后一位）与方向（用与江水速度
间的夹角表示，精确到1°）.
向量加法精选教学PPT课件
即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫
做向量的减法。
2．用加法的逆运算定义向量的减法： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3．求作差向量：
已知向量a、b，求作向量a-b ∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
向量的减法
1“相反向量”的定义：
与a长度相同、方向相反的向量。记作 a
2规定：零向量的相反向量仍是零向量。
(a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向
量。a + (a) = 0 如果a、b互为相反向量， 则a = b, b = a, a + b = 0
3向量减法的定义：向量a加上b的相反向量， 叫做a与b的差。
这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。” 16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔·盖茨。 泰勒牧师讲的故事和比尔·盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了2－8左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大 学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。
b
a
b
a
三角 边形法则 A
特殊情况
a
a
b
b
a b
A
B
C
(2)
a b
CA
B
(3)
对于零向量与任一向量a，有 a+0=0+a=a
做向量的减法。
2．用加法的逆运算定义向量的减法： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3．求作差向量：
已知向量a、b，求作向量a-b ∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
向量的减法
1“相反向量”的定义：
与a长度相同、方向相反的向量。记作 a
2规定：零向量的相反向量仍是零向量。
(a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向
量。a + (a) = 0 如果a、b互为相反向量， 则a = b, b = a, a + b = 0
3向量减法的定义：向量a加上b的相反向量， 叫做a与b的差。
这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。” 16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔·盖茨。 泰勒牧师讲的故事和比尔·盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了2－8左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大 学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。
b
a
b
a
三角 边形法则 A
特殊情况
a
a
b
b
a b
A
B
C
(2)
a b
CA
B
(3)
对于零向量与任一向量a，有 a+0=0+a=a
向量的加法课件(公开课获奖课件)
要点二
性质
数乘满足交换律和结合律，即k*(a+b)=k*a+k*b， (k+l)*a=k*a+l*a。
数乘的几何意义
表示伸缩
数乘可以表示向量在坐标轴上的伸缩，当k>0时，表示 向量在原方向上放大；当k<0时，表示向量在原方向上 缩小。
表示旋转
通过数乘可以将向量绕原点旋转一定的角度，旋转角度 与k的绝对值成正比。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分 力，分力的方向和大小同样可以 通过向量加法得到。
速度与加速度的研究
速度的合成
当物体在多个方向上运动时，其速度可以看 作是各个方向上速度的向量和，即速度的合 成。
加速度的研究
加速度的大小表示速度变化的快慢，方向表 示速度变化的方向，可以通过向量加法来研 究加速度的方向和大小。
交换律是指向量加法的结果不依赖于向量的顺序，即向量加法满足可交换性。
详细描述
交换律是向量加法的基本性质之一，它表明向量加法不具有方向性。无论向量是按什么顺序相加，其 结果都是相同的。例如，向量$vec{A} + vec{B}$和向量$vec{B} + vec{A}$是相等的。
结合律
总结词
结合律是指向量加法的结果不依赖于括 号的位置，即向量加法满足可结合性。
题目2
已知点$O(0,0)$，点$A(3,5)$，点$B( - 2, - 1)$，求 $overset{longrightarrow}{OA} + overset{longrightarrow}{OB}$。
综合练习题
• 总结词：综合运用向量加法的知识解决复杂问题
• 题目1：已知点$A(1,2)$，点$B(3,4)$，点$C(5,6)$，点$D(7,8)$，求证：四边形ABCD是平行四边形。 • 题目2：已知$\overset{\longrightarrow}{a} = (1,2)$，$\overset{\longrightarrow}{b} = (3, - 1)$，
向量加法课件
向量加法的定义
要点一
总结词
向量加法是将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。
要点二
详细描述
向量加法是一种基本的向量运算，其操作方式是将两个向 量首尾相接，形成一个新的向量。设 $overset{longrightarrow}{A}$和 $overset{longrightarrow}{B}$为两个向量，则它们的和 向量$overset{longrightarrow}{C}$可以通过将 $overset{longrightarrow}{B}$的终点与 $overset{longrightarrow}{A}$的起点相连得到。
$overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}$。
进阶练习题
题目5
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (1,0)$， $overset{longrightarrow}{b} = (0,2)$，求 $overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}$的模长。
向量加法的平行四边形法则
总结词
平行四边形法则是向量加法的另一种几 何解释，它通过构造一个平行四边形来 完成向量加法。
VS
详细描述
平行四边形法则要求构造一个平行四边形 ，其中第一个向量的起点是平行四边形的 第一个顶点，第二个向量的起点是平行四 边形的第二个顶点。向量和则是从第一个 向量的起点到平行四边形的对角顶点的有 向线段。
$overset{longrightarrow}{b} = (4,1)$，求
$overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}$。
向量的加法PPT
$。
02
向量加法的运算规则
三角形法则
总结词
三角形法则是指通过连接两个向量的起点和终点，形成一个向量三角形，然后根据三角形边长的关系计算向量和 的方法。
详细描述
三角形法则是向量加法的基本运算规则之一。通过连接两个向量的起点和终点，形成一个向量三角形，根据三角 形边长的关系，可以计算出两个向量的和。具体来说，如果向量A的起点是M，终点是N，向量B的起点是N，终 点是P，那么向量A和向量B的和向量就是从M到P的向量。
向量的加法
目录
• 向量加法的定义 • 向量加法的运算规则 • 向量加法的应用 • 向量加法的注意事项
01
向量加法的定义
定义
两个向量$vec{A}$和$vec{B}$的加法 定义为$vec{A}+vec{B}$，其结果是 一个向量$vec{C}$，记作 $vec{C}=vec{A}+vec{B}$。
VS
向量加法的结果向量$vec{C}$的长度 和方向由$vec{A}$和$vec{B}$决定， 具体地， $|vec{C}|=sqrt{|vec{A}|^2+|vec{B}| ^2+2vec{A}cdotvec{B}}$，方向与 $vec{A}$和$vec{B}$的夹角不超过 $180^circ$。
03
向量加法的应用
物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法常用于表示力的合成与分解。例如，一个物体受到多个力 的作用，可以通过向量加法将它们合成一个总力，或者将一个力分解为多个分 力。
速度和加速度的叠加
在运动学中，向量的加法可以用于表示速度和加速度的叠加。例如，一个物体 在多个方向上的运动，可以通过向量加法得到其合速度和合加速度。
02
向量加法的运算规则
三角形法则
总结词
三角形法则是指通过连接两个向量的起点和终点，形成一个向量三角形，然后根据三角形边长的关系计算向量和 的方法。
详细描述
三角形法则是向量加法的基本运算规则之一。通过连接两个向量的起点和终点，形成一个向量三角形，根据三角 形边长的关系，可以计算出两个向量的和。具体来说，如果向量A的起点是M，终点是N，向量B的起点是N，终 点是P，那么向量A和向量B的和向量就是从M到P的向量。
向量的加法
目录
• 向量加法的定义 • 向量加法的运算规则 • 向量加法的应用 • 向量加法的注意事项
01
向量加法的定义
定义
两个向量$vec{A}$和$vec{B}$的加法 定义为$vec{A}+vec{B}$，其结果是 一个向量$vec{C}$，记作 $vec{C}=vec{A}+vec{B}$。
VS
向量加法的结果向量$vec{C}$的长度 和方向由$vec{A}$和$vec{B}$决定， 具体地， $|vec{C}|=sqrt{|vec{A}|^2+|vec{B}| ^2+2vec{A}cdotvec{B}}$，方向与 $vec{A}$和$vec{B}$的夹角不超过 $180^circ$。
03
向量加法的应用
物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法常用于表示力的合成与分解。例如，一个物体受到多个力 的作用，可以通过向量加法将它们合成一个总力，或者将一个力分解为多个分 力。
速度和加速度的叠加
在运动学中，向量的加法可以用于表示速度和加速度的叠加。例如，一个物体 在多个方向上的运动，可以通过向量加法得到其合速度和合加速度。
向量的加法运算及其几何意义课件
在解析几何中，向量加法可以用于线性组合的计算。线性组 合是指一组向量的加权和，即$overset{longrightarrow}{D} = lambdaoverset{longrightarrow}{A} + muoverset{longrightarrow}{B}$，其中$lambda$和$mu$ 为实数。线性组合在解决实际问题中具有广泛的应用。
应用拓展
随着科技的进步，向量加法的应用领域将不断拓展，如人工智能、信号处理、图像处理等，为解 决实际问题提供更多有效的方法。
算法优化
随着计算技术的发展，向量加法的算法将不断优化，提高计算效率和精度，为相关领域的研究和 应用提供更好的支持。
THANKS
感谢观看
向量的加法运算及其几何意义
• 向量加法的定义与性质 • 向量加法的几何意义 • 向量加法的运算规则 • 向量加法的应用实例 • 总结与展望
01
向量加法的定义与性质
向量加法的定义
向量加法是由平行四边形法则或三角形法则定义的。在二维空间中，向量加法可以通过连接两个向量 的起点和终点，并绘制一个平行四边形来完成。在三维空间中，向量加法可以通过连接两个向量的起 点和终点，并绘制一个三角形来完成。
物理应用
向量加法在物理中有广泛的应用， 如速度、加速度、力的合成等， 通过向量加法可以更直观地理解 物理现象。
解析几何
向量加法在解析几何中也有重要 的意义，它可以用来描述平面或 空间中的点、线、面等几何对象 的位置和方向。
向量加法的未来发展
理论完善
随着数学和物理学等学科的发展，向量加法的理论体系将进一步完善，为相关领域的研究提供更 坚实的基础。
算。
03
向量加法的运算规则
《向量的加法》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
从左边往右边看，等式左边的两个向量，其中一个向量的终点与另外一个向量 的始点是一样的，而右边的向量相当于消去了这个点；从右边往左边看，相当 于是引入了个新的字母，而且引入的这个新字母是任意的．
新知探究
值得注意的是，对任意向量a，有 a 0 0 a a，向量a，b 的模与a b的模之间满 足不等式|| a | | b || ≤| a b | ≤| a | | b | ．
向量的加法
学习目标
1 理解向量加法的概念 2 掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会作
两个向量的和向量 3 理解向量的加法交换律和结合律，并能运用它们进行
向量的计算 4 掌握有特殊位置关系的两个向量的和
整体概览
问题1 阅读教材相应内容，思考下列问题： （1）本节将要研究哪类问题？ （2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？
如图所示，平面上任意给定两个不共线的向量 a与 b，在该平面内任取一点A，作 AB a，
AC b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量 AD，因为 BD AC，因此
AD AB BD AB AC ．
C
D
b
b a+b
这种求两向量和的作图方法也常称为向 量加法的平行四边形法则．
B
在Rt△ABC中，由勾股定理，得| BC |2＝| DB＋DA |2＋|DC＋DA|2．
D
C
敬请各位老师提出宝贵意见！
（1）本节主要研究向量的加法．
（2）通过第一节向量的概念，让学生认识了向量，本节延续上一节的要求，开始向量的运 算，从加法运算到后面的减法、数乘运算．加法运算属于向量运算的第一节，为后面后续学 习打好基础，做好铺垫．
新知探究
问题2 如图所示，假设某人上午从点A到达了点B，下午从 点B到达了点C． （1）分别用向量表示出该人上午的位移、下午的位移以及这 一天的位移；
新知探究
值得注意的是，对任意向量a，有 a 0 0 a a，向量a，b 的模与a b的模之间满 足不等式|| a | | b || ≤| a b | ≤| a | | b | ．
向量的加法
学习目标
1 理解向量加法的概念 2 掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会作
两个向量的和向量 3 理解向量的加法交换律和结合律，并能运用它们进行
向量的计算 4 掌握有特殊位置关系的两个向量的和
整体概览
问题1 阅读教材相应内容，思考下列问题： （1）本节将要研究哪类问题？ （2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？
如图所示，平面上任意给定两个不共线的向量 a与 b，在该平面内任取一点A，作 AB a，
AC b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量 AD，因为 BD AC，因此
AD AB BD AB AC ．
C
D
b
b a+b
这种求两向量和的作图方法也常称为向 量加法的平行四边形法则．
B
在Rt△ABC中，由勾股定理，得| BC |2＝| DB＋DA |2＋|DC＋DA|2．
D
C
敬请各位老师提出宝贵意见！
（1）本节主要研究向量的加法．
（2）通过第一节向量的概念，让学生认识了向量，本节延续上一节的要求，开始向量的运 算，从加法运算到后面的减法、数乘运算．加法运算属于向量运算的第一节，为后面后续学 习打好基础，做好铺垫．
新知探究
问题2 如图所示，假设某人上午从点A到达了点B，下午从 点B到达了点C． （1）分别用向量表示出该人上午的位移、下午的位移以及这 一天的位移；
《向量的加减法》课件
03 向量的数乘
数乘的定义
定义
对于向量$overset{longrightarrow}{a}$ 和实数$k$，数乘 $koverset{longrightarrow}{a}$是一个 向量，其长度为 $|k||overset{longrightarrow}{a}|$，方 向与$overset{longrightarrow}{a}$相同 或相反，取决于$k$的正负。
向量加法的性质
向量加法满足结合律
即$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
谢谢聆听
02
当$k < 0$时，$koverset{longrightarrow}{a}$表示向 量$overset{longrightarrow}{a}$按比例缩小$-k$倍。
03
当$k = 0$时，$0overset{longrightarrow}{a} = mathbf{0}$，即零向量。
数乘的性质
箭头表示法
详细描述
向量通常用带箭头的线段表示，箭头指向代表方向，长度代表大小。
向量的模
总结词
向量的长度
详细描述
向量的模表示向量的长度，记作$|overrightarrow{AB}|$，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$。
02 向量的加法
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为 共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，连接第一个向 量的终点与第二个向量的起点的向量。
必修4课件2.2.1向量的加法
b
O
C
以OA,OB为邻边作 A 平行四边形OACB, 则以O为起点,C为终点的向量OC就是a和b 的和. 这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四 边形法则. 平行四边形法则：起点相同连对角. ③规定: a + 0 = 0 + a = a.
a
作OA=a
, OB=b ,
向量的加法：
1.求两个向量和的运算叫做向量的加法.
A
a
b a b
B
a+b
O
首 尾 顺 次 相 连
根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为
向量加法的三角形法则。
①向量加法的三角形法则: “首尾相接，首尾连”
AB + BC = AC .
②向量加法的平行四边形法则: B 已知非零向量a ,b, a 在平面上任取一点O, b
课后思考
如图，一艘船从 A点出发能以2 3km/h的速度垂直 向对岸的方向行驶，同时河水以２km/h的速度 向东流,求船的航向及速度大小。
C
A
B
课堂小结：
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
a b b a; (a b) c a (b c )
数学应用
例2 如图，一艘船从 A点出发以 2 3km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶，同时河水以２km/h的速度向东流, 求船实际行驶速度 的大小与方向.
解:如图,设用向量 AC表示船向垂直于对岸
的速度,用向量AB 表示水流的速度
C
D
以AC,AB为邻边作平行四边形,则 AD
人教版数学必修第二册6.2.1向量的加法运算课件
________，a＋b的方向是________．
4．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
(1) ＋ ；
＋ =
(2) ＋ ；
= = =
＋ = + =
本课小结
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是
依题意，有||＋||＝800＋800＝1600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝
2
+
2
= 8002 + 8002 ＝800 2(km)．
跟踪训练
2．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行
800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞
任意的组合来进行．
(2)应用原则
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，
通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
跟踪训练
1．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于( D )
A.
B.
C.
D.
原式= (＋)＋(＋ ＋)
= ＋0
(3)向量加法的运算律有哪两条？
(4)|a＋b|，|a|＋|b|，|a|－|b|三者之间的大小有何关系？
课前小测
1．下列各式不一定成立的是( D )
A．a＋b＝b＋a
B．0＋a＝a
C．＋＝
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
2. ＋ ＋ 等于( C )
A.
B.
a
O
b
A
B
✓ 第一作向量 ＝a，
甲
✓ 然后作向量 ＝b，
4．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
(1) ＋ ；
＋ =
(2) ＋ ；
= = =
＋ = + =
本课小结
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是
依题意，有||＋||＝800＋800＝1600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝
2
+
2
= 8002 + 8002 ＝800 2(km)．
跟踪训练
2．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行
800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞
任意的组合来进行．
(2)应用原则
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，
通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
跟踪训练
1．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于( D )
A.
B.
C.
D.
原式= (＋)＋(＋ ＋)
= ＋0
(3)向量加法的运算律有哪两条？
(4)|a＋b|，|a|＋|b|，|a|－|b|三者之间的大小有何关系？
课前小测
1．下列各式不一定成立的是( D )
A．a＋b＝b＋a
B．0＋a＝a
C．＋＝
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
2. ＋ ＋ 等于( C )
A.
B.
a
O
b
A
B
✓ 第一作向量 ＝a，
甲
✓ 然后作向量 ＝b，
平面向量的加法PPT课件
04Biblioteka 向量加法的应用解决物理问题
力的合成与分解
通过向量加法，可以计算多个力的合 力或分力，从而解决与力相关的物理 问题。
速度和加速度的合成
在运动学中，向量加法用于计算物体 在多个方向上的速度和加速度，以解 决运动问题。
解决数学问题
向量模的计算
向量加法可以用于计算向量的模，即向量的 长度或大小。
02 向量加法的坐标表示
坐标表示的定义
总结词
坐标表示是平面向量加法中的一种重要方法，通过坐标系将向量表示为坐标形式 ，进而进行向量的加法运算。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量$overrightarrow{AB}$可以表示为从原点$O$ 到点$B$的有向线段，记作$(x_2-x_1, y_2-y_1)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$ 分别是点$A$和点$B$的坐标。
结合律
总结词
向量加法的结合律是指向量的加法满足 结合性，即改变向量的加法括号，结果 不变。
VS
详细描述
结合律也是向量加法的基本性质之一，表 示向量加法不依赖于括号的组合方式。设 $vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$为任意 三个向量，则有$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$。
坐标表示的几何意义
总结词
坐标表示不仅将向量数量化，还揭示了向量的方向和大小。
详细描述
在坐标系中，向量的坐标表示形式不仅包含了向量的长度信 息（即模长），还包含了向量的方向信息。例如，向量$(3, 4)$和$(-3, -4)$的模长相等，但方向相反。
坐标表示的性质
力的合成与分解
通过向量加法，可以计算多个力的合 力或分力，从而解决与力相关的物理 问题。
速度和加速度的合成
在运动学中，向量加法用于计算物体 在多个方向上的速度和加速度，以解 决运动问题。
解决数学问题
向量模的计算
向量加法可以用于计算向量的模，即向量的 长度或大小。
02 向量加法的坐标表示
坐标表示的定义
总结词
坐标表示是平面向量加法中的一种重要方法，通过坐标系将向量表示为坐标形式 ，进而进行向量的加法运算。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量$overrightarrow{AB}$可以表示为从原点$O$ 到点$B$的有向线段，记作$(x_2-x_1, y_2-y_1)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$ 分别是点$A$和点$B$的坐标。
结合律
总结词
向量加法的结合律是指向量的加法满足 结合性，即改变向量的加法括号，结果 不变。
VS
详细描述
结合律也是向量加法的基本性质之一，表 示向量加法不依赖于括号的组合方式。设 $vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$为任意 三个向量，则有$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$。
坐标表示的几何意义
总结词
坐标表示不仅将向量数量化，还揭示了向量的方向和大小。
详细描述
在坐标系中，向量的坐标表示形式不仅包含了向量的长度信 息（即模长），还包含了向量的方向信息。例如，向量$(3, 4)$和$(-3, -4)$的模长相等，但方向相反。
坐标表示的性质
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北 Ｂ
|A C | |O B =| 3|F 02N| .由勾股定理得
F2
|F | |O C ||O A |2|A C |24 0 23 0 2
F
5 0 (N ).
θ
设合力 F 与力 F的1 夹角为θ，则
O
F1
C Ａ东
tanθ|A C||F2所|以3 θ0 ≈.7357. °.
答：合|O 力A 大| 小|F1 为| 54 0N，方向精为选课东件偏北37°.
精选课件
20
3.试用向量方法证明：对角线互相平分的四 边形必是平行四边形.
在Rt△ADC中,ADC90,|DC|60 nmile，
所以|AC| |AD|2|DC|2
(20 3)2602 40 3(nmile).
因为
北 C
| AC|2| AD|,
所以CAD60.
答: 轮船此时位于A港东偏北 60°，且距A港403 n m精选il课e件的 A C处.
B30D东 Nhomakorabea13
探究点3 向量加法的运算律
O
v2
B
精选课件
17
在Rt△OBC中，BC =v1 3.46 km / h， OB =v2 2.0 km / h，
所以 OC
2
2
OB BC
3.462 2.02 4.0（km / h）.
因为tanBOC= v1 1.73,所以BOC 60 . v2
答：小船实际的航行速度的大小约为4.0 km / h， 方向与水流方向约成60 角.
16
例3 在小船过河时,小船沿垂直河岸方向行驶的速度
为v1=3.46 km/h,河水流动的速度v2=2.0 km/h.试求
小船过河实际航行速度的大小和方向.
C
解：如图，设 O A表示小船垂直于河 A
岸行驶的速度, O B表示水流的速度，
以OA,OB为邻边作□OABC，O C则 就v1
是小船实际航行的速度.
精选课件
18
１.如图，在正六边形ABCDEF中，B A C D E F （Ｄ） A．0 B．B E C．A D Ｄ．C F
D
E
F C
B
A
精选课件
19
2.下列非零向量的运算结果为零向量的是( D ) A.BC＋AB B.P M ＋ M N ＋ M P C.B C ＋ C A ＋ A B ＋ C D D. M P ＋ G M ＋ P Q ＋ Q G
8
探究点2 向量加法的平行四边形法则
思考：类比位移的合成方法，作两向量的和还有
C
没有其他的方法呢？
B
a b
D A
作法：
作 A B a,A D b, 以AB，AD为邻边 作平行四边形，则 ACa+b
精选课件
9
思考：这种方法的作图关键点是什么呢？ 提示：共起点.
上述这种方法叫作向量求和的平行四边形法则.
水平运动的分位移AC
D
B
与竖直运动的分位移AD
的合位移。
A
C
精选课件
3
由分位移求合位移,称为位移的合成.
在上一节课中我们知道位移是向量，因此位移合 成就是向量的加法，那么向量的加法怎么体现？ 符合哪些规律呢？这就是我们今天要探究的内容.
精选课件
4
1.掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和 平行四边形法则求几个向量的和向量.（重点) 2.能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练 运用它们进行向量计算. （重点） 3.向量加法的概念和向量加法的法则及运算律.（难点）
精选课件
10
提升总结：三角形法则和平行四边形法则的使用范 围. （1）三角形法则适用于任意两个向量的加法; （2）平行四边形法则适用于不共线的两个向量的加 法.
精选课件
11
例１ 轮船从Ａ港沿东偏北 30°方向行驶了40 n mile （海里）到达 B 处,再由B处沿正北方向行驶40 n mile 到达 C 处.求此时轮船与A港的相对位置.
A2
A3 A1A2+A2A3= __A_1_A_3__
A1 A2
A3
A1A2+A2A3+A3A4=__A_1_A_4__
A1
A4
A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+ … +An-2An-1+An-1An = A 1A n
多边形法则：n个首尾顺次相接的向量的和等于折
线起点到终点的向量.
精选课件
15
数的加法满足交换律与结合律 ，即对任意a，b∈R，有
a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）.任意向量a , b 的加法是
否也满足交换律和结合律？
D
D
C
A
B
A
C
B
（ a + b ） + c = a + （ b + c ）
向量的加法满足交换律
和结合律 精选课件
14
思考：能否将它推广至多个向量的求和？
精选课件
5
探究点1 向量加法的三角形法则 既然向量的加法可以类比位移的合成，想一想，求 两个向量的和是否也可以类比前面位移的合成呢？
如下图，已知向量a , b , 如何求这两向量的和？
a b
精选课件
6
a b
A.
作法：1.在平面内任取一
点A.
a,
b
B a
b
C
ab
再作向量 AC
类比前面的广 州至北京的飞 机位移的合成
例2 两个力 F 1 和 F 2 同时作用在一个物体上,其中 F 1 的大小 为40 N,方向向东,F 2 的大小为30 N,方向向北,求它们的合力.
解：如图，O A表示
F
，
1
表O B示
.以F O2 A，OB为邻边作
□OACB，则O C 表示合力F .
在Rt△OAC中|O ，A||F1=| 40N，
2.1 向量的加法
陆川县实验中学 张艺耀
精选课件
1
1.飞机从广州飞往上海,再从上海 北京 飞往北京,这两次位移的结果与飞
机从广州直接飞往北京的位移相同
吗？
上海
相同
我们把后面这样一次位移叫作前
广州
面两次位移的合位移.
精选课件
2
2.在大型生产车间里,一重物被天车从A处搬运到B处.
它的实际位移AB，可以看作
解：如图，设AB,BC分别 表示轮船的两次位移,
则AC表示轮船的合位移,
AC AB BC.
精选课件
北C
B
30
A
D 东 12
在 R t△ A D B 中 , A D B 9 0 , D A B 3 0 ,|A B | 4 0n m ile ，
所 以 |D B | 2 0 n m ile ,|A D | 2 03 n m ile
这种作法叫作向量求和的三角形法则.
讨论：作图的关键点
首尾顺次相连.
在哪？
精选课件
7
思考：当向量a，b是共线向量时，a+b又如何作？
(1)同向
a
(2)反向
a
b
b
a
b
A
B
C
C
A
B
a b A B B C = A C a b A B B C = A C
(3)规定：a 0 0 a a .
精选课件