初中数学教程方差

甲 74 74 75 74 76 73 76 73 76 75 78 77 74 72 73
乙 75 73 79 72 76 71 73 7278 74 77 78 80 71 75 根据上面的数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？
x甲 74 74 75 74 72 73 74.7
绩
甲
84
84 84
乙
84
84
90
方差wk.baidu.com
14.4
34
85分以 上的频 率
0.3
0.5
（2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙 两名同学的成绩进行评价
从众数看，甲成绩的众数为84分，乙成绩的众 数是90分，乙的成绩比甲好；
从方差看，s2甲=14.4， s2乙=34，甲的成绩比 乙相对稳定；
从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均 数都是84分，两人成绩一样好；
①数据a1+3，a2 + 3，a3 +3 ，…，an +3的平均数为 x+3， 方差为 y . ②数据a1-3，a2 -3，a3 -3 ，…，an -3的平均数为 x-3 ， 方差为 y .
③数据3a1，3a2 ，3a3 ，…，3an的平均数为 3x ，
方差为 9y .
④数据2a1-3，2a2
方2差x为-3
2：甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将 比赛成绩进行统计后，绘制成图20-2-7、图20-2-8的统 计图
20-2-8
(1)如图所示
(2) x乙 =90分
(3)甲队成绩的极差是18分,乙队成绩的极差是 30分
(4)从平均分看,两队的平均分相同,实力大体相当;从折 线的走势看,甲队比赛成绩呈上升趋势,而乙队比赛成绩 呈下降趋势;从获胜场数看,甲队胜三场,乙队胜两场,甲 队成绩较好.
方差: 设有n个数据x1，x2， …，xn，各数据与
它们的平均数的差的平方分别是(x1－x)2，(x2
－x)2, …,(xn－x)2，我们用它们的平均数,即用
s2=
1 n
[(x1－x)2+(x2－x)2+…+(xn－x)2]
来衡量这组数据的波动大小,并把它叫做这组
数据的方差,计作s2.
方差的作用: 一组数据的方差越大,数据的
分析(1)比较平均成绩高低就是比较甲、乙 两组合格次数的平均数的大小.
(2)比较稳定程度应比较甲、乙两组 的方差或标准差.
所以甲、乙两组的平均成绩一样．
所以甲组成绩比较稳定
• 说明：
• ①平均数是反映一组数据总体趋势的指标， 方差是表示一组数据离散程度的指标，故（2） 中应选用方差．
• ②计算方差的步骤可概括为“先平均，后求 差，平方后，再平均”.
义务教育课程标准实验教科书 八年级下册
人民教育出版社出版
教 学 目 标
重点 难点
运用方差知识，解决实际问题， 知识技能 在解题过程中提高运用数学能
力
过程与方 自主探究、实践解题，会用统 法 计学的知识，分析解决问题。
情感态度 价值观
进一步体会数学应用科学性
计算样本数据方差，并用方差分析问题
用方差来比较分析问题
方差越大，数据波动越大;
方差越小，数据波动越小.
1、求这四组数据的平均数、方差。
数据
平均数 方差
1、2、3、4、5
3
2
11、12、13、14、15
13
2
10、20、30、40、50
30
200
3、6、9、12、15
9
18
2、对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？
_
x 若数据x1、x2、…、xn平均数为 ,方差为S2，则
1、什么叫方差？公式？2、方差的作用是什么？
方差:各数据与它们的平均数的差的平方的平均数.
S2=
1
n
[(x1－x)2＋ (x2－x)2 ＋…＋
(xn－x)2 ]
方差用来衡量一批数据的波动大小 (即这批数据偏离平均数的大小). 方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.
s 性质: (1)数据的方差都是非负数,即 2 0；
从频率看，甲85分以上的次数比乙少，乙的成 绩比甲好。
尝试练习：1、甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每 次射靶的成绩情况如图所示：
（1）填写下表：
平均 数
甲7
乙
方差 中位数 命中9环及9环 以上的次数
1.2
5.4
（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩更稳定）
15
x乙 75 73 79 72 71 75 74.9
15
s甲2
1 15
74 74.72 74 74.72 73 74.72
2.62
s乙2
1 15
75 74.92 73 74.92 75 74.92
8.2
s s 因为
2 甲
2 乙
，所以选择甲厂鸡腿加工。
从极差看,甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动小,甲队 成绩较稳定.
综上所述,选派甲队参赛更能取得好成绩
练习
某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎，为了保持公司信誉，公司严把鸡 腿的进货质量，现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两 家鸡腿的价格相同，品质相近，快餐公司决定通过检查鸡腿的重量来确定 选购哪家公司的鸡腿，检查人员以两家的鸡腿中各抽取15个鸡腿，记录它 们的质量如下（单位：g）：
x1,x2 ,x3 , ,xn下列结论正确的是（ A ）
A、平均数是98，方 差是2； B、平均数是100， 方差是2； C、平均数是98，方 差是0； D、平均数是100， 方差是0；
探究：1 甲、乙两小组各10名学生进行 英语口语会话，各练习5次，他们每位同 学的合格次数分别如下表：
(1) 哪组的平均成绩高？ (2) 哪组的成绩比较稳定？
复习回忆
1.何为一组数据的极差? 极差反映了这组数据哪方面的特征?
答: 一组数据中的最大值减去最小值所得的差叫 做这组数据的极差，极差反映的是这组数据 的变化范围或变化幅度．
2、样本9.9,10.3,10.3,9.9,10.1的极差是 0.4.
3、一组数据3、-1、0、2、x的极差是5，
且x为自然数，则x= 4或-2 .
-.
-43y，2a3
-3
，…，2an
-3的平均数为
，
• 如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非 零常数，那么这组数据的( )
A．平均数和方差都不变 C B．平均数不变，方差改变
• C．平均数改变，方差不变
• D．平均数和方差都改变
若样本x1 2,x2 2,x3 2, ,xn 2 的平均数为100，方 差为2，则对于样本
波动越大;方差越小,数据的波动越小.
方差的适用条件: 当两组数据的平均数相等
或相近时,才利用方差来判断它们的波动情
况.
②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好 些）
④从折线图上的两人射击命中环数走势看（分析谁更有潜力）
（1） （2）
平均 数
甲7 乙7
方差 中位数 命中9环及9环 以上的次数
1.2 7
1
5.4
7.5
3
甲的成绩在平均数上下波动，而乙处于上升趋势，从第四次以后就没有 比甲少的情况发生，所以乙较有潜力。
探究2：为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑 知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行10次 测验，成绩（单位：分）如下：
甲的 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84 成绩
乙的 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78 成绩
（1）填写下表：
同学 平均成 中位数 众数
(1)数据x1±b、x2±b、…、xn±b
_
的平均数为 x b , 方差为S2
_
a x (2)数据ax1、ax2、…、axn的平均数为
,
方差为a2S2
(3)数据ax1±b、ax2_±b、…、axn±b
的平均数为a x b , 方差为a2S2
已知数据a1，a2，a3，…，an的平均数为x，方差为y, 则
(2)当且仅当每个数据都相等时,方差为零,反
过来,若 s2 0，则 x1 x2 xn.
3、计算方差的步骤是什么？
方差:各数据与它们的平均数的差的平方的平均数。
S2=
1
n
[(x1－x)2＋
(x2－x)2
＋…＋
(xn－x)2 ]
❖计算方差的步骤可概括为：
“先求平均数，再套用公式”.
方差用来衡量一批数据的波动大小.(即这批数据 偏离平均数的大小).