概率论与数理统计练习题参考答案(2)

杭州师范大学《概率论与数理统计 》练习题（2）参考答案

命题教师 杨益民

一、单选题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填入题后的括号内。每小题5分，共30分。）

一、填空（共30分，每空格5分）

1．两封信随机地投入到四个邮筒，则第一个邮筒内只有一封有信的概率是： ( B ) A.0．25 B.0.375 C.0.45 D.0.98

2．袋内装有两个5分、三个2分、五个1分的硬币，任意取出5个，求总数不超过1角的概率。 ( B )

A.0．25

B.0.5

C.0.45

D.0.6

3．有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到黑球的概率。 ( A ) A.7

12 B.0.3 C.0.45 D.0.55 4．已知ξ～(){

(0)0x c e x a x λλλϕ->>=，，其它

则常数c 的值是 ( A )

A.a e λ

B.1

C.2

D.

12

5、已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常生产情况下服从正态分布，其方差

220.108σ=。现在测定了9炉铁水，其平均碳含量为4.484。，若要求有95%的可靠性，则该厂铁水平均碳含量的置信区间是 ( A )

A.4.484 1.96 4.484 1.96μ<<+

B. 4.484 2.58 4.484 2.58μ<<+

C. 22

4.484 1.96 4.484 1.96μ-

<<+

D. 22

4.484 2.58 4.484 2.58μ<<+

6.某商店为了了解居民对某种商品的需要，调查了100家住户，得出每户每月平均需要量为10kg,方差为9。如果这个商店供应1000户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计（α＝0.01）,并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以0.99的概率满足需要。（ B ）

A.(10 1.96,10 1.96)-+

B. (10 2.58,10 2.58)

C. (10 1.96,10 1.96)-+

D. (10 2.58,10 2.58)

二、名词解析 (每小题5分，共10分。) 7．贝叶斯定理: 如果事件A 1,A 2,构成一个完备的事件组，并且都具有正概率，

则对任何一个事件B,有：

()()()

()()

1

m i m n

i

i

i P A P B A P A B P A P B A ==

∑

8．随机变量序列{}

n ξ依概率收敛于a 。

若存在常数a ，使对任何0,ε>有{}lim 1,n n P a ξε→∞

-<=则称随机变量序列{}

n ξ依概率收敛于a 。

三、填空题（每空4分，共16分。）

9．若ξ有概率密度：

()2

x x x ϕκ 0≤≤={0 其 它

则系数k= 1

2

- 10、设随机变量ξ()2,N μσ,则ξμησ

-=

N(0,1) 。

11、设ξ是,n p 的二项分布的随机变量，则D ξ=(1)np p - 。 12、设ξ是参数为λ的普哇松分布则：E ξ= λ ,D ξ＝λ 。

四、计算题（每小题8分，共32分。） 13．甲、乙、丙3部机器独立工作，由一个工人照管，某段

时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9、0.8及0.85。求在这段时间内有机器需要工人照管的概率以及机器因无人照管而停工的概率。

解：用事件A 、B 、C 分别表示在这段时间内机器甲、乙、丙不需要工人照管。依题意，A 、B 、C 互相独立，并且：

P(A)=0.9 P(B)=0.8 P(C)=0.85 (2分) P ()ABC =1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1-0.612=0.388 (2分) P ()()()()()

2AB CB AC P AB P CB P AC P ABC ++=++- (2分)

=0.1⨯0.2+0.2⨯0.15+0.1⨯0.15-2⨯0.1⨯0.2⨯0.15=0.059 (2分)

14、制造一种零件可采用两种工艺，第一种工艺有三道工序，每道工序的非品率分别为0.1、0.2、0.3；第二种工艺有两道工序，每道工序的废品率都是0.3;如果用第一种工艺，在合格零件中，一级品率为0.9;而用第二道工艺，在合格零件中一级品率为0.8,试问哪一种工艺能够保证得到一级品的概率较大？

解：令事件A 表示“第一种工艺的第道工序出现废品”（＝1、2、3），事件B 表示“第二道工艺的第道工序出现废品”（＝1、2）。事件A 表示“第一种工艺出现合格品”，事件B 表示“第二种工艺出现合格品”，事件C “得到一级品”。显然A 、A 、A 互相独立，B 、B 互相独立。且根据题意有：

P(A 1)=0.1 P(A 2)=0.2 P(A 3)=0.3

P(B 1)=0.3 P(B 2)=0.3 P(C A )=0.9 P(C B )=0.8（2分） 于是有：

()()()()()

1112323P A P A A A P A P A P A ==

=()()11P A -()()21P A -()()31P A -

=()()()10.110.210.30.504---= （ 3分）

()()()()

1122P B P B B P B P B ==

=()()11P B -()()21P B -

=()()10.310.30.49--= （3分） 对于第一种工艺来说：

P(C)=P(A) P(C A )=0.504⨯0.9=0.4536 （2分） 对于第二种工艺来说：

P(C)=P(B) P(C B )=0.49⨯0.8=0.392 （2分） 因此，第一种工艺能够保证得到一级品的概率较大。

15．假设灯泡寿命ξ服从正态分布，标准方差2σ2500=小时，现从中随机抽取25个灯泡检验，得平均寿命500x =小时，试以95％的可靠性对灯泡的平均寿命进行区间估计。

解：设灯泡的平均寿命为，已知，所以。根据题意有灯泡寿命服从正态分布，于是有：

1P X u X u

α

αμα⎛

⎫

<<+

=- ⎪⎝

⎭

（4分） 可知置信度为95％的置信区间是：

()500 1.96, 1.964

80,520

⎛

⎫

= ⎪⎝⎭

（4分） 16、某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布。现对操作工艺进行了某些改进，从中抽取5炉铁水测得含碳量数据220.228S =.若设α＝0.05,据此是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为0.1028? 解：220:0.108;H σ=.如果0H 是正确的，即样本()12,,,n X X X 的函数

()22

210.108n S

χ-=作为统计量于是有样本

来自正态总体N （μ,0.1082）,于是有：