三角形四心的向量性质

三角形“四心”的向量性质及其应用

一、三角形的重心的向量表示及应用

命题一 已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若GA GB GC ++=0．则G 是ABC △的重心．

证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0，所以 ()GA GB GC =-+．以GB ，

GC 为邻边作平行四边形BGCD ，

则有GD GB GC =+，所以GD GA =-．

又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ，

所以BE EC =，GE ED =．所以AE 是ABC △的边BC 的中线． 故G 是ABC △的重心．

点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．

例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =a ，=OB b ，=OC c ，试用a b c ，，表示OG ．

解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点，

⎪⎩

⎪

⎨⎧=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GC

GB GA OG c b a ++=-++∴

而03=-++∴OG c b a 3

c

b a OG ++=

∴ 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．

变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则AD BE CF ++=0． 证明：如图的所示，

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

-=-=-=GC

CF GB

BE GA AD 232323 )(2

3

GC GB GA CF BE AD ++-=++∴

图3

图2

B

C

H

A

图6

0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．．

变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点，

则1

()4PO PA PB PC PD =+++．

证明：

1()2PO PA PC =+，1

()2

PO PB PD =+，

1

()4

PO PA PB PC PD ∴=+++．

点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加

法的平行四边形法则．（2）若P 与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=0．

二、三角形的外心的向量表示及应用

命题二：已知G 是ABC △内一点，满足MC MB MA ==，则点M 为△ABC 的外心。 三、三角形的垂心的向量表示及应用

命题三：已知G 是ABC △内一点，满足GC GB GC GA GB GA ⋅=⋅=⋅，则点G 为垂心。 证明:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得. 即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即

则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理

所以P 为ABC ∆的垂心.

点评：本题将平面向量有关运算、“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识巧妙结合。

变式：若H 为△ABC 所在平面内一点，且2

22222AB HC CA HB BC HA +=+=+ 则点H 是△ABC 的垂心 证明: 2

22

2

BC CA HB

HA -=-

BA CB CA BA HB HA •+=•+∴)()( =•--+BA CB CA HB HA )(得0

即=•+BA HC HC )(0HC AB ⊥∴

同理HB AC ⊥，HA BC ⊥故H 是△ABC 的垂心

四、三角形的内心的向量表示及应用 命题四：O 是内心ABC ∆的充要条件是

|

CB ||

CA |OC |

BC ||

BA |(

OB AC

|

AB |OA =-

⋅=-

⋅=-

⋅

变式1：如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则O 是ABC ∆内心的充要条件是

0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅

变式2：如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是

0OC c OB b OA a =++。

例4（2003江苏）已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，满

足

AC AB OA OP +

+=λ，[)+∞∈,0λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的内心 。

解： 如图AP OA OP +=由已知

AC AB OA OP +

+=λ，

AC AB AP +

=λ ，[)+∞∈,0λ

∴[)+∞∈,0λ

设AD AB =λ

，AE AC =λ

，∴D 、E

在射线AB 和AC 上。

∴AE AD AP += ∴AP 是平行四边行的对角线。又

= ，

∴ADPE 是菱形。∴点P 在EAD ∠ 即CAD ∠ 的平分线上。

故P 点的轨迹一定通过△ABC 的内心。