中职数学5--排列组合和二项式定理二项式定理_
排列组合二项式定理
排列组合和二项式定理一、排列组合1.1 排列排列是指从一组元素中选取一部分进行操作，按照一定的顺序进行排列。
在排列中，每个元素只能使用一次。
例如，从1、2、3这三个元素中选出两个进行排列，可以得到以下6个排列： 12、13、21、23、31、32。
排列的数目可以用符号P表示，表示从n个元素中选取r 个进行排列。
排列数的计算公式如下所示： P(n, r) = n! / (n - r)!其中，!表示阶乘，例如4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。
1.2 组合组合是指从一组元素中选取一部分进行操作，不考虑元素的顺序。
与排列不同，组合中的元素只有选择与不选择两种情况。
例如，从1、2、3这三个元素中选出两个进行组合，可以得到以下三个组合： 12、13、23。
组合的数目可以用符号C表示，表示从n个元素中选取r 个进行组合。
组合数的计算公式如下所示： C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)二、二项式定理二项式定理是代数学中的一个重要定理，用于展开任意幂的二项式。
二项式定理公式如下所示： (a + b)^n = C(n, 0) × a^n × b^0 + C(n, 1) × a^(n-1) × b^1 + C(n, 2) × a^(n-2) × b^2 + … + C(n, n) × a^0 × b^n其中，C(n, r)表示组合数，表示从n个元素中选取r个进行组合。
a和b表示两个变量，n表示幂。
在二项式定理中，展开后的式子包含了各个组合数和变量的乘积，这些乘积的和即为二项式定理的展开结果。
二项式定理在代数学中有着广泛的应用，它可以用于计算各种复杂的代数表达式的展开结果。
二项式定理也是高中数学课程中常见的内容，通过学习二项式定理，可以帮助学生更好地理解代数学中的概念。
排列、组合、二项式定理精选教学PPT课件
数有多少？
5×5=25
练习2
1.某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？
P122
2.某段铁路上有12个车站，问有多少种不同的票价？
C122
3.用3，5，7，9四个数字，一共可组成多少个没有重 复数字的正整数
P41 P42 P43 P44
练习3
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 C150 ；
名称
排列
组合
一个~ ~~数
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
所有排列的个数
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有组合的个数
符号
种数 公式 关系
性质
Pnm
C
m n
Pnm
Pnm
n(n 1) (n m
n! (n m)! Pnn n!
1)
0!
1
排列、组合、二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
二项式定理
排列组合二项式定理
排列组合与二项式定理一、排列与组合简介在概率论和组合数学中，排列和组合是两个重要的概念。
排列和组合通常被用来描述从给定的有限集合中选择若干元素的方式。
排列指的是从一组元素中选择若干不同的元素并按照一定的顺序排列的方式。
对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行排列的方式数目记作P(n, r)。
排列主要有两种情况：1.重复元素情况下的排列，即元素可重复使用。
此时，P(n, r) = n^r.2.不重复元素情况下的排列，即元素不可重复使用。
此时，P(n, r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) = n!/(n-r)!.组合指的是从一组元素中选择若干不同的元素，而不考虑元素的顺序的方式。
对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行组合的方式数目记作C(n, r)。
组合的计算公式为：C(n, r) = n!/[(n-r)!*r!].二、二项式定理的概念与展开二项式定理是高中数学中非常重要的一个定理，也是排列组合理论的重要应用。
它用于展开一个二项式的幂。
二项式定理的公式为：(x+y)^n = C(n,0)x ny^0 + C(n,1)x(n-1)y^1 + C(n,2)x(n-2)y^2 + … + C(n,n-1)x1y^(n-1) +C(n,n)x^0y^n.其中，C(n,r)表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数目。
三、二项式定理的解读与应用二项式定理可以用来求解(x+y)^n的展开式中的各项系数。
在展开式中，每一项的系数就是对应的组合数。
举例说明，当n=3时，展开式为：(x+y)^3 = C(3,0)x3y^0 + C(3,1)x2y^1 + C(3,2)x1y^2 + C(3,3)x0y^3.展开后，得到：(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3x y^2 + y^3.可以看出，展开式中的每一项系数正好是对应的组合数。
二项式定理在概率论、组合数学、代数等领域具有广泛的应用。
中职数学5--排列组合和二项式定理排列定义及排列数公式
教学目标：知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题. 教学重点：排列、排列数的概念 教学难点：排列数公式的推导 教学内容师生互动 设计意图 教学过程：一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法二、讲解新课： 1问题：问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？解决这一问题可分两个步骤：图 1.2一1把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。
中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，师：分类，分步的解决问题的区别？生：应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制师分析：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分复习巩固，为引出排列的概念做准备一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb,共有 3×2=6 种．问题2．从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法；第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4×3×2=24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图1. 2一2 所示．由此可写出所有的三位数：123，124, 132, 134, 142, 143，213，214, 231, 234, 241, 243，312，314, 321, 324, 341, 342，412，413, 421, 423, 431, 432 。
中职数学21.1排列组合与二项式ppt课件
解： ( 3x 3 2)100 的展开式的通项公式为：
Tr1
Cr 100
•
100r
3x •
32
r
100r
r
3 2
•
23
•
Cr 100
•
x100r
100 2
r
,
r 3
r 0，1，2， ，100
均为整数时,T为有理数. 有理项即
r为6的倍数,且0 r 100.
整数次幂项
即r为0, 6,12,,96,展开式中共有17项有理项.
五、二项式定理：
将(a+b)n展开 （a+b）n=(a b)( ab)(ab)
n个
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1 11
2 121
3 1331
4 14641
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
对称性
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
解:（1＋ 1 )4 x
1
C41
(
1 x
)
C42
(
1 x
)2
C43
(
1 x
)3
C44
(
1 x
)4
1
4 x
6 x2
4 x3
1 x4
.
注：1）注意对二项式定理的灵活应用
2）注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为 Cnr ；
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
排列组合与二项式定理知识点精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版排列与组合一、两个根本计数原理：〔排列与组合的根底〕1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有类方法，在第一类方法中有种不同的方法，在第二类方法中有种不同的方法，……，在第类方法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同方法.2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.二、排列与组合〔1〕排列定义:一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定顺序排成一列。
排列数公式：我们把正整数由1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示，即，并规定。
全排列数公式可写成.〔主要用于化简、证明等〕（二）组合定义:一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合；组合数用符号表示组合数公式：变式：组合数的两个性质：1、三、二项式定理1、二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.2、二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+.3、二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数最大.I. 当n 是偶数时，中间项是第12+n 项，它的二项式系数2n n C 最大； II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C 最大.③系数和： 1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n nn n C C C C C C C C。
人教版中职数学(拓展模块)3.1《排列、组合与二项式定理》word教案
排列组合教案第一部分基本内容一．课标要求：1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
二．命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。
排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。
考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测20XX年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。
三．要点精讲1．排列、组合、二项式知识相互关系表2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。
3．排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系mn A =)!(!m n n -=n·(n－1)…(n－m+1)；（3）全排列列：nn A =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别； （2）组合数公式：C n m=)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ；（3）组合数的性质 ①C n m=C nn-m；②rn r n r n C C C 11+-=+；③rC n r=n·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)nC n n=0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n=C n 0a n+C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k+…+C n n b n； （2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k； 6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。
职高数学——排列、组合与二项式定理
计数原理一、高考要求:掌握分类计数原理及分步计数原理,并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题.二、知识要点:1.分类计数原理(又称加法原理):完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法.2.分步计数原理(又称乘法原理):完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有 12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法.三、典型例题: 例1: (1)有红、黄、白色旗子各n 面(n ＞3),取其中一面、二面、三面组成纵列信号,可以有多少不同的信号？(2)有1元、2元、5元、10元的钞票各一张,取其中一张或几张,能组成多少种不同的币值？(1)解 因为纵列信号有上、下顺序关系,所以是一个排列问题,信号分一面、二面、三面三种情况(三类),各类之间是互斥的,所以用加法原理:①升一面旗:共有3种信号;②升二面旗:要分两步,连续完成每一步,信号方告完成,而每步又是独立的事件,故用乘法原理,因同色旗子可重复使用,故共有3×3种信号;③升三面旗:有N =3×3×3种信号,所以共有39种信号.(2)解 计算币值与顺序无关,所以是一个组合问题,有取一张、二张、三张、四张四种情况,它们彼此互斥的,用加法原理,因此,不同币值有N =14C +24C +34C +44C =15(种). 例4: (1)5本不同的书放在3个不同的书包中,有多少种不同的方法？(2)3个旅客在5家旅店住宿,有多少种不同的方法？(1)解 每本书有3种不同方法,共有35=243种.(2)解 每个人有5种选择,共有53=125种.四、归纳小结:两个基本原理的共同点是,都是研究“完成一件事,共有多少种不同的方法”,它们的区别在于一个与“分类”有关,一个与“分步”有关.如果完成一件事有n 类办法,这n 类办法彼此之间是相互独立的,无论哪一种办法中的哪一种都能单独的完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类计数原理;如果完成一件事,需要分成n 个步骤,各个步骤都不可缺少,需要完成所有的步骤才能完成这件事,而完成每一个步骤又各有若干方法,求完成这件事方法的种数,就用分步计数原理.五、基础知识训练:(一)选择题:1.将5封信投入3个邮筒,不同的投法共有( )A.35种B.53种C.3种D.15种2.将4个不同的小球放入3个不同的盒子,其中每个盒子都不空的放法共有( )A.43种B.34种C.18种D.36种3.已知集合M={1,-1,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )A.18B.10C.16D.144.用1,2,3,4四个数字在任取数（不重复取）作和,则取出这些数的不同的和共有( )A.8个B.9个C.10个D.5个(二)填空题:5.由数字2，3，4，5可组成________个三位数,_________个四位数,________个五位数.6.用1，2，3…，9九个数字,可组成__________个四位数,_________个六位数.7.从2，3，5，7这四个数中,取出两数来作假分数,这样的假分数有_____ _个.8.全国移动电话号码从1999年7月22日零时开始升到10位,前四位号码为1390,剩下的位数码从0，1，2，…，9中任取6个数字组成(可以重复),该方案的移动电话用户最多能容纳户.9.商店里有15种上衣,18种裤子,某人要买一件上衣或一条裤子,共有_______种不同的选法.要买上衣、裤子各一件,共有_________种不同的选法.10.现有甲组3人,乙组3人,两组进行乒乓球单打对抗(甲组每人必须和乙组每人赛一场),一共有比赛的场数是 .(三)解答题:11.有不同的数学书11本,不同的物理书8本,不同的化学书5本,从中取出不同学科的书2本,有多少种不同的取法？12.用0，1，2，3，4这5个数字,(1)组成比1000小的正整数有多少种不同的方法?(2)组成无重复数字的三位偶数有多少种不同的方法?13.五封不同的信投入四个邮筒,(1)随便投完五封信,有多少种不同投法?(2)每个邮筒中至少要有一封信,有多少种不同投法?排列一、高考要求:理解排列的意义,掌握排列数的计算公式,并能用它解决一些简单的问题.二、知识要点:1.一般地,从n 个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.如果m ＜n,这样的排列叫做选排列,如果m=n,这样的排列叫做全排列.2.一般地,从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号m n P (或m n A )表示.3.排列数公式:(1)(2)(1)m n P n n n n m =⋅-⋅-⋅⋅-+,其中+∈N n m ,,且m≤n.全排列的排列数等于自然数1到n 的连乘积,这个连乘积叫做n 的阶乘,用n!表示,即!(1)(2)321n n P n n n n ==⋅-⋅-⋅⨯⨯⨯. 排列数公式还可以写成!()!m n n P n m =-.规定0!=1. 三、典型例题: 例: ⑴ 7位同学站成一排,共有多少种不同的排法？解:问题可以看作:7个元素的全排列——77A ＝5040⑵ 7位同学站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法？解:根据分步计数原理:7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040⑶ 7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法？解:问题可以看作:余下的6个元素的全排列——66A =720⑷ 7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解:根据分步计数原理:第一步 甲、乙站在两端有22A 种;第二步 余下的5名同学进行全排列有55A 种,则共有22A 55A =240种排列方法 ⑸ 7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一(直接法):第一步 从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法;第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有55A 种方法 所以一共有25A 55A ＝2400种排列方法.解法二:(排除法)若甲站在排头有66A 种方法;若乙站在排尾有66A 种方法;若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法.所以甲不能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有77A -662A ＋55A =2400种.小结一:对于“在”与“不在”的问题,常使用“直接法”或“排除法”,对某些特殊元素可以优先考虑.(6)7位同学站成一排,甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解:先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有66A 种方法;再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法.所以这样的排法一共有66A 22A ＝1440种.(7) 7位同学站成一排,甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解:方法同上,一共有55A 33A ＝720种. (8) 7位同学站成一排,甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾,有25A 种方法;将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法;最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法.所以这样的排法一共有25A 44A 22A ＝960种方法.解法二:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,若丙站在排头或排尾有255A 种方法,所以丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566=⋅-A A A 种方法.解法三:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有14A 种方法,再将其余的5个元素进行全排列共有55A 种方法,最后将甲、乙两同学“松绑”,所以这样的排法一共有14A 55A 22A ＝960种方法.小结二:对于相邻问题,常用“捆绑法”(先捆后松).(9) 7位同学站成一排,甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一:(排除法)3600226677=⋅-A A A解法二:(插空法)先将其余五个同学排好有55A 种方法,此时他们留下六个位置(就称为“空”吧),再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有26A 种方法,所以一共有36002655=A A 种方法.(10) 7位同学站成一排,甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解:先将其余四个同学排好有44A 种方法,此时他们留下五个“空”,再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A 种方法,所以一共有44A 35A ＝1440种. 小结三:对于不相邻问题,常用“插空法”(特殊元素后考虑).四、归纳小结:1.全排列所有不同的排法所含有的元素完全一样,只是元素排列的顺序不完全相同.2.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型:⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置;⑵某些元素要求连排(即必须相邻);⑶某些元素要求分离(即不能相邻);3.基本的解题方法:⑴有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊元素或特殊位置,称为优先处理特殊元素(位置)法(优限法);⑵某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排列,这种方法称为“捆绑法”;⑶某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将这些不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法”;⑷在处理排列问题时,一般可采用直接和间接两种思维形式,从而寻求有效的解题途径,这是学好排列问题的根基.五、基础知识训练:(一)选择题:1.(96高职-4)12344444P P P P +++等于( )A.421-B.2455P P +C.64D.422.某段铁路共有6个站,共需准备普通客票的种数是( )A.30B.24C.15D.123.有4本不同的书分给4位同学,每人一本,不同的分法有( )A.64种B.24种C.16种D.8种4.5人中选出4人完成4项不同的工作,不同的选法种数为( )A.5B.45C.54D.45A 5.用0,1,2,…,9这十个数字组成的无重复数字的三位数不可能是( )A.299PB.310910P C.33109P P - D.23992P P + 6.从若干个元素中,每次取出2个元素的排列种数为210,则元素的个数是( )A.20B.15C.30D.147.有n(n N +∈)件不同产品排成一排,若其中A 、B 两件产品排在一起的不同排法有48种,则n=( )A.4B.5C.6D.7(二)填空题:8.若2n A =30,则n= .9.已知从n 个不同元素中取出2个元素的排列数等于从n-4个不同元素中取出2个元素的排列数的7倍,则n= .10.从4种蔬菜品种中选出3种,分别种植在不同土质的3块土地上进行试验,共有 种种植方法.11.从6人中选出4人参加4×100米接力赛,甲必须跑第一棒,乙必须跑第四棒,不同的安排方案种数是 .12.某班有3名男同学和4名女同学外出随机站成一排照相,但4名女同学要站在一起,其排法有种 .13.国内某汽车生产厂有六种不同型号的环保型电动汽车参加国际博览会展览,排成一排,其中甲、乙两型号必须相邻的排法总数是(用数字回答) .(三)解答题:14.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上,则共有多少种不同的排法？解法一:(从特殊位置考虑)1360805919=A A 解法二:(从特殊元素考虑)若选:595A ⋅;若不选:69A ,则共有 595A ⋅＋69A ＝136080.解法三:(间接法)=-59610A A 136080 15.⑴八个人排成前后两排,每排四人,其中甲、乙要排在前排,丙要排在后排,则共有多少种不同的排法？略解:甲、乙排在前排24A ;丙排在后排14A ;其余进行全排列55A .所以一共有24A 14A 55A＝5760种方法.⑵不同的五种商品在货架上排成一排,其中a , b 两种商品必须排在一起,而c, d 两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？略解:(“捆绑法”和“插空法”的综合应用)a , b 捆在一起与e 进行排列有22A ;此时留下三个空,将c, d 两种商品排进去一共有23A ;最后将a , b “松绑”有22A .所以一共有22A 23A 22A ＝24种方法.⑶6张同排连号的电影票,分给3名教师与3名学生,若要求师生相间而坐,则不同的坐法有多少种？略解:(分类)若第一个为老师则有33A 33A ;若第一个为学生则有33A 33A ,所以一共有233A 33A ＝72种方法.16.⑴由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的正整数？略解:3255545352515=++++A A A A A⑵由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字,并且比13 000大的正整数？ 解法一:分成两类,一类是首位为1时,十位必须大于等于3有3313A A 种方法;另一类是首位不为1,有4414A A 种方法.所以一共有3313A A 1144414=+A A 个数比13 000大.解法二:(排除法)比13 000小的正整数有33A 个,所以比13 000大的正整数有-55A 33A ＝114个.17.求证:11m m m n n n P mP P -++=.18.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序,除第1个节目和最后一个节目已确定外,4个音乐节目要求排在第2,5,7,10的位置,3个舞蹈节目要求排在第3,6,9的位置,2个曲艺节目要求跑在第4,8的位置,共有多少种不同的排法?组合一、高考要求:理解组合的意义,掌握组合数的计算公式和性质,并能用它解决一些简单的问题.二、知识要点:1.一般地,从n 个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.一般地,从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号m n C 表示.3.组合数公式:(1)(2)(1)!m mn nm m P n n n n m C P m ---+==,其中+∈N n m ,,且m≤n. 组合数公式还可以写成:!!()!m n n C m n m =-. 4.组合数的两个性质:m n m n n C C -=;11m m m n n n C C C -+=+.三、典型例题:例1:100件产品中有合格品90件,次品10件,现从中抽取4件检查.⑴ 都不是次品的取法有多少种？⑵ 至少有1件次品的取法有多少种？⑶ 不都是次品的取法有多少种？解: ⑴ 2555190490=C ;⑵ 13660354101903102902103901104904100=+++=-C C C C C C C C C ;⑶ 39210154901103902102903101904104100=+++=-C C C C C C C C C .例2:从编号为1,2,3,…,10,11的共11个球中,取出5个球,使得这5个球的编号之和为奇数,则一共有多少种不同的取法？解:分为三类:1奇4偶有4516C C ;3奇2偶有2536C C ;5奇1偶有56C所以一共有4516C C +2536C C +23656=C . 例3:现有8名青年,其中有5名能胜任英语翻译工作;有4名青年能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任),现在要从中挑选5名青年承担一项任务,其中3名从事英语翻译工作,2名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法？解:我们可以分为三类:① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作,有2324C C ;② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作,有1334C C ;③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作,有2334C C .所以一共有2324C C +1334C C +2334C C ＝42种方法.例4:甲、乙、丙三人值周,从周一至周六,每人值两天,但甲不值周一,乙不值周六,问可以排出多少种不同的值周表 ？解法一:(排除法)422131424152426=+-C C C C C C解法二:分为两类:一类为甲不值周一,也不值周六,有2414C C ;另一类为甲不值周一,但值周六,有2324C C .所以一共有2414C C +2324C C ＝42种方法.例5:6本不同的书全部送给5人,每人至少1本,有多少种不同的送书方法？解:第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有26C 种方法;第二步将5个“不同元素(书)”分给5个人有55A 种方法.根据分步计数原理,一共有26C 55A ＝1800种方法.变题1:6本不同的书全部送给5人,有多少种不同的送书方法？变题2: 5本不．同的书全部送给6人,每人至多1本,有多少种不同的送书方法？ 变题3: 5本相．同的书全部送给6人,每人至多1本,有多少种不同的送书方法？ 答案:1.1562556=; 2.72056=A ; 3.656=C .例6:身高互不相同的7名运动员站成一排,甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？解:(插空法)现将其余4个同学进行全排列一共有44A 种方法,再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中(但无需要进行排列)有35C 种方法.根据分步计数原理,一共有44A 35C ＝240种方法.例7:⑴ 四个不同的小球放入四个不同的盒中,一共有多少种不同的放法？⑵ 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？解: ⑴根据分步计数原理:一共有25644=种方法.⑵(捆绑法)第一步从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有24C 种方法,第二步从四个不同的盒取其中的三个将球放入有34A 种方法.所以一共有24C 34A ＝144种方法.四、归纳小结:如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,它们是相同的组合;只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.五、基础知识训练:(一)选择题:1.在下列问题中:(1)从1,2,3三个数字中任取两个,可以组成多少个和?(2)从1,2,3三个数字中任取两个,可以组成多少个没有重复数字的两位数?(3)将3个乒乓球投入5个容器,每个容器只能容纳一个乒乓球,问有多少种投法?(4)将3张编号的电影票给三个同学,每人一张,有多少种分法?属于组合问题的是( )A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)2.从10名同学中选出3名代表,所有可能的不同选法种数是( )A.120B.240C.720D.303.(2000-13)凸10边形共有对角线( )A.90条B.70条C.45条D.35条4.某班有50名学生,其中有一名正班长,一名副班长,现选派5人参加一个游览活动,其中至少有一名班长(正、副均可)参加,共有几种不同的选法,其中错误的一个是( )A.n=12C ·448C +22C ·348CB. n=550C -548CC. n=12C ·449CD.n=12C ·449C -348C5.从7名男队员和5名女队员中选出4人进行乒乓球男女混合双打,不同的组队数有( )A.27C ·25CB. 427C ·25CC. 227C ·25CD. A 27C ·25C(二)填空题:6.96979898C C = .7.平面内有12个点,其中任意3点不在同一直线上,以每3点为顶点画三角形,一共可画三角形的个数是 .8.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数中取出2个数,使它们的和是偶数,共有 种选法.9.有13个队参加篮球赛,比赛时先分成二组,第一组7个队,第二组6个队,各组都进行单循环赛(即每队都要与本组其它各队比赛一场),然后由各组的前两名共4个队进行单循环赛决定冠、亚军,共需要比赛的场数是 .10.4个男同学进行乒乓球双打比赛,有 种配组方法. (三)解答题:11.某赈灾区医疗队由4名外科医生和8名内科医生组成,现需从中选派5名医生去执行一项任务.(1)若某内科医生必须参加,而某外科医生因故不能参加,有多少种选派方法？ (2)若选派的5名医生中至少有1名内科和外科医生参加,有多少中选派方法？解: (1)依题意,只须从剩余的10名医生中选出4名医生与内定的一名内科医生组成医疗队.故共有410C =210种选派方法.(2)方法一:5名医生全由内科医生组成,有58C 种方法,故符合题意的方法为512C 58C -=936种; 方法二:我们将内科、外科医生分别当作一组有序实数对的前后两实数,则按题意组队方式可有:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)四种,故共有18C ·44C +28C ·34C +38C ·24C +48C ·14C =736种.12.九张卡片分别写着数字0,1,2,…,8,从中取出三张排成一排组成一个三位数,如果6可以当作9使用,问可以组成多少个三位数？解:可以分为两类情况:① 若取出6,则有)(217171228C C C A +种方法;②若不取6,则有2717A C 种方法.根据分类计数原理,一共有)(217171228C C C A ++2717A C ＝602种方法.13.在产品检验时,常从产品中抽出一部分进行检查,现从10件产品中任意抽3件.(1) 一共有多少种不同的抽法?(2) 如果10件产品中有3件次品,抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3) 如果10件产品中有3件次品,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?排列、组合的应用一、高考要求:熟练应用排列、组合知识解排列组合应用题. 二、知识要点:排列问题与组合问题的根本区别在于,取出元素后是否按一定顺序排列.元素需要按一定顺序排列,属排列问题;不需要考虑元素顺序,属组合问题.三、典型例题:例1:完成下列选择题与填空题:(1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种.A.81B.64C.24D.4(2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( )A.81B.64C.24D.4(3)有四位学生参加三项不同的竞赛,①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有;②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有.解析(1)完成一件事是“分步”进行还是“分类”进行,是选用基本原理的关键.将“投四封信”这件事分四步完成,每投一封信作为一步,每步都有投入三个不同信箱的三种方法,因此:N=3×3×3×3=34=81,故答案选A.本题也可以这样分类完成,①四封信投入一个信箱中,有C31种投法;②四封信投入两个信箱中,有C32(C41·A22+C42·C22)种投法;③四封信投入三个信箱,有两封信在同一信箱中,有C42·A33种投法、,故共有C31+C32(C41·A22+C42C22)+C42·A33=81(种).故选A.(2)因学生可同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将4名学生看作4个“店”,3项冠军看作“客”,每个“客”都可住进4家“店”中的任意一家,即每个“客”有4种住宿法.由分步计数原理得:N=4×4×4=64.故答案选B.(3)①学生可以选择项目,而竞赛项目对学生无条件限制,所以类似(1)可得N=34=81(种);②竞赛项目可以挑学生,而学生无选择项目的机会,每一项可以挑4种不同学生,共有N=43=64(种);③等价于从4个学生中挑选3个学生去参加三个项目的竞赛,每人参加一项,故共有C43·A33=24(种).注本题有许多形式,一般地都可以看作下列命题:设集合A={a1,a2,…,a n},集合B={b1,b2,…,b m},则f:A→B的不同映射是m n,f:B→A的不同映射是n m.若n≤m,则f:A→B的单值映射是:A m n.例2:同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有( )A.6种B.9种C.11种D.23种解法一由于共四人(用1,2,3,4代表甲、乙、丙、丁四人),这个数目不大,化为填数问题之后,可用穷举法进行具体的填写:再按照题目要求检验,最终易知有9种分配方法.解法二记四人为甲、乙、丙、丁,则甲送出的卡片可以且只可以由其他三人之一收到,故有3种分配方式;以乙收到为例,其他人收到卡片的情况可分为两类:第一类:甲收到乙送出的卡片,这时丙、丁只有互送卡片1种分配方式;第二类:甲收到的不是乙送出的卡片,这时,甲收到卡片的方式有2种(分别是丙和丁送出的).对每一种情况,丙、丁收到卡片的方式只有一种.因此,根据乘法原理,不同的分配方式数为３×(1+2)=9.解法三给四个人编号:1,2,3,4,每个号码代表1个人,人与号码之间的关系为一对一的关系;每个人送出的贺年卡赋给与其编号相同的数字作为代表,这样,贺年卡的分配问题可抽象为如下“数学问题”:将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的4个方格里,每格填写一个数字,且每个方格的编号与所填数字都不同的填法共有多少种(也可以说成:用数字1,2,3,4组成没有重复数字的4位数,而且每位数字都不等于位数的4位数共有多少个)？这时,可用乘法原理求解答案:首先,在第1号方格里填写数字,可填上2、3、4中的任一个数,有3种填法;其次,当第1号方格填写的数字为i(2≤i≤4)时,则填写第i种方格的数字,有3种填法;最后,将剩下的两个数填写到空着的两个空格里,只有1种填法(因为剩下的两个数中,至少有1个与空着的格子的序号相同).因此,根据乘法原理,得不同填法:3×3×1=9注本题是“乱坐问题”,也称“错排问题”,当元素较大时,必须用容斥原理求解,但元素较小时,应用分步计数原理和分类计数原理便可以求解,或可以穷举.例3:宿舍楼走廊上有有编号的照明灯一排8盏,为节约用电又不影响照明,要求同时熄掉其中3盏,但不能同时熄掉相邻的灯,问熄灯的方法有多少种？解法一我们将8盏灯依次编号为1,2,3,4,5,6,7,8.在所熄的三盏灯中,若第一盏熄1号灯,第二盏熄3号灯,则第3盏可以熄5,6,7,8号灯中的任意一盏,共有4种熄法.若第一盏熄1号灯,第2盏熄4号灯,则第3盏可以熄6,7,8号灯中的任意一盏.依次类推,得若1号灯熄了,则共有4+3+2+1=10种熄法.若1号灯不熄,第一盏熄的是2号灯,第二盏熄的是4号灯,则第三盏可以熄6,7,8号灯中的任意一盏,共有3种熄法.依次类推得,若第一盏灯熄的是2号灯,则共有3+2+1=6种熄法.同理,若第一盏熄的是3号灯,则共有2+1=3种熄法.同理,若第一盏熄的是4号灯,则有1种熄法.综上所述共有:10+6+3+1=20种熄法.解法二我们可以假定8盏灯还未安装,其中5盏灯是亮着的,3盏灯不亮.这样原问题就等价于:将5盏亮着的灯与3盏不亮的灯排成一排,使3盏不亮的灯不相邻(灯是相同的).5盏亮着的灯之间产生6个间隔(包括两边),从中插入3个作为熄灭的灯——就是我们经常解决的“相邻不相邻”问题,采用“插入法”,得其答案为C63=20种.注解法一是穷举法,将所有可能的情况依次逐一排出.这种方法思路清晰,但有时较繁.。
第11讲 排列组合与二项式定理
第十一讲排列组合与二项式定理考纲要求：1.了解分类技术原理和分步计数原理2.理解排列组合的意义，掌握排列数组合数的计算公式3.会解排列组合的简单应用题4.了解二项式定理内容提要：1．排列的有关定义（1）排列从n个不同元素中，任取()≤个元素，按照一定的顺序排成m m n一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
当m n=时，称排列为全排列。
（2）排列数从n个不同元素中，任取()≤个元素的所有排列的个数，叫m m n做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作mA，特别地，n n A表n示n个不同元素全部取出的排列数。
2．排列数公式（1）阶乘自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n !表示，即n !()()12321n n n =∙-∙-∙∙∙∙. 特别规定0!1=.（1） 排列数公式()()()121m n A n n n n m =⨯-⨯-⨯⨯-+.这里,n m 是正整数，并且m n ≤.其中，公式右边的第一个因数是n ，后面的每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数为1n m -+，共有m 个因数连乘。
排列数公式中，当m n =时，有()()12321nnA n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯. 用阶乘符号，排列数公式还可以改写成()m n n A n m =-!!，特别，当m n =时，()01n n n n n A n n n ====-!!!!!!，即nn A n =!. 三、组合1．组合的有关定义 （1）组合从n 个不同元素中，任取()m m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
（2）组合数从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记作m n C .2．组合数公式()()11mmnnm m n n n m A C m A --+==.! 这里，,n m 是正整数。
并且m n ≤.用阶乘符号，组合数公式还可以改写成()m n n C m n m =-!.!!特别规定01n C =.3．组合数的性质m n mn nC C -=，11m m m n n n C C C -+=+.四、排列、组合的简单应用题排列、组合的应用题大致可以分为三类： 1．不带限制条件的排列或组合题； 2．带限制条件的排列或组合题； 3．排列、组合综合题。
精品教案：排列组合、二项式定理、概率、统计
条件概率：在事件B已 经发生的情况下，计算 事件A发生的概率，即 P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)
04
统计
统计的定义
统计是对数据进 行收集、整理、 分析和解释的科 学
统计方法常用于 研究数据的分布 规律和特征
统计在各个领域 都有广泛应用， 如经济学、社会 学、生物学等
统计的主要目的 是为决策提供数 据支持，帮助人 们做出科学合理 的决策
YOUR LOGO
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汇报人：XX
排列组合在金融领域的应用： 投资组合优化、风险评估、
决策理论等。
排列组合在游戏设计中的应 用：游戏策略、AI算法、 概率计算等。
排列组合的解题技巧
理解概念：排 列组合的概念 是解题的基础， 需要理解并掌
握。
掌握公式：排 列组合的公式 是解题的关键， 需要熟练掌握
并运用。
分类讨论：对 于复杂的问题， 需要进行分类 讨论，将问题 分解成若干个 简单的问题。
统计的公式和定理
内容1：统计的公式和定理 内容2：统计的公式和定理 内容3：统计的公式和定理 内容4：统计的公式和定理
统计的应用
数据分析：对大量数据进行整理、分析和解释，以揭示其内在规律和趋势 预测模型：利用统计方法对未来进行预测和推断，例如市场预测、气象预报等 决策制定：基于统计数据为决策者提供依据，例如制定政策、投资决策等 质量控制：通过统计技术对生产过程进行监控和评估，以确保产品质量符合标准
二项式定理的解题技巧
掌握二项式定理 的基本公式和展 开式
理解各项系数和 字母指数的含义 和作用
掌握二项式定理 的通项公式及其 应用
学会利用赋值法 简化计算和提高 计算效率
03
概率
二项式定理与排列组合的应用知识点总结
二项式定理与排列组合的应用知识点总结在数学中，二项式定理与排列组合是两个重要的概念。
二项式定理是代数中的一项基本定理，而排列组合是组合数学中的重要概念。
本文将对二项式定理和排列组合的应用进行知识点总结。
一、二项式定理二项式定理是数学中的一个重要定理，它是关于二项式与幂的展开公式。
二项式定理的公式表达如下：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示组合数，即从n个元素中选择k个元素的组合数。
组合数的计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)二项式定理给出了二项式的展开公式，使我们可以快速求解幂指数较大的二项式。
其应用广泛，包括代数、概率统计等领域。
二、排列组合排列组合是组合数学中的一个分支，研究的是从给定的元素集合中选取出若干元素，按照一定规则进行排列或组合的方法。
排列和组合的计算公式如下：排列：P(n, k) = n! / (n-k)!组合：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n表示元素的总个数，k表示选取的元素个数。
排列组合在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在概率统计中，排列组合可用于计算事件发生的可能数；在密码学中，排列组合可用于计算密码的破解难度；在传统的魔方游戏中，排列组合可用于计算还原魔方的步骤等。
三、应用举例1. 掷硬币问题：将一枚硬币连续投掷3次，求出正反面出现的不同可能性。
解：根据排列组合的知识，将硬币的正反面看作两个元素，共有2个元素，从中选择3个元素排列，即为排列问题。
根据排列问题的计算公式，可得 P(2, 3) = 2! / (2-3)! = 2。
故，正反面出现的不同可能性为2种。
2. 发牌问题：从一副扑克牌中，随机抽出5张牌，在这5张牌中有几种同花色的可能性？解：根据排列组合的知识，将扑克牌的花色看作4个元素，从4个元素中选取1个元素，即为组合问题。
排列组合、二项式定理
排列组合、二项式定理知识梳理一、两个基本计数原理：1、分类计数原理：完成一件事，有n 类办法,在第一类办法中有m 1种不同的方法,在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
（加法原理）2、分步计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
（乘法原理）二、排列排列：一般地，从n 个不同的元素中取出m （m ﹤n ）个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
注意：1、排列的定义中包含两个基本内容：①“取出元素”；②“按照一定顺序排列”，“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。
2、根据排列的定义，两个排列相同，是指当且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同排列数公式： )!(!)1()2()1(m n n m n n n n A mn-=+-⋅⋅⋅-⋅-⋅= !12)2()1(n n n n A n n =⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅=三、组合组合：一般地，从n 个不同元素中取出m 个不同元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个不同元素的一个组合。
组合数公式： （组合数公式1—适用于计算）（组合数公式2—适用于化简证明） 组合数公式性质：性质1: m n n m nC C -= 性质2:111+++=+k n k n k n C C C四、二项式定理：1、二项式定理 ! )1()2)(1(m m n n n n m m m n m n C +---=A =A ! )(! ! m n m n Cm n -=011222()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b---+=++++++右边的多项式叫做(a +b )n 的二项展开式,其中 C n r a n-r b r 叫做二项展开式的通项，记作T r +1 ,C n r 叫做 二项式系数.2、二项展开式的特点:（1）项数：共n ＋1项（2）指数：a 按降幂排列，b 按升幂排列，每一项中a 、b 的指数和为n（3）系数:第r ＋1项的二项式系数为C n r (r ＝0,1,2,…，n )二、基础自测 1、 8个人排两排，第一排3人，第二排5人，共有___种排法2、设n 为自然数，则=-++-++---n n n k n k n k n n n n C C C C ）（）（12122110 . 3、已知92007200820092009⨯⨯⨯⨯= m A ，则m 的值为3、1211除以100的余数是 .三、典题精析例1（1）三边长分别为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为______（2）在一块并排10垄的田地中选择2龙分别种植A 、B 两种作物，每种作物种一垄，要求两种作物之间间隔不得小于6垄，则不同的种植方法有_______种小结：按元素的性质进行分类，按事件发生的过程分步正确使用两个基本计数原理的前提是要清楚俩个基本计数原理的使用条件，合理进行分类和分步。
中职数学5--排列组合和二项式定理排列组合解题技巧
对甲，乙，丙三人进行全排列。 由分步计数原理可得： A55A33 种不同排法。
（四）不相邻问题——插空法 对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它
元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素 之间及两端的空隙之间插入即可。
例5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻， 分别有多少种站法？
方法二：（直接法） 2A54 A43 A32 2 A21 1 275
解题技巧
（一）特殊元素的“优先安排法”
对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元 素，再考虑其它元素。
例2 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字
的三位数，其中偶数共有（ B ）
A.24
B.30
C.40
D.60
A54 A41 A43 216
（3）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数 字且大于31250的五位数？
分类： A21 A54 A31 A43 A21 A32 1 325
（4）31250是由0，1，2，3，4，5组成的无重复 数字的五位数中从小到大第几个数？
方法一：（排除法） A51 A54 325 275
2(6!25!4!) 1008(种） 一
（三）相邻问题——捆绑法 对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相
邻的元素“捆绑”在一起，看作一个“大”的元 （组），与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组） 内部进行排列。
例4 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻， 分别有多少种站法？
分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，
将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高
若n个不同元素排m个位，a、 A53
2023年职高数学二轮复习——排列、组合、二项式、概率
第十章： 排列、组合、二项式定理及概率一、知识点汇总1、两个计数原理：①分类计数原理（加法原理）：一步到位②分步计数原理（乘法原理）：多步完成2、排列：与所选元素顺序有关。
个数相乘共排列数：m m n m n n n n A )1()2)(1(+---= 123)2)(1(⨯⨯--= n n n A n n 3、组合：与所选元素顺序无关。
组合数：m m m n m n A A C = 210810C C C C m n n m n ==-如：性质：常用方法：（1）捆绑法：相邻问题。
例：5个同学站一排照相，要求甲乙必须相邻，则不同的排法有：4422A A 种。
（2）插空法：不相邻问题。
例：某文艺晚会需排一节目单，其中独唱节目5个，舞蹈节目4个，要求舞蹈不能相邻，有多少种排法？ 4655A A（3）优限法：特殊位置或特殊元素。
例：由0,1,2,3组成没有重复数字的三位数，共有多少个？ 2313A A •4、概率：发生的总数）为事件为总数，其中A m n nm A P (,)(= 5、二项式定理：n n n m m n m n n n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a C b a 02221100)(++++++=+--- ①展开式：共1+n 项；*②通项：m m n m nm b a C T -+=1； *③二项式系数：m n C ；*④系数： 化简完后未知数前面的常数；*⑤二项式系数和：n n n n n n C C C C 2210=+++ ；*⑥系数和：设未知数为1，进行计算。
⑦ 二项式系数最大项出现在中间。
二、题型训练1.某段铁路共有６个站，共需准备普通客票的种数是（ ）。
A. 30B. 24C. 15D. 122.某段铁路共有６个站，有多少种不同的票价（ ）A. 30B. 24C. 15D. 123.从６人中选３人完成三项不同的工作，则不同的选法总数为（ ）。
【人教版】中职数学(拓展模块)：3.1《排列、组合与二项式定理》课件
(2)由组合数的性质可得 ++ = + + =+.
又= , 所以 = + , 即 + = +, 所以 = ， 所以5=x+2,x=3,经检验知x=3.
凡遇到解排列、组合的方程, 不等式问题时，应首先应用性质和 排列、组合的计算公式进行变形与 化简，并注意有关解排列、组合的 方程、不等式问题，最后结果都需 要检验.
设击入黄球x个,红球y个符合要求,
x+y=4
则有 2x+y≥5
x,y∈N*,
x=1 x=2 x=3 x=4 解得
y=3, y=2 , y=1 , y=0.
故共有不同击球方法数为
++
+ =195.
本题需运用不等式的知识，确 定击入黄球与红球的个数，有时则需 利用集合的运算等知识，确定相关元 素的个数，再利用排列或组合的知识 解决方法种数问题.
先排末位共有___ 然后排首位共有___ 最后排其它位置共有___
由分步计数原理得
=288
一.特殊元素和特殊位置优先策略
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问 题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为 主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以 位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再 处理其它位置。若有多个约束条件，往往是 考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。
计数的基本原理
排列
组合
排列数
Pnm公式
组合数
Cnm公式
应用
组合数的 两个性质
本章知识结构
一、两个原理
1.分类加法计数原理 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同 的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第 n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=① 种不m同1+的m2方+m法3＋. …+mn 2.分步乘法计数原理 完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同 的方法,做第2步有m2种不同的方法，……,做第n步有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=② m1·m2·…·mn 种不同的方法.
排列、组合、二项式定理-基本原理
排列、组合、二项式定理-基本原理一、排列排列是组合数学中的一个概念，指的是从一组元素中按照一定的顺序选取若干元素进行排列的方法总数。
在排列中，元素的顺序是重要的，不同的顺序会生成不同的排列。
排列的计算可以采用阶乘来表示。
例如，从3个元素A、B、C中选取2个进行排列，可以有以下6种不同的排列结果： AB、AC、BA、BC、CA、CB排列的计算公式可以表示为： P(n, k) = n! / (n-k)!其中P(n, k)表示从n个元素中选取k个进行排列的方法总数，n!表示n的阶乘。
排列的计算方法可以用于解决很多实际问题，如计算赛事的比赛安排、编码问题等。
二、组合组合是组合数学中的另一个重要概念，指的是从一组元素中选取若干个元素进行组合的方法总数。
在组合中，元素的顺序不重要，相同的元素组合的结果是相同的。
组合的计算可以采用组合数来表示。
例如，从3个元素A、B、C中选取2个进行组合，可以有以下3种不同的组合结果： AB、AC、BC组合的计算公式可以表示为： C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中C(n, k)表示从n个元素中选取k个进行组合的方法总数，n!表示n的阶乘。
组合的计算方法可以应用于解决实际问题，如抽奖问题、分组问题等。
三、二项式定理二项式定理是代数学中的一个基本定理，用于展开两项式的幂。
二项式定理的表述如下：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + … + C(n, n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n其中(a + b)^n表示一个二项式的幂展开结果，C(n, k)表示从n个元素中选取k 个进行组合的方法总数。
二项式定理的展开结果是一系列组合数的线性组合。
二项式定理的应用非常广泛，例如在概率统计中的二项分布、二项树和二项式堆等。
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fient ),式中的Cknankbk叫做二项展开式的通项,用Tk1
表示,即通项为展开式的第k 1项 : Tk1 Cknankbk.
x
1
6
2x
16
x x
1 x3
2x
16
1 x3
2x6
C16 2x5
C26 2x4
C36 2x3
C64 2x2 C56 2x C66
1
x3
64x6 6 32x5 15 16x4 20 8x3
n N .如何证明这个猜想呢?
证明 由于a bn是n个a b相乘,每个a b在相乘 时有两种选择,选取a或b,而且每个a b中的a或b都选
定后,才能得到展开式的一项,因此 ,由分步乘法计数原
理可知,在合并同类项之前,a bn的展开式共有 2n 项,
35 8x3 280x3,
所以展开式的第4项的系数是280.
1 2x7 的展开式的第4 项的二项式系数是
C37 35.一个二项式展开式的某一项的二项 式系数与这一项的系数是两个不同的概念.
2求
x
1
9
的展开式中x3的系数.
x
2
x
1
9
的展开式的通项是
其中每一项都是ankbk (k 0,1, ,n)的形式.
对某个kk 0,1,2, n ,对应的项ankbk 是由n k 个a b中选a,k个a b中选b得到的.由于b选定
后,a的选法也随之确定,因此,ankbk 出现的次数相
当于从n个a b中取k个b的组合数Ckn.这样,a bn
展开式的一项.于是,由分步乘法计数原理,在合并同
类项之前,a b2的展开式共有 2 2 项,而且每一项 都是a2k bk k 0,1,2的形式.
下面我们再来分析一下形如a2kbk的同类项的个数.
当k 0时,a2k bk a2,是由2个 a b中都不选 b, 得到的,相当于从2个a b中取0个b(即都取a)的
组合数C02,因此a2只有一个;
当k 1时,a2k bk ab,是由1个 a b中选 a,另一个 a b中选b得到的.由于b选取定后,a的选定也随之 确定,因此,ab出现的次数相当于从2个a b中取1个
b的组合数,即ab共有C12个;
当k 2 到的,相当于从2个a b中取2个b的组合数C22,因
15 4x2 6 2x 1
64x3
192x2
240x
160
60 x
12 x2
1 x3
.
例2 1求1 2x7的展开式的第4项的系数; 解 11 2x7的展开式的第4项是 T31 C37 173 2x 3 C37 23 x3
此b2只有一个.
由上述分析可以得到: a b2 C02a2 C12ab C22b2.
探究 你能仿照上述过程,自己推导出a b3,a b4
的展开式吗? 从上述对具体问题的分析得到启发,对于任意正整数
n,我们有如下猜想:
a b n Cn0an C1nan1b1 Cknankbk Cnnbn
二项式定理
二项式定理研究的是a bn的展开式. 那么,a bn的展开式是什么呢? 我们
在 计 数 原 理 这 一 章 来 学习 它, 说 明 它 的 展开式与分类加法计数原理、分步乘 法计数 原理以及排列、组合的知识有 关.那么,如何把二项展开式与这些知识 联系起来呢?
探究 如何利用两个计数原理得到a b2,a b3, a b4的展开式?你能由此猜想一下a bn的展开
的展开式中,ankbk共有Ckn个,将它们合并同类项,就 可以得到二项展开式 :
a b n Cn0an C1nan1b1 Cknankbk Cnnbn
a b n Cn0an C1nan1b1 Cknankbk Cnnbn 上述公式叫做二项式定理binomial theorem.
式是什么吗?
在初中,我们用多项式乘法法则得到了a b2的展开 式 a b2 a ba b a a a b b a b b
a2 2ab b2.
从上述过程可看到,a b2是 2个a b相乘,根据多 项式乘法法则,每个 a b 在相乘时有两种选择,选 a或选b,而且每个 a b中的a或b选定后,才能得到
x
Cr9x9r
1
r
x
1 r Cr9x92r .
依题意,得9 2r 3,r 3.
因此,x3的系数是13C39 84.
谢谢
在二项式定理中,如果设a 1,b x,则得到公式:
1 x n Cn0 C1nx Cn2x2 Cknxk Cnnxn.
例1
求 2
x
1
6
的展开式.
x
分析 为了方便,可以先化简后展开
解 先将原式化简,再展开,得
2