材料力学_邓宗白_纯弯曲时的正应力

h2 h2
6
实心圆截面
W = Iz d2
= πd 4 64 d2
= πd 3 32
空心圆截面
W = πD3 (1−α 4 ) 32
α=d D
型钢
可查型钢表或用组合法求
z
yD d
z y
h
z
b
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《纯弯曲时的正应力》教案
（三）例题讲解
在例题的讨论中回答引例提出的问题，达到首尾呼应的目的。
[例 1] 如图所示的悬臂梁，其横截面为直径等于 200mm 的实心圆，
σ = E y = My ρ Iz
1= M ρ E Iz
没有关系。
讨论 1 目的：给学生灌输正确的力学观念：弯曲正应力与材料弹性模量无关。 以后在做科学研究时，可以用便宜的材料代替贵的材料，所得到的弯曲正应力的
结果可直接应用。
讨论 2：从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的高:宽=？才能最有效利用材料？
“ ” •
（1）平截面假设( Plane Assumption ) (a) 变形前为平面的横截面变形后仍为平面; (b) 仍垂直于变形后梁的轴线
（2）纵向纤维间无正应力
（二）推导纯弯曲时横截面上的正应力公式
1. 利用变形几何关系推导出横截面上的应变。
b1'b2' = (ρ + y)dθ
b1b2 = dx = O1O2 = O1'O2' = ρ dθ
ε = (ρ + y)dθ − ρ dθ = y
ρ dθ
ρ
dx
O1
y b1
O2 b2
ρ dθ
M O1'
y b1'
M O2'
b2'
2. 由物理关系得到横截面上应力的分布规律。
σ = Eε
M
σ =E y ρ
中性轴 z
O
x
y
结论：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力，与它到中性层的距离 成正比。即沿截面高度，弯曲正应力按线性规律变化。
查型钢表或用组合法求。
注意：如果中性轴不是横截面对称（如 T 形钢)， ymax 有两个，对应 W 也应有两个。
三、 教学手段
综合运用演示实验、多媒体课件等教学手段。
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《纯弯曲时的正应力》教案
四、 教学方法
问题探索研究式教学方法。
五、 讲课内容
（一）概述 1．以火车车轮轴上的应力计算及横截面设计的问题作为引例，调动学 生学习兴趣，并介绍纯弯曲及横力弯曲的概念，从而引入纯弯曲时的应 力分析。 如何简化出火车车轮轴的力学模型? 如何计算火车车轮轴内的应力? 如何设计车轮轴的横截面?
3. 利用静力平衡方程得到横截面上正应力计算公式，并由轴力 N=0 确定中 性轴的位置。
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《纯弯曲时的正应力》教案
∫ N =
σ
A
dA =
E ρ
∫ ydA
A
=0
Sz = ∫ ydA = 0
A
上式表明中性轴通过横截面形心。
∫ ∫ M = y σ dA = E y 2 dA
A
ρA
1= M ρ E Iz
纯弯曲时横截面上弯曲正应力的计算公式
σ = My Iz
4. 导出σ max 的表达式、抗弯截面模量 W 的定义及常用横截面 W 的表达式。
b
σ max
=
Mymax Iz
=M I z ymax
=M W
h
W = Iz ymax
抗弯截面系数( Section Modulus)
z
y d
矩形截面
W = I z = bh3 12 = bh2
连线，称为中性轴。在教学中以立体图形的方式演示。
中性轴(Neutral Axis)
中性层(Neutral Surface)
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《纯弯曲时的正应力》教案
（3）中性轴的位置 纯弯曲时，直梁的中性轴通过横截面的形心且垂直 于载荷作用面。强调这一结论是在轴力为零的情况下得到的。
3． 直梁横截面上弯曲正应力公式 σ = My Iz
d
h
b
以
二
分
为
宋
厚 。
凡 梁 之 大 小 ，
各
李 诫 《 营 造 法 式 》
随 其 广 分 为 三 分 ，
意为矩形梁木的高:宽=3:2。试用弯曲正应力条件证明：从圆木锯出的矩形截面 梁，上述尺寸比例接近最佳比值。
讨论 2 目的：从古代建筑中梁构件出发，博古引今，调动学生积极性，利用 刚学习的知识去解决实际问题并考证前人总结的经验。
2．以模型演示的方式，引导学生观察实验现象，自己总结出纯弯曲变 形特征；并引出基本假设。
部分纵 段缩短。
纯弯曲变形特征： （1）各纵向线段弯成弧线，且
向线段伸长，部分纵向线
（2）各横向线相对转过了一个 角度, 仍保持为直线。
（3）变形后的横向线仍与纵向 弧线垂直。
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《纯弯曲时的正应力》教案
纯弯曲时的基本假设
讨论 3：如梁由两种材料粘接而成，横截面如图所示，如何推导横截面上正应力 计算公式？
M
M
E1 A1
E2 A2
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《纯弯曲时的正应力》教案
讨论 3 目的：叠梁问题，有一定的难度，启发学生积极思考，鼓励学生以小 论文的方式展开讨论。
讨论4：如何计算
AC
段和
BD
段上应力？正应力计算公式σ
= My Iz
[例 2] 在相同载荷下，将实心轴改成 smax 相等的空心轴，空心轴内外
径比为 0.6。求空心轴和实心轴的重量比。
Ｄ1
解：（1）确定空心轴尺寸
Ｄ
ｄ1
由
σ max
=
M W
π 32
D13
(1
−
0.64
)
=
7.9
×10−4
D1 = 210 mm
（2）比较两种情况下的重量比(面积比)：
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《纯弯曲时的正应力》教案
试计算轴内横截面上最大正应力。
Ｄ 30 kN·m
L
分析： 纯弯曲
σ max
=
M W
M
30 kN·m ⊕
解：
（1）计算W
W = π D 3 = π × 2003 ×10−9 = 7 .9 × 10 −4 m 3
32
32
（2）计算σ max
σ max
=
M W
=
30 ×103 7.9 ×10−4
= 38.2 MPa
横截面上任一点正应力的大小和该点至中性轴的距离成正比，中性轴一 侧为拉应力，另一侧则为压应力。横截面上最大正应力
σ max
=
M W
其中 W 为抗弯截面模量，几种常见横截面的 W 计算公式：
（1） 矩形截面 （2） 实心圆截面 （3） 空心圆截面 （4） 型钢
W = bh2 6
W = πd3 32
W = π D3 (1−α 4 ) 32
《纯弯曲时的正应力》教案
《纯弯曲时的正应力》教案
南京航空航天大学 刘荣梅
一、 教学目标
1．明确纯弯曲和横力弯曲的概念，理解基本假设。 2．掌握纯弯曲正应力公式的推导方法。 3．掌握弯曲正应力公式的应用，解决工程问题。 4．运用问题探索研究式教学方法，激发学生的求知欲和探索动机；锻炼学
生分析问题解决问题的能力；培养学生应用实践能力。
σ = My Iz
σ max
=
M W
结论 1） 直梁发生纯弯曲变形，横截面上正应力沿横截面高度上线性分布。 此外还得到变形后梁的轴线方程：
1= M ρ E Iz 结论 2） 直梁发生纯弯曲变形，变形后梁的轴线的曲率与弯矩成正比。
2．提出四个讨论题
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《纯弯曲时的正应力》教案
讨论 1： 纯弯曲时横截面上正应力大小与梁的弹性模量 E 有关系否？
二、 教学重点和难点
1． 纯弯曲和横力弯曲 （1）纯弯曲 杆件横截面上仅有弯矩，而无剪力的状态称为纯弯曲。 （2）横力弯曲 杆件的横截面上既有弯矩又有剪力的状态称为横力弯曲。
2． 中性层和中性轴 （1）中性层 杆件弯曲变形时，沿轴线方向既不伸长又不缩短的一层，
称中性层。在教学中以立体图形的方式加以解释。 （2）中性轴 中性层和横截面的交线，即横截面上正应力为零的各点的
是从纯弯
梁推得，
能否适用于横力弯曲？
P a
P a
CA Q
\A MP
A C
\
BD P
⊕ B Dx
BD Pa
讨论 4 目的：承上启下，引出如何计算横力弯曲时的正应力，为下堂课的内 容埋下伏笔。
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A空 A实
=
π 4
D12 (1−α π D2
2)
= 2102 (1− 0.62 ) 2002
= 0.7
4
由此可见，载荷相同、 σmax要求相等的条件下，采用空心轴节省材料。 火车车轮轴
如何设计车轮轴的横截面? 中间段可以采用空心圆截面节省材料。
（四） 结论与讨论
1．首先回顾本堂课的内容，作小结；
本堂课得到了纯弯曲时横截面上应力计算公式以及最大应力的表达式：