指数式与对数式的互化式

指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.

指数性质： (1)1、1p

p

a

a

-=

； （2）、0

1a =（0a ≠） ； (3)、()mn m n a a = (4)、(0,,)r

s

r s

a a a a r s Q +⋅=>∈ ； (5)

、m n

a = ；

指数函数：

(1)、 (1)x

y a a =>在定义域内是单调递增函数；

（2）、 (01)x

y a a =<<在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1） 对数性质：

(1)、 log log log ()a a a M N MN += ；（2）、 log log log a a a

M

M N N

-= ； (3)、 log log m a a b m b =⋅ ；(4)、 log log m n a a n

b b m

=

⋅ ； (5)、 log 10a = (6)、 log 1a a = ； (7)、 log a b

a b =

对数函数：

(1)、 log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数；

（2）、log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0） (3)、 log 0,(0,1),(1,)a x a x a x >⇔∈∈+∞或

(4)、log 0(0,1)(1,)a x a x <⇔∈∈+∞则 或 (1,)(0,1)a x ∈+∞∈则 对数的换底公式 :log log log m a m N

N a

=

(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).

对数恒等式：log a N

a

N =(0a >,且1a ≠, 0N >).

推论 log log m n

a a n

b b m

=

(0a >,且1a ≠, 0N >). 对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则

(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a

a a M

M N N

=-; (3)log log ()n

a a M n M n R =∈; (4) log log (,)m

n a a n

N N n m R m

=∈。

和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβ

αβ±=;

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±

±=

.

sin cos a b αα+)αϕ+

(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b

a

ϕ= ). 二倍角公式及降幂公式

sin 2sin cos ααα=22tan 1tan α

α

=

+.

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

221cos 21cos 2sin ,cos 22

αα

αα-+=

=

三角函数的周期公式

函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||

T π

ω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2

x k k Z π

π≠+

∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||

T πω=

. 三角函数的图像：

正弦定理 ：

2sin sin sin a b c

R A B C

===（R 为ABC ∆外接圆的半径）. 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ⇔===::sin :sin :sin a b c A B C ⇔=

余弦定理：

2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.

（2）111

sin sin sin 222

S ab C bc A ca B ===.

a 与

b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ。

平面向量的坐标运算：

(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.

(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.

(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212()x x y y +. 两向量的夹角公式：

121

cos ||||

x a b

a b x θ⋅=

=

⋅+(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).

平面两点间的距离公式：

,A B d =||AB AB AB =

⋅221()x x =-11(,)x y ，B 22(,)x y ).

向量的平行与垂直 ：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则：

a ||

b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=.（交叉相乘差为零）

a ⊥

b (a

≠0)⇔ a ·b =012120x x y y ⇔+=.（对应相乘和为零）

常用不等式：

（1）,a b R ∈⇒2

2

2a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．

（2）,a b R +

∈⇒

2a b

+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号) 一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2

ax bx c ++同号，则其解集