第7讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

第7讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

定理 在椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点)

,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22

00a

b x y k MN -=⋅.

证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，

则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,122

22

2222

1221 b y a x b y a x )2()1(-，得.022

22

122

22

1=-+-b

y

y a x x

.22

12121212a

b x x y y x x y y -=++⋅--∴ 又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN

==++--= .22

a

b x y k MN -=⋅∴ 同理可证，在椭圆122

22=+a

y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点)

,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22

00b

a x y k MN -=⋅.

典题妙解

例1 设椭圆方程为14

2

2

=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足

1()2OP OA OB =

+，点N 的坐标为⎪⎭

⎫

⎝⎛21,21.当l 绕点M 旋转时，求：

（1）动点P 的轨迹方程；

（2）||NP 的最大值和最小值.

解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点P 是弦AB 的中点 .

焦点在y 上，.1,42

2==b a 假设直线l 的斜率存在.

由22b a x y k AB -=⋅得：.41-=⋅-x

y

x y

整理，得：.042

2

=-+y y x

当直线l 的斜率不存在时，弦AB 的中点P 为坐标原点)0,0(O ，也满足方程。

∴所求的轨迹方程为.0422=-+y y x

（2）配方，得：.14

1)21

(1612

2

=-+y x .4141≤≤-∴x 12

7

)61(341)21()2

1

()21(||2222

22+

+-=-+-=-+-=∴x x x y x NP

∴当41=

x 时，41||min =NP ；当6

1

-=x 时，.621||max =NP 例2 在直角坐标系xOy 中，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆12

22

=+y x 有两个不同的交点P 和Q.

（1）求k 的取值范围；

（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OQ OP +与AB 共线？如果存在，求k 的取值范围；如果不存在，请说明理由.

解：（1）直线l 的方程为.2+

=kx y

由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.12

,22

2y x kx y 得：.0224)12(22=+++kx x k

直线l 与椭圆12

22

=+y x 有两个不同的交点，

)12(83222+-=∆∴k k ＞0.解之得：k ＜22-

或k ＞2

2. ∴k 的取值范围是⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,22

22, . （2）在椭圆12

22

=+y x 中，焦点在x 轴上，1,2==b a ，).1,2(),1,0(),0,2(-=∴AB B A 设弦PQ 的中点为),(00y x M ，则).,(100y x OM = 由平行四边形法则可知：.2OM OQ OP =+

OQ OP +与AB 共线，∴OM 与AB 共线.

12

00y x =

-∴

，从而.2

200-=x y 由2200a b x y k PQ -=⋅得：21

22-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⋅k ，.22=∴k 由（1）可知2

2

=

k 时，直线l 与椭圆没有两个公共点，∴不存在符合题意的常数k . 例3已知椭圆12222=+b

y a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22

=e ，右准

线方程为2=x .

(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；

(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3

26

2||22=+N F M F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P . 由平行四边形法则知：P F N F M F 2222=+. 由3262||22=

+N F M F 得：326||2=P F .∴.9

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)1(22=+-y x ……………①