理论力学(3024) 64 碰撞
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第十五章碰撞_理论力学
应选
，即小锤大砧。
打桩也属于这种情况。不过我们希望碰撞结束后，桩应获得最大的动能，以使桩克服土
壤的阻力前进，即碰撞过程中系统的动能损失应尽可能地小。为此，应选 大锤小桩。
，即
4. 两球的斜碰撞
当球心速度不在连心线上时，两球发生斜碰撞，这
时两球球心均作二维平面运动（球是光滑的，因而碰撞后不发生转动）。建立坐标系 Oxy 将
在理想情况下，可以有 ，即材料变形完全不能恢复，称为塑性碰撞（例如粘土）。 这时，两球相撞后粘在一起运动。
在理想情况下，也可以有 ，即材料变形可以完全恢复，称为完全弹性碰撞。这时， 可由式（15-7）求得两球碰撞后的速度。
将式（15-7）的最后两式相减，可得
或
（15-8）
此式常称为碰撞的牛顿公式，它有明确的物理意义，恢复系数等于碰撞后两球相分离的速度
与碰撞前两球相接近的速度之比。可以证明，在物体间是单点碰撞的情况下，式（15-6）与 （15-8）是等价的。因此，也可以用式（15-8）作为恢复系数的定义。
对球与固定面相碰撞的情况，可令式（15-7）中
，
的速度为
，求得球在碰后
或 由此可导出一种恢复系数的实验测定法。小球由 h1 的高度处由静止开始自由下落，碰到固 定面后弹回，弹回的高度是 h2，则
为作用于质点 i 上的质系的
外力。文字表述是：质系在 t2 及 t1 时刻的动量的变化，等于在同一时间间隔内作用于质系 的外碰撞冲量的主矢，可写成质心运动定理形式
★ 质系动量矩定理的积分形式（冲量矩定理）
（15-2）
（15-3）
或
式中 与 分别为 t2 及 t1 时刻质系对 O 点的动量矩， 为质点 i 的矢径，根据前面 的假设，在碰撞过程中它是不变的。文字表述是：质系在 t2 及 t1 时刻对 O 点动量矩的变化， 等于在同一时间间隔内作用于质系的外碰撞冲量对同一点的主矩。矩心可以取在固定点 O ， 也可以取在质系的质心 C 。即：
理论力学-碰撞PPT课件
锤不回跳，此时可近似认为k =0，于是汽锤效率
m2 0.949% 4
m1m2
2021
25
§19-5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 撞击中心
设刚体绕固定轴z 转动，转动惯量为IZ，受到外碰撞冲量
S (e) i
(i1,2, ,n)
的作用。
碰撞开始时 Lz1 I z1
碰撞结束时 Lz2 I z 2
的积分形式为：
m um vS
(1-19)
2021
8
对于有n个质点组成的质点系，将作用于第 i 个质点上的
碰撞冲量分为外碰撞冲量
S
( i
e
)
和内碰撞冲量
S
( i
i
)
，则有：
m iu i m iv i S i(e ) S i(i) ( i 1 ,2 , ,n )
将这n个方程相加, 且Si(i) 0(内碰撞冲量总是成对出现的),故
2021
1
在前面讨论的问题中，物体在力的作用下，运动速度都 是连续地、逐渐地改变的。本章研究另一种力学现象——碰 撞，物体发生碰撞时，会在非常短促的时间内，运动速度突 然发生有限的改变。本章研究的主要内容有碰撞现象的特征， 用于碰撞过程的基本定理，碰撞过程中的动能损失，撞击中 心。
2021
2
第十九章 碰撞 §19–1 碰撞现象及其基本特征 碰撞力
§19-2 用于碰撞过程的基本定理
§19–3 质点对固定面的碰撞 恢复系数
§19–4 两物体的对心正碰撞 动能损失
§19–5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用
撞击中心
小结
2021
3
§19-1 碰撞现象及其基本特征 碰撞力
碰撞：运动着的物体在突然受到冲击（包括突然受到约 束或解除约束）时，其运动速度发生急剧的变化，这种现象 称为碰撞。
理论力学PPT课件第6章 6.3碰撞46页PPT
1987年12月20日,“多纳帕斯号”(设计载人:608人,经改装 后可载人:1518人,实际载人:3000人),在往马尼拉方向行驶 时因与油轮相撞而起火,造成船上3000人几乎丧身.
2019/10/8
19
2. 研究碰撞的基本假设：
(1) 在碰撞过程中，重力、弹性力等非碰撞力与碰撞力相比 小得多，其作用可以忽略不计。但必须注意，在碰撞前和 碰撞后，非碰撞力对物体运动状态的改变作用不可忽略。 (2) 由于碰撞时间极短，而速度又是有限量，所以物体在 碰撞过程的位移很小，可以忽略不计，即认为物体在碰撞 开始时和碰撞结束时的位置相同。
v1
v2
u1
u2
取整体，由冲量守恒，有 m 1 v 1 m 2 v 2 m 1 u 1 m 2 u 2 以及：e u2 u1 v1 v2
2019/10/8
31
u1v1(1e)m 1m 2m 2(v1v2)v1
u2v2(1e)m 1m 1m 2(v1v2)v2
2. 用于碰撞过程的冲量矩定理
L O 2 L O 1 M 0 e M 0 ( I i e )
2019/10/8
25
用于定轴转动刚体碰撞时的微分方程积分形式
J O z2 J O z1 M O e z =m O z ( I i e )
用于平面运动刚体碰撞时的微分方程积分形式
T＝ m1m2
2m1 m2
v12＝1T1m1
m2
说明系统损失的动能与两物体的质量比有关。
2019/10/8
34
工程应用：
T＝
T1
1 m1
m2
（1） 打桩时，希望桩获得尽可能多的动能，去克服土
壤给桩的阻力，这就要求损失的动能越少越好。这时
2019/10/8
19
2. 研究碰撞的基本假设：
(1) 在碰撞过程中，重力、弹性力等非碰撞力与碰撞力相比 小得多，其作用可以忽略不计。但必须注意，在碰撞前和 碰撞后，非碰撞力对物体运动状态的改变作用不可忽略。 (2) 由于碰撞时间极短，而速度又是有限量，所以物体在 碰撞过程的位移很小，可以忽略不计，即认为物体在碰撞 开始时和碰撞结束时的位置相同。
v1
v2
u1
u2
取整体，由冲量守恒，有 m 1 v 1 m 2 v 2 m 1 u 1 m 2 u 2 以及：e u2 u1 v1 v2
2019/10/8
31
u1v1(1e)m 1m 2m 2(v1v2)v1
u2v2(1e)m 1m 1m 2(v1v2)v2
2. 用于碰撞过程的冲量矩定理
L O 2 L O 1 M 0 e M 0 ( I i e )
2019/10/8
25
用于定轴转动刚体碰撞时的微分方程积分形式
J O z2 J O z1 M O e z =m O z ( I i e )
用于平面运动刚体碰撞时的微分方程积分形式
T＝ m1m2
2m1 m2
v12＝1T1m1
m2
说明系统损失的动能与两物体的质量比有关。
2019/10/8
34
工程应用：
T＝
T1
1 m1
m2
（1） 打桩时，希望桩获得尽可能多的动能，去克服土
壤给桩的阻力，这就要求损失的动能越少越好。这时
大学物理第十八章碰撞.ppt
对定点、定轴、质心、过质心轴
2019年3月20日 理论力学CAI 32
碰撞时刚体定轴转动运动微分方程的积分形式
2 JO 1 MO (I e ) JO
碰撞时刚体平面运动微分方程的积分形式
e C 2 mx C1 I x mx
C 2 my C1 I e my y
3 2I 2mL 2I
=1/1000s , 碰撞后榔头以v2=1.5m/s的速度回跳。求榔头打击铁块
的力的平均值。
以榔头为研究对象，根据动量定理
mv2 mv1 I 的投影形式得
10 ( 1.5 6 ) I ; I 7.65 N s g
塑料
碰撞力的变化大致情况如图所示。 平均打击力 F * I / 7650N ，是榔头重的765倍。
I
C
y
2019年3月20日 理论力学CAI
34
Iy Ix x O O1
vC h
应用平面运动微分方程的积分 形式 mx mx Ie
C2 C1 x e C 2 my C1 I y my
I
C
定轴转动微分方程的积分形式
y 得到
2 J O 1 M O ( I e ) J O
9
2019年3月20日 理论力学CAI
10
2019年3月20日 理论力学CAI
11
2019年3月20日 理论力学CAI
12
2. 研究碰撞的基本假设：
(1)在碰撞过程中，重力、弹性力等普通力与碰撞力相比 小得多，其冲量可以忽略不计。但必须注意，在碰撞前和碰撞 后，普通力对物体运动状态的改变作用不可忽略。 (2)由于碰撞时间极短，而速度又是有限量，所以物体在 碰撞过程的位移很小，可以忽略不计，即认为物体在碰撞开始 时和碰撞结束时的位置相同。
理论力学
对心碰撞:碰撞力的作用线通过两物体的质心。 偏心碰撞:碰撞力的作用线不过两物体的质心。 2、按碰撞速度分类 正碰撞:碰撞两物体质心速度均沿接触处的公法线。
斜碰撞:碰撞两物体质心速度未沿接触处的公法线。
PAG 5
Northeastern University
§15-1
碰撞的分类 · 碰撞问题的简化
一、碰撞的分类
物体能量有损失
v' v
PAG 13
Northeastern University
§15-3
质点对固定面的碰撞 恢复因数
二、恢复因数
弹性碰撞: 由恢复因数0< e <1的材料制成的物体发生的碰 撞,碰撞结束时,变形不能完全恢复,动能有损失。 完全弹性碰撞: 由恢复因数e =1的材料制成的物体发生的碰撞, 碰撞结束时物体变形完全恢复,动能无损失。 非弹性碰撞(塑性碰撞): 由恢复因数e =0的材料制成的物体发生的碰撞, 碰撞结束时物体的变形毫无恢复。
' n '
' vn v ' cos tan 恢复因数 e v v cos tan n
vn
v' ' v v
τ
v
PAG 16
Northeastern University
§15-4
碰撞问题举例
碰撞问题求解步骤：
⑴ 选取研究对象； ⑵ 碰撞前后运动分析； ⑶ 应用碰撞过程中的动量和动量矩定理； ⑷ 计算结果。
第十五章
碰撞
1
碰撞的分类 · 碰撞问题的简化
2
用于碰撞过程的基本定理
3
质点对固定面的碰撞 恢复因数
碰撞问题举例
4
斜碰撞:碰撞两物体质心速度未沿接触处的公法线。
PAG 5
Northeastern University
§15-1
碰撞的分类 · 碰撞问题的简化
一、碰撞的分类
物体能量有损失
v' v
PAG 13
Northeastern University
§15-3
质点对固定面的碰撞 恢复因数
二、恢复因数
弹性碰撞: 由恢复因数0< e <1的材料制成的物体发生的碰 撞,碰撞结束时,变形不能完全恢复,动能有损失。 完全弹性碰撞: 由恢复因数e =1的材料制成的物体发生的碰撞, 碰撞结束时物体变形完全恢复,动能无损失。 非弹性碰撞(塑性碰撞): 由恢复因数e =0的材料制成的物体发生的碰撞, 碰撞结束时物体的变形毫无恢复。
' n '
' vn v ' cos tan 恢复因数 e v v cos tan n
vn
v' ' v v
τ
v
PAG 16
Northeastern University
§15-4
碰撞问题举例
碰撞问题求解步骤：
⑴ 选取研究对象； ⑵ 碰撞前后运动分析； ⑶ 应用碰撞过程中的动量和动量矩定理； ⑷ 计算结果。
第十五章
碰撞
1
碰撞的分类 · 碰撞问题的简化
2
用于碰撞过程的基本定理
3
质点对固定面的碰撞 恢复因数
碰撞问题举例
4
理论力学17.碰撞
动量守恒定律
动量守恒定律指出，在碰撞过程中，总动量始终保持不变。无论是理想弹性 碰撞还是非弹性碰撞，总动量都会在碰撞前后保持相等。
碰撞的应用
碰撞的概念在物理学、工程学和运动学中有许多应用。例如，汽车碰撞测试和台球运动中的撞球现象都是碰撞 的应用。
理论力学17.碰撞
在本节中，我们将探讨碰撞的基本原理、理想弹性碰撞和非弹性碰撞。我们 还将研究碰撞中的能量守恒定律和动量守恒定律，并介绍碰撞的一些应用。
碰撞的定义
碰撞是物体之间发生的相互作用，其中两个或多个物体产生相互接触并相互 响。它是研究理论力学中重要的一部分。
碰撞的基本原理
碰撞的基本原理涉及到动量和能量的转移。在碰撞过程中，物体的动量和能 量可能会发生变化，这取决于碰撞的类型。
理想弹性碰撞
理想弹性碰撞是指碰撞过程中动能丧失最小的碰撞。在这种碰撞中，物体之 间发生的相互作用是完全弹性的，动量和能量都得到保持。
非弹性碰撞
非弹性碰撞是指碰撞过程中动能丧失的碰撞。在这种碰撞中，物体之间发生 的相互作用会导致动能的损失，部分动能会转化为其他形式的能量。
能量守恒定律
能量守恒定律指出，在碰撞过程中，总能量始终保持不变。无论是理想弹性 碰撞还是非弹性碰撞，总能量都会在碰撞前后保持相等。
【理论力学2】第二章碰撞
积分 或
得
LO 2 dLO LO1
i 1
n
t
0
(e) ri dI i
n t n (e) t (e) LO 2 LO1 ri dI i ri dI i i 1 0 i 1 0
n n (e) (e) LO 2 LO1 ri I i M O (I i ) （2－4） i 1 i 1 ( e) 称 ri I i 为冲量矩 其中不计普通力的冲量矩 （2－4）是用于碰撞过程的动量矩定理 又称为冲量矩定理： 质点系在碰撞开始和结束时对点O的动量矩的变化 等于作用于质点系的外碰撞冲量对同一点的主矩
i 1 i 1 i 1 i 1
1.用于碰撞过程的动量定理——冲量定理
(e) 因为 I i 0 于是得
i i 1
(e) mii mii I i
n
n
n
i 1
i 1
i 1
（2－2）
式（2－2）是用于碰撞过程的质点系动量定理 因此又称为冲量定理： 质点系在碰撞开始和结束时动量的变化 等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢 （2－2）可写成 n mC I i(e) mC （2－3） i 1 分别是碰撞开始和结束时质心的速度 式中 C 和 C
2gh2
于是得恢复因数 h2 k h1 几种材料的恢复因数见表
碰撞物体 铁对铅 木对胶 木对 的材料 木 木 恢复因数 0.14 0.26 0.50 钢对 钢 0.56 象牙对象 牙 0.89 玻璃对 玻璃 0.94
对于各种实际的材料 均有0<k<1 由这些材料做成的物体发生的碰撞称为弹性碰撞 物体在弹性碰撞结束时 变形不能完全恢复 动能有损失 k=1称为完全弹性碰撞 k=0称为非弹性碰撞或塑性碰撞
理论力学PPT课件第6章 6.3碰撞
碰撞：运动物体在突然受到冲击（包括突然受到约束或 解除约束）时，其运动速度发生急剧变化的现象称为碰撞。
2019年11月11日
3
对接碰撞
2019年11月11日
4
2019年11月11日
5
2019年11月11日
6
2019年11月11日
7
2019年11月11日
？这与碰撞 有关系吗 8
2019年11月11日
2. 用于碰撞过程的冲量矩定理
L O 2 L O 1 M 0 e M 0 ( I i e )
2019年11月11日
25
用于定轴转动刚体碰撞时的微分方程积分形式
J O z2 J O z1 M O e z =m O z ( I i e )
用于平面运动刚体碰撞时的微分方程积分形式
2019年11月11日
15
设榔头重10N，以v1=6m/s的速度撞击铁块，碰撞时间
=1/1000s , 碰撞后榔头以v2=1.5m/s的速度回跳。求榔头打
击铁块时力的平均值。
锤的平均加速度:
av 2 （ v 1 ） 1 .5 6 7 5 0 0 m /s2 0 .0 0 1
2019年11月11日
20
3.碰撞 的分类
(1) 分类1 对心碰撞与偏心碰撞：碰撞时，两物体质心的连线与其 接触点的公法线重合，否则称为偏心碰撞。
C1
C2
C1
C2
2019年11月11日
21
对心正碰撞与对心斜碰撞：碰撞时，两物体质心的速度也 都沿两质心连线方向则称对心正碰撞，否则称为对心斜碰撞。
v1 C1
？这与碰撞 有关系吗 9
2019年11月11日
请注意撞击 物与被撞击物 的特点！
2019年11月11日
3
对接碰撞
2019年11月11日
4
2019年11月11日
5
2019年11月11日
6
2019年11月11日
7
2019年11月11日
？这与碰撞 有关系吗 8
2019年11月11日
2. 用于碰撞过程的冲量矩定理
L O 2 L O 1 M 0 e M 0 ( I i e )
2019年11月11日
25
用于定轴转动刚体碰撞时的微分方程积分形式
J O z2 J O z1 M O e z =m O z ( I i e )
用于平面运动刚体碰撞时的微分方程积分形式
2019年11月11日
15
设榔头重10N，以v1=6m/s的速度撞击铁块，碰撞时间
=1/1000s , 碰撞后榔头以v2=1.5m/s的速度回跳。求榔头打
击铁块时力的平均值。
锤的平均加速度:
av 2 （ v 1 ） 1 .5 6 7 5 0 0 m /s2 0 .0 0 1
2019年11月11日
20
3.碰撞 的分类
(1) 分类1 对心碰撞与偏心碰撞：碰撞时，两物体质心的连线与其 接触点的公法线重合，否则称为偏心碰撞。
C1
C2
C1
C2
2019年11月11日
21
对心正碰撞与对心斜碰撞：碰撞时，两物体质心的速度也 都沿两质心连线方向则称对心正碰撞，否则称为对心斜碰撞。
v1 C1
？这与碰撞 有关系吗 9
2019年11月11日
请注意撞击 物与被撞击物 的特点！
理论力学第十六章 碰撞 教学PPT详述
e I2 v1
I1
v1
v1 2gh1 , v1 2gh2
e h2 h1
n
A
B h1 h2 v'1 v1
C
例题8-1
两小球的质量分别为m1和m2 ，碰撞开始时两质心的速度分 别为v1和v2 ，且沿同一直线，如图所示。如恢复系数为e， 试求碰撞后两球的速度和碰撞过程中损失的动能。
v1
C1
v2
冲量矩定理
根据研究碰撞问题的基本假设，在碰撞过程中，质点系内各质点的位 移均可忽略，因此，可用同一矢 ri 表示质点 Mi 在碰撞开始和结束时的位 置。 质点对固定点的动量矩为
碰前： MO (mivi ) ri mivi
碰后： MO (mivi ) ri mivi
所以
ri mivi ri mvi ri Ii
例如，两直径25mm的黄铜球，以72mm/s的相对法向 速度碰撞，碰撞时间只有0.0002秒。
碰撞的物体间产生巨大的碰撞力。
例如，用铁锤打击钢板表面。
接示波器
力传感器
塑料
碰撞问题基本特征
碰撞的物体间产生巨大的碰撞力。
例如，用铁锤打击钢板表面。
锤重4.45N; 碰撞前锤的速度 457.2 mm/s; 碰撞的时间间隔 0.00044s; 撞击力峰值 1491 N， 静载作用的335倍。
T0
T1 T0
设锤头在和桩开始接触时具有的速度是 v1 ,则初动能
➢ 理想情况e =1时，碰撞结束后，物体能完全恢复原来的形状，这
种碰撞称为完全弹性碰撞。
➢ 在另一极端情况 e =0 时，说明碰撞没有恢复阶段，即物体的变
形不能恢复，碰撞结束于变形阶段，这种碰撞称为非弹性碰撞或塑 性碰撞。
理论力学第三章碰撞
质点系动量矩定理的积分形式
冲量矩定理
n
n
ri mi vi ri mi vi
i 1
i 1
n
i 1
t2 t1
ri
d
I
e i
n
LO2 LO1
M
O
(
I
e i
)
MO (I e)
i 1
在一定的时间间隔内，质点系动量矩的改变等于
同一时间间隔内，作用在质点系上所有外力冲量矩
的主矩。
§3-2 用于碰撞过程的基本定理
铁锤打击人体
锤重4.45N;
碰撞前锤的速度 457.2 mm/s;
塑料
碰撞的时间间隔 0.01s;
撞击力峰值 244.8 N，
静载作用的55倍。
2.碰撞现象的特点
撞击过程中能量的急剧转换－撞击过程中， 各种机械能之间、机械能与其他形式能量之间 以极快的速度转换。
m
势能
动能 m
弹性应变能
2.碰撞现象的特点
e＝ vAn vA cos vAn vA cos
水平方向动量守恒 mvA sin ＝mvA sin
B
e＝ tan
tan
§3-4 碰撞问题举例
例题1
锻造用的汽锤锤重与打桩机锤头重量均为 mAg; 汽锤的铁 砧与桩的重量均为 mBg。汽锤和打桩机的锤头打击前速度 均为 vA
试分析：汽锤与打桩机在打击过程中的动量传递与能量转换。
T1 m
A
mB
§3-4 碰撞问题举例
例题1
解：汽锤和打桩机锤头打击前后的动能变化
T＝ mAmB
2 mA mB
v
A
2＝ 1
T1 m
A
冲量矩定理
n
n
ri mi vi ri mi vi
i 1
i 1
n
i 1
t2 t1
ri
d
I
e i
n
LO2 LO1
M
O
(
I
e i
)
MO (I e)
i 1
在一定的时间间隔内，质点系动量矩的改变等于
同一时间间隔内，作用在质点系上所有外力冲量矩
的主矩。
§3-2 用于碰撞过程的基本定理
铁锤打击人体
锤重4.45N;
碰撞前锤的速度 457.2 mm/s;
塑料
碰撞的时间间隔 0.01s;
撞击力峰值 244.8 N，
静载作用的55倍。
2.碰撞现象的特点
撞击过程中能量的急剧转换－撞击过程中， 各种机械能之间、机械能与其他形式能量之间 以极快的速度转换。
m
势能
动能 m
弹性应变能
2.碰撞现象的特点
e＝ vAn vA cos vAn vA cos
水平方向动量守恒 mvA sin ＝mvA sin
B
e＝ tan
tan
§3-4 碰撞问题举例
例题1
锻造用的汽锤锤重与打桩机锤头重量均为 mAg; 汽锤的铁 砧与桩的重量均为 mBg。汽锤和打桩机的锤头打击前速度 均为 vA
试分析：汽锤与打桩机在打击过程中的动量传递与能量转换。
T1 m
A
mB
§3-4 碰撞问题举例
例题1
解：汽锤和打桩机锤头打击前后的动能变化
T＝ mAmB
2 mA mB
v
A
2＝ 1
T1 m
A
物理164《碰撞》新人教版 选修35 ppt课件
讨论（二）
物理164《碰撞》新人教版 选修35
讨论（三）
物理164《碰撞》新人教版 选修35
讨论（四）
若在一光滑水平面上有两个质量分别为m1、m2的
刚性小球A和B，以初速度v1、v2运动，若它们能发
生碰撞（为一弹性碰撞），碰撞后它们的速度分 别为v1/和 v2/分别是多大？
物理164《碰撞》新人教版 选修35
二、
物理164《碰撞》新人教版 选修35
物理164《碰撞》新人教版 选修35
三、正碰的分类
按碰撞前后是否有机械能损失可分为： 1 完全弹性碰撞 2 非完全弹性碰撞 3 完全非弹性碰撞
物理164《碰撞》新人教版 选修35
弹性碰撞和非弹性碰撞
• 在本章第1节开始的演示中，一个钢球与另一个静 止的钢球相碰，如果两个钢球的质量相等，第一 个钢球停止运动，第二个钢球能摆到同样的高度， 说明这个碰撞过程中没有能量损失，碰撞过程能 量守恒。
面的是否相同？
v2 ' 2m1v1m 1m 2m 2m1v2
物理164《碰撞》新人教版 选修35
【思考】
在光滑水平面上，有A、B两个小球向右沿同一直线 运动，取向右为正，两球的动量分别是pA=5kgm/s， pB=7kgm/s，如图所示．若能发生正碰，则碰后两
球的动量增量△pA、△pB可能是 （A ） A．△pA=-3kgm/s；△pB =3kgmC/s
16.4 碰撞
物理164《碰撞》新人教版 选修35
教学目标
• （一）知识与技能 • 1．认识弹性碰撞与非弹性碰撞，认识对心碰撞与
非对心碰撞 • 2．了解微粒的散射 • （二）过程与方法 • 通过体会碰撞中动量守恒、机械能守恒与否，体
理论力学PPT课件第6章6.3碰撞
情况下。
非弹性碰撞的公式
碰撞前后动量守恒：m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2' 碰撞前后能量不守恒：E = E'
碰撞前后速度关系：v1' = v1 - Δv, v2' = v2 + Δv
非弹性碰撞的特点
01
形 变不能完全恢复，导致能量损
04
弹性碰撞公式的应 用
弹性碰撞公式可以用于计算两个 物体碰撞后的速度，它是解决碰 撞问题的重要工具之一。
弹性碰撞的特点
能量守恒
在弹性碰撞中，系统的总能量 在碰撞前后保持不变，即动能
守恒。
动量守恒
在弹性碰撞中，系统的总动量 在碰撞前后保持不变，即动量 守恒。
无能量损失
在弹性碰撞中，没有能量转化 为其他形式的能量，如热能或 内能等。
碰撞的分类
弹性碰撞
完全非弹性碰撞
碰撞过程中，物体间的作用力完全以 弹性反作用力形式出现，没有能量损 失。
碰撞过程中，物体间的作用力完全以 非弹性反作用力形式出现，能量损失 最大。
非弹性碰撞
碰撞过程中，物体间的作用力部分以 弹性反作用力形式出现，部分以非弹 性反作用力形式出现，存在能量损失。
02
弹性碰撞
台球碰撞
两球在桌面上发生碰撞， 运动轨迹发生变化，遵循 动量守恒定律。
汽车碰撞
汽车发生正面碰撞，车体 变形，遵循动量守恒和能 量守恒定律。
三维碰撞实例分析
三维碰撞
两个物体在三维空间中发 生相互作用，考虑三个方 向的动量变化。
卫星碰撞
卫星在太空中发生碰撞， 需要考虑地球引力、太阳 辐射压和其他因素的影响。
弹性碰撞的公式
01
非弹性碰撞的公式
碰撞前后动量守恒：m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2' 碰撞前后能量不守恒：E = E'
碰撞前后速度关系：v1' = v1 - Δv, v2' = v2 + Δv
非弹性碰撞的特点
01
形 变不能完全恢复，导致能量损
04
弹性碰撞公式的应 用
弹性碰撞公式可以用于计算两个 物体碰撞后的速度，它是解决碰 撞问题的重要工具之一。
弹性碰撞的特点
能量守恒
在弹性碰撞中，系统的总能量 在碰撞前后保持不变，即动能
守恒。
动量守恒
在弹性碰撞中，系统的总动量 在碰撞前后保持不变，即动量 守恒。
无能量损失
在弹性碰撞中，没有能量转化 为其他形式的能量，如热能或 内能等。
碰撞的分类
弹性碰撞
完全非弹性碰撞
碰撞过程中，物体间的作用力完全以 弹性反作用力形式出现，没有能量损 失。
碰撞过程中，物体间的作用力完全以 非弹性反作用力形式出现，能量损失 最大。
非弹性碰撞
碰撞过程中，物体间的作用力部分以 弹性反作用力形式出现，部分以非弹 性反作用力形式出现，存在能量损失。
02
弹性碰撞
台球碰撞
两球在桌面上发生碰撞， 运动轨迹发生变化，遵循 动量守恒定律。
汽车碰撞
汽车发生正面碰撞，车体 变形，遵循动量守恒和能 量守恒定律。
三维碰撞实例分析
三维碰撞
两个物体在三维空间中发 生相互作用，考虑三个方 向的动量变化。
卫星碰撞
卫星在太空中发生碰撞， 需要考虑地球引力、太阳 辐射压和其他因素的影响。
弹性碰撞的公式
01
理论力学知识点总结
理论力学知识点总结理论力学是经典物理学的一个重要分支，主要研究物体的力学运动规律。
从古至今，人们一直对物体的运动规律进行研究，不断总结出了一系列理论力学知识。
理论力学是物理学的基础，对于理解和研究各种现象有着重要的意义。
本文将对理论力学的主要知识点进行总结，并探讨其在实际应用中的重要性。
1. 牛顿定律牛顿定律是理论力学的基础，它由三个定律组成。
第一定律（惯性定律）指出，物体在受到合外力作用时，将保持原来的静止状态或匀速直线运动状态；第二定律（运动定律）规定物体的加速度与作用在其上的合外力成正比，与物体的质量成反比；第三定律（作用-反作用定律）规定，两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反，且作用在两个物体之间的直线上。
2. 物体的运动理论力学研究物体的运动形式，主要分为直线运动和曲线运动。
在直线运动中，物体以匀速或变速方式运动，可以通过位移、速度、加速度等物理量来描述其运动状态。
而在曲线运动中，物体的运动轨迹是曲线形状，它的速度和加速度的方向和大小在运动过程中会不断变化。
3. 动力学动力学是研究物体运动和其引起的一系列现象的力学学科。
在动力学中，我们研究物体受到各种力的作用下的运动规律。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比，因此可以通过力和质量之间的关系来研究物体的加速度和速度变化规律。
4. 力学能量力学能量是指物体由于位置、速度或形变而具有的能力。
力学能量主要包括动能和势能两种形式。
动能是由于物体的运动而产生的能量，它与物体的质量和速度平方成正比。
势能是由于物体所处的位置而产生的能量，它与物体的位置和受力关系有关。
在理论力学中，我们通过动能和势能的转化来研究物体的机械运动规律。
5. 转动力学转动力学研究物体绕固定轴线进行旋转运动的力学规律。
在转动力学中，我们主要研究物体的角位移、角速度、角加速度等物理量，并通过转动惯量、角动量等概念来描述物体的旋转运动状态。
转动力学在研究机械系统、刚体等方面有着广泛的应用。
理论力学 17.碰撞
对于塑性碰撞（k =0）：
v1
v2
v
m1v1 m2v2 m1 m2
对于一般情况（0<k <1）： v1 v1 , v2 v2
2.正碰撞过程中的动能损失
碰撞开始：
T1
1 2
m1v12
1 2
m2v22
碰撞结束：
T2
1 2
m1v12
1 2
m2v22
则动能损失：
v1 v2
式中v1、v2和v1’、 v2’分别是两物体碰撞前后的速度。
一般0<k<1，各种材料的恢复系数，可查阅书中表。
k=1 理想情况——完全弹性碰撞。
k=0 极限情况——非弹性碰撞或塑性碰撞。
三、碰撞时的动力学基本定理 在理论力学中，我们关心的主要是由于碰撞冲量的作用而
使物体运动速度发生的变化。因此，动量定理和动量矩定理就 成了研究碰撞问题的主要工具。
例1 打桩机。锤：m1，下落高度h；桩：m2，下沉 。两者塑
性碰撞。求碰撞后桩的速度和泥土对桩的平均阻力。 解：碰撞开始时，
锤速 v1 2gh ，
桩速 v2 0
塑性碰撞后， u1 u2 v
m1 2gh m1 m2
根据动能定理,计算下沉 过程中,泥土对桩的平均阻力R。
k I2 v2 v v1 v v2 v1 I1 v v2 v v1 v1 v2
对于两物体正碰撞的情况，恢复系数等于两物体在碰撞结 束与碰撞开始时，质心的相对速度大小的比值。)
联立(1),(2)式，解得：
v1
v1
(1
k)
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mvc = Soy − S sinα
α
求得：
Sox
=
S
cosα
(
mal J
− 1)
Soy = S sin α
第3篇 质系动力学
例2
讨论
第 质6章 系 动
Sox
=
S
cosα
(
mal J
− 1)
Soy = S sin α
MS S
量 | 当α = 0且l = J/ma时，轴
和
承O 处 的 约 束 碰 撞 力 为 零 。
例1
解
联立求解可得： u1τ = v1τ , u2τ = v2τ u1n = [(m1 − em2) v1n + m2 (1 + e)v2n ]/(m1 + m2 ) u2n = [m1 (1+ e)v1 +n (m2 − em1 )v2 n]/(m1 + m2 )
–塑性碰撞 e = 0 u1n = u2n = (m1v1n + m2v2n ) / (m1 + m2) 两球一起运动
动
此时A点称为撞击中心。
量
| 惯性力系简化：
矩 定 理
S
= maC
= maε
S是惯性力 系主矢量
S
MS = JOε
d
=
MS S
=
l
三心重合：摆心、撞击中心、惯性中心
第3篇 质系动力学
第 质6章 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
实例分析
均质门（质量 m、宽b、厚度t << b）的开启由 制动器B所限制，为了使碰撞时门铰处所受的
Sox
=
−
1 7
S
Soy = 0
SAx
= 2 S; 7
S Ay
=0
1
3S
u1 = 2 lω1 = − 7m
第3篇 质系动力学
第 质6章 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
例4
突加约束
沿 水 平 面 作 纯 滚 动 的 均 质 圆 盘 的 质 量 为m ， 半径为r，其中心C以匀速 v前进。圆盘突然 与一高度为h(h < r)的凸台碰撞。设碰撞为 完全塑性，求圆盘碰撞后的角速度及碰撞 冲量。
定 理
第3篇 质系动力学
例4
解
第质6章 （2）求碰撞冲量：
系
碰撞前后质心C的速度 v沿Sn和Sτ方向的分量
动
分别为
量
vCn = −vsinα vCτ = v cosα
和
u Cn = 0
uCτ = ω r
动
由质心运动定理得：
量
Sn = m(uCn − vCn ) = mv h(2 r − h) / r
碰撞前后动能的变化
第3篇 质系动力学
硬气功表演？
第 质6章 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
例2
定轴转动刚体（复摆） 受碰撞冲量S 的作用。已 知 刚 体 对 定 轴 O的 转 动 惯 量为J，质量为m，质心C 距轴O的距离为a，冲量S 与OC 的 延 长 线 的 交 点A 距轴 O 的 距 离 为l。 求碰 撞后质心C的 速 度uC 和轴 承 O处的约束碰撞冲量SO。
第3篇 质系动力学
第 质6章 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
例2
解
刚体在碰撞冲量作用下作定轴转动，作受力图
由对O轴的动量矩定理 的有限形式得
ω
=
Sl cos α J
质心C的速度
uc
=
Sal cosα J
,
vc = 0
v为y向速度
由质 心 运 动 定 理 的有限形式
muc = Sox + S cosα
–完全弹性碰撞 e = 1 当 m1 = m2 时: u1n = v2n, u2n = v1n，两球法向速度交换
– 球与固定面碰撞 m2 = ∞, v2 = 0 u1n = −ev1n , u2 = 0 恢复系数的测量方法 球回弹，墙不动
第3篇 质系动力学
第 质6章 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
v1n
−v2n
=
I1
(
1 m1
+
1） m2
−I2 = m1 (u1n − u) I2 = m2 (u2n − u)
e
=
u2n v1n
− u1n − v2n
第3篇 质系动力学
u1n
− u2n
=
−
I2
(
1 m1
+
1） m2
恢复系数 等于碰撞后相 对分离的速度和碰撞前 相对接近的速度之比。
第 质6章 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
矩 定
Sτ
=
m(uCτ
− vCτ )
=
m
vh 3r
理
第3篇 质系动力学
第 质6章 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
思考题
将钉子插入小孔A后圆盘如何运动？ 将钉子从小孔A中取出后圆盘又如何运动？
第3篇 质系动力学
思考题
解
第 质6章
LA = LO + rO × m vO
系
| 插入钉子前 vO = 0
动
∑ dLA
dt
=
n i =1
?i × Fi( e)
∑ ∫n
LA2 − LA1 =
i =1
t2 t1
?i
×
Fi(e )dt
对碰撞问题
n
∑ LA 2 − LA1 =
?i ×
I (e ) i
=
M (e) A
i=1
碰撞前后质系对定点的动量矩的改变 量等
于质系上所有外碰撞冲量对该点的主矩。
第3篇 质系动力学
第 质6章 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
第3篇 质系动力学
例4
解
第质6章 （1）求撞后角速度：
系
碰撞时圆盘的运动发生突变。碰撞前后圆
动
盘对A 轴的动量矩守恒：
量 和 动
碰撞前
LA1
=
JC
v + m v(r − h )= r
mv( 3r 2
− h)
碰撞后
LA 2
=
J
Aω
=
3 2
mr 2 ω
量
LA1 = LA2
ω
= (1−
2h) 3r
v r
矩
LA0 = LO = JOω0
O
量
| 插入钉子后
和 动
LA1 = (JO + mρ 2 )ω1 ρ = OA
A
量
| 取出钉子后作平面运动
矩
LA2 = JOω2 + mρ2ω1 vO = ρω1
定 理
| 对A轴动量矩守恒 LA0 = LA 1 = LA 2
能 选 O点 吗 ？
ω1
=
JO
JO + mρ2
ω0
第3篇 质系动力学
ω2 = ω1
第 质6章 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
有限形式的动量和动量矩定理
（1） A 应选外冲量通过的点。 （2）在碰撞过程中 A 为定点。
∑ dLA
dt
=
n i =1
?i × Fi( e)
∑ ∫n
LA2 − LA1 =
i =1
t2 t1
?i
×
Fi(e )dt
对碰撞问题
按弹性筛选钢球
第3篇 质系动力学
第 质6章 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
碰撞问题的解题方法
| 运动状态在极短的时间内发生有限变化， 因 此 须 应 用动 量 与 动 量 矩 定 理 的有 限 形 式 ， 并忽略有限（常规）力 。
muC − mvC = I (e)
LA2 − LA1 = M A (Ii( e) ) | 附加恢复系数补充方程。 | 恢复系数等于碰 撞 点 的碰撞后相对分离速度
冲击力为零，制动器离门铰A的距离 l 应取多 大？
A b
1 mb 2
l= J = 3 = 2b
l
ma
m
b 2
3
B
棒球、打锤
第3篇 质系动力学
第 质6章 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
例3
两根长为 l、质量为m的均质 杆在A点铰接后悬挂在 O轴上， 在B 端 受 到 冲 量S的 作 用 。 求 碰撞后两杆的角速度和轴承 O处的约束冲量。
n
∑ LA 2 − LA1 =
?i ×
I (e ) i
弹性杆碰撞过程演示
第3篇 质系动力学
第 质6章 系 动 量 和 动 量 矩 定 理
有限形式的动量和动量矩定理
∑ d(mvC ) dt
=
n i =1
F (e) i
∫ ∑ ∑ muC − mvC =
F dt = I = I t2 n
(e)
t1 i =1 i
n
(e碰撞前后动量的改变 量等于作用 在质系上的所有外碰撞冲量的主矢量。
1 12
m
l
2ω2
=
(
S
−
S Ax ) ⋅
1 2
l
运动学关系
u2
=
lω1
+
1 2
lω2
联立求解得：
ω1
=
−
6S 7ml
,
ω2
=
30S 7ml
u2
=
9S 7m
,
SAx
=
2S 7
S Ay = 0
第3篇 质系动力学
第 质6章 系 动 量 和 动 量 矩 定 理