苏教版初三数学中考复习-函数及其应用
苏教版初中数学知识点
苏教版初中数学知识点苏教版初中数学知识点概述一、数与代数1. 有理数- 有理数的概念- 有理数的加法、减法、乘法、除法- 有理数的比较大小- 绝对值的概念及性质2. 整数- 整数的性质- 整数的四则运算- 整数的因数与倍数- 质数与合数3. 代数表达式- 单项式与多项式- 代数式的加减运算- 乘法公式与因式分解- 分式与分式的运算4. 一元一次方程与不等式- 方程与方程的解- 解一元一次方程- 不等式及其解集- 一元一次不等式及其解法5. 二元一次方程组- 二元一次方程组的概念- 代入法与消元法解方程组 - 三元一次方程组的解法6. 函数- 函数的概念- 函数的表示方法- 一次函数与反比例函数- 二次函数的图像与性质二、几何1. 平面图形- 点、线、面的基本性质- 角的概念及分类- 三角形的性质与分类- 四边形的性质与分类- 圆的性质2. 几何图形的计算- 面积与体积的计算公式- 三角形、四边形的面积计算 - 圆的周长与面积- 空间图形的体积计算3. 相似与全等- 全等三角形的判定- 相似三角形的判定与性质 - 相似多边形- 相似三角形的面积比4. 解析几何- 坐标系的概念与应用- 直线与曲线的方程- 点、线、面间的几何关系三、统计与概率1. 统计- 数据的收集与整理- 统计图表的绘制与解读- 平均数、中位数、众数的计算- 方差与标准差的概念及计算2. 概率- 随机事件的概念- 概率的计算与表示- 事件的可能性分析- 独立事件与条件概率四、综合应用题1. 数学问题的实际应用- 利用数学知识解决实际问题- 数学建模的基本概念- 应用题的解题策略与方法2. 数学探究活动- 数学问题的发现与提出- 数学探究的方法与步骤- 数学结论的归纳与证明以上是苏教版初中数学的主要知识点概述，每个部分都包含了相应的概念、性质、公式和解题方法。
在实际教学过程中，教师会根据学生的具体情况和学习进度，逐步深入讲解每个知识点，并通过大量的练习题来巩固学生的理解和应用能力。
初三数学总复习-坐标系与函数
水银柱的长度 x（cm） 4.2 体温计的读数 y（℃） 35.0
… …
8.2 40.0
9.8 42.0
（1）求 y 关于 x 的函数关系式（不需要写出函数的定义域） ； （2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为 6.2cm，求此时体温计的读数．
描点法 概念 图象 数形结合 性质
应用
二、高中对于函数内容的有关解释 和要求
• 用运动变化的观点研究、描述客观世界中相互 关联的量之间的依存关系。 • 中学数学，函数思想在解题中的应用主要体现 在两个方面： 借助有关初等函数的性质，解有关求值、解 （证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范 围等问题； 在问题的研究中，通过建立函数的关系式或构 造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数 的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的
专题二——函数与几何变换
• 翻折 • 认清 翻“谁”，翻的“方向”，别徒劳 • 《西总》P158 7 （2013.5海淀） 轴在动，作图要求高
• 2015.1海淀23
y
5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1
-1 -2 -3 -4 -5
O
1
2
3
4
5
x
专题三——函数的应用
4.（2014•上海，第 21 题 10 分）已知水银体温计的读数 y（℃）与水银柱的长度 x（cm）
三、《中考说明》中对函数内容要 求的变化
• 降 • P61 C降B 能结合图象对简单实际问题中的 函数关系进行分析 • P62 B降A会利用二次函数的图象求一元二次 方程的近似解 • P62 B降A通过图象了解二次函数的性质
初三苏教版数学下二次函数的图像和性质知识点
初三苏教版数学下二次函数的图像和性质知识
点
二次函数表达式为y=ax²+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式），查字典数学网为大家整理了二次函数的图像和性质知识点，希望对大家有帮助！知识点1二次函数的图像是一条抛物线。
2抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴(即直线x=0)。
3二次项系数a决定抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线向上开口;当a0)，对称轴在y轴左;当a与b 异号时(即ab0时，抛物线与x轴有2个交点;Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点;Δ=b^2-4ac1 C. x>- 4 D . -42.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，如果提高售价，才能在半月内获得最大利润?答案：1、 A2、售价为35元时，在半月内可获得最大利润二次函数的图像和性质知识点的全部内容就是这些，不知道大家是否已经都掌握了呢？预祝大家以更好的学习，取得优异的成绩。
苏教版九年级数学上册《二次函数的应用(5)》课件
例5:.某化工材料经销公司购进了一种化工原
料共7000千克，购进价格为每千克30元，物 价部门规定其销售单位不得高于每千克70元， 也不得低于30元，市场调查发现：单价定为 70元时，日均销售60千克；单价每降低1元， 日均多售出2千克，在销售过程中，每天还 要支出其它费用500元（天数不足一天时， 按整天计算），设销售单价为x元，日均获 利为y元。
例5:.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共
7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规 定其销售单位不得高于每千克70元，也不得低于 30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销 售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克， 在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天 数不足一天时，按整天计算），设销售单价为x元， 日均获利为y元。
将这批化工原料全部售完需
7000 ≈117 60
天，
那么获总利为(7030)× 7000 1 1 7× 5 0 02 2 1 5 0 0
元，而
时且
元。 2 2 1 5 0 0 1 9 5 0 0 0 2 2 1 5 0 0 1 9 5 0 0 0 2 6 5 0 0
∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.
例3启明公司生产某种产品，每件产品成本是3 元，售价是4元，年销售量是10万件，为了获得 更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告， 根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，
1
产x本2+品费107 的和x年广+107销告,售费如量：果将把是利原润销看售作量是的销y售倍总，额且减y=去﹣1成0 试写出年利润s(万元)与广告费x(万元)的函
当X=160时,z=180 当z=180时,X=160,或 x=180 当X=160时Y=14万件 当x=180时Y=12万件
苏教版九年级数学第七章三角函数知识点梳理
苏教版九年级数学第七章三角函数知识点梳理一、锐角三角函数的意义：（1）一个锐角的正弦、余弦、正切就叫做这个角的三角函数。
①锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tanA 。
（即直角三角形中两条直角边的比）②锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA 。
（即直角三角形中锐角A 所对的直角边与斜边的比） ③锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA 。
（即直角三角形中锐角A 相邻的直角边与斜边的比） （2）如图,在△ABC 中,∠c=900二、锐角三角函数之间的关系：（1）等角（锐角）的三角函数之间的关系：如果几个锐角相等,则其三角函数值对应相等；反之,如果几个锐角的三角函数值对应相等,则这几个锐角相等。
即锐角的三角函数值只与角的度数有关； 若度数相等,则其三角函数值则对应相等。
边A的对边sinA 斜∠=斜边A的邻边cosA ∠=边A 边A的tanA 的邻对∠∠=（2）同一个锐角的三角函数之间的关系 ①sin²A+cos²A=1（即同一个锐角的正弦值和余弦值的平方和为1。
）② （即同一个锐角的正切值=这个角的正弦值与该角余弦值的商。
） （3）互余两锐角之间的三角函数之间的关系①若∠A 与∠B 互为余角,则sin A= cos （90︒- A ）= cosB②若∠A 与∠B 互为余角,则tan A ×tan （90︒- A ）= 1即tan A ×tanB = 1即：若∠A 与∠B 互为余角,则①∠A 的正弦值=∠B 的余弦值；∠A 的余弦值=∠B 的正弦值。
②∠A 的正切值与∠B 的正切值互为倒数。
三、锐角三角函数值的变化规律（或增减性）①当角度在0---90之间变化时,正弦值（正切值）随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。
②当角度在0---90之间变化时,余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
四、特殊角的三角函数cosAsinAtanA =五、解直角三角形（1）意义：由直角三角形中的已知元素（除直角外）,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。
苏教版数学必考知识点归纳
苏教版数学必考知识点归纳苏教版数学教材以其系统性和逻辑性著称，涵盖了从小学到高中的各个阶段。
以下是苏教版数学必考知识点的归纳，以供学生复习和教师教学参考：小学数学必考知识点：1. 数的认识：包括整数、小数、分数、百分数等基本概念和性质。
2. 四则运算：加法、减法、乘法、除法的运算规则和简便计算方法。
3. 应用题：解决实际问题的能力，如购物、旅行、时间计算等。
4. 几何初步：平面图形（如正方形、长方形、三角形等）和立体图形（如立方体、圆柱体等）的基本特征和面积、体积的计算。
5. 度量单位：长度、面积、体积、质量、时间等单位的换算和应用。
6. 数据的收集与处理：简单的统计图表，如条形图、折线图等。
初中数学必考知识点：1. 代数基础：变量与常数、代数表达式、方程和不等式的解法。
2. 函数：一次函数、二次函数、反比例函数的图像和性质。
3. 几何进阶：相似三角形、圆的性质、多边形的面积和体积的计算。
4. 统计与概率：数据的收集、整理和描述，概率的基本概念。
5. 数列：等差数列和等比数列的概念、通项公式和求和公式。
6. 解析几何：坐标系中点的坐标、直线和曲线的方程。
高中数学必考知识点：1. 集合与逻辑：集合的概念、运算和逻辑推理。
2. 函数与方程：函数的单调性、奇偶性、复合函数、反函数，以及方程的根的性质。
3. 导数与微分：导数的定义、几何意义、基本导数公式和应用。
4. 积分：定积分和不定积分的概念、计算方法和几何意义。
5. 解析几何深入：圆锥曲线、极坐标和参数方程、向量的概念和运算。
6. 立体几何：空间直线和平面的位置关系，多面体和旋转体的体积和表面积。
7. 三角学：三角函数的定义、图像、性质和恒等变换。
8. 概率与统计：随机变量、概率分布、期望值、方差等统计量的计算。
结束语：数学是一门需要不断练习和思考的学科。
掌握这些必考知识点，可以帮助学生在考试中取得优异的成绩。
同时，数学思维的培养对于解决现实生活中的问题也具有重要意义。
(完整版)苏教版初中数学知识点总结(适合打印)
1．一般性质（角）⑴内角和：360°⑵顺次连结各边中点得平行四边形。⑶外角和：360°
推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。
推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。
2．特殊四边形
⑴研究它们的一般方法:
⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定
3．三角形的主要线段
讨论：①定义②××线的交点—三角形的×心③性质
①高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线
⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形
4．特殊三角形的判定与性质5．全等三角形
⑴一般三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS）⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法
⑵追及问题（同时出发）：
若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则
⑶水中航行： ;
1.配料问题：溶质=溶液×浓度2.溶液=溶质+溶剂3．增长率问题：
4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。
5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。
二、实数的运算
运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）
运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的分配律）
运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”到“右”（如5÷ ×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。
第二章 代数式
1.代数式与有理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。整式和分式统称为有理式。
6．三角形的面积⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。
苏教版高考总复习数学精品课件 主题二 函数 第五章 三角函数、解三角形 第三节 两角和与差的三角函数
B
2− 6
2− 6
2+ 6
2+ 6
B.
C.
D.
2
4
2
4
∘
∘
[解析] = +
×
=
−
.故选B.
∘
∘
∘
∘
∘
= − ⋅ =
×
−
（2）已知sin + 2sin −
1
3
A.3B. C.−3D.−
=
−
=
−
= − .
（2）已知sin + sin +
1
2
3
3
2
3
A. B. C. D.
得 +
= 1,则cos
π
−
3
=() B
2
2
[解析]由 + +
3
4
3π
π,
2
,sin =
3
− ,则tan
5
+
π
4
=() D
1
7
A.1B. C. D.7
[解析]因为 ∈ ,
则 = −
可得 =
, = − ,
−
=
−
=
苏教版2022-2023学年九年级数学上册《一元二次方程的应用八大题型》专项训练
【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题1.12一元二次方程的应用八大题型专项训练（重难点培优）【知识点1】增长率问题【例1】（2022·江苏·九年级专题练习）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；(2)假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．【变式1.1】（2020·江苏·南京市金陵汇文学校九年级阶段练习）2020年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．(1)求三、四这两个月销售风的月平均增长率；(2)为回馈客户，该网店决定五月降价促销，经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？【变式1.2】（2022·江苏南通·八年级期末）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2019年底到2021年底两年内由5万册增加到7.2万册．(1)求这两年藏书的年平均增长率；(2)该校期望2022年底藏书量达到8.6万册，按照（1）中藏书的年平均增长率，上述目标能实现吗请通过计算说明．【变式1.3】（2022·江苏盐城·一模）3月初某商品价格下跌，每件价格下跌20％，用3000元买到的该商品件数比下跌前多25件．3月下旬该商品开始涨价，经过两次涨价后，该商品价格为每件29.04元．(1)求3月初该商品下跌后的价格；(2)若该商品两次涨价率相同，求该商品价格的平均涨价率．【知识点2】传播问题【例2】（2022·江苏·泰州中学附属初中九年级期末）流行病学中有一个叫做基本传染数R0的数字，简单来说，就是一个人在一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有36人感染，求新冠病毒的基本传染数R0．【变式2.1】（2021·江苏·连云港市新海实验中学九年级阶段练习）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？【变式2.2】（2020·江苏宿迁·九年级阶段练习）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？【变式2.3】（2011·江苏南通·九年级期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【知识点3】营销问题【例3】（2022·江苏·九年级）南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？(1)解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为________；方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：________．(2)请你选择一种方法，写出完整的解答过程．【变式3.1】（2021·江苏扬州·九年级期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元．(1)每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示）(2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．(3)平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．【变式3.2】（2022·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期末）某地农产品专卖店收购了一种非常受欢迎的土特产，该店以80元/千克收购了这种土特产2000千克，若立即销往外地，每千克可以获利20元．根据市场调查发现，该种土特产的销售单价每天上涨0.4元/千克，为了获得更大利润，该店决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批土特产的贮藏时间不宜超过60天，在贮藏过程中平均每天损耗5千克．(1)若商家将这批土特产贮藏x天后一次性出售，请完成下列表格：每千克土特产售价（单位：元）可供出售的土特产质量（单位：千克）现在出售 2000x天后出售(2)将这批土特产贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润50000元？【变式3.3】（2022·江苏无锡·八年级期末）某网店第一次用17500元购进一批医用外科口罩，很快销售一空，第二次又用40000元购进该医用外科口罩，但这次每盒的进价比第一次进价多5元，购进数量则是第一次的2倍．(1)第一次每盒医用外科口罩的进价是多少元？(2)该网店发现：每盒售价为60元时，每星期可卖300盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30盒．该网店某星期销售该款口罩获得了6480元的毛利润，该款口罩每盒成本为第二次的进价，那么该网店这星期销售该款口罩多少盒？[毛利润=（售价-进价）×销售量]【知识点4】面积问题【例4】（2022·江苏泰州·中考真题）如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？【变式4.1】（2022·江苏徐州·九年级期末）如图，有一张长6cm、宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为6cm2的有盖长方体铁盒．求剪去的正方形的边长．【变式4.2】（2022·江苏南京·九年级期末）某单位要修建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．(1)求小路的宽度．(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．【变式4。
【中考复习】苏教版2023学年中考数学专题复习 二次函数
二次函数一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1, 2）B．（1, 2）C．（2, ﹣1）D．（2, 1）2．下列抛物线中, 在开口向下的抛物线中开口最大的是（）A．y＝x2B．C．D．y＝﹣3x23．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：对称轴为（）x﹣10123y51﹣1﹣11 A．y轴B．直线x＝C．直线x＝D．直线x＝24．抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣a﹣1经过原点, 那么a的值等于（）A．0B．1C．﹣1D．35．抛物线y＝﹣2（x+3）2+4的顶点坐标是（）A．（﹣3, 4）B．（3, 4）C．（﹣3, ﹣4）D．（3, ﹣4）6．将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位, 再向下平移3个单位, 得到的函数图象的表达式是（）A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x+2）2﹣3C．y＝（x﹣2）2+3D．y＝（x﹣2）2﹣3 7．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1可由抛物线y＝﹣2x2平移得到, 则平移的方式是（）A．向右平移1个单位长度, 再向上平移1个单位长度B．向左平移1个单位长度, 再向上平移1个单位长度C．向右平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度D．向左平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度8．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移1个单位长度, 再向左平移2个单位长度后, 得到的抛物线表达式是（）A．y＝x2+2B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x﹣3）2+1 9．若函数是二次函数, 则m的值是（）A．2B．﹣1或3C．﹣1D．310．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）的图象上有A（, y1）、B（, y2）两个点, 则（）A．y1＝y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．无法确定二．填空题（共5小题）11．某商场要经营一种新上市的文具, 进价为20元, 试营销阶段发现：当销售单价是25元时, 每天的销售量为250件, 销售单价每上涨1元, 每天的销售量就减少10件, 当销售单价为元时, 该文具每天的销售利润最大．12．已知关于x的二次函数y＝（m+1）x2﹣x+m2﹣1的图象经过原点, 则m的值为．13．将抛物线y＝x2+1向右平移2个单位长度后所得的抛物线的函数表达式为．14．抛物线y＝x2+mx+4的图象与y轴的交点坐标是．15．某二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与直线y2＝kx+m（k≠0）相交于点M、N, 则当y1＞y2时, 自变量x的取值范围是．三．解答题（共6小题）16．如图, 用一段长为28m的篱笆围出一个一边靠墙的矩形菜园, 墙长为18m．设矩形的一边长为xm, 面积为ym2．（1）求y与x的函数关系式；（2）写出此二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项；（3）写出二次函数图象的对称轴．17．在平面直角坐标系xOy中, 二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（0, 1）, B（3, 4）．求此二次函数的解析式及函数图象的对称轴．18．学校附近顺天府超市销售一种进价为10元/双的手套, 经调查发现, 该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+40（10＜x＜20）, 设销售这种手套每天的利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少？19．已知二次函数顶点是（2, 3）且经过（0, 1）, 求此二次函数的解析式．20．为了改善小区环境, 某小区决定要在一块一边靠墙（墙长18m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD, 绿化带一边靠墙, 另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的AB边长为xm, 绿化带的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式, 并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时, 满足条件的绿化带的面积最大？21．已知抛物线y＝﹣x2+2x+m．抛物线过点A（3, 0）, 与x轴的另一个交点为C．与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．（1）求抛物线的解析式及点B, C的坐标；（2）求直线AB的解析式和点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线有一点D, 且S△ABD＝S△ABC, 求点D的坐标．2023年中考数学专题复习--二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1, 2）B．（1, 2）C．（2, ﹣1）D．（2, 1）【分析】直接根据二次函数的顶点式可得出结论．【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+2,∴其顶点坐标为（1, 2）．故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的性质, 熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．2．下列抛物线中, 在开口向下的抛物线中开口最大的是（）A．y＝x2B．C．D．y＝﹣3x2【分析】根据二次函数的性质, 开口向下, 二次项系数小于0, 二次项系数的绝对值越小, 开口越大解答．【解答】解：∵抛物线开口向下,∴二次项系数小于0,∵|﹣|＜|﹣3|,∴y＝﹣x2的开口更大．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质, 熟记二次项系数与二次函数的开口方向和开口大小的关系是解题的关键．3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：对称轴为（）x﹣10123y51﹣1﹣11 A．y轴B．直线x＝C．直线x＝D．直线x＝2【分析】由于x＝1和2时的函数值相等, 然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．【解答】解：∵x＝1和2时的函数值都是﹣1,∴对称轴为直线x＝＝．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质, 主要利用了对称性, 掌握对称轴的求解方法是解题的关键．4．抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣a﹣1经过原点, 那么a的值等于（）A．0B．1C．﹣1D．3【分析】根据抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣a﹣1经过原点, 可以得到0＝﹣a﹣1, 然后求出a的值即可．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣a﹣1经过原点,∴0＝﹣a﹣1,解得a＝﹣1,故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征, 解答本题的关键是明确题意, 利用二次函数的性质解答．5．抛物线y＝﹣2（x+3）2+4的顶点坐标是（）A．（﹣3, 4）B．（3, 4）C．（﹣3, ﹣4）D．（3, ﹣4）【分析】根据二次函数的顶点式, 可以直接写出顶点坐标．【解答】解：∵二次函数y＝﹣2（x+3）2+4,∴该函数的顶点坐标为（﹣3, 4）,故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质, 解答本题的关键是明确题意, 由顶点式可以写出顶点坐标．6．将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位, 再向下平移3个单位, 得到的函数图象的表达式是（）A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x+2）2﹣3C．y＝（x﹣2）2+3D．y＝（x﹣2）2﹣3【分析】直接根据“上加下减, 左加右减”的原则进行解答．【解答】解：二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位, 再向下平移3个单位, 得到的函数图象的表达式是：y＝（x﹣2）2﹣3．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换, 熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．7．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1可由抛物线y＝﹣2x2平移得到, 则平移的方式是（）A．向右平移1个单位长度, 再向上平移1个单位长度B．向左平移1个单位长度, 再向上平移1个单位长度C．向右平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度D．向左平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度【分析】原抛物线顶点坐标为（0, 0）, 平移后抛物线顶点坐标为（1, ﹣1）, 由此确定平移的步骤．【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣1）2﹣1,∴该抛物线的顶点坐标是（1, ﹣1）,∵抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标是（0, 0）,∴平移的方法可以是：将抛物线y＝2x2向右平移1个单位, 再向下平移1个单位．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移, 寻找平移方法．8．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移1个单位长度, 再向左平移2个单位长度后, 得到的抛物线表达式是（）A．y＝x2+2B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x﹣3）2+1【分析】直接根据“上加下减, 左加右减”的原则进行解答．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移1个单位长度, 再向左平移2个单位长度后, 得到的抛物线表达式是y＝（x﹣1+2）2+2﹣1, 即y＝（x+1）2+1．故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换, 熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．9．若函数是二次函数, 则m的值是（）A．2B．﹣1或3C．﹣1D．3【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．【解答】解：由题意得：m2﹣2m﹣1＝2, 且m2+m≠0,解得：m＝3．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数的定义, 正确把握定义是解题关键．10．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）的图象上有A（, y1）、B（, y2）两个点, 则（）A．y1＝y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．无法确定【分析】A、B的坐标两个点的横坐标离对称轴的距离, 二次函数图象上点的横坐标离对称轴越近, 对应的纵坐标越小；判断出y1、y2的大小关系．【解答】解：∵y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）∴抛物线开口向上, 对称轴为x＝1, 开口向上．∵点A横坐标到对称轴的距离是|﹣1|＝,点B到横坐标对称轴的距离是|1|,∴y1＞y2．故选：B．【点评】本题考查判断函数值大小, 正确掌握二次函数图象的性质是解题关键．二．填空题（共5小题）11．某商场要经营一种新上市的文具, 进价为20元, 试营销阶段发现：当销售单价是25元时, 每天的销售量为250件, 销售单价每上涨1元, 每天的销售量就减少10件, 当销售单价为35元时, 该文具每天的销售利润最大．【分析】设该文具定价为x元, 每天的利润为y元, 根据每天利润＝单件利润×销售量列出函数解析式, 用函数的性质求最值．【解答】解：设该文具定价为x元, 每天的利润为y元,根据题意得：y＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250,∵﹣10＜0,∴当x＝35时, y最大, 最大值为2250,故答案为：35．【点评】本题考查二次函数的实际应用, 关键是找到等量关系列出函数解析式．12．已知关于x的二次函数y＝（m+1）x2﹣x+m2﹣1的图象经过原点, 则m的值为1．【分析】将原点坐标代入解析式求出m的值, 再由m+1≠0求解．【解答】解：将（0, 0）代入y＝（m+1）x2﹣x+m2﹣1得0＝m2﹣1,解得m＝1或m＝﹣1,∵m+1≠0,∴m≠﹣1, m＝1．故答案为：1．【点评】本题考查二次函数的性质, 解题关键是掌握二次函数与方程的关系．13．将抛物线y＝x2+1向右平移2个单位长度后所得的抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2+1．【分析】根据“左加右减”的法则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝x2+1向右平移2个单位长度后所得的抛物线的函数表达式为y ＝（x﹣2）2+1,故答案为：y＝（x﹣2）2+1．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换, 熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．14．抛物线y＝x2+mx+4的图象与y轴的交点坐标是（0, 4）．【分析】根据题意得出x＝0, 然后求出y的值, 即可以得到与y轴的交点坐标．【解答】解：令x＝0, 得y＝4,故与y轴的交点坐标是：（0, 4）．故答案为：（0, 4）．【点评】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识, 正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键, 此题难度不大．15．某二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与直线y2＝kx+m（k≠0）相交于点M、N, 则当y1＞y2时, 自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞2．【分析】根据抛物线与直线交点坐标, 结合图象求解．【解答】解：∵抛物线与直线交点坐标为M（﹣1, 4）, N（2, 1）,∴x＜﹣1或x＞2时, 抛物线在直线上方,∴当y1＞y2时, 自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞2．故答案为：x＜﹣1或x＞2．【点评】本题考查二次函数与不等式的关系, 解题关键是结合图象求解．三．解答题（共6小题）16．如图, 用一段长为28m的篱笆围出一个一边靠墙的矩形菜园, 墙长为18m．设矩形的一边长为xm, 面积为ym2．（1）求y与x的函数关系式；（2）写出此二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项；（3）写出二次函数图象的对称轴．【分析】（1）根据矩形的面积公式列出函数解析式即可；（2）由函数解析式可得结论；（3）由函数解析式可得结论．【解答】解：（1）依题意得, 矩形的另一边长为m,则y＝x×＝﹣x2+14x,自变量x的取值范围是0＜x≤18,∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+14x（0＜x≤18）；（2）由（1）中解析式知, 二次项系数为, 一次项系数为14, 常数项为0；（3）对称轴为直线x＝﹣＝14．【点评】本题考查二次函数的应用, 关键是列出函数解析式．17．在平面直角坐标系xOy中, 二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（0, 1）, B（3, 4）．求此二次函数的解析式及函数图象的对称轴．【分析】把A、B的坐标代入y＝x2+mx+n, 根据待定系数法即可求得一般式, 化成顶点式即可求得顶点坐标．【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（0, 1）, B（3, 4）；∴,解得：,∴y＝x2﹣2x+1,∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2,∴函数图象的对称轴为直线x＝1．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式, 二次函数图象上点的坐标特征, 熟知待定系数法是解题的关键．18．学校附近顺天府超市销售一种进价为10元/双的手套, 经调查发现, 该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+40（10＜x＜20）, 设销售这种手套每天的利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；（2）由（1）得到的是一个二次函数, 利用二次函数的性质, 可以求出最大利润以及销售单价．【解答】解：（1）y＝w（x﹣10）＝（﹣2x+40）（x﹣10）＝﹣2x2+60x﹣400；（2）y＝﹣2（x﹣15）2+50,∵10＜x＜20, a＝﹣2＜0,∴当x＝15时, y最大值＝50．答：当销售单价定为每双15元时, 每天的利润最大, 最大利润为50元．【点评】本题考查的是二次函数的应用, 解题的关键是（1）根据题意得到二次函数；（2）利用二次函数的性质求出最大值．19．已知二次函数顶点是（2, 3）且经过（0, 1）, 求此二次函数的解析式．【分析】由于已知抛物线的顶点坐标, 则可设顶点式y＝a（x﹣2）2+3, 然后把（0, 1）代入求出a的值即可．【解答】解：设二次函数的解析式是y＝a（x﹣2）2+3,把（0, 1）代入, 得4a+3＝1, 即a＝﹣,∴该二次函数的解析式是y＝﹣（x﹣2）2+3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地, 当已知抛物线上三点时, 常选择一般式, 用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时, 常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时, 可选择设其解析式为交点式来求解．20．为了改善小区环境, 某小区决定要在一块一边靠墙（墙长18m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD, 绿化带一边靠墙, 另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的AB边长为xm, 绿化带的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式, 并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时, 满足条件的绿化带的面积最大？【分析】（1）依题意易求得y与x的函数关系式以及x的取值范围．（2）根据函数的性质以及x的取值范围求最大值．【解答】解：（1）由题意得：x2+20x,自变量x的取值范围是0＜x≤18；∴y与x之间的函数关系式是y＝﹣x2+20x（0＜x≤18）；（2）y＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣20）2+200,∵﹣＜0, 0＜x≤18,∴当x＝18时, y有最大值, 最大值为192,即当x＝18时, 满足条件的绿化带面积最大．【点评】本题考查的是二次函数的实际应用．求二次函数的最大（小）值有三种方法, 第一种可由图象直接得出, 第二种是配方法, 第三种是公式法, 常用的是后两种方法．21．已知抛物线y＝﹣x2+2x+m．抛物线过点A（3, 0）, 与x轴的另一个交点为C．与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．（1）求抛物线的解析式及点B, C的坐标；（2）求直线AB的解析式和点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线有一点D, 且S△ABD＝S△ABC, 求点D的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式, 令x＝0, 求得y的值, 即可求得B的坐标, 求得对称轴, 根据抛物线的对称性即可求得C的坐标；（2）根据待定系数法即可求得直线AB的解析式, 把x＝1代入求得的直线解析式即可求得P的坐标；（3）过D点作DE⊥x轴, 交直线AB与E, 表示出DE, 然后根据三角形面积公式得到关于x的方程, 解方程求得x的值, 进而求得D的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+m过点A（3, 0）,∴﹣9+6+m＝0, 解得m＝3,∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3,令x＝0, 则y＝3,∴B（0, 3）,∵对称轴为直线x＝﹣＝1,∴点A（3, 0）关于对称轴的对称点为（﹣1, 0）, ∴C（﹣1, 0）；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b,把A（3, 0）, B（0, 3）代入得,解得,∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3,把x＝1代入y＝﹣x+3得, y＝2,∴P的坐标为（1, 2）；（3）∵抛物线有一点D（x．y）,∴D（x, ﹣x2+2x+3）,过D点作DE⊥x轴, 交直线AB与E,∴E（x, ﹣x+3）,∵A（3, 0）, B（0, 3）, C（﹣1, 0）,∴S△ABC＝×（3+1）×3＝6,∴S△ABD＝S△ABC＝3,∵S△ABD＝S△ADE+S△BDE,∴（﹣x2+2x+3+x﹣3）×3＝3,解得x1＝1, x2＝2,∴D（1, 4）或（2, 3）．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式, 函数图象上点的坐标特征, 二次函数的性质, 三角形的面积, 表示交点的坐标是解题的关键．。
苏教版九年级下册数学[解直角三角形及其应用--知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.求∠要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】 类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，b =【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan 60b a B ==⨯=° 由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°．(2)由tan bB a==B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2c ==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值． 举一反三：【课程名称：解直角三角形及其应用 395952 ：例1（1）-（3）】【变式】（1）已知∠C=90°，，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ；【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=2．（2015•湖北）如图，AD 是△ABC 的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC 的长；（2）sin ∠ADC 的值．【答案与解析】解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ， ∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．（2016•盐城）已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为．【思路点拨】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得．【答案】8或24．【解析】解：如图1所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC•AD=×6×=8；如图2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC•AD=×6×8=24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．【总结升华】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键．举一反三：【课程名称：解直角三角形及其应用395952：例2】【变式】（2015•河南模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为i =i ＝铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==．(2)在Rt △DEC 中，∵ tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AGAFG FG∠=55FB =+，解得5 3.66(m)FB ==． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.11.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5． 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52，CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°，∴ 551)22AB AE BE =+=+=≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。
2023最新-九年级数学《二次函数》教案【优秀9篇】
九年级数学《二次函数》教案【优秀9篇】备课是上好一堂课的前提。
高水平的课，一定要靠课前认真备课。
那么，老师备课要准备什么，才能上好一堂水平高的课呢？下面是整理的9篇《九年级数学《二次函数》教案》，希望朋友们参阅后能够文思泉涌。
二次函数教学教案参考篇一教学目标(一)教学知识点1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标。
(二)能力训练要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神。
2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。
3.通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。
(三)情感与价值观要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
2.具有初步的创新精神和实践能力。
教学重点1.体会方程与函数之间的联系。
2.理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根。
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标。
教学难点1.探索方程与函数之间的联系的过程。
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
教学方法讨论探索法。
教具准备投影片二张第一张：(记作§2.8.1A)第二张：(记作§2.8.1B)教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系。
当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解。
苏教版初中数学毕业复习：平面直角坐标系和一次函数典型题目分析
苏教版初中毕业复习：平面直角坐标系和一次函数典型题目分析对于这一部分知识中考中主要以选择和填空的形式出现，主要考查不同坐标系中点的特点及函数的图象、性质与函数的解析式，在解答题中经常出现用函数知识解决实际问题，在中考中一般占到6-10分左右。
知识梳理知识点1：平面直角坐标系及函数图象例1：已知点P （a ＋1，2a －1）关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围． 解体思路：本题根据点的坐标特征建立起不等式组是解题的关键．对称点在第一象限，则点P 在第四象限．根据各象限内点的坐标特征，可以建立关于a 的不等式组，求出a 的取值范围．依题意P 点在第四象限，则有⎩⎨⎧<->+01201a a ，解得－1＜a ＜12． 答案：a 的取值范围是－1＜a ＜12．例2：函数x 的取值范围是 ．21010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得x≥－12 且x≠15． 答案：x≥－12 且x≠15． 例3 ：三军受命，我解放军各部奋力抗战在救灾一线.现有甲、乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇，甲队先出发，从部队基地到该小镇只有唯一通道，且路程为24km ．如图是他们行走的路程关于时间的函数图象，四位同学观察此函数图象得出有关信息,其中正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4解题思路：结合题意、图象看出，甲队出发2小时后乙队出发，他们同时到达目的地，路程都是24 km ，甲队用了6小时，乙队用了4小时．可以求得，乙队行驶的平均速度是24÷4=6 km/h ．所以，第二、第三个同学的叙述正确．又观察图象，甲、乙两队行走的路程、时间的函数图象相交，交点的横坐标是4.5，这说明两个队在行驶途中有一次相遇，是在乙队出发2.5小时后追上甲队，所以，第一个同学的叙述正确．在甲队行走的路程、时间的函数图象中，在3～4小时之间的一段是水平的，意味着这段时间甲队在途中停留，所以第四个同学的叙述是正确的．综上所述，四个同学的叙述都正确。
苏教版初三数学：二次函数知识点归纳
苏教版初三数学：二次函数知识点归纳一、定义与定义表达式一样地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(a0)，则称y为x的二次函数。
二、二次函数的三种表达式一样式：y=ax2+bx+c(a0)顶点式：y=a(x-h) 2+k(a0)，现在抛物线的顶点坐标为P(h，k)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)仅用于函数图像与x轴有两个交点时，x1、x2为交点的横坐标，因此两交点的坐标分别为A(x1，0)和B(x2，0))，对称轴所在的直线为x=注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-，k=;x1,x2=;x1+x2=-三、二次函数的图像从图像能够看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。
四、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-，对称轴与抛物线唯独的交点是抛物线的顶点P。
专门地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-，)。
当x=-时，y最值=，当a0时，函数y有最小值;当a0时，函数y有最大值。
当-=0时，P在y轴上(即交点的横坐标为0);当=b2-4ac=0时，P在x轴上(即函数与x轴只有一个交点)。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小(即形状)。
当a0时，抛物线开口向上;当a0时，抛物线开口向下。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
关于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则a相等;若形状相同，开口方向相反，则a互为相反数。
4.二次项系数a和一次项系数b共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即：当对称轴在y轴左边时，a与b同号(即ab当对称轴在y轴右边时，a与b异号(即ab0)。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点位置，抛物线与y轴交于点(0，c)。
6.抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交点个数与方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根;=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。
苏教版初三数学解析几何的基本原理与应用
苏教版初三数学解析几何的基本原理与应用解析几何是数学中的一个重要分支，其基本原理和应用在苏教版初三数学教材中占据了重要的位置。
本文将介绍苏教版初三数学教材中解析几何的基本原理与应用，并通过具体例子进行解释和示范。
解析几何是研究平面和空间中的几何图形的一种方法。
它通过运用代数和几何的知识，将几何图形与坐标系中的点、向量和方程等数学概念相联系，从而解决和研究几何问题。
在苏教版初三数学教材中，解析几何主要包括点、直线、圆和曲线的表示及其性质研究，同时也涉及到向量和坐标系的应用。
首先，我们来看点和直线的表示。
在解析几何中，点可以用坐标表示，而直线可以用方程表示。
在二维坐标系中，假设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，那么点A和点B之间的距离可以通过勾股定理计算得到。
直线可以用一般式方程Ax + By + C = 0来表示，其中A、B、C为常数。
根据直线方程的系数可以判断直线的斜率和与坐标轴的交点等性质。
接下来，我们来看圆的表示和性质。
在解析几何中，圆可以用坐标表示，圆心的坐标为(h, k)，半径为r，那么圆的方程可以表示为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2。
根据圆的方程，我们可以求解圆的面积和周长等性质，同时也可以通过两个圆的方程来确定它们的相对位置关系。
除了点、直线和圆的表示，解析几何还涉及到曲线的研究。
曲线可以用方程表示，例如抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。
通过求解曲线的方程，我们可以了解曲线的形状、特点和性质，同时也可以利用曲线的方程进行问题的求解和应用。
在苏教版初三数学教材中，解析几何不仅涉及到基本原理的学习，还注重将其应用于实际问题的解决。
例如，在学习点和直线的表示时，教材会给出一些几何问题，要求学生通过点和直线的坐标来解决问题。
在学习圆的表示时，教材会提供一些实际情境，要求学生利用圆的方程和性质计算相关的数值。
这些例题和应用问题既巩固了学生对解析几何基本原理的理解，又培养了学生的实际应用能力。
苏教版初三数学教材解析与学习指导
苏教版初三数学教材解析与学习指导数学作为一门基础学科，对学生的发展和学习能力有着重要的影响。
苏教版初三数学教材作为学生学习的重要内容，具有很高的教学价值。
本文将对苏教版初三数学教材进行解析，并给出相应的学习指导。
一、教材特点与结构分析苏教版初三数学教材的特点可以总结为几个方面：理论与实践相结合，知识点层层拓展，题型多样且贴近实际。
教材分为七个模块，包括：函数与方程、几何推理、统计与概率、三角、平面向量、数列与数学归纳法、几何应用等。
二、教材重点知识点解析1. 函数与方程：重点关注函数的概念、性质以及函数的图像与方程的解法。
2. 几何推理：重点学习几何形状的性质、推理证明方法和三角形的相关知识。
3. 统计与概率：重点掌握数据收集与整理、统计分析方法和概率的计算与应用。
4. 三角：重点学习三角函数的用法、图像与性质，以及在实际问题中的应用。
5. 平面向量：重点理解向量的概念、运算规则与性质，并掌握向量在几何问题中的应用。
6. 数列与数学归纳法：重点学习数列的概念、性质和通项公式的推导，以及数学归纳法的运用。
7. 几何应用：重点关注几何形状的应用问题，如面积、体积、相似等。
三、学习指导1. 理清思路：在学习数学时，首先要明确目标，理清思路。
在学习每个知识点之前，先了解其概念、性质和基本公式，掌握解题方法和技巧，再进行大量的练习和巩固。
2. 掌握基础知识：初三数学是基础知识的延伸与拓展，因此要牢固掌握初中数学的基础知识，如代数、几何等。
只有基础知识扎实，才能更好地理解和应用新知识。
3. 大量练习：数学需要反复练习才能掌握，因此要做大量的习题，包括教材中的课后习题、历年试题和模拟试卷等。
通过反复练习，不仅可以巩固知识，还能训练解题思维和能力。
4. 理论联系实际：数学是应用学科，要注重将数学知识与实际问题相结合，培养学生的实际运用能力。
在学习过程中，要注意理论与实际的联系，通过解决实际问题来加深对数学知识的理解和掌握。
苏教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第四章 第一节 导数的概念及其意义、导数的运算
故A错误，B正确.设 , ， , ，则 − =
= ，由图
−
知′ < < ′ ，即′ < − < ′ ，故C，D正确.故选.
1
−
4.已知函数 = ln + 2 + 2，若′ e = 0，则 =____.
A.6.8 m/s2 B.7.6 m/s2 C.7 m/s 2 D.7.8 m/s 2
[解析]因为 = . + . ，所以′ = . + . .令 = ，得
. + . = ，解得 = 或 = −
（舍去），则当
= 时，
′ = . + . × = . ，即速度首次达到 /时的加速度为. / .故选B.
线在点 , − 处的切线方程为 − − = − − ，即 + − + = .故选C.
（2）已知,为实数，函数 = ln + 的图象在 = 1处的切线方程为4 − − = 0，
3
则的值为__.
2
，则′|= = − .由切线方程为
2.瞬时变化率与导数的概念
设函数 = 在区间 , 上有定义，且0 ∈ , ，若Δ无限趋近于0时，比值
0 + Δ − 0
Δ
=_____________.无限趋近于一个常数，则称
在 = 0 处可导，并称该常数
Δ
Δ
′ 0
为函数 在 = 0 处的导数（也称为瞬时变化率），记作_______.也可以表示为
= ( > 0，且 ≠ 1)
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初三中考复习——函数及其应用一、选择题（每题5分，共100分）1． 函数中，自变量的取值范围是 ·············· （ ）A ．≠0B ．≠lC ．≠－2D ．≠－1答案：C ．解析：本题为容易题，考查了函数自变量的取值范围及分式有意义的条件．分式有意义的条件为分母不为0，即≠0，因此本题选C ．2． 已知点A (1，5)在反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式是 ( ) A ． B ．C ．D ．答案：C ．解析：本题为容易题，考查了确定反比例函数的表达式．把x ＝1，y ＝5代入得：k ＝5，因此本题选C ．3． 一次函数的图象经过 ··················· ( )A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限答案：A ．解析：本题为容易题，考查了一次函数的图象．因为函数图象与两坐标轴分别交于点(0，1)，(－1，0)，因此本题选A ． 4． 已知矩形的面积为10，则它的相邻两边长y 与x 之间的关系用图象大致可表示为······························ ( )答案：A ．解析：本题为容易题，考查了反比例函数解决某些实际问题．由矩形的面积公式得x ·y ＝10，所以，又考虑实际问题中x ＞0，因此本题选A ．5． 如图，抛物线的顶点P 的坐标是（1，－3），则此抛物线对应的二次函数有 ············· ( )Oxy Oxy Oxy Oxy A .y xOP(第5题)A ．最大值1B ．最小值－3C ．最大值－3D ．最小值1答案：B ．解析：本题为容易题，考查了二次函数的性质．当抛物线开口向上时，顶点是最低点，即二次函数有最小值，因此本题选B ．6． 二次函数的对称轴是直线··············· ( ) A ．＝－1B ．＝lC ．＝－2D ．＝2答案：B ．解析：本题为容易题，考查了根据解析式确定二次函数对称轴的问题．解析式化为，二次函数的对称轴为过顶点且平行于y 轴的直线，因此本题选B ．7． 如图，直线与双曲线的图象的一个交点坐标为(2，4)，则它们的另一个交点的坐标是 ···· ( ) A ．（－2，－4） B ．（－2，4） C ．（－4，－2）D ．（2，－4）答案：A ．解析：本题为容易题，考查了反比例函数的性质和正比例函数的性质．反比例函数和正比例函数都是中心对称图形，因此本题选A ．8． 如图，抛物线的图像与x 轴的一个交点是(－2，0)，顶点是(1，3)．下列说法中不正确．．．的是 ··················· ( ) A ．抛物线的对称轴是x ＝1 B ．抛物线的开口向下C ．抛物线与x 轴的另一个交点是(2，0)D ．当x ＝1时，y 有最大值是3答案：C ．解析：本题为容易题，考查了二次函数的性质．抛物线关于对称轴对称．图中抛物线与x 轴的一个交点为(－2，0)，则它关于直线x ＝1对称的点是(4，0)，因此本题选C ．9． 如图，函数(k ，b 为常数)的图象经过点(0，1)和(2，(2，4) xyO(第7题)－2 －1 O 1 2 3 4 x.y 3 2 1(第8题)x21 Oy1(第9题)0)，则关于x 的不等式的解集是 ···· ( ) A ． B ． C ． D ． 答案：D ．解析：本题为容易题，考查了结合图象对函数关系进行分析．在平面直角坐标系中，满足的点都在x 轴的上方，而本题直线在x 轴上方的点的横坐标满足，因此本题选D ．10． ·············································································································· 把抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线是··········· ( )A ．B ．C ．D ．答案：B ．解析：本题为容易题，考查了确定二次函数的表达式．平移后，抛物线的顶点坐标为(1，0)，且a ＝－2不变，代入抛物线解析式：，因此本题选B ．11． ·············································································································· 均匀地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线），这个容器的形状是图中 ······· （ ）答案：C ．解析：本题为容易题，考查了探索具体问题中的数量关系和变化规律．线段OA 表示水位增长较慢，线段AB 表示水位增长极其迅速，因此本题选C ． 12． ·············································································································· 函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ········ ( )A ．2B ．1C ．4D ．3 答案：B ．解析：本题为容易题，考查了一次函数的图象．该函数图象与坐标轴的两个交点为(0，－1)和(－2，0)，因此本题选B ．(第11题) A ． B ． C ． D ． O hB A13． ················································································ 如图，A ，B 是函数的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，△ABC 的面积S ，则 ···· ( ) A ．S ＝1 B ．1＜S ＜2 C ．S ＝2 D ．S ＞2答案：C ． 解析：本题为中档题，考查了反比例函数的性质．由反比例函数的对称性可知，AC ＝2|y A |，BC ＝2|x A |，而|y A |×|x A |＝1，因此本题选C ． 14． ··················································································· 阻值为和的两个电阻，其两端电压U 关于电流强度I 的函数图象如图，则 ···················· ( ) A ．＞ B ．＜C ．＝D ．以上均有可能答案：A ．解析：本题为中档题，考查了用一次函数解决实际问题．由物理知识可知，在图象上取相同的I 值，对应的电压U 1＞U 2，因此本题选A ．15． 已知一次函数y ＝(m ＋2)x ＋(1－m ），若y 随x 的增大而减小，且该函数的图象与x轴的交点在原点的右侧，则m 的取值范围是 ············ ( )A ．m ＞－2B ．m ＜1C ．－2＜m ＜－1D ．m ＜－2 答案：D ．解析：本题为中档题，考查了一次函数的性质．一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0) 若y 随x 的增大而减小，则k ＜0；又该函数的图像与x轴的交点在原点的右侧，则直线经过第一、二、四象限，所以b ＞0，即，因此本题选D ．16． ·············································································································· 不论m 为何实数，直线y ＝x ＋2m 与y ＝－x ＋4的交点不可能在 ······ ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：C ．解析：本题为中档题，考查了用一次函数解决实际问题．IUR 2R 1O(第14题)Bxy A CO利用图象判断二元一次方程组的近似解，由于一次函数y ＝－x ＋4的图象不经过第三象限，因此本题选C ．17． 函数y ＝kx 与y ＝kx ＋1（k ≠0）在同一坐标系内的图象大致为图中的 · ( )答案：C ．解析：本题为稍难题，考查了一次函数与反比例函数的图象．利用一次函数图象的性质，由b ＞0可排除选项D ，在选项A 、B 、C 中只有C 的两个函数图象的k ＜0一致，因此本题选C ．18． 二次函数的图象可能是 ············· ( )答案：B ．解析：本题为稍难题，考查了二次函数的图象．选项C 、D 的对称轴为y 轴，显然与解析式不符；由图象可知选项A 中的，即a ＝1（抛物线开口向上，a ＝－1舍去），此时对称轴应为，显然也不符合图象特点，因此本题选B ．19． 如图，从某幢建筑物10米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面403 米，则水流下落点B 离墙距离OB 是 · ( )A ．2米B ．3米C ．4米D ．5米 答案：B ．解析：本题为较难题，考查了利用二次函数解决简单的实际问题．以墙与地面所在直线为坐标轴建立直角坐标系，则A （0，10），M （1，403），可得x yO A ．x y xy x y x yA ．B ．C ．D ． O O O O B ． x y O D ． xy O C ． x y O AMB(第19题)O二次函数解析式为：，从而可求得B（3，0），因此本题选B．20．已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，二次函数的图象过点C且与一次函数图象在第二象限交于另一点B，若AC∶CB ＝1∶2，则二次函数图象的顶点坐标为··············( ) A．（－1，3）B．（，）C．（，）D．（，）答案：C．解析：本题为较难题，考查了确定二次函数的表达式及一次函数的图象．由题意得A (，0)，C (0，3)，因AC∶CB＝1∶2，由相似的知识得B (－3，9)，从而解得二次函数的解析式为：，因此本题选C．本卷由《100测评网》整理上传，欢迎登录获取更多的学习内容。