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用导数方法求圆锥曲线的切线

求解函数图象上过某点的函数图象的切线的方程，是导数的一个重要应用。有心圆锥曲线一般情形下都不是函数图象，所以习惯上，一般我们不用导数方法求解圆锥曲线的切线问题，而是利用传统的方法，即判断直线和圆锥曲线方程所组成的方程组的解的情况来解决，但是有时候这种解法会比较烦琐，特别是含有参数的时候计算量较大。而我们可以将圆锥曲线分成“几个函数”来分别讨论，这样就可以实现用导数的方法来求曲线的切线了。本文将用导数的方法证明一个有心圆锥曲线的性质。

引理1：过椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上任意一点),(00y x P 的该椭圆的切线方程为12020=+b

y y a x x ； 证明：我们先考虑当的情形；0>y

,022x a a b y y -=>时，，22'x a a bx y --=

，

20200|'x a a bx y x x --== b

ay x a x a a b y 0202220,=--=所以而 ,,|'000

2020的斜率）的切线（即为椭圆过l y x P y a x b y x x -=∴= )(:00

2020x x y a x b y y l --=-∴切线 .1,20202202202020222022020202=++=++=+b

y y a x x b y a x b y y a x x b a y a x b y y a x x b ，即得

两边同除以化简得 当0

b y --=，同理可得其过）（00,y x P 的切线方程为.12020=+b

y y a x x 时，或在点)0,()0,(a a P -，以上结论仍然成立或其切线方程为a x a x -==，从而引理1得证！

引理2：过双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 上任意一点),(00y x P 的该双曲线的切线方程为12020=-b

y y a x x ； 证明：2200a x a

b y y y -=>>时，的情形，先考虑, 2200220|','a x a bx y a x a bx

y x x -=-== 而b

ay a x a x a b y 02202200=-∴-=， 0

2020|'y a x b y x x =∴=即为过）（00,y x P 的切线的斜率， 所以切线方程为)(00

2020x x y a x b y y -=- 整理得2

022020202y a x b y y a x x b -=- 进而有1,20202202202020

=--=-b

y y a x x b y a x b y y a x x 即； 类似的，当0

b y --=，其过点）（00,y x P 的切线方程仍然为12020=-b

y y a x x ， 时，或在点)0,()0,(a a P -，或其切线方程为a x a x -==以上结论仍然成立 ，从而 引理2成立！

对于焦点在y 轴上的椭圆和双曲线，类似的可以得到相同的结论。

引理3：过圆222r y x =+上一点）（00,y x P 的该圆切线方程为200r y y x x =+；

此为课本结论，用导数的方法也可以求得，这里就不再赘述。

由此，我们得到了有心圆锥曲线的一个与切线有关的非常美妙的性质！

定理：对于二次方程

)0(22中至少一个同号、与，βαγαβγγβα≠=+y x 所表示的曲线，设其上任意一点为）（00,y x P ，那么过点P 且与已知曲线相切的直线方程为γβα=+y y x x 00.

由图象平移法则，我们很容易得到一个更一般的结论！

推论：对于二次方程

)0()()(22中至少一个同号、与，βαγαβγγβα≠=-+-k y h x 所表示的曲线，设其上任意一点为）（00,y x P ，那么过点P 且与已知曲线相切的直线方程为γβα=--+--))(())((00k y k y h x h x 。

本文只是讨论了过已知曲线上一个定点求曲线切线的情形，对于更一般的情形还有待进一步的探索。当然，我们无意挑战用“方程的方法讨论直线与圆锥曲线位置关系”的基础地位，我们所提供的只是一种新的尝试，一种思维方式。当然，我们也得到了一个很简洁，很实用的结论。