报告厅座位设计模型

报告厅座位设计模型
一、问题的提出
本文针对报告厅座位设计问题建立了数学模型，怎样使观众能够舒服地观看听报告，从而将问题转化为使观众对座位的满意程度达到最大。

已知报告厅座位的满意度主要取决于视角α和仰角β，视角α是观众眼睛到屏幕上，下边视线的夹角，α越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β过大使人的头部过分上仰，引起不舒服，因而一般要求β不超过︒
30。

通过分析求下列问题：
θ，求最佳座位的所在位置。

(1)在已知地板线倾角︒
=10
(2)已知θ范围不超过︒
20，为使所有观众的平均满意程度最大，求地板线倾角θ。

(3)为进一步提高观众的满意程度，地板线应设计成什么形状。

二、问题的分析
每一个到报告厅的观众都想坐在最佳位置，座位的满意程度主要取决于水平视角α和仰角β，α越大越好，而β越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使学生对两者的综合满意程度达到最大。

针对这个问题，本文通过主观判断分别对水平视角α和仰角β取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。

针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位
Mathematic4数学软件求所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，这可利用a
函数极值的方法来求解；针对问题二，可将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数的平均值的最大值。

对此仍然可以利用问题一所建立的满意度函数，只是将自变量转化为地板线倾角；针对问题三，即在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。

本文是在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为了使模型简化，以便更好地说明问题，文中将作以下假设。

三、模型的假设
1．观众对座位的水平视角的满意程度呈线性。

2．观众对座位的仰角的满意程度呈线性的。

3．忽略因视力或其他方面原因影响观众的满意度。

4．最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘。

5．相邻两排座位间的间距取为0.8m。

6．对于同一排座位，观众对其满意程度相同。

四、符号说明
α水平视角
β仰角
θ地板线倾角
d第一排离屏幕水平距离
h屏幕高度
S观众对水平视角为α的满意程度
α
S观众对仰角为β的满意程度
β
C对水平视角α所取的权重
α
C对仰角β所取的权重
β
平均满意程度
五、模型的建立与求解
1．问题一
(1)模型的建立
以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系,如图1所示：
，其中=OP
2.我们所建立的模型贯穿全文，可用来解了这样的三个问题。

3.依据所建立的模型，我们给出了一种地板线的设计方案，使观众得的平均满意度进一步提高。

不足之处：
1．为了方便计算而对数据进行了粗略计算，虽然结果在误差范围之内，但这仍对结果造成了影响,这是有待改进的地方。

2．在模型的建立过程中，为了达到观众对水平视角的满意度和对仰角的满意度，而忽略了地板线倾角带来的影响。

3．在模型的建立过程中，本文是主观给视角和仰角的权值,应该找一种客观取权值的方法.
八、模型的推广
我们所建立的模型成功地解决了报告厅座位设计问题，使观众对座位的平均满意程度达到最大。

针对报告厅座位设计问题，我们所建立的线性型满意度函数，不仅可以用来衡量观众对座位的满意程度，而且可以用于工厂对所生产的零件的满意度，以及一些其它相关的满意程度问题，而文中所提供的设计方案还可用于大型场合的座位安排与设计，如体育场等。

九、参考文献
[1] 金伟东，线形型满意度及组合运算，铁道学报，第9卷，第5期 1997
[2] 姜启源，数学建模，高教出版社，2003。