复变函数与积分变换：1.1 复数及其表示
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点（一）复数的概念1.复数的概念：z = x • iy , x, y 是实数，x = Rez,y = lmz.r-_i.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2.复数的表示1）模：z =y/x2+y2；2）幅角：在z = 0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z是位于（-二，二］中的幅角。
3）arg z与arctan y之间的关系如下：xy当x 0, argz=arctan工；x[ yy - 0,arg z = arctan 二当x ： 0, xy y :: 0,arg z = arctan 「愿L x4）三角表示：z = z COST i sinv ，其中二-arg z ；注：中间一定是“ +"号5）指数表示：z = z e旧，其中日=arg z。
（二）复数的运算仁加减法：若z1= x1iy1, z2= x2 iy2，贝寸乙 _ z2 = % _ x2i 比 _ y22.乘除法:1 ）若z^x1 iy1 ,z2=x2iy2，则ZZ2 二XX2 —y』2 i X2% X』2 ；乙x iy1 % iy1 X2 —iy2 xg yy •- 丫2为-- = --------- = ----------------------- = -------------- T i --------------Z2 x? iy2 X2 iy2 x? - iy? x；y；x；y f2）若乙=乙e°,z2= z2e°, _则3.乘幂与方根ei "'2 ；土評匀）Z2Z21）若z =|z （cos日+isin 日）=|z e旧，则z"=上"（cosnT +i sin 用）=上"d吩。
2）若z =|z （cos日+isin 日）=|ze吩，贝U阪=z n.'cos日+2" +i si肆+2" ）（k =0,1,2[|I n—1）（有n个相异的值）l n n丿（三）复变函数1•复变函数：w = f z，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2•复初等函数1）指数函数：e z=e x cosy - isin y ,在z平面处处可导，处处解析；且e z= e z。
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
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x y=-3
§1.4 复数域的几何模型---复球面
N
0
对复平面内任一 点z, 用直线将z 与N相连, 与球面 相交于P点, 则球 面上除N点外的 所有点和复平面 上的所有点有一 一对应的关系, 而N点本身可代 表无穷远点, 记 作.
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3
除了复数的平
面表示方法外,
加减法与平行四边形 法则的几何意义:
乘、除法的几何意义
:
,
,
,
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.
几何上 z1z2 相 当于将 z2 的 模扩大 |z1| 倍 并旋转一个角
度Arg z1 .
0
1
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两 边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然 .
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引言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并
把这个方程的两个根形式地表为
。在当时，
包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
解：
设 z = x + i y , 方程变为
y
O
x
-i
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直
复变函数与积分变换复数与复变函数PPT课件
将它们代入所给的直线方程ax+bx=c，有
化简得
记α=a+ib，β=2c，便得结论.
（3）方程|z-i|=|z+2i|表示到点i和-2i的距离相等的点z的轨迹，
即连接复数i和-2i的线段的垂直平分线.
(4) 方程
表示一个圆周.
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1.1.5无穷远点与扩充复平面 取一个与 相切于坐标原点O的球面S. 过O作与复平面相垂直的直线，该直线 与球面S交于另一点N，O和N分别称为 球面的南极和北极（图1.7）.
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1.1.1复数域 形如
1.1复数
的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚
部，记作x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称
为纯虚数；特别地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
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1.1.2复平面、复数的模与辐角 由于一个复数z=x+iy可以由有序实数对(x,y)唯一确定，而有序实 数对(x,y)与平面直角坐标系xOy中的点一一对应，因此可以用坐标 为(x,y)的点P来表示复数z=x+iy (图1.1)，此时x轴上的点与实数 对应，称x轴为实轴，y轴上的点（除原点外）与纯虚数对应，称y轴 为虚轴.像这样表示复数的平面称为复平面，或按照表示复数的字母 是z,w,…,而称为z平面、w平面，等等.
图1.5
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例1.5设n为自然数，证明等式
证明令
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1.1.4共轭复数 设复数z=x+iy，称复数x-iy为z的共轭复数，记为 于实轴对称的（图1.6）. 由定义，容易验证下列关系成立：
复变函数和积分变换第二版本-1.1 复数-精品文档
14
§1.1 复数 第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
P4 例1.1
z z z z z z z 证明 z 1 2 1 2 1 2 1 2 z z z z 1 2 1 2
2 Re ( z z ) . 1 2
映射以及解析函数在平面场的应用。 积分变换的内容包括：傅里叶变换和拉普拉斯变换。
其中，带 “*” 号的内容本课堂不需要掌握。
4
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
第一章 复数与复变函数
复数的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八
世纪末期，经过了卡尔丹、笛卡尔、欧拉以及高斯等许多人 的长期努力，复数的地位才被确立下来。 复变函数理论产生于十八世纪，在十九世纪得到了全面
11
§1.1 复数 第 二、共轭复数 一 1. 共轭复数的定义 P2 章 x iy 定义 设 z 是一个复数， 复 数 x iy 称 z 为 z 的共轭复数， 记作 z 。 与 复 注 共轭复数有许多用途。 变 函 ( x iy ) ( x iy ) z1 z 2 z1 1 1 2 2 比如 z 数 ( x iy ) ( x iy ) z2 z2 z2 2 2 2 2
z z z ; 交换律 z 1 2 2 1
z z z z . 1 2 2 1
z z ) z z ( z z ) ; 结合律 ( 1 2 3 1 2 3
( z z ) z z ( z z ) . 1 2 3 1 2 3
( z z ) z z z z . 分配律 z 1 2 3 1 2 1 3
主要参考书（略）
3
二、教学内容
复变函数与积分变换课程是工科各专业必修的重要基础 理论课，是工程数学的主要课程之一。 复变函数与积分变换 在科学研究、工程技术等各行各业中有着广泛的应用。 本课程由复变函数与积分变换两个部分组成。 复变函数的内容包括：复数与复变函数、解析函数、复
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§1.1 复 数
1. 复数的概念
形如 z a ib 或 z a bi 的数称为复数。 i称为虚单位,即满足 i2 1 a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作 a Re z, b Im z. •当且仅当虚部b=0时,z=a是实数； •当且仅当a=b=0时,z就是实数0； •当虚部b≠0时,z叫做虚数； •当实部a=0且虚部b≠0时,z=ib称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集,用C表示. 实数集R是复数集C的真子集.
Hale Waihona Puke 1 1 1) Re z ( z z ), Im z ( z z ). 2 2i z z 2)( z w) z w, zw z w, ( ) ( w 0). w w 3) zw z w . z 4) z . w w 5) z z .
复数的模和共轭复数的性质
乘法
z1 z2 ac ibc iad i 2bd (ac bd ) i(bc ad )
z zz
2
除法
z1 a ib (a ib)(c id ) ac bd bc ad 2 i 2 , z2 0 2 2 z2 c id (c id )(c id ) c d c d
4. 复数的三角表示和复数的方根
复平面C的不为零的点 z x iy 极坐标 (r, ) : x r cos , y r sin
r z,
是正实轴与从原点O到z的射线的 夹角，称为复数z的幅角，记为 Argz
满足条件 π π 的幅角称为Argz的主值，记为 =argz，于是有=Argz=argz+2k, k=0,±1,±2,…. 复数的三角表示 z=r(cos+isin)
复变函数1.1复数
§1.1 复 数1. 复数域形如: iy x z +=或yi x z +=的数,称为复数,其中x 和y 是任意的实数, i 合于 12-=i ,称为虚单位.实数x 和y 分别称为复数z 实部和虚部,常记为: .Im ,Re z y z x ==复数 111iy x z +=及222iy x z +=相等,是指它们的实部与实部相等,虚部与虚部相等,即 2211iy x iy x +=+必须且只须 .21,21y y x x ==虚部为零复数就可看作实数,即x i x =⋅+0 因此,全体实数是全体复数的一部分.特别,000=⋅+i虚部不为零的复数称为复数;实部为零且虚部不为零的复数称为纯虚数. 复数iy x +和iy x -称为互为共轭复数,即iy x +是iy x -共轭复数.复数 z 的共轭复数常记为z .于是 iy x iy x +=-对于这样定义复数,我们必须规定其运算方法.由于实数是复数的特例,规定复数运算的一个基本方法是: 复数运算的法则实行于实数特例时,能够和实数运算的结果相符合,同时也要求复数运算能够 满足实数运算的一般规律.复数的加(减)法可按实部与实部相加(减),虚部与虚部相加(减).即复数222,111iy x z iy x z +=+=相加(减)的法则是:).()(212121y y i x x z z ++±=±结果仍是复数.我们称复数21z z +是复数1z 与2z 的和, 称复数21z z -是复数1z 与2z 的差.复数的加法遵守交换律与结合律,而且减法是加法的逆运算,这些都很容易验证.两个复数 111iy x z +=及222iy x z +=相乘,可按多项式乘法发则进行,只须将结果中的2i 换成1-,即)()(2121212121x y y x i y y x x z z ++-=结果仍是复数, 我们称它为 与 的积.也易验证,复数的乘法遵守交换律与结合律,且遵守乘法对加法的分配律.两个复数1z 及2z 相除(除数0≠)时,可先把它写成分式的形式,然后分子分母同乘以分母的共轭复数,再进行简化,即)0(2222221212222212121≠+-+++=z y x y x x y iy x y y x x z z结果仍是复数. 我们称它为1z 与 2z 的商.这里除法是乘法的逆运算.全体复数并引进上述运算后就称为复数域.在复数域内,我们熟知的一切代数恒等式,如像:),)((22b a b a b a -+=- ))((2233b ab a b a b a ++-=-等等,仍然成立,实数域和负数域都是代数学中所研究的”域”的实例,和实数域不同的是,在复数域中不能规定复数的大小.事实上,有像实数那样的大小关系.由于非零实数的平方大于零,而 则应有 即这是不可能的.2 复平面一个复数iy x z +=本质上有一对有序实数),(y x 唯一确定. 于 是能够建立平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系.换句话说,我们可以借助于横坐标为x 纵坐标为y 的点来表示复数iy x z +=(图1.1)由于x 轴上的点对应的实数,故x 轴称为实轴;y 轴上的非原点的点对应着纯虚数,故y 轴称为虚轴.这样表示复数 z 的平面称为复平面或 z 平面引进了复平面之后,我们在”数”和”点”之间建立了联系.以后再研究复变函数时常可借助几何直观,还可采用几何术语.这也为复变函数应用于实际提供了条件,丰富了复变函数论的内容.为了方便起见我们不在区分”数”和”点”,”数集”和”点集”,说到”点”可以指它所代表的”数”,说到”数”也可指这个数图1.1 1xx图1.2xx可代表”点”.例如 ,我们所说”点,1i + ”,”顶点为 321,,z z z 的三角形”等等在复平面上,从原点到点iy x z +=所引的向量与这个复数 也构成一一对应关系(复数0对应着0向量),这种对应关系使复数的加(减)法与向量加(减)法之间保持一致.例如,设:111iy x z +=, 222iy x z +=,则 ).()(212121y y i x x z z +++=+由图1.2可以看出, 21z z +所对应的向量,就是1z 所对应的向量和 2z 所对应的向的和向量.又如,将21z z -表成)(21z z -+可以看出,21z z - 所对应的向量就是1z 所对应的向量与-2z 所对应的向量的和向量.也就是从 2z 到 1z 的向量例1.1考虑一条江面上的水在某时刻的流动,假定在江面上取好一坐标系xOy 我们把江面上任意一点p 的速度 v 的两个分量记为x v 与y v 则我们可以把速度向量 v 写成复数(图1.4) y x v v v +=人们经过长期的摸索与研究发现,对于很多的平面问题(如流体力学与弹性力学中的平面问题等)来说,用复数及复变函数作工具是十分有效的.这正是由于复数可以表示平面向量的缘故.3.复数的模与辐角 表示复数 的位置,也可以借助点z 的极坐标r 和θ来确定（图1.1）．上面我们用向量z O 来表示复数iy x z +=，其中y x ,顺次等于z O 沿x 轴与y轴2z -2z 图1.3图1.4的分量．向量z O 的长度称为复数z 的模或绝对值，以符号||z 或r 表示，因而有,0||22≥+==y x z r且0||=z 的充要条件是0=z ．这里引进的模的概念与对于实数的绝对值的概念是一致的．由于复数z 的模||z 是非负实数，所以能够比较大小．根据图1.1我们有不等式.,,y x z z y z x +≤≤≤ (1.1)根据图1.2,我们有不等式|,|||||2121z z z z +≤+（三角形两边之和大于第三边） (1.2) 它称为三角不等式．此外，根据图1.3,我们还有不等式||||||||2121z z z z -≤-. （三角形两边之差小于第三边） (1.3)(1.2)及(1.3)中等号成立的几何意义是：复数21,z z 所表示的两个向量共线且同向．由图1.3可见，||21z z -表示1z 点与点2z 的距离，记为:.||),(2121z z z z d -= 二复数差的模的这个几何意义是非常重要的．它还可以借助解析几何中两点间的距离公式用解析方法得出：121122|||()()|z z x iy x iy -=+-+实轴正向到非零复数iy x z +=所对应的向量z O 间的夹角θ合于,xy tg =θ称为复数z 的辐角(Argument)，记为:.Argz =θ我们知道，任一非零复数z 有无穷多个辐角，今以z arg 表其中的一个特定值，并称合条件: ππ≤<-z a r g(1.4)的一个为Arg z 的主值，或称之为z 的主辐角．于是.2arg πθk z Argz +== ),2,1,0( ±±=k (1.5注意 当0=z 时，辐角无意义．当)0(arg ≠z z 表z 的主辐角时，它与反正切Arctg xy 的主值arctgxy 有如下关系（图1.5，图1.6）； (0),(0,0),2arg (0,0),(0)(0,0),(0,0).2y arctg x x x y z yarctg x y z xy arctg x y x x y ππππ⎧>⎪⎪⎪=>⎪⎪=⎪+<≥⎨≠⎪⎪-<<⎪⎪⎪-=<⎪⎩其中.22ππ<<-x y arctg 例1.2 求Arg )22(i -及Arg().43(i +- 解 Arg )22(i -=arg )22(i -+πk 2=arctg πk 222+-.24ππk +-= () 2,1,0±±=k例1.3 以知流体在某点M 的速度,1i --=υ，求其大小和方向． 解 大小：;2||=υ 方向：4311arg ππυ-=---=arctg从直角坐标与极坐标的关系，我们可以用复数的模与辐角来表示非零复数z ，即（由图1.1） ).sin (cos θθi r z += (1.6) 特别，当1=r 时有: ,sin cos θθi z += 这种复数称为单位复数．图1.6我们引出熟知的欧拉公式（参看本书第二章§2）;,s i n c o s θθθi e i += （1.7）并且容易验证⎪⎭⎪⎬⎫==-+,,)()(21212121θθθθθθθθi i i i i i e eeee e （1.8） 利用公式（1.7），就可以把（1.6）改写成.θi re z =（1.9）我们分别称（1.6）及（1.9）式为非零复数z 的三角形式和指数形式．并称iy x z +=为复数z 的代数形式．复数的这三中表示法，可以互相转换，以适应讨论不同问题时的需要，且使用起来各有其便．例1. 4;24sin 4cos 214ie i i πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+;2sin 2cos 12i e i i πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=;)0sin 0(cos 110i e i ⋅=+⋅= ;2)sin (cos 22i e i πππ=+=-.32sin 2cos 332i e i i πππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-例1.5 将复数 )0(sin cos 1πϕϕϕ≤<+-i 化为指数形式．解 原式2cos2sin22sin 22ϕϕϕi +=2sinsin cos 222i ϕϕϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=)22sin()22cos(2sin2ϕπϕπϕi ie)22(2sin 2ϕπϕ-=当 z=x +i y ≠0时,记arg z =θ利用复数的指数形式作乘除法较简单。
复变函数与积分变换第1章复数与复变函数精品PPT课件
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6
高等数学复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数
第一章 复数与复变函数第一节 复数1．复数域每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。
复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。
复数的四则运算定义为：)21()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222a ib a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。
2．复平面C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。
作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。
3．复数的模与辐角复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。
向量的长度称为复数的模，定(,)x y义为：||z向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Arg arctan 2y z i xπ=+（k Z ∈）。
复数的共轭定义为：z x iy =-；复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；复数加法的几何表示：设1z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；例1．1试用复数表示圆的方程：22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）其中a,b,c,d 是实常数。
复变函数与积分变换 逗号
复变函数与积分变换一、复变函数的基本概念和性质1.1 复数与复平面在介绍复变函数之前，我们首先需要了解复数的概念。
复数是由实部和虚部构成的数，可以表示为z=a+bi，其中a和b分别表示实部和虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
我们可以将复数表示为一个平面上的点，这就是复平面。
横轴表示实部，纵轴表示虚部。
每个复数就对应复平面上的一个点。
1.2 复变函数的定义复变函数是将复数映射到复数的函数。
形式上，设z=x+yi是定义在某个复数集合上的函数f(z)的自变量，其中x和y为实数。
将z替换为f(z)，我们就得到一个新的复数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)分别表示w的实部和虚部。
1.3 复变函数的性质复变函数与实变函数有许多不同之处，其中一些重要的性质如下： - 复变函数可以是解析函数，也可以是非解析函数。
- 如果一个复变函数在某个区域内解析，那么它在该区域内具有无穷阶导数，且导函数也是解析函数。
- 复变函数满足柯西-黎曼方程，即函数的实部和虚部满足一系列偏导数关系。
二、积分变换的基本概念和性质2.1 傅里叶变换傅里叶变换是积分变换的一种，用于将一个函数表示为一组正弦和余弦函数的线性组合。
它在信号处理、图像处理等领域有广泛应用。
2.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是积分变换的另一种形式，用于将一个函数表示为指数函数的线性组合。
它在控制理论、电路分析等领域常被用于求解微分方程。
2.3 积分变换的性质积分变换具有以下性质： - 线性性：对于两个函数f(t)和g(t)，以及任意常数a 和b，有积分变换[a f(t) + b g(t)] = a F(s) + b G(s) - 积分性质：对于一个函数f(t)的积分∫[0,t] f(x)dx，其积分变换为1/s*F(s) - 积分初始值定理：对于一个函数f(t)的积分∫[0,∞) f(x)dx，其积分变换为F(s)/s三、复变函数与积分变换的关系3.1 复变函数的积分与导数对于一个解析的复变函数f(z)，我们可以通过计算其沿闭合路径的积分来得到函数的值。
复变函数与积分变换课件1.1-复数
a2 b2 c2
毕达哥拉斯定理 （勾股定理）
15
无
理 传说学派成员希帕苏斯在考虑了一 数个问题：边长为1的正方形，其对角线 的长度是多少呢？
发 他发现这一长度既不能用整数或者
重 大
现分数表示，而只能用一个新数来表示.
突
破
—
16
第一次数学危机
希帕苏斯的发现导致了数学史上第 一个无理数 2 的诞生.后来，人们又陆 续发现了许多无理数.
工作经历： 中国矿业大学，物理实验教师 佛山市国星光电股份有限公司，LED研发工程师 湖北省宜昌市，公务员 佛山科学技术学院自动化学院，青年特聘研究员
获得荣誉：
2017年5月，获得第四届全国激光雷达大会青年优秀论文奖 2017年11月，获得 2017 年博士研究生国家奖学金 2018年5月，获得深圳大学优秀毕业研究生奖学金（全校10%） 2018年6月，获得广东省优秀学生（研究生阶段）荣誉称号（全省0.25%） 2018年8月，获得 “深创杯”国际大学生创新创业大赛 “突出双创项目奖”（指导老师）
复数领域的推广和发展 。
(虚数史话) 49
第 一
第一章 复数与复变函数
章
复 §1.1 复数
数 与
§1.2 复数的三角表示
复 变
§1.3 平面点集的一般概念
函 §1.4 无穷大与复球面
数
§1.5 复变函数
50
§1.1 复数
第 一
§1.1
复数
章 一、复数及其运算
复 数
二、共轭复数
与
复 变
函
数
51
§1.1 复数
复变函数
与积分变换
1
一、教学及考核方式
复变函数和积分变换-1.1 复数及其表示
元素(即辐角)，相加后，得到集合A(rz1g z2)中的
一个元素，反之亦然。
例：设z1=-1,z2=i ,求z1z2 ;Arg(z1z2)
解： z1=-1,z2=i , Argz1=p+2np , Argz2=p/2+2mp
z rei
(rz,Arzg)
附 一些“简单”复数的指数形式
e2πi 1, e2kπi 1, eπi 1,
πi
πi
e 2 i , e 2 i , .
1i 1 1i
i 1i
1 i 1i
14
第一章 复数与复变函数
§1.1.4 复数的乘幂与方根
1) 乘积与商
乘积：若 z 1 r 1 (c 1 o iss i 1 ） ,n z 2 r 2 (c2 o issi2 ） ,n
arzgarct(an 2 )π
12
arctan1 π 3
12
π π 5 π .
6
6
y
2 π
x
13
第一章 复数与复变函数
3) 指数形式与三角形式
利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cos, y = r sin,
可以将z表示成三角表示式: zr(co issin )
利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得指数表示式:
第一章 复数与复变函数
开方: 若满足wn z ，则称w为z的n次方根，记为w n z
利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。
推导 设 zrei, wei, 由 wn z 有 neinrei,
即 n (c n o iss n i) n r (c i o si ) s ,n
复变函数和积分变换1
22
§1.2.5 复数的乘方与开方
zrco issin
乘方
z n r c o i ss i n n r n cn o i ss n i n
r=1 co is sin n cn o is sn in
德摩弗（De )公式
§1.2.5 复数的乘方与开方
z1 z2
z1 z2
,Argzz1 2Ar1gA z r2gz
§1.2.4 用复数的三角表示作乘除法
§1.2.4 用复数的三角表示作乘除法
例1.5 用三角表示计算 1 3 i3 i
解： 1 3i2cosisin
3 3
3i2 co s6 5 isi n6 5
1 3 i3 i 4 c o 2 s is i n 2 4 i
§1.1 复数
§1.1.1 复数的基本概念
复数 zxiy
实部
虚数单位 i2=-1
虚部
Rze x,Im zy z 2i Rez 2,Imz1
§1.1 复数
§1.1.1 复数的基本概念
纯虚数 iy
复数相等
共轭复数
zxiy z x iy
z z
§1.1 复数
§1.1.2 复数的四则运算
z1x1iy1 z2x2iy2
写成复数形式为：
z z 1 z 2 x 1 t 0 t 1
§1.3.3 平面曲线
§1.3.3 平面曲线
若尔当曲线定理 任一简单闭曲线将平面分成两个区域，它们都以
该曲线为边界，其中一个为有界区域，称为该简单闭曲线的内部；另一个 是无界区域，称为外部。
设D是一区域，如果对D内的任一简单闭曲线，曲线的内部总属于D， 则称D是单连通区域，不是单连通区域的区域称为多（复）连通区域。
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对虚数单位的规定: (1) i2 1; (2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行 四则运算.
一般地，如果 n是正整数, 则 i 4n 1, i 4n1 i, i4n2 1, i4n3 i.
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两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别 相等.
x z, y z,
z x y, z z z 2 z2 .
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例4 求复数 1 z (z 1) 的实部、虚部和模. 1 z
解 因为
1 z (1 z)(1 z) 1 z (1 z)(1 z)
1
|
z |2 2i Im | 1 z |2
z
所以
ห้องสมุดไป่ตู้
Re1 1
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辐角主值的定义:
在 z ( 0) 的辐角中, 把满足 π 0 π 的0
称为 Argz 的主值, 记作0 arg z.
z 0 辐角的主值
arctan y , x
x 0,
arg
z
π 2
arctan
, y
()π,
x 0, y ()0, x 0, y ()0,
复数 z 等于 0 当且仅当它的实部和虚部同时 等于0. 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个 复数称为共轭复数. 与 z 共轭的复数记为z, 若 z x iy, 则 z x iy.
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练习 实数m取何值时, 复数 (m2 3m 4)
(m2 5m 6)i 是(1)实数; (2)纯虚数.
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一、复数的概念及代数运算
1.复数的概念
虚
复数： z = x + iy 部
实 部
虚数 单位
实部和虚部分别
或 z = x+ yi.
记作 x Re(z), y Im( z).
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数;
当 y 0 时, z x 0i, 我们把它看作实数x.
(4) z z 2Re(z), z z 2i Im(z). 以上各式证明略.
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例1 将下列复数表示为 x iy 的形式.
i 1 i .
1 i
i
解
(1) i i(1 i) 1 i , 1 i 1 i
1 i (1 i)(1 i) 2
i
i 1i 3 1i 1i i 2 2
i 2i i2 1
i
2
1 3i 2i
(1 3i)(2 i) (2 i)(2 i)
2 i 6i (2)2
12
3i
2
1
i.
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例3 设 z 1 3i , 求 Re(z), Im( z) 与z z. i 1i
解 z 1 3i i 3i(1 i) 3 1 i, i 1 i i i (1 i)(1 i) 2 2
3. 复数的辐角
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边, 以表示
z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz .
y z x iy
P (x, y)
Argz 1 2kπ
( k为任意整数).
o
x
说明 任何一个复数 z 0有无穷多个辐角. 特殊地, 当 z 0时, z 0, 辐角不确定.
Re(z) 3 , Im( z) 1 ,
2
2
z
z
Re(z)2
Im( z )2
32
2
1 2
2
5. 2
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二、复数的几何表示
1. 复平面的定义 2. 复数的模(或绝对值)
y z x iy
y
P (x, y)
r
记为 z r x2 y2 .
o
x
x
z z
1 | |1
z z
|2 |2
,
Im
1 1
z z
|
2 Im 1 z
z |2
,
1 1
z z
2
1 1
z z
1 1
z z
1
|
z |2 |1
2 Re z |2
z
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所以
1 z
1 | z |2 2Re z .
1 z
|1 z|
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(2) i 1 i i2 (1 i)2 1 2i
1i i
(1 i)i
1 i
(1 2i)(1 i) 3 1 i.
2
22
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例2
计算 i 2 1i i
.
i 1
解
i2 1i i
(i 2)(i 1) (1 i)(i 1) i
i 1
i2
x
(其中 arctan y )
π,
2
x2
x 0, y 0.
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3. 两复数的商:
z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
.
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共轭复数的性质:
(1) z1 z2 z1 z2 ;
z1 z2 z1 z2 ;
z1 z1 ; z2 z2
(2) z z;
(3) z z Re(z)2 Im(z)2(实数);
参考书目
1 钟玉泉 ， 复变函数论， 高等教育出版社 2 复变函数与积分变换习题解答 3 E.B.Saff, A.D.Snider等，复分析基础及
工程应用，机械工业出版社 4 自测题
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第一节 复数及其表示
一、复数的概念及代数运算 二、复数的几何表示 三、复数的积与商 四、小结与思考
答案： (1)m 6或m 1. (2)m 4.
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2. 复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 ,
1. 两复数的和(差):
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ).
2. 两复数的积:
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ).
复变函数与积分变换
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课程特点：
复变 函数
1. 注意复变与微积分不同之处。 2. 复---实---复。 3. 基本公式， 定理掌握。
积分 4. 积分变换公式多，计算量大。 变换
5. 类型问题和特殊情况。
总结：应用广泛。学好本门课程并不容易。
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