密码学数学基础试卷
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北京电子科技学院2015～2016学年第一学期 1431、1432班 密码学数学基础 期 末 考 试 试 卷
一、判断对错题（对的在括号内打对号，错的打错号；每小题2分，共20分） 1. 实数域R 上的全体m×m 阶可逆方阵关于矩阵的普通乘法构成了一个群。 （ ） 2. 设p 为素数，a ，b 为整数，若p|ab ，则p|a 或p|b 。 （ ） 3. 若a 3≡b 3mod n 成立，则a≡bmod n 。（ ） 4. 若环R 存在单位元，则其任意子环也一定存在单位元。 （ ） 5. 如 13 | n ，46| n ，则299| n 。（ ） 6. 如果群H 是群S 的正规子群，群S 是群G 的正规子群，则群H 一定是群G 的正规子群。（ ） 7. 对一个无零因子环(F, +, •)，如其存在单位元，且满足交换律，则环 (F, +, •) 为除环 。（ ） 8．设H 是群G 的子群，G 是H 在G 所有右陪集的并。（ ） 9. 与m 互素的剩余类的个数记为φ(m)，φ(m)就被称为欧拉函数；若（k ，m ）=1，则k φ(m)≡1 (mod m)。（ ） 10. 设a |m /，模m 的一次同余式)m (mod b ax ≡有解的充要条件是（m ，a ）| b 。( ) 二、计算题（每小题10分，共 50分） 1. 求同余方程组{x ≡1（mod3）2x ≡3（mod 13） 4x ≡5（mod 23）
的解。
专业___
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_学号__
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__姓名_
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密
封
线
2. 判断二次同余方程x2≡30(mod 113)是否有解。
3. 求（791，2625）及整数x，y，使得: （791，2625）=791x+2625y。
4. 求模17的原根。
5. 判断同余方程226x≡4(mod 454)是否有解；如有解，求出其解。
三. 证明题：（30分）
1. 令M2(R)是实数域R上的全体2阶方阵关于矩阵的普通加法和乘法运算构成
的环。又F={ [
a b
−b a
]| a，b∈R }。
证明(1) 关于矩阵的普通加法和乘法运算，F是M2(R)的子域。（10分）
(2) ：a+bi →[
a b
−b a
]是复数域C与域F的同构映射。（10分）
2. M=(11)是整数环Z中由素数11生成的理想，证明M为整数Z的极大理想。（10分）