3.1.1函数的概念导学案 汇报课
高中数学必修一 《3 1 函数的概念及其表示》集体备课导学案
【新教材】3.1.1 函数的概念（人教A版）1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。
2.掌握判定函数和函数相等的方法。
3.学会求函数的定义域与函数值。
重点：函数的概念，函数的三要素。
难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。
一、预习导入阅读课本60-65页，填写。
1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的，在集合B中都有和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做，叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3．其它区间的表示1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)区间表示数集，数集一定能用区间表示． ( ) (2)数集{x |x ≥2}可用区间表示为[2，＋∞]． ( )(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.（ ） (4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应.（ ） (5)函数的定义域和值域一定是无限集合． ( ) 2．函数y ＝1x ＋1的定义域是 ( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,0)C ．(－1，＋∞)D ．(－1,0) 3．已知f (x )＝x 2＋1，则f ( f (－1))＝ ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．用区间表示下列集合：(1){x |10≤x ≤100}用区间表示为________． (2){x |x ＞1}用区间表示为________．题型一 函数的定义例1 下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是( )跟踪训练一1.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )题型二 相等函数例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=(√x )2,g(x)=√x 2;(2)y=x 0与y=1(x ≠0);(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z). 跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=x 2-x x,g(x)=x-1;②f(x)=√xx ,g(x)=√x ;③f(x)=√(x +3)2,g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x 0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 题型三 区间例3 已知集合A={x|5-x ≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为 . 跟踪训练三1.集合{x|0<x<1或2≤x ≤11}用区间表示为 .2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a 的取值范围用区间表示为 . 题型四 求函数的定义域 例4 求下列函数的定义域:(1)y=(x+2)|x |-x ; (2)f(x)=x 2-1x -1−√4-x . 跟踪训练四1.求函数y=√2x +3√2-x1x 的定义域.2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域. 题型五 求函数值（域） 例5 (1)已知f(x)＝11+x(x ∈R ，且x ≠－1)，g(x)＝x 2＋2(x ∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：①y ＝x ＋1； ②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝3x−11+x； ④y ＝2x －√x −1.跟踪训练五1.求下列函数的值域： (1)y ＝ √2x +1 ＋1；(2)y ＝1−x 21+x 2.1．对于集合A ={x |0≤x ≤2}，B ={y |0≤y ≤3}，由下列图形给出的对应f 中，不能构成从A 到B 的函数有（ ）个A.1个B.2个C.3个D.4个2．函数()2121f x ax x =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a >1B ．0<a <1C ．a <0D ．a <13．函数f （x ）=√x−1x+3的定义域为 A ．{x|1≤x <3或x >3} B ．{x|x >1} C ．{x|1≤x <2} D ．{x|x ≥1}4．已知函数f (2x +1)的定义域为(−2,0)，则f (x )的定义域为（ ） A.(−2,0)B.(−4,0)C.(−3,1)D.(−12,1)5．下列各组函数中，()f x 与()g x 相等的是（ ）A ．()()2,2f x x g x x =-=-B ．()()32,f x x g x ==C ．()()22,2x f x g x x x=+=+D ．()()22,1x x x f x g x x x-==- 6．集合A ={x |x ≤5且x ≠1}用区间表示____________．7．已知函数8()2f x x =-（1）求函数()f x 的定义域； （2）求(2)f -及(6)f 的值． 8．求下列函数的值域： （1）f （x ）=211x x -+；（2）f （x ）=x ．答案小试牛刀1．（1）× （2） × （3）√ （4）× （5 ）× 2．C 3．D4. (1)[10,100] (2)(1，＋∞) 自主探究 例1 【答案】D 跟踪训练一【答案】C 例2 【答案】见解析【解析】:(1)因为函数f(x)=(√x )2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=√x 2的定义域为{x|x ∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y=x 0=1,故y=x 0与y=1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以 它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 跟踪训练二【答案】⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数; ②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 例3 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 【解析】∵A={x|5-x ≥0},∴A={x|x ≤5}. ∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x ≠±3}. ∴A ∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x ≤5}, 即A ∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. 跟踪训练三【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b. ∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3, ∴实数a 的取值范围是(-∞,3).例4【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{x +2≠0,|x |-x ≠0,即{x ≠-2,|x |≠x ,解得x<0,且x ≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{4-x ≥0,x -1≠0,即{x ≤4,x ≠1.故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4]. 跟踪训练四【答案】(1) {x |-32≤x <2,且x ≠0} (2) [-1,32]【解析】(1)要使函数有意义,需{2x +3≥0,2-x >0,x ≠0,解得-32≤x<2,且x ≠0,所以函数y=√2x +3−√2-x+1x 的定义域为{x |-32≤x <2,且x ≠0}.(2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4. 故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4, ∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤32.∴函数f(2x+1)的定义域是[-1,32]. 例5【答案】（1）1317 （2）① R ② [2,6) ③ {y|y ∈R 且y≠3} ④ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞ 【解析】(1) ∵f (x)＝11＋x ，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g (x)＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6， ∴f ( g(2))＝f (6)＝11＋6＝17.(2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y|y ∈R 且y≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.跟踪训练五【答案】(1) [1，＋∞) (2) (－1,1]【解析】(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]． 所以所求函数的值域为(－1,1]. 当堂检测1-5．CADCD 6．(,1)(1,5]-∞7．【答案】（1）()f x 的定义域为[3,2)(2,)-⋃+∞；（2）(2)1f -=-；(6)5f = 【解析】（1）依题意，20x -≠，且30x +≥，故3x ≥-，且2x ≠，即函数()f x 的定义域为[)()3,22,-⋃+∞. （2）()8223122f -=+-+=---，()8663562f =+=-. 8. 【答案】（1）（–∞，2）∪（2，+∞）； （2）[–54，+∞）. 【解析】（1）因为f （x ）=()2131x x +-+=2–31x +，所以f （x ）≠2， 所以函数f （x ）的值域为（–∞，2）∪（2，+∞）．（21x +（t≥0），则x=t 2–1，所以y=t 2–t –1（t≥0）． 因为抛物线y=t 2–t –1开口向上，对称轴为直线t=12∈[0，+∞），所以当t=12时，y取得最小值为–54，无最大值，所以函数f（x）的值域为[–54，+∞）．。
高中必修第一册数学《3.1 函数的概念及其表示》获奖说课导学案
3.1.1 函数的概念1.通过丰富的买例进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型;2.用集合与对应的思想理解函数的概念;3.理解函数的三要素及函数符号的深刻含义;4.会求函数的定义域。
1.教学重点：函数的概念，函数的三要素；2.教学难点：函数的概念及符号()y f x =的理解。
一、函数的概念：设A 、B 是 的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：y=f(x) x ∈A ．x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)| x ∈A }叫做函数的 . 二、区间三、函数的三要素： 、 、 。
四、判断函数相等的方法： 、 。
一、复习回顾，温故知新1. 初中学习的函数的定义是什么？定义 名称 符号 数轴表示{|}x a x b ≤≤ 闭区间 [a,b] {|}x a x b << 开区间 (a,b) {|}x a x b ≤<半开半闭区间 [a,b){|}x a x b <≤ 半开半闭区间 (a,b] {|}x x a ≥ {|}x x a > {|}x x b < {|}x x b ≤2.回顾初中学过哪些函数？二、探索新知 探究一 函数的概念问题1. 某“复兴号”高速列车到350km/h 后保持匀速运行半小时。
这段时间内，列车行进的路程S （单位：km ）与运行时间t （单位：h ）的关系可以表示为 S=350t 。
1.思考：根据对应关系S=350t ，这趟列车加速到350km/h 后，运行1h 就前进了350km ，这个说法正确吗？问题2 某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。
如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w （单位：元）是他工作天数d 的函数吗？2.思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？问题3 如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。
3.1.1(第1课时)函数的概念 学案(含答案)
3.1.1（第1课时）函数的概念学案（含答案）3.13.1函数的概念与性质函数的概念与性质33..1.11.1函数及其表示方法函数及其表示方法第第11课时课时函数的概念函数的概念学习目标1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域.知识点一函数的有关概念函数的定义给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数函数的记法yfx，xA定义域x 称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围即数集A称为函数的定义域值域所有函数值组成的集合yB|yfx，xA称为函数的值域知识点二同一个函数一般地，函数有三个要素定义域，对应关系与值域如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数特别提醒两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同思考定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗答案不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数1任何两个集合之间都可以建立函数关系2已知定义域和对应关系就可以确定一个函数3若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素4函数yfxx2，xA与uftt2，tA表示的是同一个函数一.函数关系的判断例11多选下列两个集合间的对应中，是A 到B的函数的有AA1,0,1，B1,0,1，fA中的数的平方BA0,1，B1,0,1，fA中的数的开方CAZ，BQ，fA中的数的倒数DA1,2,3,4，B2,4,6,8，fA中的数的2倍答案AD解析A选项121,020,121，为一一对应关系，是A到B的函数B选项00，11，集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，不是A到B的函数C选项A中元素0的倒数没有意义，不符合函数定义，不是A到B的函数D选项122,224,326,428，为一一对应关系，是A到B的函数2设Mx|0x2，Ny|0y2，给出如图所示的四个图形其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是A0B1C2D3答案B解析中，因为在集合M中当1x2时，在N中无元素与之对应，所以不是；中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以是；中，x2对应元素y3N，所以不是；中，当x1时，在N中有两个元素与之对应，所以不是因此只有是反思感悟1判断对应关系是否为函数的两个条件A，B必须是非空实数集A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系2根据图形判断对应关系是否为函数的方法任取一条垂直于x轴的直线l.在定义域内平行移动直线l.若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内有两个或两个以上的交点，则不是函数跟踪训练11下列对应关系式中是A到B的函数的是AAR，BR，x2y21BA1,0,1，B1,2，y|x|1CAR，BR，y1x2DAZ，BZ，y2x1答案B解析对于A，x2y21可化为y1x2，显然对任意xAx1除外，y值不唯一，故不符合函数的定义；对于B，符合函数的定义；对于C,2A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，1A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义2判断下列对应关系f是否为定义在集合A 上的函数AR，BR，对应关系fy1x2；A1,2,3，BR，f1f23，f34；A1,2,3，B4,5,6，对应关系如图所示解AR，BR，对于集合A中的元素x0，在对应关系fy1x2的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数由f1f23，f34，知集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应关系是定义在A上的函数集合A 中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素5和6与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数二.求函数的定义域.函数值和值域命题角度1求函数的定义域例2求下列函数的定义域1fxx12x11x；2fx5x|x|3；3fx3xx1.解1要使函数有意义，自变量x的取值必须满足x10，1x0.解得x1，且x1，即函数定义域为x|x1，且x12要使函数有意义，自变量x的取值必须满足5x0，|x|30，解得x5，且x3，即函数定义域为x|x5，且x33要使函数有意义，自变量x的取值必须满足3x0，x10，解得1x3，所以这个函数的定义域为x|1x3延伸探究在本例3条件不变的前提下，求函数yfx1的定义域解由1x13得0x2.所以函数yfx1的定义域为0,2反思感悟求函数定义域的常用依据1若fx是分式，则应考虑使分母不为零2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零3若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义4若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义跟踪训练2函数y2x23x214x的定义域为________________答案，122,4解析由2x23x20，4x0，4x0，得x12或2x4，所以定义域为，122,4命题角度2求函数值例3已知fx12xxR，且x2，gxx4xR1求f1，g1,gf1的值；2求fgx解1f11211，g1145，gf1g15.2fgxfx412x412x1x2xR，且x2反思感悟求函数值的方法1已知fx的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得fa的值2求fga的值应遵循由里往外的原则跟踪训练3已知fx11xxR，且x1，gxx22xR，则f2______，fg2______，fgx________.答案13171x23解析fx11x，f211213.又gxx22，g22226，fg2f611617.fgx11gx1x23.命题角度3求值域例4求下列函数的值域1y2x1，x1,2,3,4；2y3x1x1；3yxx.解1当x1时，y3；当x2时，y5；当x3时，y7；当x4时，y9.所以函数y2x1，x1,2,3,4的值域为3,5,7,92借助反比例函数的特征y3x14x134x1x1，显然4x1可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为y|y33设uxx0，则xu2u0，则yu2uu12214u0由u0，可知u12214，所以y0.所以函数yxx的值域为0，反思感悟求函数值域常用的四种方法1观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到2配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域3分离常数法此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；4换元法即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于fxaxbcxd其中a，b，c，d为常数，且a0型的函数常用换元法跟踪训练4求下列函数的值域1y2x1x3；2y2xx1.解1分离常数法y2x1x32x37x327x3，显然7x30，所以y2.故函数的值域为，22，2换元法设tx1，则xt21，且t0，所以y2t21t2t142158，由t0，再结合函数的图像如图，可得函数的值域为158，.三.同一个函数的判定例5多选下列各组函数表示同一个函数的是Afxx，gxx2Bfxx21，gtt21Cfx1x0，gxxxDfxx，gx|x|答案BC 解析A中，由于fxx的定义域为R，gxx2的定义域为x|x0，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数B中，函数的定义域.值域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数C中，由于gxxx1的定义域为x|x0，故它们的定义域相同，所以它们是同一个函数D中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数反思感悟在两个函数中，只有当定义域.对应关系都相同时，两函数才是同一个函数值域相等，只是前两个要素相等的必然结果跟踪训练5下列各组式子是否表示同一个函数为什么1fx|x|，tt2；2y1x1x，y1x2；3y3x2，yx3.解1fx与t的定义域相同，又tt2|t|，即fx与t的对应关系也相同，fx与t是同一个函数2y1x1x的定义域为x|1x1，y1x2的定义域为x|1x1，即两者定义域相同又y1x1x1x2，两函数的对应关系也相同故y1x1x与y1x2是同一个函数3y3x2|x3|与yx3的定义域相同，但对应关系不同，y3x2与yx3不是同一个函数1若Ax|0x2，By|1y2，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是答案B解析A中值域为y|0y2，故错误；C，D中值域为1,2，故错误2若fxx1，则f3等于A2B4C22D10答案A解析因为fxx1，所以f3312.3函数y1xx的定义域为Ax|x1Bx|x0Cx|x1或x0Dx|0x1答案D解析由题意可知1x0，x0，解得0x1.4如果函数yx22x的定义域为0,1,2,3，那么其值域为A1,0,3B0,1,2,3Cy|1y3Dy|0y3答案A解析当x取0,1,2,3时，y 的值分别为0，1,0,3，则其值域为1,0,35下列四个图像中，不是以x为自变量的函数的图像是答案C解析根据函数定义，可知对自变量x的任意一个值，都有唯一确定的实数函数值与之对应，显然选项A，B，D满足函数的定义，而选项C不满足1知识清单1函数的概念2函数的定义域.值域3同一个函数的判定2方法归纳观察法.换元法.配方法.分离常数法3常见误区1定义域中的每一个自变量都有唯一确定的值与其相对应2自变量用不同字母表示不影响相同函数的判断。
3.1.1 函数的概念 学案(含答案)
3.1.1 函数的概念学案（含答案）3311函数的概念及其表示函数的概念及其表示331.11.1函数的概念函数的概念学习目标1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域.函数值知识点一函数的有关概念函数的定义设A，B是非空的实数集，如果对于集合A 中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称fAB为从集合A到集合B的一个函数函数的记法yfx，xA定义域x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域值域函数值的集合fx|xA叫做函数的值域知识点二同一个函数一般地，函数有三个要素定义域，对应关系与值域如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数特别提醒两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同思考定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗答案不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数知识点三区间1区间概念a，b为实数，且ab定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间a，bx|axb半开半闭区间a，bx|aax|xax|x0，即x2，所以x2且x1.所以函数yx10x2的定义域为x|x2且x1.3由4x20，x0解得2x0或0x2，所以函数y4x21x的定义域为2,00,2反思感悟求函数定义域的常用依据1若fx是分式，则应考虑使分母不为零；2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零；3若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；4若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义跟踪训练2求下列函数的定义域1yx12x11x；2y2x23x214x.解1由x10，1x0，得x1，x1.所以定义域为x|x1且x12由2x23x20，4x0，4x0，得x12或2x4，所以定义域为，122,4命题角度2求函数值例3已知fx11xxR且x1，gxx22xR1求f2，g2的值；2求fg2的值解1因为fx11x，所以f211213.又因为gxx22，所以g22226.2fg2f611617.反思感悟求函数值的方法1已知fx的解析式时，只需用a 替换解析式中的x即得fa的值2已知fx与gx，求fga的值应遵循由里往外的原则跟踪训练3已知fxx21，x0，1x1，x0，则ff2________.答案14解析f22213，ff2f314.三.同一个函数的判定例4下列选项中能表示同一个函数的是Ayx1与yx21x1Byx21与st21Cy2x与y2xx0Dyx12与yx2答案B解析对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为x|x1，不是同一个函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一个函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数反思感悟在两个函数中，只有当定义域.对应关系都相同时，两函数才是同一个函数值域相等，只是前两个要素相等的必然结果跟踪训练4下列各组式子是否表示同一函数为什么1fx|x|，tt2；2y1x1x，y1x2；3y3x2，yx3.解1fx与t的定义域相同，又tt2|t|，即fx与t的对应关系也相同，fx与t是同一函数2y1x1x的定义域为x|1x1，y1x2的定义域为x|1x1，即两者定义域相同又y1x1x1x2，两函数的对应关系也相同故y1x1x与y1x2是同一函数3y3x2|x3|与yx3的定义域相同，但对应关系不同，y3x2与yx3不是同一函数1下列四种说法中，不正确的一个是A在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B函数的定义域和值域一定是无限集合C定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素答案B解析由函数定义知，A，C，D正确，B不正确2若fxx1，则f3等于A2B4C22D10答案A解析f3312.3函数fxxx1的定义域为A1，B0，C，11，D0,11，答案D 解析由x0，x10，得x0，x1，定义域为0,11，4设fxx2是集合A 到集合B的函数，若集合B1，则集合A不可能是A1B1C1,1D1,0答案D解析因为当x0时，在集合B中没有值与之对应5下列各组函数是同一函数的是________填序号fx2x3与gxx2x；fxx0与gx1x0；fxx22x1与gtt22t1.答案解析fxx2x，gxx2x，对应关系不同，故fx与gx不是同一函数；fxx01x0，gx1x01x0，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；fxx22x1与gtt22t1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数1知识清单1函数的概念2求函数的定义域.函数值2方法归纳数学抽象3常见误区化简函数的对应关系时要注意定义域的变化.。
人教A版(2019)高中数学必修第一册3.1.1函数的概念教案
3.1.1 函数的概念教学目标：1.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.2.了解构成函数的要素.3.能求简单函数的定义域.教学重点：用集合语言和对应关系刻画函数的概念.教学难点：对函数概念的理解.教学过程：（一）新课导入在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.在前面我们已经学习了集合的有关知识，在本节中，我们将在集合的基础上，用新的观点进一步学习函数的概念.（二）探索新知探究一：函数的概念（老师引导学生分析问题1-4，并归纳出函数的共同特征，由此引出函数的概念.）问题1-4的共同特征有：(1)都包含两个非空数集，用A,B表示；(2)都有一个对应关系；(3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.定义：一般地，设A , B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A B→为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{}|∈叫做函数的值域.f x x A()函数的三个要素：定义域，对应关系，值域.常见函数的三要素：一次函数：(0)=+≠的定义域是R，值域也是R.对应关系f把R中的任意一个y ax b a数x，对应到R中唯一确定的数(0)+≠.ax b a二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠的定义域是R ，值域是B .当a >0时，244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当a <0时，244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭.对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到B 中唯一确定的数2(0)ax bx c a ++≠. 反比例函数：(0)k y k x=≠的定义域为{}0x x ≠，对应关系为“倒数的k 倍”，值域为{}0y y ≠.反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集{}0A x x =≠中的任意一个x 值，按照对应关系f ：“倒数(0)k k ≠倍”，在集合{}0B y y =≠中都有唯一确定的数k x和它对应，那么此时f ：A B →就是集合A 到集合B 的一个函数，记作()(0),.k f x k x A x=≠∉ 探究二：函数的应用(老师引导学生思考、分析例1，并让学生分组讨论写出P63的探究.)例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律. 例如，正比例函数(0)y kx k =≠可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等.试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式(10)y x x =-来描述.解：把(10)y x x =-看成二次函数，那么它的定义域是R ，值域是{}25B y y =≤.对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到B 中唯一确定的数x (10-x ).如果对x 的取值范围作出限制，例如{}010x x x ∈<<,那么可以构建如下情境：长方形的周长为20，设一边长为x ，面积为y ，那么y =x (10-x ).其中，x 的取值范围是{}010A x x =<<，y 的取值范围是{}025B y y =<≤.对应关系f 把每一个长方形的边长x ，对应到唯一确定的面积x (10-x ).探究：构建其他可用解析式y =x (10-x )描述其中变量关系的问题情境.答案：设两个实数的和为10，其中一个数为x ，这两个数的积为y ，则y =x (10-x )，其 中x 的取值范围为A =R ，y 的取值范围为{}25B y y =≤.对应关系f 把A 中任一x 值对应B 中唯一确定的x (10-x ).探究三：区间定义：研究函数时常会用到区间的概念.设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：(1) 满足不等式a x b≤≤的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；(2) 满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；(3) 满足不等式a x b<≤的实数x的集合叫做半开半闭区间，外别表示为[a，≤<或a x bb)，(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.这些区间的几何表示如下表所示.在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.实数集R可以用区间表示为(,)-∞+∞,“∞”读作“无穷大”，“ -∞”读作“负无穷大”，“ +∞”读作“正无穷大”.如下表，我们可以把满足,,,≥>≤<的实数x的集合，用区间分别表示为x a x a x b x b[a,+∞),(a,+∞),(-∞,b],(-∞,b).表示区间应注意的问题：(1)关注“开”与“闭”，“开”用小括号，“闭”用中括号；在数轴上，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.(2)区间实质上是一类特殊数集的另一种表示.并不是所有的数的集合都能用区间表示，如{0,1,2}就不能用区间表示.(3)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b-a称为区间(a,b)或[a,b]的长度.(4)用“-∞”或“+∞”作为区间端点时，需用开区间符号.（老师在讲完注意问题后，出几个类型的不等式变式训练检测学生的学习情况）探究四：求函数的定义域(老师引导学生完成例2的学习，和学生强调在函数定义中，我们用符号y =f (x )表示函数，其中f (x )表示x 对应的函数值，而不是f 乘x .)例2 已知函数1()32f x x x =+++ (1)求函数的定义域； (2) 求f (-3)，f (23)的值； (3)当a >0时，求f (a )，f (a -1)的值.分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y =f (x )，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.解：(1)3x +有意义的实数x 的集合是{}3x x ≥-，使分式12x +有意义的实数x 的集合是{}2x x ≠-.所以，这个函数的定义域是{|3}{2}{3,2}x x x x x x x -⋂≠-=-≠-∣∣且 即[-3,-2)∪(-2,+∞).(2)将-3与23代入解析式，有 1(3)331;32f --+=--+ 221113333323338823f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭+ (3)因为a >0，所以f (a ),f (a -1)有意义.1()3;2f a a a =++ 11(1)132.121f a a a a a --+=+-++ (在解决完例2后，老师与学生一起归纳方法技巧)方法技巧：(1)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各式子都有意义的公共部分的集合.求函数定义域的步骤①列不等式(组)：根据解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式(组)②解不等式(组)：解出所列不等式或不等式组中每个不等式的解集后在求交集③得定义域：把不等式(组)的解集表示成集合或区间的形式(2)已知函数解析式求函数值，可将自变量的值代入解析式求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解.探究五：相同函数老师引导学生归纳出函数相同的条件：对应关系相同；定义域相同.并完成例3.例3下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？（1）2y=；（2）u=（3）y=（4）2nmn =.解：（1）2({0})y x x x x==∈∣，它与函数y=x(x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数.（2）()u v v==∈R，它与函数y=x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y=x(x∈R)是同一个函数.（3）,0,||,0,x xy xx x-<⎧===⎨⎩它与函数y=x(x∈R)的定义域都是实数集R，但是当x<0时，它的对应关系与函数y=x(x∈R)不相同.所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数.（4）2({0})nm n n n nn==∈≠∣，它与函数y=x(x∈R)的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数.学习完本节的内容后，老师给学生留出时间P66思考题.思考答案：相同点：初中与高中所学函数的两个定义本质是一样的，即两种对应关系满足的条件相同，对x的每一个值，都有唯一确定的值y与之对应.不同点：前者是从运动变化的观点出发，后者是从集合观点出发，用两个非空数集的对应关系定义的.（三）课堂练习1. 已知函数6()1f x x =-(1).求函数()f x 的定义域.(2).求()1f -,()12f 的值.解：(1)根据题意知10-≠x 且40x +≥,∴4≥-x 且1≠x ,即函数()f x 的定义域为[4,1)(1,)-⋃+∞.(2).6(1)32-=--f 6638(12)41211111==-=--f . 2. 判断下列对应是否为同一函数:(1). 1y x =+与211x y x -=- (2). 2 1y x =+与21s t =+(3). 2y x =与()20.y x x =≥解：(1).不是同一函数,因为定义域不同,前者定义域为R ,后者定义域为{}|1x x ≠(2).是同一函数,虽然变量不同,但不改变意义;(3).不是同一函数,因为定义域不同.（四）课堂小结：本节课我们主要学习了哪些内容？板书设计：3.1.1函数的概念1.函数的定义2.函数三要素：定义域，对应关系，值域.3.区间4.相同函数：定义域，对应关系相同。
最全《函数的概念》导学案1完整版.doc
《1.2.1函数的概念》导学案1使用说明“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评.“合作探究”7分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评.“巩固练习”10分钟，组长负责，组内点评.“个人总结”3分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题.能力展示5分钟，教师作出总结性点评.通过本节学习应达到如下目标(1)通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；(2)了解构成函数的要素；(3)会求一些简单函数的定义域和值域；(4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域学习重、难点学习重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；学习难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；学习过程(一)自主学习：思考？分析、归纳课本上的三个实例，变量之间有什么样的共同点？三个实例又有什么不同之处？1．函数的概念：一般的，我们有：设A，B是，如果按照某种确定的f，使对于集合A中的，在集合B中都有和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作其中叫做自变量，x的取值范围A 叫做，与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合叫做函数的.显然，值域是集合B的子集.注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2.构成函数的三要素：，，.函数相等.4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域:5.区间的概念读课本完成下面两个表格.将下列集合用区间表示并在数轴上表示.(二)合作探讨例1．已知函数f(x) =3+x +21+x (1)求函数的定义域；(2)求f (-3)，f (32)；(3)当a >0时，求f (a )，f (a -1)的值.例2.下列函数中哪个与函数y=x 相等？ (1)y =(x)2； (2)y =33x ； (3) y =2x ； (4) y =xx 2(三)巩固练习1. 求下列函数的定义域: (1) f (x )=741+x ； (2) f (x )=x -1+3+x -1 ； (3) f (x )= 2362+-x x ； (4) f (x )=14--x x2.已知函数f (x )=3x 2-5x +2，求f (-2)， f (-a )， f (a +3)， f (a )+ f (3)3. 若函数f (x )= x 2+bx +c ， 且f (1)=0， f (3)=0， 求f (-1) 的值4. 已知函数f (x )=62-+x x ， (1)点(3，14)在f (x )的图象上吗？ (2)当x =4时，求f (x )的值； (3)当f (x ) =2时，求x 的值.(四)个人收获与问题 知识：方法：我的问题：(五)拓展能力1. 已知函数f(x)的定义域[-2，4]，求函数f(2x-3)的定义域.2. 已知函数f(x-4)的定义域[2，4]，函数f(x)的定义域.赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点． （2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，，且2t t -，是关于x的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，，且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根． 2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-．∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ）Ａ．24米 Ｂ．12米Ｃ． Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．关系式；（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+．)图(1)图(2)天)图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >． （3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价．故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593；③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56．综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++）（2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）． 解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-，2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-<（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）． 解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=>∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩B A D MF形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，MN MFAD AB∴=． 2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式； （2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b=+⎧∴⎨=+⎩解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中． （1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式； （3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=． 130a =-∴． ∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15，B 图(1)图(2)l4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=． 3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=． 由对称性知：224485(m)2A B A B ==。
《3.1-函数的概念及其表示》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)
《3.1-函数的概念及其表示》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念学习目标核心素养1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)3．能够正确使用区间表示数集．(易混点)1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.1．函数的概念定义一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域自变量x的取值范围值域与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}思考1：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f 与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号(－∞，＋∞) [a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．1．函数y＝1x＋1的定义域是()A．[－1，＋∞)B．[－1,0) C．(－1，＋∞) D．(－1,0) C[由x＋1>0得x>－1.所以函数的定义域为(－1，＋∞)．]2．若f(x)＝11－x2，则f(3)＝________.－18[f(3)＝11－9＝－18.]3．用区间表示下列集合：(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________；(2){x|x>1}用区间表示为________．(1)[10,100](2)(1，＋∞)[结合区间的定义可知(1)为[10,100]，(2)为(1，＋∞)．]函数的概念【例1】(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(1)C[①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与g(x)＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解]①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．]1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．1．下列四个图象中，不是函数图象的是()A B C DB[根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.]2．下列各组函数中是相等函数的是()A．y＝x＋1与y＝x2－1 x－1B．y＝x2＋1与s＝t2＋1C．y＝2x与y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2与y＝x2B[A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误，选B.]求函数值【例2】设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．[思路点拨](1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．[解](1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝1x＋2，所以g(a)＋g(0)＝1a＋2＋10＋2＝1a＋2＋12(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝112.(2)g(f(x))＝1f(x)＋2＝12x2＋2＋2＝12x2＋4.函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．[解]f(1)＝13＋2×1＋3＝6；f(t)＝t3＋2t＋3；f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.求函数的定义域[探究问题]1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f(x)＝x＋1x2－1.倘若先化简，则f(x)＝1x－1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．【例3】求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f (x )＝(x＋1)2x ＋1－1－x .[思路点拨] 要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．[解] (1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时， 函数f (x )＝2＋3x －2有意义， 所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}．(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数y ＝f (x ＋1)的定义域． [解] 由1≤x ＋1≤3得0≤x ≤2. 所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0,2]．求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.1．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求某函数定义域的依据．2．函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．3．函数符号y＝f(x)是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y ＝f(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”.1．思考辨析(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．()(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．()(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．()(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．()(5)函数的定义域和值域一定是无限集合．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．下列函数中，与函数y＝x相等的是()A．y＝(x)2B．y＝x211 C ．y ＝|x | D ．y ＝3x 3D [函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝|x |对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.]3．将函数y ＝31－1－x的定义域用区间表示为________． (－∞，0)∪(0,1] [由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0，用区间表示为(－∞，0)∪(0,1]．]4．已知函数f (x )＝x ＋1x ，(1)求f (x )的定义域；(2)求f (－1)，f (2)的值；(3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值．[解] (1)要使函数f (x )有意义，必须使x ≠0，∴f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f (－1)＝－1＋1－1＝－2，f (2)＝2＋12＝52. (3)当a ≠－1时，a ＋1≠0，∴f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1.。
高中必修第一册统编人教A版《3.1函数的概念及其表示》优秀教学导学案
【新教材】3.1.2函数的表示法(人教A版)1、明确函数的三种表示方法；2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象.一、预习导入阅读课本67-68页，填写。
1.函数的表示法2.分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的的函数.(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ;各段函数的定义域的交集是.［点睛］(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数.1, — 2w x w 0)(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的.如y= 其“段”是不等x, 0<x<3,长的.1.判断(正确的打“，”，错误的打“X”)(1)任何一个函数都可以同上述三种方法表示. ( )(2)函数f(x) = 2x+ 1不能用列表法表示. ( )(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线. ( )(4)分段函数由几个函数构成. ( )x+ 1, x< 1,(5)函数f(x)= 是分段函数.( )-x+ 3, x>12.函数y = f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是( )A.RB.( —8, 1) U (1 , +OO)C.( —8, 0) U (0 , +OO)D.(― 1,0)3.已知反比例函数 f (x)满足f(3) =—6, f (x)的解析式为题型一函数的定义例1某种笔记本的单价是5元，买x (x C {1 , 2, 3,4, 5})个笔记本需要y元.试用三种表示法表示函数y=f(x).跟踪训练一1 .已知函数f(x) , g(x)分别由下表给出.123£(X)321则f( g(1)) 的值为；当g ( f (x)) =2 时，x=题型二分段函数求值|x-1|-2, |x|<1,例2 已知函数f (x) = 1寸x|>1.(1)求f(?N??)的值；(2)若f(x) =1 ，求x的值 3跟踪训练二x2+2, x<2,1. 函数f(x)= 4 若f(x o) = 8,则x0= .二x , x> 2.5题型三求函数解析式例 3 (1)已知f(x+1)= ??-3x+2,求f(x);(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x, 求f(x)的解析式；(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2, 求f(x).跟踪训练三1.已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=2x-1, 求f(x)的解析式；2.已知f( vx+1)=x+2 vx,求f(x)的解析式；3.设函数f(x)满足f(x)+2f (-) =x(x w 0),求f(x). x题型四函数的图像及应用例4 1.函数f(x) = |x - 1|的图象是( )B C D2.给定函数 f(x) = x + 1,g(x) = (x + 1)2,x CR(1)在同一直角坐标系中画出函数 f (x ) ,g (x )的图像；(2) ?x CR,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者，记为 M(x) = max{f(x) ,g(x)}.请分别用图像法和解析法表示函数M(x).跟踪训练四1 .已知函数f(x)的图象如右图所示，则 f(x)的解析式是 .b, a>b,2.若定义运算 aOb=则函数f(x) =xO(2—x)的值域为 ______________ .a, a< b.题型五 函数的实际应用例5下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表:A 次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次王伟 98 87 91 92 88人 95 张城 90 76 88 75 86 80 赵 磊 68 65 73 72 75 82 班平均分88. 278. 385. 480. 375. 782. 6请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.堂检测2.已知 f(W)=x,贝Uf(x)=()1+x1.若 f(x)={x-3, x >10, ，f(f(x+ 6)), x<则f(5)的值为(10 ,A.8B.9C.10D.11B二1+x D.M x x+13.若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1, 则f(x)=( A.x+1 B.x-1C.2x+1D.3x+34.函数f(x)=2x , 0 < x < 1,{2, 1 < ??< 2,的值域是( ) 3, x >2A.RB.[0,+ 8)C.[0,3]5.已知函数D.[0,2] U {3}f(x)6.已知f(x) 为二次函数，其图象的顶点坐标为(1,3),且过原点，求f(x)的解析式.7.某商场新进了10台彩电，每台单价3 000元，试求售出台数x与销售额y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来答案小试牛刀1 . (1) X (2) ，(3) X (4) X (5 )，2. C一183. y =——x自主探究例1【答案】见解析【解析】这个函数的定义域是数集{1,2, 3,4, 5}.用解析法可将函数y=f (x)表示为y=5x, x C {1 , 2, 3,4, 5}用列表法可将函数y=f(x)表示为用图像法可将函数 y=f(x)表示为25 -g20 -•15 -*10 -■5 - •1I1K 1 ."(7] |2~3~4~5^跟踪训练一【答案】1 1【解析】由于函数关系是用表格形式给出的，知 g (1) =3,，f ( g(1)) =f (3) =1.由于g (2) =2,，f (x)=2, ■. x = 1.例2 【答案】(1) A (2)±\211,3 【解析】(1)因为f 2 = 2-1 -2=-2,=；,若 |x| < 1,则 |x - 1| —2=；,得 x=；或 x=一：. 3 3 3 3因为|x| < 1,所以x 的值不存在；若|x|>1 ,则彳导 x =±\2,符合 |x| >1.I i- x 3所以若f(x) =1, x 的值为士 \2.3跟踪训练二【答案】—m 或10【解析】解析：当 xo<2时，f(x o)=x0+2=8,即x2=6,xo= 一 \ 6或 xo= 6(舍去)；~ ,1所以f f 2 =f3 14— = -------------- = ---23 2131 +— -2-(2)f(x), , 4当Xo>2 时，f(x 0)= -Xo , Xo= 10. 5综上可知，Xo=—{§或Xo= 1 0.例3【答案】见解析【解析】(1)(方法一)令x+1=t,则x=t-1.将x=t-1 代入f(x+1)= ?%3x+2,得f(t尸(?? 1)2-3(t-1)+2= /5t+6, f(x)= ??-5x+6.(方法二)「f(x+1)= ?f -3x+2= ?f+2x+1-5x-5+6= (?4 1)2-5(x+1)+6, • . f(x户?f-5x+6.(2)设所求的二次函数为f(x)=a ?5+bx+c(a w。
3.1.1 函数的概念 教案(表格式 )
例1例2例3师生活动：教师引导，学生概括总结求函数定义域时的注意之处，教师总结归纳。
定义域求解注意：（1）负数无偶次方根（2）分母不为0（3）00无意义（4）对数底数和真数的限制（5）实际问题中，函数的定义域应受到问题实际意义的制约，例：自由落地物体的位移与时间之间的关系满足s=12gt2，t∈[0,T]【函数的两要素】根据函数的定义可知，当函数的定义域和对应关系确定后，所有函数值组成的集合{y|y=f(x),x∈D}，即值域也确定下来。
因此，称定义域、对应关系为函数的两要素。
[问题]如何判断两个函数是否相同？例4师生活动：教师提问，学生根据对定义域和对应关系的分析，判断两个函数是否相同。
例5 加深学生对函数定义的理解。
通过例2、例3，学生通过解不等式来求解函数的定义域，体会定义域求解的注意点。
学生通过对问题的思考，体会函数的两要素的重要性，再利用例4，进一步掌握如何判断两函数相同。
例5利用学生之前学习的知识，分析函数的值域，培养学生的巩固新知课堂小结布置作业师生活动：两要素确定了一个函数，也确定了其值域，引导学生通过指数函数和不等式的性质，分析简单情形下函数的值域。
【巩固应用】例6师生活动：教师提问，学生根据所学知识解答例6。
【课堂小结】师生活动：教师提问,通过这节课的学习，大家有什么收获？学生在教师的引导下归纳概括本节课所学知识，理解从集合和对应关系的角度刻画函数，从具体函数的学习，归纳出一般函数的概念，体会从“具体到抽象”的过程，培养学生抽象概括的能力。
【作业布置】必做题：教材第121页习题5.1A组1，B组1Imath 5.1 i练习补充题：求函数y=x2−2x,x∈{0,1,2,3}的值域。
数学运算和逻辑推理能力。
引导学生积极探索，训练学生的概括能力，帮助学生理解并记忆本节课所学的函数定义。
通过分层次布置作业，巩固本节课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力。
3.1.1 函数的概念(课时教学设计)-高中数学人教版(2019)必修第一册
《3.1.1 函数的概念》教学设计教材内容：函数是现代数学中最基本的概念，是描述世界变化规律的最重要的数学工具，在解决实际问题中有着不可或缺的作用，函数是贯穿高中数学的主线，在高中的数学中有着重要的地位，本节课的学习有助于学生掌握函数思想，为后续数学的学习起着铺垫作用。
教学目标：1.通过具体实例，归纳、概括出函数的三个要素，建立用集合与对应语言刻画的函数概念，发展学生数学抽象素养.2.对简单具体的函数，能得出其定义域、值域与对应关系，会用函数的定义刻画函数。
3.用具体实例体会对应关系f 的真正含义，能将对应关系 f 与对应关系的具体表示、函数y=f(x)，x ∈A 与函数的(解析式、图象与表格等)表示区分开来，在具体函数中体会“对应”观点下函数思想的本质。
教学重点与难点：1.重点：用实例归纳概括函数的三个要素，用集合与对应的语言建立函数的概念。
2.难点：如何在实例分析基础上让学生通过比较、归纳、概括不同案例中的共同特征，并由此建立函数概念.教学过程设计：引导语：同学们好！我们知道，客观世界中有各种各样的运动变化现象.例如，“天宫二号”在发射过程中，离发射点的距离随时间变化而变化；一个装满水的蓄水池在使用过程中，水面高度随时间的变化而不断降低；我国高速铁路运营里程逐年增加，已突破2万公里……所有这些现象，常常用函数模型来描述，并且通过研究函数模型我们就可以把握相应的运动变化规律.在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数式刻画变量之间的对应关系的数学模型和工具.初中阶段函数的定义：如果有两个自变量x 与y ，并且对于x 的每个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.例如，正方形的周长l 与边长x 的对应关系是x l 4 ，而且对于每一个确定的x 都有唯一l 与之对应，所以l 是x 的函数.这个函数与正比例函数x y 4=相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念.问题1 某“复兴号”高速列车加速到h km /350后保持匀速运行半小时.（1）这段时间内，列车行进的路程S （单位：km ）与运行时间t （单位：h ）的关系如何表示？这是一个函数吗？（2）有人说“根据对应关系t S 350=，这趟列车加速到h km /350后，运行h 1就前进了km 350.”你认为这个说法正确吗？你能确定这趟列车运行多长时间前进km 210吗？（3）你认为应该如何刻画这个函数？师生活动：1 教师给出问题题干和第(1)问后，提醒学生先不要看教科书，在信息平台上提交自己的答案，教师点评答案，引导学生用初中函数的定义进行表述.2 教师给出第(2)问，学生判断后，教师给予点评，启发学生认识到函数应关注自变量的变化范围和函数值的变化范围.3 让学生思考如何表述S 与t 的对应关系，教师再与学生一起讨论的基础上给出表述的示范.设计意图：问题1的第(1)问是为了让学生回顾初中所学的函数概念，用“是否满足定义要求”来回答问题；第(2)问是要激发认知冲突，发现初中函数概念的不严谨；第(3)问是为了让学生关注到t 与S 的变化范围后，尝试用更精确的语言表述函数概念.问题2 某电气维修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超过6天.公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资.（1）你认为该怎样确定一个工人每周的工资？（2）一个工人的工资w （单位：元）是他工作天数d 的函数吗？（3）你能仿照问题1刻画这个函数吗？师生活动：1教师给出问题后，让学生在在信息平台上上提交自己的答案，学生可能多数是得出d w 350=，视情况教师也可引导他们得出用表格表示的对应关系（表1）： 表1 一个工人一周的工资列表123456工作时间（天）3507001050140017502100所的工资（元）2 教师提问启发学生思考后，还可以用以下追问帮助学生理解函数值的变化范围：你认为工人一周所获取的工资为2450元吗？学生在信息平台上书写并提交自己的答案，教师在点评学生答案的基础上给出规范的表述.3 教师追问（4）：如果将问题2中工人每天的工资改为400元，而其它条件不变，你认为还可以用同样的函数来确定工人一周的工资吗？为什么？在学生思考与讨论的基础上，教师引导他们认识到：对应关系是影响函数的重要因素，对应关系不同函数就不同.4 教师追问（5）：问题1和问题2中的函数对应关系相同，你认为它们是同一个函数吗？为什么？你认为影响函数的要素有哪些？让学生在信息平台上提交自己的答案，教师引导学生认识到不能只由对应关系是否相同判断两个函数是否相同，决定函数的三个要素是：自变量的变化范围、函数值的变化范围和对应关系.设计意图：问题2的第（1）问和第（2）问让学生在用初中函数定义认识到w是d的函数的基础上，尝试用不同方法表示函数，为认识函数对应关系做准备；第(3)问是让学生模仿问题1的表述方法去描述函数，既让他们熟悉表述方法，同时训练他们的抽象概括能力；追问（4）进一步帮助学生认识函数对应关系的重要性；追问（5）帮助学生理解怎样区别不同的函数，进一步认识函数三要素的不可或缺，引导学生总结函数的三要素.问题3 图1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index,简称AQI）变化图.图1（Ⅰ）你能根据该图确定这一天内12：00的空气质量指数（AQI ）的值I 吗？是否可以确定这一天内任一时刻t 的空气质量指数（AQI ）的值I ？（Ⅱ）你认为这里的I 是t 的函数吗？如果是，你能仿照前面的说法刻画这个函数吗？师生活动：教师呈现问题3，给学生适当时间阅读思考.教师将第（Ⅰ）问中的前一问设计成填空题，让学生思考后在学案上提交. 学生提交的答案可能不一样，教师点评时要帮助学生理解其原因，并让学生在此基础上回答后一问，引导学生体会图象表示的对应关系的实质，明确由确定的t 值找出对应I 值的方法与步骤.对于第（Ⅱ）问，有些学生可能从初中函数认识的角度，会认为I 不是时间t 的函数（因为没有用解析式表示对应关系）。
《3.1 函数的概念及其表示》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)
3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念学习目标核心素养1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)3．能够正确使用区间表示数集．(易混点)1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.1．函数的概念定义一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域自变量x的取值范围值域与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}思考1：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f 与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号(－∞，＋∞) [a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．1．函数y＝1x＋1的定义域是()A．[－1，＋∞)B．[－1,0) C．(－1，＋∞) D．(－1,0) C[由x＋1>0得x>－1.所以函数的定义域为(－1，＋∞)．]2．若f(x)＝11－x2，则f(3)＝________.－18[f(3)＝11－9＝－18.]3．用区间表示下列集合：(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________；(2){x|x>1}用区间表示为________．(1)[10,100](2)(1，＋∞)[结合区间的定义可知(1)为[10,100]，(2)为(1，＋∞)．]函数的概念【例1】(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(1)C[①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与g(x)＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解]①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f 的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．]1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．1．下列四个图象中，不是函数图象的是()A B C DB[根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.]2．下列各组函数中是相等函数的是()A．y＝x＋1与y＝x2－1 x－1B．y＝x2＋1与s＝t2＋1C．y＝2x与y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2与y＝x2B[A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误，选B.]求函数值【例2】设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．[思路点拨](1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．[解](1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝1x＋2，所以g(a)＋g(0)＝1a＋2＋10＋2＝1a＋2＋12(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝112.(2)g(f(x))＝1f(x)＋2＝12x2＋2＋2＝12x2＋4.函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．[解]f(1)＝13＋2×1＋3＝6；f(t)＝t3＋2t＋3；f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.求函数的定义域[探究问题]1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f(x)＝x＋1x2－1.倘若先化简，则f(x)＝1x－1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．【例3】求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x.[思路点拨]要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．[解](1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数f(x)＝2＋3x－2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}．(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数y ＝f (x ＋1)的定义域． [解] 由1≤x ＋1≤3得0≤x ≤2. 所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0,2]．求函数定义域的常用方法(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零. (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合. (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集. (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.1．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求某函数定义域的依据．2．函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．3．函数符号y ＝f (x )是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y ＝f (x )”为y 是x 的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”.1．思考辨析(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( ) (2)数集{x |x ≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．( )(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( ) (4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．( ) (5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A ．y ＝(x )2 B ．y ＝x 2 C ．y ＝|x |D ．y ＝3x 3D [函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝|x |对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.]3．将函数y ＝31－1－x的定义域用区间表示为________．(－∞，0)∪(0,1] [由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0，用区间表示为(－∞，0)∪(0,1]．]4．已知函数f(x)＝x＋1 x，(1)求f(x)的定义域；(2)求f(－1)，f(2)的值；(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．[解](1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f(－1)＝－1＋1－1＝－2，f(2)＝2＋12＝52.(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋1a＋1.。
《函数的概念》说课教案5篇
《函数的概念》说课教案5篇《函数的概念》说课教案1教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想.教学目的：(1)通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;(2)了解构成函数的要素;(3)会求一些简单函数的定义域和值域;(4)能够正确使用”区间”的符号表示某些函数的定义域;教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数;教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示;教学过程：一引入课题1. 复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想;2. 阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：(1)炮弹的射高与时间的变化关系问题;(2)南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题;(3)“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：我国2003年4月份非典疫情统计：日期 22 23 24 25 26 27 28 29 30新增确诊病例数 106 105 89 103 113 126 98 152 1013. 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系;4. 根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系.二新课教学(一)函数的有关概念1.函数的概念：设AB是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function).记作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域(range). 注意：○1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”;○2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f 乘x.2. 构成函数的三要素：定义域对应关系和值域3.区间的概念(1)区间的分类：开区间闭区间半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.4.一次函数二次函数反比例函数的定义域和值域讨论(由学生完成，师生共同分析讲评)(二)典型例题1.求函数定义域课本P20例1解：(略)说明：○1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例;○2 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;○3 函数的定义域值域要写成集合或区间的形式.巩固练习：课本P22第1题2.判断两个函数是否为同一函数课本P21例2解：(略)说明：○1 构成函数三个要素是定义域对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
新教材3.1.1函数的概念 说课
阅读课本P60给出的4个实例，讨论下列问题：
(1)以上四个实例存在哪些变量？ (2)变量的变化范围分别是什么？ (3)对于每个变化范围内的变量，它们之间有什么关系？ (4)两个变量之间存在着怎样的对应关系？ (5)你能从集合与对应的观点说出函数的概念吗?
问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保 持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S （单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表
一、教材分析
（二）学情分析
在初中学生已学习了变量观点下的函数定义，但不涉及抽象符 号f(x),不强调定义域、值域等；对 “对应关系”等涉及函数本质 的内容，要求是初步的.
本节课函数概念是用集合与对应的语言进行刻画的，教学 中对学生的抽象、分析、概括能力要求比较高，学生学起来有 一定的难度.
一、教材分析
3、请同学们考虑以下两个问题：
1y 1是函数吗？ 2l 4t是函数吗？它与y 4x是同一个函数吗？ 3y x与y x2 是同一个函数吗？
x
显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题.因此，需要从新的高 度认识函数，本节课我们将从集合的角度重新认识函数.
设计意图：通过问题激发认知冲突，使学生感受 进一步研究 函数的必要性.
●情感以价值观目标: 通过对问题的分析，感受现实生活中的函数的普遍性，体会 事物之间的相互联系与制约.
一、教材分析
（四）教学的重点、难点
教学重点：建立“对应关系说”观点下用集合语言表 述的函数概念，在此过程中培养学生的数 学抽象素养.
教学难点：从不同的问题情境中提炼出函数要素,并 由此抽象出函数概念;理解函数的对应关 系f．
回
究
顾Hale Waihona Puke 理知解识
人教版(2019)高中数学必修第一册3.1.1 函数的概念及其表示(1)导学案
天津市实验中学滨海学校思维导学案§3.1.1函数的概念 班级________姓名__________【学习目标】1. 通过丰富实例，学生进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；2.结合实例,认真解读函数的定义,了解构成函数的三要素；3.结合实例理解函数的抽象表示,自己能表示出一些简单的函数.【自学初探】一、导学问题：（初中对函数的定义）在一个变化过程中，有两个变量x 和y ， 对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. (运动变化观点) 其表示方法有：解析法、列表法、图象法. 那么右图所示的对应关系可以表示一个函数吗？答案到课本中找。
二、阅读课本（第15-16页）回答下列问题：1、课本中三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？每个实例中两个变量之间存在着怎样的对应关系？ 三个实例中变量间的关系有什么共同点？2、结合课本中三个实例说说函数定义中符号:f A B →, (),y f x x A =∈, {()|}f x x A ∈的含义.3.试用函数的定义描述你学过的函数.4.根据你对函数定义的理解试举出几个你没学过的函数的例子.并指出它的定义域, 值域,对应法则.5、函数值域与集合B 有怎样的关系？ 构成函数的三要素有哪些？【展示探究】必做题：P19练习2、1 4 1 -4 取绝对值选做题：1. 下图中能作为函数()y f x =的图像的是 .为什么?A. B. C. D. 2．设{02}M x x =≤≤,{12}N y y =≤≤,给出下列四个图形,其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是： .A. B. C. D.【自省新探】（自主学习、同伴交流、师生研讨基础上，总结自省收获。
）知识上：方法上：【课堂检测】1．1. 已知函数2()21g t t =-，则(1)g =（ ）.A. －1B. 0C. 1D. 22．已知函数()23f x x =+，若()1f a =，则a =（ ）.A. －2B. －1C. 1D. 23．函数2,{2,1,0,1,2}y x x =∈--的值域是 .【课后作业】揣摩理解函数定义。
教学设计2：3.1.1 函数的概念
设计意图：问题（1）是引导学生使用不同的表示方法，例如表格的形式：解析式w =350d ；等等. 问题（3）是让学生模仿问题1的方法给出描述，既让他们熟悉表述方法，又训练抽象概括能力.通过追问，使学生进一步关注到定义域、值域问题.问题3：图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air QualityIndex ，简称AQI ）变化图.（1）如何根据该图确定这一天内任一时刻t h 的空气质量指数（AQI ）的值I ？（2）你认为这里的I 是t 的函数吗？如果是，你能仿照前面的方法描述I 与t 的对应关系吗？师生活动：给学生适当时间阅读思考. 有些学生可能认为I 不是时间t 的函数，对此可进行如下追问.追问：（1）你能根据图3.1-1找到中午12时的AQI 的值吗？这个值是否唯一存在？（2）对于数集}240{3≤≤=t t A 中的任意一个值t ，你会用什么方法寻找此时对应的I 值？在追问的基础上，教师阐释：因为对于数集}240{3≤≤=t t A 中的任意一个值t ，都有唯一确定的AQI 的值与之对应，所以我们可以根据初中所学的函数定义，得出I 是t 的函数，而且还可以断定I 的取值范围也是确定的，不过从图中我们不能确定这个范围. 如果我们设I 的取值范围为C ，那么从图中可以确定，{}15003<<=⊆I I B C .这样我们可以把I 与t 的对应关系描述为：对于数集3A 中的任一时刻t ，按照图3.1-1中曲线所给定的对应关系，在数集3B 中都有唯一确定的AQI 的值I 与之对应，因此I 是t 的函数.设计意图：学生根据图象描述对应关系有困难，特别是在值域不能完全确定时，通过引入一个较大范围的集合，使函数值“落入其中”，这是学生经验中不具备的. 实际上，如果用映射的观点看，这时的映射就是非满射. 为此，在问题（1）之后，先让学生认可图象表示一个函数，然后再通过教师讲解，给出对应关系的描述方法，从而化解难点. 这里，只要学生能够理解I 是t 的函数，并能够接受这种描述方式就可以了.问题4：国际上常用恩格尔系数r ）总支出金额食物支出金额（%100⨯=r 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.表3.1-1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况（1）你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数r 是年份y 的函数吗？为什么？（2）如果是，你能仿照前面的方法给出精确的刻画吗？（3）如果我们引入}10{4≤<=r r B ，将对应关系表述为“对于任意一个年份y ，都有4B 中唯一确定的r 与之对应”，你认为有道理吗？师生活动：先让学生思考，然后通过举手表决的方式对“恩格尔系数r 是年份y 的函数吗”进行“是”与“不是”的选择性投票，教师根据投票情况进行点评，从而解决问题（1）.让学生不看教科书，分组练习用集合与对应的语言刻画函数，并让学生代表发言，教师给予点评，从而解决问题（2）.学生给出的函数值取值范围可能是表中r 的10个值，教师在肯定的基础上进行引导：根据恩格尔系数的定义，r 的取值范围是}10{4≤<=r r B ，以4B 为年份与所对应的r的值所在的集合更具有一般性.设计意图：与问题3的情况类似，学生对用表格表示的对应关系是否为函数关系的判断存在疑惑，通过问题引导学生思考，教师再作适当讲解，从而使学生B的合理性，以教师从恩格尔系数的定义的接受. 另外，对于函数值所在的集合4角度进行解释即可.问题5：上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数的本质特征吗？师生活动：给学生充分的思考时间，引导学生重新回顾用集合与对应的语言刻画函数的过程. 如果学生归纳、概括有困难，可以给出如下的表格帮助学生思考.教师引导学生得出它们的共同特征：（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.在上述归纳的基础上，教师先讲解：事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法，为了表示方便，我们引进符号f 统一表示对应关系，然后给出函数的一般概念，并解释函数的记号y = f (x)，x A.设计意图：让学生通过归纳四个实例中函数的共同特征，体会数学抽象过程，概括出用集合与对应语言刻画的一般性函数概念. 在此过程中，要突破“从实例中抽象出本质特征，并用抽象的符号去表达”这一教学难点，突出“在学生初中已有函数认识的基础上，通过实例归纳概括出函数的基本特征（要素），用集合与对应的语言建立函数的概念”这一教学重点.。
3.1.1 函数的概念第二课时-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册导学案.pdf
§3．1．1 函数的概念（第二课时）1．了解组成函数的三要素,能求具体函数及抽象函数的定义域．2．了解组成函数的三要素,理解函数值域的含义,能求简单函数的值域．（预习教材P 62~ P 63,回答下列问题）回忆：函数的三要素是什么？问题：已知函数()f x =（1）求函数的定义域；（2）求的表达式？你能求的定义域吗？()1f x -()1f x -（3）你能直接求出的定义域吗？()21f x +自我检测1：求函数的定义域；01()(1)4f x x x =++++（2）抽象函数的定义域求法形如、、这类函数而言,未直接给出对()1f x -()21f x +()()()211F x f x f x =++-应法则对所施加对象作用后的具体表达形式,我们称之为抽象函数．f第三章 函数的概念与性质- -2通过观察,若函数,则函数,我们可有如下结论：()f x =()1f x -=①函数与的自变量都是自身表达式中的（定义域是自变量的取值集()f x ()1f x -x 合）；②在同一题中,对应法则的含义一致（即法则对施加对象的约束条件相同）．f f自我检测3：某种笔记本的单价为3元,小明手里有元钱,设小明一共买了个该笔记100x 本,花费为元,你能正确写出该问题中自变量的约束条件吗？y x 【知识点二】函数值域的求法函数的值域即为函数值的取值集合,其取值范围受自变量的取值范围和对()y f x =y x 应法则配合决定,所以在求值域时,一定要注意定义域以及函数的结构．f 常用的求值域的方法有：①图像法（如一次函数、二次函数、反比例函数等已知图像的函数）②换元法（利用整体换元的思想,将未知函数结构转化成已知函数结构求解）自我检测4：你能将四次函数转化成二次函数模型吗？前后函数自()4223f x x x =--变量有何改变？3题型一 函数的定义【例1-1】求下列函数的定义域（1）求函数的定义域．21()21f x x x =+-+（2）求函数的定义域．()f x =【例1-2】求下列函数的定义域（1）已知函数定义域是,求的定义域．()y f x =[]1,3-()1y f x =-（2）已知函数定义域是,求的定义域．(1)y f x =-[]1,3-()y f x =（3）已知函数定义域是,求的定义域．(1)=-y f x []1,3-()21y f x =+第三章 函数的概念与性质- -4【例1-3】求下列函数的定义域（1）已知函数的定义域为,求的定义域．()f x [1,2]-()()()g x f x f x =+-（2）已知函数的定义域,求的定义域．()f x []4,2-()()21f x g x x =+（1）函数 ；(){}1,1,1,2f x x x =+∈-（2）函数, ；()223f x x x =-+x R ∈（若将定义域改为、,又将如何？）{1,0,1,2}x ∈-[)1,4x ∈-（3）函数,．()1f x x =11,2x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭5【例2-2】求下列函数的值域已知函数,的图像如右图所示,请回答：()a f x x x =+()0a >（1）当,时,求此函数的值域；1a =(0,)x ∈+∞()f x （2）当,时,求此函数的值域．4a =[1,3]x ∈()f x 【例2-3】求下列函数的值域（1）函数,的值域为_________________．()4223f x x x =--()0,2x ∈（2）函数_________________．()g x x =-（3）函数的值域为_________________．2()(1)1x h x x x =>-第三章 函数的概念与性质- -61．已知函数,则（ ）1()f x x x =+A ．函数的定义域为,值域为()f x {|0}x x ≠{|2}y y ≥B ．函数的定义域为,值域为()f x {|0}x x ≠{|22}y y y ≥≤-或C ．函数的定义域为,值域为()f x {|0}x x ≠RD ．函数的定义域为,值域为()f x R R2．已知函数的定义域为,求的定义域．()f x []1,412f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．已知函数的定义域是,求的定义域．()f x [0,2]11()22g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．求下列函数的值域（1）函数,的值域是___________．()242f x x x =-+-[)0,3x ∈（2）求函数在区间上的值域．()3f x x =-[]2,47§3．1．1 函数的概念（第二课时）参考参考答案（预习教材P 62~ P 63,回答下列问题）回忆：函数的三要素是什么？问题：已知函数()f x =（1）求函数的定义域；（2）求的表达式？你能求的定义域吗？()1f x -()1f x -（3）你能直接求出的定义域吗？()21f x +自我检测1：求函数的定义域；1()(1)4f x x x =++++【参考答案】要使函数有意义,应有即504010x x x +≥⎧⎪+≠⎪⎨⎪⎪+≠⎩541x x x ≥-⎧⎪≠-⎨⎪≠-⎩所以函数的定义域是．[)()()54411-----+∞ ，，,第三章 函数的概念与性质- -8（2）抽象函数的定义域求法形如、、这类函数而言,未直接给出对()1f x -()21f x +()()()211F x f x f x =++-应法则对所施加对象作用后的具体表达形式,我们称之为抽象函数．f 通过观察,若函数,则函数,我们可有如下结论：()f x =()1f x -=①函数与的自变量都是自身表达式中的（定义域是自变量的取值集()f x ()1f x -x 合）；②在同一题中,对应法则的含义一致（即法则对施加对象的约束条件相同）．f f自我检测3：某种笔记本的单价为3元,小明手里有元钱,设小明一共买了个该笔记100x 本,花费为元,你能正确写出该问题中自变量的约束条件吗？y x9题型一 函数的定义【例1-1】求下列函数的定义域（1）求函数的定义域．21()21f x x x =+-+（2）求函数的定义域．()f x =【参考答案】（1）；（2）；|x x x ⎧⎪<>⎨⎪⎩{}|13x x x <>或【例1-2】求下列函数的定义域（1）已知函数定义域是,求的定义域．()y f x =[]1,3-()1y f x =-（2）已知函数定义域是,求的定义域．(1)y f x =-[]1,3-()y f x =（3）已知函数定义域是,求的定义域．(1)=-y f x []1,3-()21y f x =+【参考答案】（1） （2） （3）[]0,4[]2,2-31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）,13,212x x -≤≤∴-≤-≤ 故的定义域为,()f x [2,2]-所以令,解得,2212x -≤+≤3122x -≤≤故的定义域是．()21y f x =+31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第三章 函数的概念与性质- -10【例1-3】求下列函数的定义域（1）已知函数的定义域为,求的定义域．()f x [1,2]-()()()g x f x f x =+-【参考答案】[1,1]-由题意,函数的定义域为,()f x [1,2]-则函数满足,解得,即,()()()g x f x f x =+-1212x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩1221x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩11x -≤≤即函数的定义域为．()g x [1,1]-（2）已知函数的定义域,求的定义域．()f x []4,2-()()21f x g x x =+【参考答案】；[)(]2,11,1--- 函数的定义域,即,可得()f x []4,2-422x -≤≤21x -≤≤又分母,可得．10x +≠1x ≠-∴的定义域为．()()21f x g x x =+[)(]2,11,1---（1）函数 ；(){}1,1,1,2f x x x =+∈-（2）函数, ；()223f x x x =-+x R ∈（若将定义域改为、,又将如何？）{1,0,1,2}x ∈-[)1,4x ∈-（3）函数,．()1f x x =11,2x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭【参考答案】（1）（2）,,（3）{}0,2,3[)2,+∞{}6,3,2[)2,11(]2,1--【例2-2】求下列函数的值域已知函数,的图像如右图所示,请回答：()a f x x x =+()0a >（1）当,时,求此函数的值域；1a =(0,)x ∈+∞()f x （2）当,时,求此函数的值域．4a =[1,3]x ∈()f x 【参考答案】（1）；（2）[)2,+∞[]4,5【例2-3】求下列函数的值域（1）函数,的值域为_________________．()4223f x x x =--()0,2x ∈（2）函数_________________．()g x x =-（3）函数的值域为_________________．2()(1)1x h x x x =>-【参考答案】（1） （2） （3）[)4,5-1(,]2-∞[4,)+∞第三章 函数的概念与性质（2）,因为≤x ≤1,所以≤x −2≤,所以1≤(x −2)2≤9,()()224321f x x x x =-+=--1-3-1-则0≤(x −2)2≤8．故函数的值域为[0,8]．1-()[]243,1,1f x x x x =-+∈-函数的定义域为,令,得,故()g x 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦()2102t tx t -==≥21122y t t =--+,所以函数．1,2y ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦()g x x =1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（3）．当且仅当x ＝2时()()()2212111124111x x x h x xx x x -+-+===-++≥---“＝”成立,故函数的值域为．()2(1)1x h x x x =>-[)4,+∞1．已知函数,则（ ）1()f x x x =+A ．函数的定义域为,值域为()f x {|0}x x ≠{|2}y y ≥B ．函数的定义域为,值域为()f x {|0}x x ≠{|22}y y y ≥≤-或C ．函数的定义域为,值域为()f x {|0}x x ≠RD ．函数的定义域为,值域为()f x R R【参考答案】B2．已知函数的定义域为,求的定义域．()f x []1,412f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【参考答案】∪．(,1]-∞-1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭由,得,即或,1124x ≤+≤112x -≤≤110x -≤<102x <≤解得x ≤ ,或．1-12x ≥∴函数的定义域为(-∞,]∪[,+∞)．1-123．已知函数的定义域是,求的定义域．()f x [0,2]11()22g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【参考答案】．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的定义域是,且,()f x [0,2]11()22g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则102,2102,2x x ⎧+⎪⎪∴⎨⎪-⎪⎩ (1)3,2215,22x x ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩即．的定义域为．1322x ……()g x ∴13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．求下列函数的值域（1）函数,的值域是___________．()242f x x x =-+-[)0,3x ∈【参考答案】[2,2]-（2）求函数在区间上的值域．()3f x x =-[]2,4【参考答案】12,4⎤--⎦,则t =26x t =-第三章 函数的概念与性质∵,[]2,4x ∈2t ≤≤那么函数转化为()f x ()22()36318g t t t t t =--=+-其对称轴,16t =-故得的值域为．()f x 12,4⎤-⎦。
北师大版数学七年级下册3.1.1用表格表示的变量间关系优秀教学案例
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学的兴趣，感受数学与生活的紧密联系，培养学生的数学情感。
2.培养学生积极思考、探索问题的习惯，增强学生的自信心。
3.通过对生活中变量之间关系的探究，培养学生的责任感，使学生懂得关爱他人，关爱生活。
本节课内容与学生的生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。在教学过程中，教师应以学生为主体，注重引导学生主动探究、发现和总结，提高学生的动手操作能力和数学思维能力。同时，本节课涉及到的知识具有一定的抽象性，教师应采用直观的教学手段，降低学生的学习难度，使学生能够轻松地掌握所学知识。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学的内容，让学生明确用表格表示变量间关系的方法和步骤。
2.教师强调变量间关系在实际生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣。
3.教师对本节课的学习内容进行归纳，为后续Βιβλιοθήκη 学习做好铺垫。（五）作业小结
1.教师布置一些有关用表格表示变量间关系的作业，让学生巩固所学知识。
2.教师引导学生总结用表格表示变量间关系的方法和步骤。
3.教师通过讲解和示范，让学生掌握如何用数学语言描述两种变量之间的关系。
（三）学生小组讨论
1.教师给出几个实例，让学生以小组为单位，讨论并尝试用表格表示变量间的关系。
2.各小组将自己的讨论结果进行汇报，其他小组成员进行评价，教师进行指导和总结。
3.教师针对学生的讨论情况，进行点评和讲解，帮助学生巩固所学知识。
2.教师要求学生在作业中运用所学的知识和方法，解决实际问题。
3.教师对学生的作业进行批改和评价，了解学生的学习情况，为下一步的教学做好准备。
新教材3.1.1(第一课时)函数的概念导学案(1)
【课题】 3.1.1 函数的概念1. 初中所学函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有________________的值与其对应，那么就称y 是x 的函数。
2. 初中学过哪些函数？请举例说明。
思考：（1）1y =是否表示一个函数？ 函数y x =与函数2x y x=表示同一个函数吗？（2）阅读课本P85“情境与问题”，并思考。
【新知初探】预习课本P86，补充以下内容并尝试完成“自我检测”：【自我检测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 函数就是两个集合之间的对应关系。
( )(2) 函数值域中的每一个实数都有定义域中的实数与之对应。
( ) (3) 函数()y f x =一定可以用解析式表示。
( ) (4) 若()5,f x x R =∈，则()35f =一定成立。
( ) (5) 定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了。
( ) 2. 如图可作为函数y ＝f (x )的图像的是( )3．对于函数(),y f x x A =∈，若a A ∈，则下列说法错误的是( )A ．()f a 是一个常量B ．若()()f a f b =，则a b =C ．()f a 有且只有一个D ．若a b =，则()()f a f b = 4. 下列函数中与3y x =表示的不是同一个函数的是（ ）A. 3y t =B.()3f x x =C.()3g x x =D.3y x =例1．求下列函数的定义域：（1）()223f x x x =-+ （2）()12f x x =+- （3）()01x f x -=小结：定义域的常用依据：1.若()f x 是整式，则其定义域____________________；2.若()f x 含有分式，则其定义域____________________；3.若()f x 含有二次根式，则其定义域_____________________________；4.若()f x 含有零次幂，则其定义域_____________________________；5.若()f x 是由几个数学式子构成，则其定义域________________________。
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是同一个函数吗？
与33x y =3.1.1函数的概念导学案
授课教师：李祥
一、教学目标：
1.掌握函数概念，知道函数三要素对函数的重要性
2.会判断两个函数是否相符
3.能求简单的定义域
二、知识回顾
1.初中学过哪些函数？
2.初中学习的函数的定义是什么？
三、新知识
1.提问：分析四个例子提供的四个函数，他们有哪些公共点？
提示：都有几个怎样的集合？有没有确定的对应关系？还有其他的吗？
2.函数的概念：
3.函数三要素：
4.认识y=f(x)
5.例题解析
例题1判断下列对应能否表示y 是x 的函数
(1) y=|x| (2) |y|=x (3)x+y=1 (4) y=x 2
总结：
判断y 是不是x 的函数，保证两个非空数集的同时主要是判断 一个x 都 有 一个y 与之对应。
例题2（1）y = x 与 是同一个函数吗？ （2）y = x
总结：
判断两个函数是否相同只要比较 和 是否相同。
4．函数f (x )＝x －4＋1x －5
的定义域是________． 提问：目前见过的解析式本身限制定义域的有哪些？
2
x y x
=
四、知识点巩固：
1.函数的概念：设A、B是两个的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的，在集合B中都有的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y=f(x) x∈A．x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)| x∈A }叫做函数的 .
2.三函数的三要素：、、。
3.判断函数相等的两个条件：、。
五、练习巩固：
1．下列图象中表示函数图象的是()
2．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点个数有()
A．必有一个B．一个或两个C．至多一个D．可能两个以上
3.（多选）下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有（）
A.A={－1，0，1}，B={－1，0，1}，f：A中数的平方
B.A={0，1}，B={－1，0，1}，f：A中数的开平方
C.A=Z，B=Q，f：A中数的倒数
D.A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，f：A中数的2倍
4．函数y＝1－x2＋x2－1的定义域是()
A．[－1，1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．[0，1] D．{－1，1}
5．求函数y＝(x－1)0＋1
x2－4
的定义域
6．某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数，则解析式和其定义域为多少？
7.已知函数f(x)＝4x＋
1 2－x
（1）求f(3)，f(-2)
（2）若f(a)=1，求a
六、小结
本堂课你学到了什么？
七、作业布置
1.书后练习P67 T1 T2 T3 做书上
2.必刷题P34---P35
3.预习下一节。