函数复习之6-- 指数与对数的运算

函数复习之6 指数与对数的运算

一．课标要求

（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；

（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；

二．命题走向

指数与对数的性质和运算，在历年的高考中一般不单独命题。大多以指数函数、对数函数等基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。

预测2009年对本节的考察是：

1．题型有两个选择题和一个解答题；

2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。 三．要点精讲

1、整数指数幂的概念。

（1）概念：*)(N n a a a a a n ∈⋅⋅= )0(10≠=a a *),0(1

N n a a

a n n ∈≠=-

n 个a

(2)运算性质： )

()(),()()

,(Z n b a ab Z n m a a Z n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+

两点解释：① n m a a ÷可看作n m a a -⋅ ∴n m a a ÷=n m a a -⋅=n m a -

② n b a )(可看作n

n b a -⋅ ∴n b a )(=n n b a -⋅=n n b

a

2、根式：

（1）定义：若),1(+∈>=N n n a x n 则x 叫做a 的n 次方根。

（2）求法：①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数 记作：n a x =

② 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数） 记作：

n a x ±=

负数没有偶次方根 0的任何次方根为0

名称：n a 叫做根式 n 叫做根指数 a 叫做被开方数

（3）公式： ①a a n n =)( ；

②当n 为奇数时 a a n n =；

③当n 为偶数时 ⎩⎨⎧<-≥==)0()

0(a a a a a a n n

3、分数指数幂

（1）有关规定： 事实上，kn n k a a =)( 若设a >0,*),1(N n n n

m

k ∈>=

，m n

n m

n k a a a ==)()(由n 次根式定义, n a a m n

m 的是次方根，即：

n m n

m a a =

（2）同样规定：)1*,,0(1>∈>=

-n N n m a a

a

n

m n

m 且；0的正分数指数幂等于0，

0的负分数指数幂没有意义。

（3）指数幂的性质：整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂。

)

,0,0()(),,0()()

,,0(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a r r r r s s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+

（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。

4、对数的概念

（1）定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数。

①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；

②以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； （2）基本性质：

①真数N 为正数（负数和零无对数）； ②01log =a ；

③1log =a a ； ④对数恒等式：N a N a =log 。

（3）运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则

①log ()log log log log log ()a a a a a a MN M N M N MN =+⇔+=； ②log log log log log log a

a a a a a M M M N M N N N

=-⇔-=； ③log log ()log log n n a a a a M n M n R n M M =∈⇔=R ）。 ④b m

n

b a n a m log log =

（4）换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=

N m m a a a

N

N m m a 两个非常有用的结论①1log log =⋅a b b a ； 【注】指数方程和对数方程主要有以下几种类型：

(1) a f(x)=b ⇔f(x)=log a b, log a f(x)=b ⇔f(x)=a b ; （定义法）

(2) a f(x)=a g(x)⇔f(x)=g(x), log a f(x)=log a g(x)⇔f(x)=g(x)>0（转化法）

(3) a f(x)=b g(x)⇔f(x)log m a=g(x)log m b (取对数法)

(4) log a f(x)=log b g(x)⇔log a f(x)=log a g(x)/log a b(换底法) 四．典例解析 题型1：指数运算

例1．（1）计算：25.021

21

32

5.032

0625.0])32.0()02.0()008.0()9

4

5()833[(÷⨯÷+---；

（2）化简

3

2233--+

（3）化简：

533233

23

233

23

1

3

4)2(248a

a a a a

b a

a

ab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--

。

（4）化简： 33

3

233

23

134)21(428a a

b b

ab a b a a ⨯-÷++-