氢原子Schrodinger解中的量子数的物理意义及波函数图形分布
氢原子的量子力学理论讲义
DeBroglie Waves in Bohr's Model
（1）主量子数 n
En
mee42(4 0 )2 Nhomakorabea2
1 n2
,
n 1,
2,
3,
（2）角量子数 l
对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1)
氢原子系统的轨道角动量 p l(l 1)
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
径向函数 球谐函数
• 电子波函数的径向分布和角分布
电子的能量本征函数为径向函数和球谐 函数的乘积：
nlm (r) Rnl (r)Ylm ( ,)
电子的径向分布
Wnl
(r)
R2 nl
(r)r2
电子的角分布
Wlm ( ,) | Ylm ( ,) |2
设在空间（r,θ,φ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, ,)dV
m2
0
1
sin
d
d
sin
d
d
m2
sin2
0
1
r 2
d dr
r
2
dR dr
2me
2
E
e2
4 0 r
r2
R
0
式中m, 是常数
在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件
§3 氢原子
Rl (r) ~ r s
从而有
Rl ~ r l，r (l1)
由此给出 l (r) r 0 rRl ~ rl1 或 r l
但对后一解，有界条件要求 s<3/2
但l的取值范围 l 0,1,2,
决定了这一解不符合要求，故去掉，所以
l (r)~ rl1
即
Rl ~ r l
64
7
（2）当r→∞时 方程化为
64
33
氢原子的激发态 2s态: n=2, l=0, m=0
E2s
-
2.179 10-18 22
-0.544810-15 J
2s
1 8a03
(2
-
r a0
)e-r / 2a0
1 4π
1 =
1 ( 2 - r ) e -r/a0
4
2a
3 0
a0
64
34
(a) 2s的 2 r
64 图及电子云
nr和l
但库仑场中,En只依赖于n,但是 n=nr+l+ 故 能级En除了对m简并，对l也是简1 并的。 所以库仑场具有更高的对称性。对称元素越多,
对称性越高，简并度越大
从径向方程的求解过程可以看出，这是
V (r) 1 导致的。
64
r
22
En 的本征函数 nlm (r,,) Rnl (r)Ylm (,)
为
V (r) e2
64
r
1
径向波函数满足方程
d 2 Rl dr 2
2 r
dRl dr
2
2
(E
Ze2 ) r
l(l 1)
r2
Rl
0
(0 r )
第二节氢原子地波函数
第二节氢原子的波函数波函数氢原子是所有原子中最简单的原子，它核外仅有一个电子，电子在核外运动时的势能，只决定于核对它的吸引，它的Schrödinger方程可以精确求解。
能够精确求解的还有类氢离子，如He+、Li2+离子等。
为了求解方便，要把直角坐标表示的ψ(x，y，z) 改换成球极坐标表示的ψ(r,θ，φ)，二者的关系如图8-3所示：r表示P点与原点的距离，θ、φ称为方位角。
x = r sinθcosφy = r sinθsinφz = r cosθ解出的氢原子的波函数ψn,l,m(r,θ，φ)及其相应能量列于表8-1中。
图8-3 直角坐标转换成球极坐标表8-1氢原子的一些波函数及其能量轨道ψn，l，m(r,θ, φ)R n，l (r)Y l，m (θ, φ)能量/J1sA1e-B rA1e-B r-2.18×10-182sA2re-B r/2A2re-B r/2-2.18×10-18/222p zA3re-B r/2cosθA3re-B r/2cosθ-2.18×10-18/222p xA3re-B r/2sinθcosφA3re-B r/2sinθcosφ-2.18×10-18/222p yA3re-B r/2sinθsinφA3re-B r/2sinθsinφ-2.18×10-18/22* A1、A2、A3、B均为常数为了方便起见，量子力学借用Bohr N H D理论中“原子轨道”(atomic orbit)的概念，将波函数仍称为原子轨道(atomic orbital)，但二者的涵义截然不同。
例如：Bohr N H D认为基态氢原子的原子轨道是半径等于52.9 pm的球形轨道。
而量子力学中，基态氢原子的原子轨道是波函数ψ1S(r,θ,φ)=A1e-Br，其中A1和B均为常数，它说明ψ1S在任意方位角随离核距离r改变而变化的情况，它代表氢原子核外1s电子的运动状态，但并不表示1s电子有确定的运动轨道。
氢原子和类氢离子一氢原子的定态schrdinger方程及其解
(sin
)
1 sin 2
2
2
]Y
(
,)
k2Y
(
,)
Mˆ 2Y(,) l(l 1)2Y(,) k l(l 1)
其中 Y ( , ) l,m ( ) m ( )
的解 归一化条件 的解
2 0
m ( )* m' ( )d
mm'
0
l,m ( )* l'm ( ) sin d
ll '
2。角向分布图
（四）平均动能和平均位能
总能量 En
有确定值
1 2
e2 (
4 0 a 0
)(
Z n
)2
En T V
T 和V 都没有确定值，可求平均值
V Ze 2
4 0 r
V
n,l ,m
(r,
,
)(
Ze2
4 0r
)
n,l ,m
(r,
,
)r
2
sin
drdd
)(Zn22
)
1 ( e2
2 40a0
)(Z )2 n
Å a0
0h2 me2
0.529
级数终止某一项（引入量子数n ）条件是
l n 1 (n 1,2,3, l 1)
Rn,l
(r)
[c1
(
Zr a0
)l
c2
(
Zr a0
) l 1
cnl
(
Zr a0
) n1 ]e Zr
na0
nl i 1
Zr ci ( a0
)
是里德堡常数
RH
简并度为n 2
n 1
g (2l 1) n 2 l0
量子力学中的氢原子结构分析
量子力学中的氢原子结构分析量子力学是一个让人感到神秘的学科，从微观角度研究原子和分子的行为和相互作用。
氢原子是量子力学中最简单的单电子原子，其结构对于研究其他多电子原子和分子具有重要意义。
本文将介绍氢原子结构的量子力学理论和现实应用。
1. 氢原子的波函数和能级量子力学中，波函数是用来描述粒子在空间中波动和存在的函数。
氢原子中电子的波函数可以用Schrodinger方程求解，得到如下公式：$\psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi)=R_{n,l}(r)Y_{l,m}(\theta,\phi)$其中，$n$为主量子数，$l$为角量子数，$m$为磁量子数，$r$为离子半径，$Y_{l,m}$为球谐函数。
氢原子的能级也可以根据波函数求得。
具体方法是计算氢原子中电子的哈密顿算符在波函数上的期望值，得到：$E_n=-\frac{me^4}{8\epsilon_0^2h^2n^2}$其中，$m$为电子质量，$e$为电子电荷，$\epsilon_0$为真空介电常数，$h$为普朗克常数。
这个公式称为Bohr模型，与实验值相比，精度较高，但仍会有误差。
2. 氢原子的谱线和光谱学氢原子发射光线的频率可以通过与氢原子内部能级的差值相对应。
这些频率形成了光谱线，分为巴尔末系（Balmer series）、洪特姆系（Lyman series）、帕舍尼亚系（Paschen series）等。
巴尔末系中电子从$n\geq3$的能级跃迁到$n=2$的电子能级，所产生的光谱线包括Bα、Bβ等。
这些线可以被用来确定物质的组成和温度等特征。
除了发光谱线，氢原子还可以吸收谱线。
在光谱学中，通过测量吸收谱线的强度和波长，可以确定物质的成分和性质。
而通过对氢原子谱线的研究和分析，可以深入了解物质和电磁辐射之间的相互作用。
3. 氢原子的电离和激发氢原子被电离（即，从基态跃迁到自由电子状态）所需要的能量称为氢原子的电离能。
氢原子的电离能是一个常见的物理量，被用来描述和比较物质的化学性质。
氢原子量子力学理论
由此得到三个量子数 n、l、m
确定氢原子定态波函数的三个量子数n、l、m
（1）主量子数 n
me e4 1 En , n 1, 2, 3, 2 2 2 2(4 0 ) n
（2）角量子数 l 对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1) 氢原子系统的轨道角动量 p l (l 1)
角量子数:
l 0,1, 2,3,..., n 1, 共n个值
氢原子的基态波函数：
1 r a0 100 (r ) e a03 2 三个量子数n, l, m:
n：主量子数； l：角量子数； l 0,1, 2,3,..., n 1, 共n个值 m：磁量子数； m 0, 1, 2,..., (l 1), 共2l 1个值
2 Wnl (r) Rnl (r)r 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
电子的角分布
Wlm ( , ) | Ylm ( , ) |2
设在空间（r,θ ,φ ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, , )dV
Wnlm (r , , )r sin drd d | nlm (r , , ) | r sin drd d
氢原子的量子力学理论
1926年，Erwin Schrodinger给出了 一个微观粒子在势场U(r,t)低速时波函数满 足的方程，称为薛定谔方程
2 2 i (r , t ) U (r , t ) (r , t ) t 2m
玻恩给出了波函数的概率解释
氢原子是两体问题，可以通过坐标的选取化 为折合质量为m=memp/(me+mp)的单体问题， 从而给出其薛定谔方程。 氢原子中的电子在核电场中运动，其电势能为：
结构化学 第2章原子结构及性质
12
西安文理学院物化教研室
第二章
2.1.3 方程的解
d 2 m2 0 常系数二阶线性齐次方程
i m
(1) ()方程的解 d 2
两个独立的特解为： m Ae
由循环坐标确定 m的取值
m ( ) m (2 )
2 -2
1 i e 2 1 i 2 2 e 2 1 i 2 2 e 2
cos 1 cos 1 sin 1 sin 1
cos 1 cos 2 2 sin 1 sin 2 2
cos cos sin sin cos x r r r sin
类似可得
cos sin cos sin sin y r r r sin
sin cos z r r
够精确求解的原子体系的微分方程。处理单电
子体系发展起来的思想为处理多电子原子的结
构奠定了基础，由单电子体系的求解结果引出
的诸如原子轨道、波函数径向分布、角度分布、
角动量、能量等概念及表达式是讨论化学问题 的重要依据。
3
西安文理学院物化教研室
第二章
2.1 单电子原子的Schrö dinger方程及其解
, m Ae
i m
统一为
m Ae
m m
im
由于是一个循环坐标， 和(+2π)代表空间同一方位， 为了保证波函数的单值性，Φ在和(+2π)必须取相同的值
Aeim Aeim(2 ) Aeim ei 2 m
ei 2 m cos 2 m i sin 2 m 1
2大学物理量子力学的氢原子理论四个量子数 (1)
)
[l( l 1)
ml2
sin2
]
0
（3）方位角波函数方程
d 2 d 2
ml2
0
二、氢原子量子数的意义
1. 能量量子化和主量子数 n ：
En
1 n2
me4
8
2 0
h2
n 1, 2,3......
2. 轨道角动量量子化和角量子数 l :
对于某一确定的能级 n , l 可以取 0,1,2,...n-1 共 n 个量子数，相应的角动量为
ml 0 , ms 2 or ms 2
ml 1,
ms
1 2
or
ms
1 2
1 ml 1, ms 2 or
1 ms 2
可能状态有；
( 2,0,0, 1 ) (2,0,0,- 1 ) (2,1,0, 1 ) (2,1,0,- 1 )
2
2
2
2
( 2,1,1, 1 ) (2,1,-1,- 1 ) (2,1,1, 1 ) (2,1,1 - 1 )
决定电子轨道角动量在外磁场中的取向。
11
(4) 自旋量子数
ms：
ms
, 2
2
决定电子自旋角动量在外磁场中的取向。
四、原子的壳层结构
电子状态用 n l 描述 l =0,1,2,3,4,5,分别用 s, p, d, f, g, h 表示。
例： 1s2 , 2s2 , 2p6等。
（1）泡利不相容原理 原子中不可能有两个或两个以上的电子处于相 同的状态，即不可能有完全相同的四个量子数.
电子状态：由 n, l, ml , ms四个量子数决定。
《氢原子的量子理论》课件
2 自旋标度符号
解释自旋标度符号和自旋 的相对性质，以及它们在 波函数描述中的作用。
3 自旋磁量子数
探索氢原子自旋磁量子数 和简并度，及其对态的能 量和性质的影响。
结论
1 氢原子量子理论的应用
总结氢原子量子理论在原子物理和量子力学研究中的重要应用和意义。
2 未来研究方向
探讨氢原子量子理论未来可能的发展方向和研究领域。
讨论氢原子能级的计算方法和能量本征值的物理意义。
2
能级简并
解释氢原子能级简并现象的原因和如何计算简并度。
3
能量本征函数
介绍氢原子的能量本征函数及其在波函数中的应用。
氢原子的辐射
发射光谱
吸收光谱
探索氢原子的发射光谱现象，解 释辐射能级跃迁和光谱线的产生。
讲解氢原子的吸收光谱，如何分 析和应用能级的吸收特性。
3 社会意义
思考氢原子量子理论对社会和技术的影响，以及潜在的实际应用。
氢原子的波函数
讨论氢原子的波函数表达和 意义，以及如何计算和解释 波函数。
氢原子的波函数
1 主量子数
介绍氢原子主量子数及其在波函数中的作用和意义。
2 角量子数
解释氢原子角量子数的概念和用途，以及与轨道形状的关系。
3 磁量子数
探讨氢原子磁量子数的含义和作用，以及在磁场中的行为。
氢原子的能级
1
能量本征值
等相球面模型
介绍氢原子的等相球面模型，解 释电子在不同能级之间的跃迁规 律。
氢原子的旋磁量子数
1定则和跃迁的概率。
2 符号约定
解释氢原子量子数的符号约定，如何表示和计算旋磁量子数。
3 柯塞特定理
介绍柯塞特定理和它在解析解中的应用，以及旋转对称性的影响。
氢原子Schrodinger解中的量子数的物理意义及波函数图形分布
第7节 氢原子Schrodinger 解中的量子数的物理意义及波函数图形分布第一部分 上节课复习内容：第二部分 本节课授课内容：1、三个量子数的物理意义2、电子自旋运动的量子数及总量子数3、波函数与电子云的图形，径向分布函数4、自然单位引言：由氢原子及类氢离子的Schrodinger 方程分离出来的三个方程R 方程、Φ方程和Θ方程的解而引入了三个量子数，这三个量子数的物理意义第二节 量子数的物理意义一、主量子数n1、主量子数n 是在解R 方程时引入的，它决定体系能量的高低，即，对于氢原子及类氢离子，原子轨道的能量在轨道运动中只决定于主量子数2222048nZ h e E n ⨯-=εμ (......,,n 321=)当n 值变大时，轨道越远离原子核，而当n 无穷大时，体系的能量趋近于0，所以当原子核与电子的距离为无穷远时，氢原子及类氢离子的体系总能量为0，这样的物理模型可以被当做参考体系的零点。
2、下面考虑能级差随主量子数n 的变化关系2222048n Z h e E n ⨯-=εμ，222204118)n (Z h e E n +⨯-=+εμ所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⨯-=-+22222204118n Z )n (Z h e E E n n εμ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⨯=222220242222024111281128)n (n )n (n h Z e n )n (n h Z e εμεμ所以，当n 增加时，n n E E -+1是减小的，即，随着主量子数n 的增大，能级差是逐渐减小的。
而对于一维势箱：2428ml h n E n =，242181ml h )n (E n +=+，(......,,n 321=) 所以2222181ml h )n )n ((E E n n -+=-+22812mlh )n (+= 即：随着量子数n 的增加，一维势箱中的粒子的能级间隔是逐渐加大的。
量子力学波函数
d 2 8 π 2 mE 0 2 2 dx h
15. 8
量子力学简介
Suling Chang
Ep
波函数
( x)
0,
( x 0, x a)
o
a
2 nπ sin x , (0 x a) a a
x
概率密度 能量
2 2 nπ ( x) sin x a a
15. 8
量子力学简介
Suling Chang
2 粒子在势阱中各处出现的概率密度不同 波 函 数
( x)
2 nπ sin x a a
概率密度
2 2 nπ ( x) sin ( x) a a
2
例如，当 n =1时， 粒子在 x = a /2处出 现的概率最大
15. 8
量子力学简介
Suling Chang
15. 7
氢原子的量子力学描述
chsling
二 量子化条件和量子数
求解上述方程时可得以下一些量子数及 量子化特性 1 能量量子化和主量子数
1 En 2 E1 n
4
n =1,2,3,...为主量子数
me E1 2 2 13.6 (eV) 8 0 h
15. 7
氢原子的量子力学描述
归一化条件
2 a 2 A sin 0
o
a
a
x
2
dx dx 1
* 0
nπ xdx 1 a
2 A a
15. 8
量子力学简介
Suling Chang
Ep
得
nπ k a
2 A a
( x) A sin kx
薛定谔方程 求解氢原子
薛定谔方程求解氢原子
氢原子的薛定谔方程为：（−h¯22m∇2+V）ψ=Eψ（−h28π2m∇2−Ze24πε0r）ψ=Eψ。
薛定谔方程（Schrödinger equation），又称薛定谔波动方程（Schrodinger wave equation），是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。
它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
在量子力学中，粒子以概率的方式出现，具有不确定性，宏观尺度下失效可忽略不计。
薛定谔方程（Schrodinger equation）在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x，t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定。
力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。
这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一。
量子物理2_Schroedinger方程及其应用(氢原子)
该环的平均半径为 n2a ，正如同经典图像的玻 尔氢原子轨道。
这就再一次验证了玻尔 的对应原理：在大量子数情 况下，量子理论的预言趋于 经典理论的结果。
2
按照波函数的物理意义，电子分布在点 ( r , , ) 附近， 体积元 d r 2 sin drd d 区域内的概率为
Pnlm (r , , ) nlm ( r , , ) d
2
若只讨论径向分布，上式对 从 0 积分，
从 0 2 积分，
即
Pnl ( r )dr
式中常数 l，ml 是在分离方程时引入的，其物 理意义，有待讨论。
二、三个量子数 1.能量量子化与主量子数
1 d 2 dR 2m e2 l ( l 1) (r ) [ 2 (E ) ]R 0 2 2 r dr dr 4 0r r
求解方程
根据波函数满足单值、有限和连续的条件，可 得氢原子的能量是量子化的
0
2
0
2
nlm ( r , , ) r 2 sin drd d
2
Rnl r 2dr
可见径向分布的概率密度为
Rnl r 2
2
Pnl ( r ) Rnl r 2
2
1s
2s
3s
r /a
再看角向波函数
Ylm ( , ) lm ( ) m ( )
m ( )
1 2 1 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin 1 2 2m e2 2 2 2 (E ) 0 2 r sin 4 0 r
应用分离变量法，令 ( r , , ) R( r )( )( ) 回代到定态的薛定谔方程，可得三个独立方程
氢原子薛定谔方程的解
l 1 为缔合勒盖尔多项式。 L2 n l
同时规定了 l 的取值范围，即对于某一确定n ,l 可能取n个值：l=0,1,2,…n-1
氢原子的波函数： nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
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氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理学基础
讨论n、l、ml 参数的物理意义
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理学基础
在球坐标系下： x r sin cos ,
z
y r sin sin , z r cos ,
在球坐标系下的薛定谔方程：
y
x
此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程 求解，即设 R(r )( )( ) 代入上式得：
方程（1）得到的波函数 ()表明：电子绕核转动的 角动量空间取向是量子化的，设：外磁场方向为Z轴 方向，Lz表示L在外场方向投影大小，则：
这里的 ml即为前面讲的m，称为磁量子数。对应一个 l， ml有2l+1个值，即角动量的空间取向有2l+1种可能。
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氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理学基础
一般s、p、d、f、g……等字母表示 l=0,1,2, ……，显然，对于s 态的电子来说，其动量矩L=0.
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氢原子薛定谔方程的解 （3）角动量的空间取向量子化
第十一章 量子物理学基础
索末菲在1915-1916年提出：氢原子中的电子绕核作圆 周轨道运动，轨道平面在空间的取向不是任意的，而 只能取有限的特定方位，这既是轨道空间量子化假设
氢原子中的电子绕核作圆周轨道运动轨道平面在空间的取向不是任意的而只能取有限的特定方位这既是轨道空间量子化假设第十一章量子物理学基础氢原子薛定谔方程的解哈尔滨工程大学理学院如图即为n4l0123电子的角动量空间取向量子化的情形
氢原子态
最后得：
0 J e j
im e ime im
em
1 | nlm |2 r sin
（2）轨道磁矩 j 是绕 z 轴的环电流密度，所 以通过截面 d 的电流元为：
z d r z
d
dr
对磁矩的贡献是：
圆面积 S= (rsin)2
基态(n=1) 莱曼系(m=1, 紫外光)
（2）能级简并度
l 0
n 1
( 2l 1) n 2
当 E < 0 时，能量是分立谱，束缚态，束缚于阱内，在无 穷远处，粒子不出现，有限运动,波函数可归一化为一。
n = j+ + l
= 0,1,2,...
j= 0,1,2,...
能量只与主量子数 n 有关，而本征函数与 n, , m 有关，故能级存在简并。 当 n 确定后， = n - j- 1 ，所以 最大值为 n - 1 。 当 确 定 后 ， m =
2e
Z r a 0
Z 3/ 2 2 a0
Z 3/ 2 Z 2 a0 a0 3 Z 3/ 2 3 a0
2Z 3/ 2 2 a0 27 3
2Z 3/ 2 Z a0 81 15
(2
Z a0
r )e
0
2Z r a
0
re
4Z 3 a0
2Z r a 3Z r a
0
[2
r
4 27
( r ) ]e
Z a0 Z a0
0
2
[
Z 81 3a 0 2
r]
re
Hale Waihona Puke 3Z r a0( r) e
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第7节 氢原子Schrodinger 解中的量子数的物理意
义及波函数图形分布
第一部分 上节课复习内容：
第二部分 本节课授课内容：
1、三个量子数的物理意义
2、电子自旋运动的量子数及总量子数
3、波函数与电子云的图形，径向分布函数
4、自然单位
引言：由氢原子及类氢离子的Schrodinger 方程分离出来的三个方程R 方程、Φ方程和Θ方程的解而引入了三个量子数，这三个量子数的物理意义
第二节 量子数的物理意义
一、主量子数n
1、主量子数n 是在解R 方程时引入的，它决定体系能量的高低，即，
对于氢原子及类氢离子，原子轨道的能量在轨道运动中只决定于主量子数
22
22048n
Z h e E n ⨯-=εμ (......,,n 321=)
当n 值变大时，轨道越远离原子核，而当n 无穷大时，体系的能量趋近于0，所以当原子核与电子的距离为无穷远时，氢原子及类氢离子的体系总能量为0，这样的物理模型可以被当做参考体
系的零点。
2、下面考虑能级差随主量子数n 的变化关系
2222048n Z h e E n ⨯-=εμ，2
2
2204118)n (Z h e E n +⨯-=+εμ
所以
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+⨯-=-+22222204118n Z )n (Z h e E E n n εμ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⨯=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++⨯=22
222024222202411
1281128)n (n )n (n h Z e n )n (n h Z e εμεμ
所以，当n 增加时，n n E E -+1是减小的，即，随着主量子数n 的增大，能级差是逐渐减小的。
而对于一维势箱：
2428ml h n E n =，2
4
21
81ml h )n (E n +=+，(......,,n 321=) 所以
2
2
22181ml h )n )n ((E E n n -+=-+
2
2812ml
h )n (+= 即：随着量子数n 的增加，一维势箱中的粒子的能级间隔是逐渐加大的。
3、对于氢原子，Z ＝1 所以
eV
.h e E 595131182
2
22041-=⨯-=εμ
这个能量是氢原子基态1s 轨道的总能量。
所以，氢原子及类氢离子能级公式可以写做： .....),,n ()eV (n
Z .E n 3215951322
=⨯-=
4、用维里定理(virial theorem)求氢原子态的动能(零点能)
对于电子体系，由virial theorem 可能得到：
><-
>=<V T 2
1
即：电子体系的平均动能等于负二分之一倍的平均势能 因此
eV
.V V V V T E s 6132
1
211->=<>=<+><-=>
<+>=< 所以
eV .V 227->=<
eV .V T 6132
1
>=<-
>=< 所以，该体系的零点能是13.6 eV 。
二、角量子数l
将角动量算符作用于nlm ψ上可得如下公式：
nlm nlm
h )l (l M ˆψπψ2
221⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
所以
2221⎪⎭
⎫
⎝⎛+=πh )l (l M
)n .....,,,l (h )l (l M 1321021-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+=π
即，轨道角动量是由角量子数l 决定的。
另外，伴随着轨道角动量必有轨道磁矩(μ)
M m e e
2-=μ
e
e )l (l )
l (l m he βπμ114+=+= 其中e β为Bohr 磁子
1241027494--⋅⨯==
T J .m he
e
e πβ
三、磁量子数
在解Φ方程时引入了磁量子数m ，这的物理意义是：决定电子轨道角动量在z 轴上的分量z M ，也决定轨道磁矩在磁场方向上的分量z μ
将角动量在z 轴上的分量算符作用于nlm ψ上可得如下公式：
)l ,......,,m (,h m M ˆnlm
nlm z ±±±==2102ψπ
ψ 所以
)l ,......,,m (,h
m
M z ±±±==2102π
同样，轨道磁矩可以求出，得到
)l ,......,,m (,m e z ±±±=-=210βμ
下面讨论z M 与M 的关系
对于l =2时的状态：
πππππππ22
20222226
212
102h
,h ,,h ,h h m M h
h )
l (l M ,,m ,l z --===+=±±==
M
四、自旋量子数
电子有自旋运动，自旋量子数为s ，自旋磁量子数为m s 。
自旋运动角动量为：
)s (h )s (s M s 2
121=
⎪
⎭
⎫
⎝⎛+=π 自旋运动角动量在z 轴的分量为：
)m (,h m M s
sz 2
12±==π 同时伴随自旋运动又有自旋磁矩
e e s )s (s g βμ1+=
它在z 轴的分量为：
e s e sz m g βμ-=
其中，g e 为电子的自旋因子，并且：
002322.g e =
五、总量子数
因为电子的轨道运动与自旋运动的角动量都是矢量，两者的矢量和就是电子的总角动量M j ，它的大小由总量子数j 来规定：
s j M M M +=
π
21h )
j (j M j +=
s l ,......s l ,s l j --++=1
电子的总角动量M j 沿z 轴的分量M jz 由总磁量子数m j 决定
π
2h m M j
jx = j ,......,,,m j ±±±±=2
5
2321
例如：
l=2s=1/2
M j =M + M s M j =M - M s j=l + s=5/2
j=l - s =3/2
m=0,±1,±2m s =±1/2
M j =(5/2)(h/2π) M j =3/2(h/2π)
m j =±1/2,±3/2,±5/2m j =±1/2,±3/2,M jz =±1/2,±3/2,±5/2(h/2π)
M jz =±1/2,±3/2(h/2π)
第三节 波函数和电子云的图形
一、r ~,r ~2ψψ
这种情况一般只用来表示s 态波函数
对于氢原子及类氢离子体系，它的1s 和2s 波函数为：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=r a z s e a z 02
1
303
1πψ ⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=r a 2z s
e r a z a z 002
1
303
22241πψ
对于1s 轨道，它的波函数是与()zr e -图象相似的，如下：
问题1：对于2s 波函数（200ψ），它的函数在r 为何值时会有一个节点和一个最小值？ 因为：
()()
/2zr s
e zr z --⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=22412
13
2πψ 而当在节点位置时波函数应为0，所以
()()
02241213
2=-⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-/2zr s e zr z πψ 此时
0a z
r au z
r zr 2202=
=
=-或者
几率⎰⎰⎰=φθθψd drd sin r P 22
1s
dr
r 4d d sin dr r d drd sin r 2
1s 20
20
2
21s 22
1s ψπφθθψφθθψπ
π
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==＝
所以，2
1s 2r 4D ψπ＝
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0303
2
a 2zr -exp a z r 4ππ＝ 如果要D 有极值，它的一价导数应该为0，即
0=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=
020*********a 2zr -exp r a 2z a 2zr -2rexp a 4z dr
a 2zr -exp r a 4z d dr dD。