偏微分方程的离散化方法研究

kxx2 2
u(x, y, t) u(x x2, y, t) x2
x x
x
Δx
Δx1 Δx2
.
三、有限差分方程的建立
1、 抛 物
型方
程
：
一维不
稳定
渗流
方程
：
2P x 2
P t
（ 1） 显 示 差 分 ： 利 用 P（ x， t） 关 于 t 的 一 阶 向 前 差 商 和 关 于 x 的 二 阶 差 商 ， 在 点 （ i， n） 的 差 分 方 程 。
Pn i1
2 Pi n x2
Pn i1
P n1 i
t
Pi n
P n1 i
(1 2 ) Pi n
(
Pi
n
1
Leabharlann Baidu
Pn i1
)
，
t x
2
， 截 断 误 差 ： O(t
x2)
从 方 程 可 以 看 出 ： 如 果 已 知 第 n（ 本 步 时 间 ） 的 值 Pin ， 就 可 以 求 得 第 n+1
时 刻 （ 下 步 时 间 ） 的 值 Pin1 。 因 此 如 初 始 条 件 ， 即 n=0 时 各 网 格 的 P 值 已 给 定 ， 就 可 以 依 次 求 得 以 后 各 时 间 的 P 值 。这 种 差 分 格 式 是 显 式 差 分 格 式 。在 显 式 差 分 格 式 中 ： 只 有 一 个 未 知 数 Pin1 ， 由 一 个 方 程 就 可 以 求 出 。 简 单 ， 精 度 较 差 ， 时 间 步长受到严格限制，基本不用。
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1、网格系统 它有x，y两个自变量，在平面上用平行线分割成许多网格， 如考虑时间，则。编号：x→i，y→j，t→n。为步长（对三 维z→k）。 节点：网格的交点叫网格节点。取一些与边界s接近的网格 节点，把他们连成折线Sh，Sh所围成的区域记为Dh，Dh 内的节点为内部节点、边界上的节点为边界节点。 2、 等距网格就是指建立差分网格时，所采用的步长都是相 等的，反之称为不等距网格。
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3、网格类型 常规网格系统： （1）块中心网格：用网格小块的几何中心来表示小块的坐标 （2）点中心网格：用节点的坐标来表示小块的坐标
块中心网格和点中心网格的离散点数不同，但最终形成一样的差分方程，只 有在处理边界条件时各有方便之处，块中心网格比较容易处理定流量边界， 点中心网格比较容易处理定压边界。 非常规网格系统： （1）局部网格加密 （2）混合网格 （3）多边形网格
P P ( x x / 2 ) P ( x x / 2 ) ， P Pi1 / 2 Pi1 / 2 忽 略 截 断 误 差 O (( x / 2 ) 2 )
x
x
x i
x
.
1、 二阶差商
将 方 程 (*)正 负 相 加 ,可 得 : P(x x) P(x x) 2P(x) x 2 P '' (x) x 4 P (4) (x) .........
偏微分方程的 离散化方法
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一、离散化的概念
油藏是非均质的，岩石和流体性质伴随时间常常是发生变化的，建立的偏微分 方程一般是非线性的，求解偏微分方程的解析解比较困难，常用数值求解。 目前工程上应用的离散化方法有：有限差分法、有限元法、边界元法、变分法 等。 离散化的核心是把整体分成若干单元来处理，而每个小单元的形状是规则的， 并可以认为是均质的，从而把形状不规则的非均质的问题转化为形状规则的均 质的问题——非线性问题线性化。 计算过程中可以控制精度。要求的精度越高，则需要划分的单元就越多，计算 工作量相应就越大，反之，单元划分得少些，计算工作量就小，但精度变差些。 微分方程离散化，主要在空间和时间两方面被离散化
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上式两端同除 x 2 ,整理得:
P '' (x) P(x x) 2P( x) P(x x) O(x 2 ) x 2
忽略二阶截断误差 O(x 2 )
2P x 2
P(x
x)
2P(x) x 2
P(x
x)
，
2P x 2
Pi 1
2 Pi x 2
Pi 1
(用 节 点 位 置 )
i
.
1、 一种常用二阶差商处理方法
k u k u
x
k
x
x xx1 2 x
x xx2 2
， x
1 2
(x1
x2
)
u u(x x1, y, t) u(x, y, t) ， u u(x, y, t) u(x x2, y, t)
x xx1
x1
x xx1
x2
2
2
k
u
k x x1 2
u(x x1, y, t) u(x, y, t) x1
P lim P ( x ) P ( x x ) x x 0 x
P lim P ( x x ) P ( x x )
x x 0
2 x
前 差 商 后 差 商 中 心 差 商
P
x
.
函数P(x+Δx)利用Talor 公式逼近导数
P(xx) P(x) xP(x) x2 P(x) x3 P(x) x4 P(4)(x)
x
2、 一 阶 后 差 商
P P ( x ) P ( x x ) ， P Pi Pi1
x
x
x i
x
3、 一 阶 中 心 差 商
P P ( x x ) P ( x x ) ， P Pi1 Pi1
x
2x
x i
2x
忽 略 截 断 误 差 O(x) 忽 略 截 断 误 差 O(x) 忽 略 截 断 误 差 O (x2)
.
（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格， 大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通 常采用矩形网格（正方体）。 （2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段， 在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步 长大小取决于所要解决的实际问题。
.
离散空间 .
P
t
离散时间
2!
3!
4!
(*)
P(x) xP(x) O(x)
P(x x) P(x) x P(x) (x/2)2 P(x) (x/2)3 P(x)
2
2
2!
3!
P(x) x P(x)O(x)
2
2
.
1、 一 阶 前 差 商
P P ( x x ) P ( x ) ， P Pi1 Pi
x
x
x i
.
y
x
无效网格 有效网格 点中心网格 块中心网格 .
z
x y
局部网格加密
.
.
模拟区网格图（井位、边界、断层）
.
五点法注水开发5年后XW3层含水饱和度分布图
.
五点法注水开发20年后XW3层含水饱和度分布图
.
z
r
混合网格
.
二、有限差分法----导数的差商逼近
P lim P ( x x ) P ( x ) x x 0 x