6两个总体 参数估计0910 (2)

暂按方差水平不同的情况处理（？），则自由度为：
15.996 23.014 8 12 v 13.188 13 2 2 15.996 12 23.014 8 12 1 8 1
2
解: 根据样本数据计算得
统计学
解: 根据样本数据计算得 (第二版) 2 2 x2 27.875 s 2 23.014 x1 32.5 s1 15.996 自由度为：13
统计学 当X1 ~ N(μ1, σ12)， X2 ~ N(μ2, σ22)， (第二版)
X 1－X 2
标准化：
1 2 1 2 ~ N ( 1－ 2， 1 2 ) n1 n2
统计学 当X1 ~ N(μ1, σ12)， X2 ~ N(μ2, σ22)， (第二版)
X 1－X 2
标准化：
( X 1 X 2 ) za 2
n1 n2
2 1
2 2
应用条件：要求1２、 2２已知
统计学
(第二版)
2. 同样地，总体服从正态分布当1２、 2２未知时， 两个总体均值之差 1-2 在1-a 置信水平下的 置 信区间为：
2 1 2 2
( X 1 X 2 ) za 2


当n1＝n2时， 自由度v＝n1＋n2－2
t (第二版)
统计学
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) S S n1 n2
2 1 2 2
~ t (v )
t分布定义域分解
a/2
t分布
1-a
a/2
－
ta
ta
2
T
2
统计学
(第二版)
a/2
1-a
a/2
－
ta
ta
2
T
2
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
P{
－
ta <
2
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) 1 1 Sp n1 n2
< பைடு நூலகம்a 2
}=1-α
2. 两个总体均值之差1-2在1-a 置信水平下的 置信区间为
1 1 X 1 X 2 ta 2 n1 n2 2 S n n 2 1
统计学
(第二版)
§4.3 两个总体参数的区间估计
一. 两个总体均值之差的区间估计
二. 两个总体方差比的区间估计
两个总体参数的区间估计 (第二版)
总体参数 均值之差 符号表示 样本统计量
统计学
方差比
统计学
(第二版)
两个总体均值之差的区间估计
统计学
(第二版)
均值的抽样分布
当X ~ N(μ, σ2)，
两所大学英语六级考试平均分数之差95％的置信区 间为5.03分~10.97分
统计学
(第二版)
两个总体均值之差的区间估计 (独立小样本)
统计学
(第二版)
两个总体均值之差的估计 (小样本: 1222 )
1.假定条件：
.两个总体都服从正态分布 .两个总体方差未知但相等：1２=2２ .两个独立的小样本(n1<30和n2<30)
n1=33
x1 86
S1=5.8
x 2 78
S2=7.2
统计学
解: 两个总体均值之差在1-a置信水平下的置信区间为 (第二版)
( x1 x 2 ) za 2
s s n1 n2
2 2
2 1
2 2
5.8 7.2 (86 78) 1.96 46 33 8 2.97 (5.03,10.97)
< ta 2
}=1-α
两个总体均值之差1-2在1-a 置信水平下的置 信区间为
2 S12 S2 X 1 X 2 ta 2 (v ) n1 n2
统计学 已知某造纸厂废水中悬浮物连续排放服从正态分布
(第二版) ，一月份抽样监测12次和二月份抽样监测（ppm）
。以95%的置信水平建立一月份和二月份废水中SS 差值的置信区间 。以考察处理效果是否改善。
2 2 x1 32.5 s1 15.996 x2 28.8 s 2 19.358
合并方差估计量为：
(12 1) 15.996 (12 1) 19.358 s 17.677 12 12 2
2 p
统计学 解: 根据样本数据计算得
(第二版) 32.5 s 2 15.996 x 28.8 s 2 19.358 x1 2 2 1
合并方差估计量为：17.677
2. 两个总体均值之差1-2在95％ 置信水平下的 置信区间为
2 1－2＝ X 1 X 2 ta 2 n1 n2 2 S p 1 1 n n2 1
＝
1 1 (32.5 28.8) 2.0739 17.677 3.7 3.56 12 12
t分布
t分布定义域分解
a/2
1-a
a/2
－
ta
ta
2
T
2
两个总体都服从正态分布 .两个总体方差未知但相等：1２=2２ .两个独立的小样本(n1<30和n2<30)
统计学
(第二版)
a/2 1-a
t分布
a/2
－
ta
ta
2
T
2
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) 1 1 Sp n1 n2
统计学
(第二版)
a/2
1-a
a/2
－
ta
ta
2
T
2
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) 1 1 Sp n1 n2
从上图中得到： P{
－
ta <
2
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) 1 1 Sp n1 n2
< ta 2
}=1-α ？
统计学
(第二版)
＝
1 1 (32.5 28.8) 2.0739 17.677 3.7 3.56 12 12
＝[0.14，7.26]
统计学
(第二版) 2. 两个总体均值之差1-2在95％ 置信水平下的 置信区间为
1－ 2
＝[0.14，7.26]
两种方法组装产品所需平均时间之差95%的置信区 间为0.14分钟~7.26分钟

2 1 1


2 2
~ N (0,1)
n2
a/2
1-a
a/2
－
za
2
za
Z
2
从上图中得到：
P{
－
za
2
<
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
12
n1

2 2
<
za
2
}=1-α
n2
统计学
(第二版)
P{
－
za
2
<
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
12
2 S12 S 2 n1 n2
从上图中得到： P{
－
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
2 S12 S 2 n1 n2
ta <
2
< ta 2
}=1-α ？
统计学
(第二版)
P{
－
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
ta <
2
2 S12 S 2 n1 n2
统计学
(第二版)
两个总体均值之差的估计
(小样本: 1222 )
(第二版)

统计学 • 1.假定条件
两个总体都服从正态分布 两个总体方差未知且不相等：1２2２ 两个独立的小样本(n1<30和n2<30)
2. 使用统计量
t
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) S S n1 n2
＝[0.14，7.26]
统计学 解: 根据样本数据计算得
(第二版) 32.5 s 2 15.996 x 28.8 s 2 19.358 x1 2 2 1
合并方差估计量为：17.677
2. 两个总体均值之差1-2在95％ 置信水平下的 置信区间为
2 1－2＝ X 1 X 2 ta 2 n1 n2 2 S p 1 1 n n2 1
2 p
统计学 例：为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别
对两种不同的组装方法各随机安排12个工人，每个工 (第二版)
人组装一件产品所需的时间（分钟）下如表。假定两 种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。 试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均 时间差值的置信区间（消防队员上衣钮扣的顺序）
2 1 2 2
~ t (v )
统计学
(第二版) t
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) S S n1 n2
2 1 2 2
~ t (v )
自由度v
v

S2 S2 1 2 n n2 1
2
2 2 2 2 S1 n1 S 2 n2 n1 1 n2 1
S S n1 n2
统计学
(第二版) 【例】某地区教育委员 会想估计两所大学的学 生的英语六级考试平均 分数之差，为此在两所 大学独立地抽取两个随 机样本，有关数据如下 表 。建立两所大学英 语六级考试平均分数之 差95%的置信区间。
（成绩服从正态分布）
两个样本的有关数据 大学1 大学2
n1=46
n1

2 2
<
za
2
}=1-α
n2
2 2
P{( X 1 X 2 )－za
12
2
n1

n2
2
(1 2）
12
n1
2 2
( X 1 X 2 )＋za
n2
} 1a
即；两个总体均值 1—2在1-a置信水平下的 置信区间为？
统计学
(第二版)
即；两个总体均值 1—2在1-a置信水平下的 置信区间为：
T
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) S
2 p
n1

S
2 p
~ t (n1 n2 2)
n2
统计学
(第二版)
SP2 ：总体方差的合并估计量
( n1 1) S ( n2 1) S S n1 n2 2
2 p 2 1
2 2
统计学
(第二版)
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) t ~ t (n1 n2 2) 1 1 Sp n1 n2
1 2 1 2 ~ N ( 1－ 2， 1 2 ) n1 n2
Z
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )

2 1
n1


2 2
~ N (0,1)
n2
统计学
(第二版)
总体1
两个样本均值之差的抽样分布
1 1 2
总体2
2
计算每一对样本
的X1-X2 抽取简单随机样 样本容量 n2 计算X2
1 1 2 X X i～N ( ， ） n n
统计学 (第二版) ~ N(μ , σ 2)， 当X1 X2 ~ N(μ2, σ22)， 1 1
1 1 X 1 X 2 ( Xi n1 n2
X )
j
1 2 1 2 ~ N ( 1 2， 1 2 ) n1 n2

2 1
n1


2 2
~ N (0,1)
n2
统计学
(第二版)
Z
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )

2 1
n1
变量Z的定义域的分解：


2 2
~ N (0,1)
n2
a/2
1-a
a/2
－
za
2
za
Z
2
Z
统计学
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
(第二版) n
一月份 28.3 36.0 30.1 37.2 29.0 38.5
二月份 27.6 31.7 22.2 26.5 31.0
37.6 32.1 28.8
34.4 28.0 30.0
33.8 20.0 30.2
统计学
(第二版) 2 2 x2 27.875 s 2 23.014 x1 32.5 s1 15.996
统计学
(第二版)
当X1 ~ N(μ1, σ12)， X2 ~ N(μ2, σ22)，
1 2 1 2 （X 1 X 2） ~ N ( 1 2， S p Sp) n1 n2
SP2 ：总体方差的合并估计量
统计学
(第二版)
X1 X 2
标准化：
1 2 1 2 ~ N ( 1 2， S p S p ) n1 n2
抽取简单随机样 样本容量 n1 计算X1
所有可能样本 的X1-X2 抽样分布
1 2
统计学
(第二版)
两个总体均值之差的估计
1.假定条件 .两个总体都服从正态分布，1２、 2２已知 .若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n130 和n230)
2. 使用正态分布统计量Z
Z
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
两个方法组装产品所需的时间
方法1
方法2
28.3 30.1 29.0
36.0 37.2 38.5
27.6 22.2 31.0
31.7 26.0 32.0
1
37.6 32.1 28.8
34.4 28.0 30.0
33.8 20.0 30.2
31.2 33.4 26.5
2
统计学
(第二版) 解: 根据样本数据计算得