28.1.3特殊角的三角函数值
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九年级数学下（RJ） 教学课件
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数值
学习目标
1. 运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、 45°、60°角的三角函数值. (重点)
2. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加 以运用. (难点)
复习引入
sin
A
=
∠A的对边
(2) sin230°+ cos230°－tan45°.
解：原式 =
1 2
2
2
3 2
1 0.
二 通过三角函数值求角度
例2 (1) 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 6，
BC = 3 ，求 ∠A 的度数；
解： 在图中，
B
∵ sin A BC 3 2 ， AB 6 2
2
2 2
2
+
2 2
2
3
3
3. 2
1. 3 tan (α+20°)＝1，锐角 α 的度数应是
(D )
A．40° B．30° C．20° D．10°
2. 已知∠A为锐角， sinA =
1 2
，则下列正确的是 ( B)
2
A. cosA = 2
3
B. cosA =
2
C. tanA = 1
D. tanA = 3
归纳：
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正 切值如下表：
锐角α 三角 函数
30° 45° 60°
sin α
1
2
3
2
2
2
cos α
3
2
1
2
2
2
tan α
3 1
3
3
典例精析
例1 求下列各式的值：
(1)
c解o：s2c6o0s2°60°+s+isni2n62600°°； 12
2
3 2 2
2
∴ ∠A＝45°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°－45°－60°＝75°， ∴ △ABC 是锐角三角形．
练一练
1. 已知，△ABC中的∠A和∠B满足| tanB－ 3 | ＋ (2 sinA － 3 )2 ＝0，求∠A，∠B的度数.
解：∵ | tanB－ 3 | ＋ (2 sinA－ 3 )2 ＝0，
合作探究
两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出 这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
60°
30°
45°
45°
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，
另一条直角边长 = 2a2 a2 3a.
∴ sin 30 a 1，
2a 2
60°
cos 30 3a 3 ， 2a 2
tan 30 a 3 .
解：(1) sinα =
3 2
，
∴ α = 60°.
(2) tanα =1， ∴ α = 45°.
例3 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tanA)2 ＋|sinB－ 3 |＝0，
2
试判断 △ABC 的形状． 解：∵ (1－tanA)2 ＋ | sinB－ 3 |＝0，
2
∴ tanA＝1，sinB＝ 3，
∴ sin A CD 1 ，cos A AD 3 .
AC 2
AC 2
CD 1 2 3 3 ，
C
2
AD 3 2 3 3. 2 A
D
B
tan B CD 3 ， BD 3 2 2.
BD 2
3
∴ AB = AD + BD = 3 + 2 = 5.
C
A
D
B
30°、45°、60°角的三角函数值
(3) cos 60 1； 1 sin 60 tan 30
(4) 2 sin 45 1 cos 60 2
1 2021
答案：(1) 1 3 (2) 2 3 1 2
0
1 2.
3 (3) 2 (4) 4
Байду номын сангаас. 如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB 3 ，AC 2 ，3 2
求 AB的长度.
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D. ∵∠A=30°，AC 2 3 ，
∴ tanB＝
3 ，sinA＝
3， 2
∴ ∠B＝60°，∠A＝60°.
2. 已知 α 为锐角，且 tanα 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一
个根，求 2 sin2α + cos2α － 3 tan (α+15°)的值．
解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = －3. ∵ α为锐角，tanα ＞0，∴ tanα =1.∴ α = 45°. ∴ 2 sin2α + cos2α － 3 tan (α+15°) = 2 sin245°+cos245°－ 3 tan60°
斜边
BC . AB
cos
A
=
∠A的邻边
斜边
AC . AB
B
∠A
斜边
的
对
边
tan
A
=
∠A的对边
∠A的邻边
BC . AC
A ∠A 的邻边 C
互余的两角之间的三角函数关系：
cos若A∠=As+in∠BB，=t9a0n°A ·，ta则nBsi=nA1 =. cosB，
一 30°、45°、60°角的三角函数值
30°
3a 3
∴ sin 60 3a 3 ， 2a 2
cos 60 a 1， 2a 2
tan 60 3a 3. a
60°
30°
设两条直角边长为 a，则斜边长 =
∴ sin 45 a 2 ， 2a 2
cos 45 a 2 ， 2a 2
tan 45 a 1. a
45°
a2 a2 2a. 45°
3. 在 △ABC 中，若
sin
A
1 2
cos B
3 2
2
0
，
则∠C =120°.
4. 如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OA 交于点 B，再以 B 为圆心，BO 长为半径画弧， 两弧交于点 C，画射线 OC，则 sin∠AOC 的值为
3
C
____2 ___.
O
BA
5. 求下列各式的值： (1) 1－2 sin30°cos30°； (2) 3tan30°－tan45°+2sin60°；
1.
提示：cos260°表示(cos60°)2，即 (cos60°)×(cos60°).
(2) cos 45 tan 45 . sin 45
解： cos 45 tan 45 2 2 1 0.
sin 45
22
练一练
计算： (1) sin30°+ cos45°；
解：原式 = 1 2 1 2 . 22 2
6
3
∴ ∠A = 45°.
A
C
(2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO =
3OB，求 α 的度数.
解： 在图中，
A
∵
tanα
=
AO BO
3OB OB
3，
∴ α = 60°.
O B
练一练
求满足下列条件的锐角 α .
(1) 2sinα － 3 = 0； (2) tanα－1 = 0.
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数值
学习目标
1. 运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、 45°、60°角的三角函数值. (重点)
2. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加 以运用. (难点)
复习引入
sin
A
=
∠A的对边
(2) sin230°+ cos230°－tan45°.
解：原式 =
1 2
2
2
3 2
1 0.
二 通过三角函数值求角度
例2 (1) 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 6，
BC = 3 ，求 ∠A 的度数；
解： 在图中，
B
∵ sin A BC 3 2 ， AB 6 2
2
2 2
2
+
2 2
2
3
3
3. 2
1. 3 tan (α+20°)＝1，锐角 α 的度数应是
(D )
A．40° B．30° C．20° D．10°
2. 已知∠A为锐角， sinA =
1 2
，则下列正确的是 ( B)
2
A. cosA = 2
3
B. cosA =
2
C. tanA = 1
D. tanA = 3
归纳：
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正 切值如下表：
锐角α 三角 函数
30° 45° 60°
sin α
1
2
3
2
2
2
cos α
3
2
1
2
2
2
tan α
3 1
3
3
典例精析
例1 求下列各式的值：
(1)
c解o：s2c6o0s2°60°+s+isni2n62600°°； 12
2
3 2 2
2
∴ ∠A＝45°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°－45°－60°＝75°， ∴ △ABC 是锐角三角形．
练一练
1. 已知，△ABC中的∠A和∠B满足| tanB－ 3 | ＋ (2 sinA － 3 )2 ＝0，求∠A，∠B的度数.
解：∵ | tanB－ 3 | ＋ (2 sinA－ 3 )2 ＝0，
合作探究
两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出 这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
60°
30°
45°
45°
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，
另一条直角边长 = 2a2 a2 3a.
∴ sin 30 a 1，
2a 2
60°
cos 30 3a 3 ， 2a 2
tan 30 a 3 .
解：(1) sinα =
3 2
，
∴ α = 60°.
(2) tanα =1， ∴ α = 45°.
例3 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tanA)2 ＋|sinB－ 3 |＝0，
2
试判断 △ABC 的形状． 解：∵ (1－tanA)2 ＋ | sinB－ 3 |＝0，
2
∴ tanA＝1，sinB＝ 3，
∴ sin A CD 1 ，cos A AD 3 .
AC 2
AC 2
CD 1 2 3 3 ，
C
2
AD 3 2 3 3. 2 A
D
B
tan B CD 3 ， BD 3 2 2.
BD 2
3
∴ AB = AD + BD = 3 + 2 = 5.
C
A
D
B
30°、45°、60°角的三角函数值
(3) cos 60 1； 1 sin 60 tan 30
(4) 2 sin 45 1 cos 60 2
1 2021
答案：(1) 1 3 (2) 2 3 1 2
0
1 2.
3 (3) 2 (4) 4
Байду номын сангаас. 如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB 3 ，AC 2 ，3 2
求 AB的长度.
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D. ∵∠A=30°，AC 2 3 ，
∴ tanB＝
3 ，sinA＝
3， 2
∴ ∠B＝60°，∠A＝60°.
2. 已知 α 为锐角，且 tanα 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一
个根，求 2 sin2α + cos2α － 3 tan (α+15°)的值．
解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = －3. ∵ α为锐角，tanα ＞0，∴ tanα =1.∴ α = 45°. ∴ 2 sin2α + cos2α － 3 tan (α+15°) = 2 sin245°+cos245°－ 3 tan60°
斜边
BC . AB
cos
A
=
∠A的邻边
斜边
AC . AB
B
∠A
斜边
的
对
边
tan
A
=
∠A的对边
∠A的邻边
BC . AC
A ∠A 的邻边 C
互余的两角之间的三角函数关系：
cos若A∠=As+in∠BB，=t9a0n°A ·，ta则nBsi=nA1 =. cosB，
一 30°、45°、60°角的三角函数值
30°
3a 3
∴ sin 60 3a 3 ， 2a 2
cos 60 a 1， 2a 2
tan 60 3a 3. a
60°
30°
设两条直角边长为 a，则斜边长 =
∴ sin 45 a 2 ， 2a 2
cos 45 a 2 ， 2a 2
tan 45 a 1. a
45°
a2 a2 2a. 45°
3. 在 △ABC 中，若
sin
A
1 2
cos B
3 2
2
0
，
则∠C =120°.
4. 如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OA 交于点 B，再以 B 为圆心，BO 长为半径画弧， 两弧交于点 C，画射线 OC，则 sin∠AOC 的值为
3
C
____2 ___.
O
BA
5. 求下列各式的值： (1) 1－2 sin30°cos30°； (2) 3tan30°－tan45°+2sin60°；
1.
提示：cos260°表示(cos60°)2，即 (cos60°)×(cos60°).
(2) cos 45 tan 45 . sin 45
解： cos 45 tan 45 2 2 1 0.
sin 45
22
练一练
计算： (1) sin30°+ cos45°；
解：原式 = 1 2 1 2 . 22 2
6
3
∴ ∠A = 45°.
A
C
(2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO =
3OB，求 α 的度数.
解： 在图中，
A
∵
tanα
=
AO BO
3OB OB
3，
∴ α = 60°.
O B
练一练
求满足下列条件的锐角 α .
(1) 2sinα － 3 = 0； (2) tanα－1 = 0.