28.1.3特殊角的三角函数值
人教版九年级数学下册课件28.1第3课时 特殊角的三角函数值
解： 在图中，
sinABC 3 2, AB 6 2
B
6
3
A45;
A
C
(2)如图，AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO= 3 OB， 求 a 的度数.
解： 在图中，
A
tanAO 3OB 3,
OB OB
60.
O
B
②cos 活动5
3例课0°堂3＝小结如图，，co在s 45△°＝ABC中，，cos∠60A°B＝C＝90；°，∠A＝30°，D是边AB上一点，
活理动解230的探°究，值新45知°以，及60°3角0°的三，角函4数5°值的，探索6过0°程．角的其他三角函数值吗？
(1) 教材P69习题28.
∴△BCD为等腰直角三角形，
四、作业布置与教学反思
3．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，并能进行有关的推理．
(3)如图，分别在含30°和45°角的直角三角形中，设较短边长为1，利用勾股定理和三角函数定义填空：
2．点M(－sin 60°，cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是(
)
活动3 ∠知识B归D纳C＝45°，AD＝4，求BC的长．
活动1 新课导入
3．经历∴△siBnC3解D0°为：＝等腰∵直角∠三B角，＝形si，n9405°°＝，∠B，DsiCn 6＝0°4＝5°， ；
(1) 两块三角尺(如图)有几个不同的锐角？这几个锐角分别是多少度？
2．点M(－sin 60°，cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是(
)
四、作业布置与教学反思
练习 1．教材P67练习第1，2题．
2．点M(－sin 60°，cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是( B )
A.
人教版九年级数学下册：28.1.3 特殊角的三角函数值
28.1.3 特殊角的三角函数值(第3课时)复习引入教师提问：一个直角三角形中，一个锐角正弦、余弦、正切值是怎么定义的？在学生回答了这个问题后，教师再复述一遍，提出新问题：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．提醒学生：求时可以设每个三角尺较短的边长为1，•利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值．探究新知（一）特殊值的三角函数学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结．30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值如下表：教师讲解上表中数学变化的规律：对于正弦值，分母都是2，分子按角度增加分别为．对于余弦值，分母都是2．对于正切，60•个角的正切值．要求学生记住上述特殊角的三角函数值．教师强调：（sin60°）2用sin260°表示，即为（sin60°）·（sin60°）．（二）特殊角三角函数的应用1．师生共同完成课本第82页例3：求下列各式的值．（1）cos260°+sin260°．（2）cos45sin45︒︒-tan45°．教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书．解：（1）cos260°+sin260°=（12）2+（32）2=1（2）cos45sin45︒︒-tan45°=22÷22-1=02．师生共同完成课本第82页例4：教师解答题意：（1）如课本图28．1-9（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB=6，BC=3，求∠A的度数．（2）如课本图28．1-9（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的3倍，求a．教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．解：（1）在课本图28．1-9（1）中，∵sinA=36BCAB=22，∴∠A=45°．（2）在课本图28．1-9（2）中，∵tana=AO OB OB， ∴a=60°．教师提醒学生：当A 、B 为锐角时，若A ≠B ，则 sinA ≠sinB ，cosA ≠cosB ，tanA ≠tanB ． 随堂练习学生做课本第83页练习第1、2题． 课时总结学生要牢记下表：对于sina 与tana ，角度越大函数值也越大；对于cosa ，角度越大函数值越小． 教后反思_____________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 第3课时作业设计 课本练习做课本第85页习题28．1复习巩固第3题． 双基与中考（本练习除了作为本课时的课外作业之外，余下的部分作为下一课时（习题课）学生的课堂作业．学生可以自己根据具体情况划分课内、课外作业的份量）．一、选择题．1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=35，AB=15，则AC的长是（）．A．3 B．6 C．9 D．12 2．下列各式中不正确的是（）．A．sin260°+cos260°=1 B．sin30°+cos30°=1 C．sin35°=cos55°D．tan45°>sin45°3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）．A．2 BCD．14．已知∠A为锐角，且cosA≤12，那么（）A．0°<∠A≤60°B．60°≤∠A<90°C．0°<∠A≤30°D．30°≤∠A<90°5．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=12，，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定6．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana•的值为（）．A．34B．43C．35D．457．当锐角a>60°时，cosa的值（）．A．小于12B．大于12C．大于2D．大于18．在△ABC中，三边之比为a：b：c=12，则sinA+tanA等于（）．A．311...6222B C D++9．已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC•则∠CAB等于（）A．30°B．60°C．45°D．以上都不对10．sin272°+sin218°的值是（）．A．1 B．0 C．12D．211）2+││=0，则△ABC（）．A．是直角三角形B．是等边三角形C．是含有60°的任意三角形D．是顶角为钝角的等腰三角形二、填空题．12．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，则α+β=_______．13．cos45sin301cos60tan452︒-︒︒+︒的值是_______．14．已知，等腰△ABC•的腰长为•底为30•°，•则底边上的高为______，•周长为______．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=________．16．正方形ABCD边长为1，如果将线段BD绕点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′=________．17．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，得AB ACCD CD-的值为_______．三、解答题．18．求下列各式的值．（1）sin30°·cos45°+cos60°;（2）2sin60°-2cos30°·sin45°（3）2cos602sin302︒︒-; （4）sin45cos3032cos60︒+︒-︒-sin60°（1-sin30°）．（5）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°·tan30°（6）sin45tan30tan60︒︒-︒+cos45°·cos30°19．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=30°，∠C=45°，BD=10，求AC．20．如图，∠POQ=90°，边长为2cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C为CQ•上，•且∠OBC=30°，分别求点A，D到OP的距离．30︒QP ODCBA21．已知sinA，sinB是方程4x2-2mx+m-1=0的两个实根，且∠A，∠B是直角三角形的两个锐角，求：（1）m的值；（2）∠A与∠B的度数．22．如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB=3米，BC=0.5米，•车厢底部距离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度=60°，问此时车厢的最高点A距离地面是多少米？（精确到0.1m）23．如图，由于水资源缺乏，B、C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水，•这就需要在A、B、C之间铺设地下输水管道．有人设计了三种铺设方案：如图（1）、（2）、（3），图中实线表示管道铺设线路，在图（2）中，AD⊥BC于D；在图（3）中，OA=OB=OC．为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短．已知△ABC•恰好是一个边长是a的等边三角形，请你通过计算，判断哪个铺设方案最好．第3课时作业设计（答案）一、1．C 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．A 9．B 10．A 11．A二、12．90°13．21214．33155162173三、18．（1）222362(2)(3)1;(4)424+-（5）32；（6）019．∵AD是BC边上的高，∴△ABD和△ACD都是直角三角形．∵ADBD=tan30°，BD=10，∴AD=1033∴ADAC=sinC，∴AC=1031063sin32ADC==．20．过点A、D分别作AE⊥OP，DF⊥OP，DG⊥OQ，垂足分别为E、F、G．在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°．∵∠OBC=30°，∴∠ABE=60°．在Rt△AEB中，AE=AB·sin60°=2×3=3（cm）．∵四边形DFOG是矩形，∴DF=GO．∵∠OBC=30°，∴∠BCO=60°，∴∠DCG=30°．在Rt△DCG中，CG=CD·cos30°=2×32=3（cm）．在Rt△BOC中，OC=12BC=1．21．m=22+1 A=45°B=45°22．A距地面4.8m23．（1）所示方案的线路总长为AB+BC=2a．（2）在Rt△ABD中，AD=ABsin60°=3a，∴（2）所示方案的线路总长为AD+BC=（3+1）a．（3）延长AO 交BC 于E ，∵AB=AC ，OB=OC ，∴OE ⊥BC ，BE=EC=2a ．在Rt △OBE 中，∠OBE=•30°，OB=cos30BE ．∴（3）所示方案的线路总长为．）a<2a ，∴图（3）•所示方案最好．。
28.1 第3课时 特殊角的三角函数值
28．1锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点)3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点)一、情境导入问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．二、合作探究探究点一：特殊角的三角函数值【类型一】利用特殊的三角函数值进行计算计算：(1)2cos60°·sin30°－6sin45°·sin60°；(2)sin30°－sin45°cos60°＋cos45°.解析：将特殊角的三角函数值代入求解．解：(1)原式＝2×12×12－6×22×32＝12－32＝－1；(2)原式＝12－2212＋22＝22－3.方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】已知三角函数值求角的取值范围若cosα＝23，则锐角α的大致范围是()A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜30°解析：∵cos30°＝32，cos45°＝22，cos60°＝12，且12＜23＜22，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．【类型三】根据三角函数值求角度若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是()A ．20°B ．30°C ．40°D ．50° 解析：∵3tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝33.∵tan30°＝33，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.故选A.方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题 探究点二：特殊角的三角函数值的应用【类型一】 利用三角形的边角关系求线段的长如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，D 是边AB 上一点，∠BDC ＝45°，AD ＝4，求BC 的长．解析：由题意可知△BCD 为等腰直角三角形，则BD ＝BC ，在Rt △ABC 中，利用锐角三角函数的定义求出BC 的长即可．解：∵∠B ＝90°，∠BDC ＝45°，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴BD ＝BC .在Rt △ABC 中，tan ∠A ＝tan30°＝BC AB ，即BC BC ＋4＝33，解得BC ＝2(3＋1)．方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列出式子，求出三角函数值，进而求出答案．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】 判断三角形的形状已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋|sin B －32|＝0，试判断△ABC 的形状． 解析：根据非负性的性质求出tan A 及sin B 的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的度数，进而可得出结论．解：∵(1－tan A )2＋|sin B －32|＝0，∴tan A ＝1，sin B ＝32，∴∠A ＝45°，∠B ＝60°，∠C ＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC 是锐角三角形．方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】 构造三角函数模型解决问题要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt △ABC ，使∠C＝90°，斜边AB ＝2，直角边AC ＝1，那么BC ＝3，∠ABC ＝30°，∴tan30°＝AC BC ＝13＝33.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD 的长，进而得出tan15°＝CDBC ，tan75°＝BCCD求出即可．解：作∠B 的平分线交AC 于点D ，作DE ⊥AB ，垂足为E .∵BD 平分∠ABC ，CD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴CD ＝DE .设CD ＝x ，则AD ＝1－x ，AE ＝2－BE ＝2－BC ＝2－ 3.在Rt △ADE中，DE 2＋AE 2＝AD 2，x 2＋(2－3)2＝(1－x )2，解得x ＝23－3，∴tan15°＝23－33＝2－3，tan75°＝BC CD ＝323－3＝2＋ 3.方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题 三、板书设计12.应用特殊角的三角函数值解决问题．课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的教学很成功，学生理解的很好.。
28.1 (3)特殊角三角函数值
【九年级数学下册导学案】28．1特殊角三角函数值（3）班级姓名组别编号（03）【学习目标】能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数和熟练计算。
【学习重点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能熟练计算。
【学习难点】30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程。
【学习过程】一、复习巩固：如图，在Rt△ABC中，sin A=，cosA= ，tanA =。
二、自学指导：自学课本第79页，并思考下列问题：1.探究中，值和正切值码？2.认真填写下表，并牢记。
3.仔细体会例3是如何利用特殊角三角函数值进行运算的？8分钟后，看谁自学的快，自学的效果好三、【自学效果检测】一）、课本80页第1 题二）(1)（10江西）填空：sin30º·cos30º－tan30º＝（保留根号）(2)（2009义乌）计算2(2)tan452cos60-+-。
【讨论交流】（2010 四川南充）如果方程2430x x-+=的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tan A的值为＿＿＿＿＿＿＿四、【当堂训练】1．下列各式中不正确的是（）．A．sin260°+cos260°=1 B．sin30°+cos30°=1C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45°2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）．A．2 B．13．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=12，cosB=32，则△ABC的形状是（）A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形 D．不能确定4．在△ABC中，三边之比为a：b：c=12，则sinA+tanA等于（）．A．1.2B C D5．若（ 3 tanA-3）2+│2cosB- 3 │=0，则△ABC（）．A．是直角三角形 B．是等边三角形C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形6．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，则α+β=_______．7.（2010山东日照）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=51，则AD的长为（）A．2 （B）3（C）2（D）18．（2010年贵州毕节）在正方形网格中，ABC△的位置如图所示，则tanB的值为（）A．3B．2C．1D．39．（2010四川凉山）如图，1∠的正切值等于。
人教版九年级数学下册第二十八章28.1第3课时 特殊角的三角函数值
30° ，∠B＝ 120° ．
14. 如图， 直线 MN 与⊙O 相切于点 M， ME＝EF 1 且 EF∥MN，则 cos∠E＝ 2 ．
15. 计算：(1)(2018· 宜宾)sin30° ＋(2018－ 3)0－ 2－1＋|－4|；
1 1 解：原式＝2＋1－2＋4＝5；
24 (2) 2(2cos45° －sin60° )＋ 4 ；
A．15°
B．30° C．45°
D．60°
10. (2018· 陕西)如图， 在△ ABC 中， AC＝8， ∠ABC ＝60° ，∠C＝45° ，AD⊥BC，垂足为 D，∠ABC 的平 分线交 AD 于点 E，则 AE 的长为( C )
4 A.3
2
B．2
8 2 C.3
2
D．3
2
【解析】由题意易得∠ABE＝∠DBE＝∠BAE＝ 30° ，∠ACD＝∠CAD＝45° ，∴AE＝BE，AD＝CD， ∵AC＝8，∴AD＝8cos45° ＝4 ＝AE＋AEsin30° ＝4 2，又 AD＝AE＋DE
a－b a2－b2 16. 先化简，再求值： ÷2 2 － 1. a＋2b a ＋4ab＋4b 其中 a＝2sin60° －tan45° ，b＝1.
a－b （a＋b）（a－b） 解：原式＝ ÷ －1 a＋2b （a＋2b）2 a－b （a＋2b）2 ＝ × －1 a＋2b （a＋b）（a－b） a＋2b b ＝ －1＝ . a＋b a＋b 当 a＝2sin60° －tan45° ＝ 3－1，b＝1 时， 1 1 3 原式＝ ＝ ＝3. （ 3－1）＋1 3
8 2 2，∴AE＝ 3 .
11. 已知 α 为锐角，若 3tan(α＋20° )＝3，则 α ＝ 40° ．
【数学课件】九年级下28.1.3特殊角的三角函数值(人教版)
(2)cos²45°+tan60°·cos60°
(3)
cos 60 1 sin 60
1 tan 30
(4)tan450·sin450-4sin300·cos450+cos2300
巩固
2、在△ABC中，∠C=90°，sinA= 3 ,
则tanAcosA的值是( A )
5
A. 3 5
C. 9 25
学会使用计算器
小结 :
我们学习了30°, 45°, 60°这 几类特殊角的三角函数值．
小结 :
我们学习了30°, 45°, 60°这几类特殊角
的三角函数值．
α
30° 45° 60°
sinα
1
23
2
cosα
3
22
2
1
2
2
2
tanα
3
3
1
3
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
B
7
A
C
21
巩固
2、若( 3 tan A - 3)2 + 2cos B -
则△ABC是( A )
A.直角三角形 B.等边三角形 C.含有60°角的任意三角形 D.顶角为钝角的等腰三角形
3 =0
巩固 3、如图，已知圆锥的高AO等于圆锥 的底面半径OB的 3 倍，求α。
A
O αB
范例 例4、在Rt△ABC中，∠C=90°，已 知AC=21，AB=29，求∠A的度数(精 确到′)。
特殊角的三角函数值
复习： 1.锐角三角函数的定义
B
c
在 RtABC中，C 90
a
新人教版九年级数学下册《28章 锐角三角函数 28.1特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值》教案_19
《28.1.3特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值》教学设计教学任务分析教学过程设计问题与情境师生行为设计意图[活动1]创设情境，活动导入同学们，有句话说的好：“每天锻炼一小时，健康快乐一辈子！”说说你的锻炼方式有哪些？接下来请看：教师通过介绍筹备“庆圣诞、迎新年”活动情况，让学生从登山图中抽取出数学图形（三角形）,导入新课.作高，可得两个特殊的直角三角形，含有三个特殊的内角：30°、45°和60°。
倡导“阳光体育”，学习锻炼两不误。
激发学生学习兴趣，告诉学生数学来源于生活.通过直观想象，作高构建特殊的直角三角形，为导入课题作铺垫。
目标1.掌握特殊角的三角函数值,能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简,会用特殊角三角函数知识解决简单的实际问题，会用计算器求角的三角函数值.2.通过学生的探索活动,进一步体会角度与比值之间的对应关系,深化对三角函数概念的理解,提升分析问题、解决问题的能力.3.运用几何直观、数学模型思想和数形结合思想对特殊角的三角函数值进行研究,更好地体会函数的思想,提升思维品质，形成数学素养.4.在数学学习过程中,体验获得成功的乐趣,建立学好数学的自信心,养成认真勤奋、独立思考等良好的学习习惯,形成严谨求学的科学态度.重点掌握特殊角的三角函数值,特殊三角函数值的计算与应用.难点特殊角三角函数值的记忆，生活数学化：从实际问题中提炼图形，将实际问题数学化. 教学方法自主探索、合作交流、归纳概括.教学手段多媒体辅助教学、教具.[活动4] 由表及里，剖析特性观察发现：已知特殊角的度数可求出特殊角的三角函数值；反过来，已知特殊角的三角函数值可求出特殊角的度数.归结：互逆性；分析发现：一个锐角的正弦值随角度的增大而增大；一个锐角的余弦值随角度的增大反而减小； 一个锐角的正切值随角度的增大而增大. 归结：增减性；探究发现：一锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，一锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，一锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数(积为1). 归结：互余性.通过对特殊角的三角函数值表蕴含的数学规律的观察、分析、探究，归结出若干数学规律，发掘特殊角的三角函数值表隐含的数学本质.学生自己发现和提出问题,归纳概括得到猜想和规律,培养学生的创新能力.，进一步体会函数思想.提升学生的数学素养.[活动5]初步应用，发掘特质1.求下列各式的值：（1）︒+60cos 60sin 22； （2）︒-︒︒45tan 45cos 45sin .推广：当α为锐角时，让学生通过练习进行熟练记忆特殊角的三角函数值,学生动手完成解题步骤书写.从特殊到一般，推广“同锐角”的三角函数特有的性质.根据锐角的度数求其对应的三角函数值,并引导学生发现同角之间的三角函数值之间的数量关系. 让学生积极参与数学活动,体验获得成功的乐趣.22(1)sin cos 1,a a +=sin (2)tan .cos aa a=[活动6]拓宽思路，灵活应用2.在正方形网格中，ABC△的三个顶点分别是格点,其位置如图所示，则Bcos的值为（）.A．12B．22C．32D．333.育才中学在筹备“庆圣诞、迎新年”登山活动中，准备了一些悬挂用的直角三角形小彩旗和一些发给参与登山活动同学的圆锥形圣诞帽.（1）如图1所示一个直角三角形的小彩旗，即Rt△ABC，已知∠C=90°，AB=6，BC=3，求∠A的度数．图1（2）如图2所示一个圆锥形的圣诞帽，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的3倍，求 ．图2学生独立完成，介绍思路与方法；教师在此基础上，归结出本题求解的关键是“找到∠B所在的直角三角形”“已知两边求角”观察所求锐角与所给出数值的两边之间的对应关系,选择适当的三角函数求解.“已知两边的数量关系求角”观察所求锐角与所给出数量关系的两边之间的对应关系,选择适当的三角函数求解.学会利用网格的特性去解题,变换问题的呈现方式,“无中生有”构建直角三角形，把∠B转化为直角三角形的锐角.学生能从实际情境中抽象出直角三角形,把实际问题转化为数学问题.锐角和三角函数值之间是一一对应关系,根据三角函数值可求得唯一的对应的锐角.在实际应用中,我们可以利用直角三角形的两边的数量关系去求锐角的度数.4.(1)小明测得这座山的西坡长AB为1000米,山高为500米,请问西坡坡面与水平地面所成的夹角∠A为多少度?(2)在第(1)问的条件下, 若∠D= 45°,求DC.(3)在第(1)问的条件下, 若∠D= 35°,求DC.学生运用特殊角的三角形函数值解决生活实际中的一些简单的问题.体会锐角三角函数的定义中的方程模型,让学生初步形成解直角三角形的雏形,为学生的后续学习做铺垫。
人教版九年级数学下册优秀教学案例：28.1.3特殊角的锐角三角函数值
1.生活情境的创设：本节课通过结合实际生活中的情境，如测量家具尺寸、计算建筑物的高度等，引导学生认识到数学知识的实用性，增强学生的学习兴趣和动力。这种生活情境的创设，使学生能够更好地理解和运用特殊角的锐角三角函数值，提高了教学的针对性和实效性。
2.问题导向的教学策略：本节课以问题为导向，教师设计了一系列具有启发性和挑战性的问题，引导学生主动思考、探究特殊角的锐角三角函数值。这种问题导向的教学策略，激发了学生的学习兴趣和求知欲，培养了学生的批判性思维和问题解决能力。
为了提高教学效果，我将以生动形象的语言、贴近生活的实例，将抽象的数学知识具体化、形象化，使学生在轻松愉快的氛围中掌握特殊角的锐角三角函数值。同时，关注学生的个体差异，针对不同程度的学生制定合适的教学策略，让每个学生都能在课堂上得到有效的锻炼和发展。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.学生能够准确记忆特殊角的锐角三角函数值，如30°、45°、60°等；
2.学生分组讨论，相互交流自己的观点和发现；
3.教师巡回指导，给予学生必要的帮助和提示；
4.各小组派代表分享讨论成果。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学内容，明确特殊角的锐角三角函数值的定义、计算方法和应用；
2.学生通过归纳总结，加深对知识的理解和记忆；
3.教师强调特殊角的锐角三角函数值在实际生活中的重要性；
5.反思与评价的教学环节：本节课设置了反思与评价的教学环节，引导学生对自己的学习过程进行反思，总结自己在探究特殊角的锐角三角函数值过程中的优点和不足。这种反思与评价的教学环节，有助于学生培养自我监控和自我调整的能力，提高学生的学习效果。
作为一名特级教师，我深知教学案例亮点的重要性，它是体现教学艺术和教学效果的关键。在本节课的教学中，我注重教学策略的设计，关注学生的个体差异，创设生动活泼的课堂氛围，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效果。同时，关注学生的全面发展，培养学生的创新意识和实践能力。通过本节课的教学，学生不仅掌握了特殊角的锐角三角函数值的知识，还培养了良好的学习习惯和合作精神，实现了知识、能力和情感的全面发展。
部审人教版九年级数学下册教学设计28.1 第3课时《特殊角的三角函数值》
部审人教版九年级数学下册教学设计28.1 第3课时《特殊角的三角函数值》一. 教材分析人教版九年级数学下册第28.1节《特殊角的三角函数值》是三角函数基础知识的重要组成部分。
本节课主要让学生掌握30°、45°、60°特殊角的正弦、余弦、正切函数值，并能够运用这些知识解决实际问题。
教材通过引入特殊角的三角函数值，为学生深入学习三角函数奠定基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数的概念，对直角三角形的边角关系有一定的了解。
但部分学生对函数值的计算和应用还不够熟练，需要在本节课中加强训练。
此外，学生对于解决实际问题的能力有待提高，需要教师在教学中进行引导和培养。
三. 教学目标1.让学生掌握30°、45°、60°特殊角的正弦、余弦、正切函数值。
2.培养学生运用三角函数知识解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.重点：掌握30°、45°、60°特殊角的三角函数值。
2.难点：灵活运用特殊角的三角函数值解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究特殊角的三角函数值。
2.运用合作学习法，培养学生团队协作能力和沟通能力。
3.利用案例分析法，让学生学会将理论知识应用于实际问题。
六. 教学准备1.准备相关案例，用于引导学生解决实际问题。
2.准备多媒体教学设备，用于展示特殊角的三角函数值。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示特殊角的三角函数值，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）介绍30°、45°、60°特殊角的正弦、余弦、正切函数值，让学生直观地感受这些特殊角的三角函数值。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用特殊角的三角函数值解决实际问题。
教师巡回指导，帮助学生克服困难。
28.1.3特殊角的三角函数值教案
（3）克服学生对特殊角三角函数值记忆的困难。
举例：
-难点1：如何从等边三角形、等腰直角三角形等直观模型中推导出特殊角的三角函数值；
-难点2：在解决实际问题时，如何识别问题中的特殊角，并运用相应的三角函数值；
-难点3：帮助学生通过记忆口诀、绘制图形等方法，加深对特殊角三角函数值的记忆。
（3）通过特殊角的三角函数值，培养学生的数学思维和运用能力。
举例：
-解释30°的正弦值为1/2，余弦值为√3/2，正切值为1/√3；
-解释45°的正弦值和余弦值相等，均为√2/2，正切值为1；
-解释60°的正弦值为√3/2，余弦值为1/2，正切值为√3。
2.教学难点
（1）理解特殊角的三角函数值是如何推导出来的；
28.1.3特殊角的三角函数值教案
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级下册第28章第1节，主要教学内容为28.1.3特殊角的三角函数值。具体内容包括：
1.了解特殊角三角函数值的定义及意义；
2.掌握30°、45°、60°三个特殊角的正弦、余弦、正切函数值；
3.学会运用特殊角的三角函数值解决实际问题；
4.通过对特殊角三角函数值的学习，培养学生的数学思维和运用能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调30°、45°、60°三个特殊角的三角函数值这两个重点。对于难点部分，我会通过绘制图形和实际操作来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与特殊角三角函数值相关的实际问题，如计算旗杆的高度、楼间距等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过测量和计算，演示特殊角三角函数值的基本原理。
28.1.3特殊角的三角函数值-学年1春九年级数学下册习题课件人教版
6．【2020·宜宾】如图，A，B，C 是⊙O 上的三点，若△ OBC 是 3
等边三角形，则 cos A＝__2______．
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
*9.已知锐角 α 满足 2sin (α＋20°)＝1，则锐角 α 的度数为( B )
A．10°
B．25°
C．40° D．45°
【点拨】∵ 2sin(α＋20°)＝1，∴sin (α＋20°)＝ 22.∵α 为锐角， ∴α＋20°＝45°，∴α＝45°－20°＝25°.
提示：点击 进入习题
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提示：点解击 ：进如入习图题 ，连接 DF.
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第3课时 特殊角的三角函数值
第二十八章 锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数值
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第二十八章 锐角三角函数
第二十八章 锐角三角函数
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Байду номын сангаас
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12．已知 α，β 都是锐角，如果 sin α＝cos β，那么 α 与 β 之间满
足的关系是( B )
A．α＝β
B．α＋β＝90°
C．α－β＝90°
D．β－α＝90°
13．在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝ 3，求 sin
A2 的值．
小明给出了他自己的解答过程：∵sin A＝BACB＝ 23，∴
28_1_3 特殊角的三角函数值 基础训练(解析版)
28.1.3 特殊角的三角函数值基础训练一、单选题：1）A．cos30︒B．tan30︒C．cos45︒D．sin30︒2．已知()tan90α︒-α的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．75°3．在ABC中，90C∠=︒，若1sin2A=，则cos B的值为（）A．12B C．2D 【答案】A4．下列各式中不成立的是（ ）A ．22sin 60sin 301︒+︒=B ．tan 45tan30︒>︒C ．tan45sin45>︒︒D ．sin30cos301︒+︒=5．若2(tan 1)|2cos 0A B -+=，则ABC ∆的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形6．式子2cos30tan45︒-︒的值是（）A．0B．C．2D．2-7．若菱形的周长为2，则菱形两邻角的度数比为（）A．6：1B．5：1C．4：1D．3：1菱形的周长为AB CD//C∴∠=135∴∠∠C B:故选：D．二、填空题：8．已知α是锐角，tan0α-=，则α＝______；cosα=______．##0.5【答案】60°##60度129．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，则sin ABC∠＝____．##0.5【答案】12【分析】利用直角三角形的两锐角互余求得∠ABC 的度数，再利用特殊角的三角函数即可求得sin ABC ∠的10．已知()2sin 453α+=α=________．15)453=)3452=【详解】解：()2sin 453α+=)3452=， 4560=，15．故答案为：15．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，灵活变形，熟记公式是解题的关键．11．计算：()22cos 60sin 45︒+︒︒=___________．【答案】34##0.75 【分析】将特殊角的三角函数值代入原式，即可求解．12．0111()()23--+|tan45°＝_____．13．在ABC 中，若()2sin tan 10A B -= ，则C ∠的度数为__________ 【答案】75︒##75度∠的正切值是______．14．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则AOB三、解答题：15．计算：(1)()012260cos60-+-π︒-︒；(2))021sin 4520226tan302︒+︒．16．先化简，再求值：22231393a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+-+⎝⎭，其中2sin603tan 45a =︒+︒.17．已知：如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，G 是弧AC 上一动点且不与点A ，C 重合，AG DC ，的延长线交于点F ，连结BC ．CD =2BE =．(1)求半径长．(2)求扇形DOC 的面积． 设O 的半径为Rt OEC 中，32COE ∠=60COE =︒，再由垂径定理可得扇形的面积公式求解即可．）解：如图，连接OC ．设O 的半径为R ．Rt OEC 中，22OC OE =＋()222R =-。
《特殊角的三角函数值》教学设计
28.1.3 特殊角的三角函数值教学设计鹿邑县老君台中学皇素芝一、复习回顾1、在一个直角三角形中，如何求一个锐角的正弦？2、余弦呢？3、正切呢？二、新授新课（一）课题导入情景导入：出示一副三角尺，老师手中的两块三角尺中有几个不同的锐角？2、提出问题：分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.本节课我们就主要学习30°，45°，60°角的三角函数值.（板书课题）（二）学习目标（1）推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值.（2）能运用30°，45°，60°角的三角函数值进行简单的计算.（3）能由30°，45°，60°角的三角函数值求对应的锐角.3.学习重、难点重点：推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值.难点：相关运算.（三）新授1.自学指导（1）自学内容：教材P65探究~P66例3上面的内容.（2）自学时间：6分钟.（3）自学任务：完成探究（小组合作，共同探究）2.通过计算，得到30°，45°,60°角的正弦值、余弦值、正切值如下表：（小组合作、分组展示）3.观察上表，sin30°，sin45°，sin60°的值有什么规律？cos30°，cos45°，cos60°呢？tan30°，tan45°，tan60°呢？4.观察表格，学生代表总结规律并展示自己的发现。
5.在教师引领下，总结特殊角的三角函数值的巧妙记忆方法：一二三，三二一带上根号与二比（正弦余弦）两边根号三，中间竖旗杆。
（正切）5.强化：特殊角的三角函数值的推导和记忆以及30°，45°，60°角的正弦值、余弦值、正切值的变化规律及口诀记忆。
28.1.3特殊角三角函数值
魏县第二中学导学案九年级科目数学编制人王文香组长教导处班级小组姓名教师评价使用日期课题28.1.3锐角三角函数——特殊角三角函数值备注定向导入学习目标⑴:能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。
⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习重点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习难点】30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程导入一个直角三角形中，一个锐角正弦是怎么定义的？一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的？自主学习如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．①斜边)(sin=A＝______，斜边)(sin=B＝______；②斜边)(cos=A＝______，斜边)(cos=B＝______；③的邻边AA∠=)(tan＝______，)(tan的对边BB∠=＝______．独立自学完成合作探究思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？,是多少度？你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？探究1：如图，在ABCRt∆中，︒=∠90C.⑴如图1，︒=∠30A，求Asin、Acos、Atan的值；⑵如图1，︒=∠60B，求Bsin、Bcos、Btan的值；⑶如图2，︒=∠45A，求Asin、Acos、Atan的值；3：结论：1.完成表格：2.⑴Asin随着A∠的角度的增大而 .⑵Acos随着A∠的角度的增大而 .⑶Atan随着A∠的角度的增大而 .活动1：例1：求下列各式的值．（1）cos260°+sin260°．（2）cos45sin45︒︒-tan45°．三角函数锐角αAsin Acos Atan3045°60°发散思维2. 在ABCRt∆中，︒=∠90C,7=BC，21=AC，求A∠、B∠的度数.拓展提升（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB=6，BC=3，求∠A的度数．（2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的3倍，求a．自测自结小结知识提纲课堂检测1.计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）．A．2 B．3 C．2 D．12．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=12，cosB=32，则△ABC的形状是（）3． A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形 D．不能确定3．若（ 3 tanA-3）2+│2cosB- 3 │=0，则△ABC（）．。
28.1 第3课时 特殊角的三角函数值
1 2
2
3 2
2
1.
提示：cos260°表示(cos60°)2，即 (cos60°)×(cos60°).
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10
(2) cos 45 tan 45 . sin 45
解： cos 45 tan 45 2 2 1 0.
sin 45
2
2
2
2 2
+
2 2
3
3
3. 2
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18
当堂练习
1. 3 tan (α+20°)＝1，锐角 α 的度数应是 (D) A．40° B．30° C．20° D．10°
2. 已知 sinA
=
1 2
，则下列正确的是
(B)
A. cosA = 2 2
22
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11
练一练 计算： (1) sin30°+ cos45°； 解：原式 = 1 2 1 2 . 22 2
(2) sin230°+ cos230°－tan45°.
解：原式 =
1 2
2
2
3 2 1 0.
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12
二 通过三角函数值求角度
答案：(1) 1 3 2
(2) 2 3 1
(3) 2
3 (4) 4
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21
6. 若规定 sin (α-β) = sinαcosβ － cosαsinβ，求 sin15° 的值.
解：由题意得 sin15°= sin (45°－30°) = sin45°cos30°－ cos45°sin30°
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2
2 2
2
+
2 2
2
3
3
3. 2
1. 3 tan (α+20°)＝1，锐角 α 的度数应是
(D )
A．40° B．30° C．20° D．10°
2. 已知∠A为锐角， sinA =
1 2
，则下列正确的是 ( B)
2
A. cosA = 2
3
B. cosA =
2
C. tanA = 1
D. tanA = 3
6
3
∴ ∠A = 45°.
A
C
(2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO =
3OB，求 α 的度数.
解： 在图中，
A
∵
tanα
=
AO BO
3OB OB
3，
∴ α = 60°.
O B
练一练
求满足下列条件的锐角 α .
(1) 2sinα － 3 = 0； (2) tanα－1 = 0.
九年级数学下（RJ） 教学课件
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数值
学习目标
1. 运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、 45°、60°角的三角函数值. (重点)
2. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加 以运用. (难点)
复习引入
sin
A
=
∠A的对边
3. 在 △ABC 中，若
sin
A
1 2
cos B
3 2
2
0
，
则∠C =120°.
4. 如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OA 交于点 B，再以 B 为圆心，BO 长为半径画弧， 两弧交于点 C，画射线 OC，则 sin∠AOC 的值为
3
C
____2 ___.
O
BA
5. 求下列各式的值： (1) 1－2 sin30°cos30°； (2) 3tan30°－tan45°+2sin60°；
30°
3a 3
∴ sin 60 3a 3 ， 2a 2
cos 60 a 1， 2a 2
tan 60 3a 3. a
60°
30°
设两条直角边长为 a，则斜边长 =
∴ sin 45 a 2 ， 2a 2
cos 45 a 2 ， 2a 2
tan 45 a 1. a
45°
a2 a2 2a. 45°
合作探究
两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出 这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
60°
30°
45°
45°
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，
另一条直角边长 = 2a2 a2 3a.
∴ sin 30 a 1，
2a 2
60°
cos 30 3a 3 ， 2a 2
tan 30 a 3 .
1.
提示：cos260°表示(cos60°)2，即 (cos60°)×(cos60°).
(2) cos 45 tan 45 . sin 45
解： cos 45 tan 45 2 2 (1) sin30°+ cos45°；
解：原式 = 1 2 1 2 . 22 2
斜边
BC . AB
cos
A
=
∠A的邻边
斜边
AC . AB
B
∠A
斜边
的
对
边
tan
A
=
∠A的对边
∠A的邻边
BC . AC
A ∠A 的邻边 C
互余的两角之间的三角函数关系：
cos若A∠=As+in∠BB，=t9a0n°A ·，ta则nBsi=nA1 =. cosB，
一 30°、45°、60°角的三角函数值
解：(1) sinα =
3 2
，
∴ α = 60°.
(2) tanα =1， ∴ α = 45°.
例3 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tanA)2 ＋|sinB－ 3 |＝0，
2
试判断 △ABC 的形状． 解：∵ (1－tanA)2 ＋ | sinB－ 3 |＝0，
2
∴ tanA＝1，sinB＝ 3，
(3) cos 60 1； 1 sin 60 tan 30
(4) 2 sin 45 1 cos 60 2
1 2021
答案：(1) 1 3 (2) 2 3 1 2
0
1 2.
3 (3) 2 (4) 4
6. 如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB 3 ，AC 2 ，3 2
求 AB的长度.
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D. ∵∠A=30°，AC 2 3 ，
2
∴ ∠A＝45°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°－45°－60°＝75°， ∴ △ABC 是锐角三角形．
练一练
1. 已知，△ABC中的∠A和∠B满足| tanB－ 3 | ＋ (2 sinA － 3 )2 ＝0，求∠A，∠B的度数.
解：∵ | tanB－ 3 | ＋ (2 sinA－ 3 )2 ＝0，
归纳：
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正 切值如下表：
锐角α 三角 函数
30° 45° 60°
sin α
1
2
3
2
2
2
cos α
3
2
1
2
2
2
tan α
3 1
3
3
典例精析
例1 求下列各式的值：
(1)
c解o：s2c6o0s2°60°+s+isni2n62600°°； 12
2
3 2 2
∴ tanB＝
3 ，sinA＝
3， 2
∴ ∠B＝60°，∠A＝60°.
2. 已知 α 为锐角，且 tanα 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一
个根，求 2 sin2α + cos2α － 3 tan (α+15°)的值．
解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = －3. ∵ α为锐角，tanα ＞0，∴ tanα =1.∴ α = 45°. ∴ 2 sin2α + cos2α － 3 tan (α+15°) = 2 sin245°+cos245°－ 3 tan60°
(2) sin230°+ cos230°－tan45°.
解：原式 =
1 2
2
2
3 2
1 0.
二 通过三角函数值求角度
例2 (1) 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 6，
BC = 3 ，求 ∠A 的度数；
解： 在图中，
B
∵ sin A BC 3 2 ， AB 6 2
∴ sin A CD 1 ，cos A AD 3 .
AC 2
AC 2
CD 1 2 3 3 ，
C
2
AD 3 2 3 3. 2 A
D
B
tan B CD 3 ， BD 3 2 2.
BD 2
3
∴ AB = AD + BD = 3 + 2 = 5.
C
A
D
B
30°、45°、60°角的三角函数值