高等数学基础第3讲
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第3讲导数与微分
高等数学基础课程的主要研究对象是函数，函数是变量之间的对应关系，怎样研究函数的变化是这一讲的主要问题。
3.1 导数的概念
一、函数的变化率
对于函数)(x f y =，我们要研究y 怎样随x 变化，进一步我们还要研究变化的速率，可以先看看下面这个图
于相同的自变量的改变量x ∆，
我们可以看出，对y ∆是不同的。
x
y
∆∆可以表示变所对应的函数改变量化的速率，但这是一个
平均速率，怎样考虑函数)(x f y =在一点0x 的
变化率呢？ 二、导数的概念
根据前面的介绍，我们给出下面的定义。
定义3.1 设函数)(x f y =在点0x 及其某个邻域U 内有定义，对应于自变量x 在0x 处的改变量x ∆，函数相应的改变量为)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果当0→∆x 时极限
x y x ∆∆→∆0lim
存在，则此极限值称为函数)(x f y =在点0x 处的导数，或在点0x 处函数)(x f 关于自变量
x 的变化率，记作
)(0x y '，或)(0x f '
这时，称函数)(x f y =在点0x 处是可导的。
根据导数定义，我们来求一些基本初等函数的导数。
例1 根据导数定义求c y =在点x 处的导数。
解 根据定义求导数通常分三步： （Ⅰ）求)()(00x f x x f y -∆+=∆：
0=-=∆c c y
（Ⅱ）求
x
y ∆∆： 00=∆=∆∆x
x y （Ⅲ）求x
y x ∆∆→∆0lim
：
00lim lim
00==∆∆→∆→∆x x x y
因此得出0)(='x y 。
如果函数)(x f 在其定义域内每一点都可导，那么我们就得到了一个新的函数)(x f '，称)(x f '为)(x f 的导函数。)(x f '在点0x x =的函数值)(0x f '就是)(x f 在点0x x =的导数。
例2 根据导数定义求2
)(x x f =在点x 处的导数。 解 按照由定义求导数的步骤：
22)()()()(x x x x f x x f y -∆+=-∆+=∆
2222x x x x x -∆+∆+= x x x 22∆+∆=
x x x
x x x x y ∆+=∆∆+∆=∆∆222 x x x x y
x x 2)2(lim lim
00=∆+=∆∆→∆→∆
因此得出x x f 2)(='。
例3 根据导数定义求n
x x f =)(（n 为自然数）在点x 处的导数。 解 按照由定义求导数的步骤：
n n x x x x f x x f y )()()()(-∆+=-∆+=∆
n n n n n x x x x n n x nx x -∆++∆-+
∆+=-- 2
212
)1( x x x n n x nx n n n ∆++∆-+∆=-- 2
212
)1(
x
x x x n n x nx x y n n n ∆∆++∆-+∆=∆∆-- 2
212)1( x x x n n nx n n n 12
12
)1(---∆++∆-+=
112100)2)1((lim lim ----→∆→∆=∆++∆-+=∆∆n n n n x x nx x x x n n nx x y 因此得出1
)(-='n nx x f 。
可以看出上例的结果与本例的结果是一致的。
例4 根据导数定义求x
x f 1
)(=
在点x 处的导数。 解 按照由定义求导数的步骤：
x
x x x f x x f y 1
1)()(-∆+=
-∆+=∆
x
x x x x x )()
(∆+∆+-=
x
x x x
∆+∆-
=2
x
x x x x x x x x y ∆+-=∆∆+∆-=∆∆2
2
1
22001)1(lim lim x
x x x x y x x -=∆+-=∆∆→∆→∆ 因此得出21)(x
x f -='。这个结果可以写成1
11)1()(----='x x 。
例5 根据导数定义求x x f =
)(在点x 处的导数。
解 按照由定义求导数的步骤：
x x x x f x x f y -∆+=-∆+=∆)()(
x
x
x x x y ∆-∆+=∆∆
)())((lim lim lim
000x x x x x x x x x x x x x x x y x x x +∆+∆+∆+-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆
)
(lim
x x x x x x x x +∆+∆-∆+=→∆
x
x x x x 211lim
=
+∆+=→∆
因此得出x
x f 21
)(='。这个结果可以写成
121
2
1
21)(-='x x 从这两个例子可以看出公式1
)(-='n n
nx
x 不仅在n 为自然数时成立，而且当1-=n 和
2
1=
n 时也成立。因此我们不妨认为对任意实数α，有1
)(-='αααx x 。 下面再来看一下利用重要极限求基本初等函数导数的例子，为此先给出第2个重要极限