拉普拉斯反变换的部分分式展开
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拉普拉斯反变换:部分分式展开法
小组成员： 杨朦朦、王曼、薛久明、刘影
一、部分分式展开法
象函数通常可表示为两个实系数的s的多项 式之比，即s的一个有理分式
F(s)
N (s) D(s)
a0sm b0 s n
a1sm1 ... am b1sn1 ... bn
式中m和n为正整数，且n≥m。
分解定理
若n＞m，则为真分式。 真分式用部分分式展开， 需要对分母多项式作因式分解， 求出D(s)=0的根。 D(s)=0的根可以是
单根 共轭复根 重根 三种情况。
二、D(s)=0具有单根的情况
如果D(s)=0有n个单根，设n个单根分别是 p1、p2、…、pn。
于是F(s)可以展开为
F (s) K1 K2 ... Kn
把F(s)分解成若干简单项之和， 而这些简单项可以在拉氏变换表中找到， 这种方法称为部分分式展开法，或称为分解 定理。 用部分分式展开有理分式F(s)时，需要把有 理分式化为真分式。 若n=m，则
F(s) A N0(s) D(s)
F(s)
N(s) D(s)
a0 s m b0 s n
a1sm1 ... am b1sn1 ... bn
s 1 j2 s1 j2
0.5
2e j 45
F(s) s 3 s2 2s 5
p1=-1+j2 p2=-1-j2
K2
s3
=0.5-j0.5
s 1 j2 s1 j2
0.5 2e j45
欧拉公式 e jx cosx j sin x
四、D(s)=0具有重根的情况
D(s)应含(s-p1)n的因式
综上可知：
K1=0.1 K2=0.5 K3=-0.6
F(s) 0.1 0.5 0.6 s s2 s5
f(t)= 0.1 + 0.5e-2t - 0.6e-5t
三、D(s)=0的具有共轭复根的情况
F (s) K1 K2 ... Kn
s p1 s p2
s pn
p1=a+jω p2=a-jω
[(s
p1 )3
F (s)]s p1
F (s)
K13 s p1
(s
K12 p1)2
K11 (s p1)3
n i2
Ki (s pi )
f(t)=
K13e p1t
K12te p1t
1 2
K11t 2e p1t
n i2
Kie pit
4、 D(s)=0具有q阶重根，其余为单根的分解式
F (s)
(s
p1 )3
源自文库n i2
(s
Ki pi
)
上式两边对s求导 ，则K12被分离出来
d ds
[(s
p1 )3
F
(s)]
2(s p1)K13 K12
d ds
(s
p1 )3
n i2
(s
Ki pi
)
K12
d ds
[(s
p1)3 F (s)]s p1
3、K13的求法
用同样的方法可得
K13
1 2
d2 ds 2
K21=1 K22=-3
所以
F (s)
3 s 1
(s
2 1) 2
(s
1 1)3
3 s
1 s2
f(t)= 3e-t +2te-t +0.5t2e-t -3 +t
F(s)
s3
2s 1 7s2 10s
解：
F(s)
s3
2s 1 7s2 10s
2s 1 s(s 2)(s 5)
D(s)=0的根为 p1=0 p2=-2
p3=-5
K1
2s 1
=0.1
(s 2)(s 5) s0
K2
2s 1 s(s 5)
=0.5
s 2
K3
2s 1
=-0.6
s(s 2) s5
K1=[(s- a-jω)F(s)]s= a+jω K2=[(s- a+jω)F(s)]s= a-jω
例：求F(s)的原函数
F(s)
s2
s
3 2s
5
解：D(s)=0的根为
先变形s2+2s+5=0
s2+2s+1+4=0
(s+1)2+4=0
p1=-1+j2 p2=-1-j2
K1
s3
=0.5-j0.5
n i2
(s
Ki pi )
上式两边都乘以(s-p1)3 ，则K11被单独分离出来
(s p1)3 F (s)
(s p1)2 K13 (s p1)K12
K11
(s
p1 )3
n i2
(s
Ki pi
)
K11 = ( s-p1 )3F(s)|s = p1
2、K12的求法 (s p1)3 F (s) (s p1)2 K13 (s p1)K12 K11
s p1 s p2
s pn
将上式两边都乘以(s-p1)，得
(s
p1)F(s)
K1
(s
p1
)(
s
K
2
p2
... Kn ) s pn
令s=p1，得
K1=[(s-p1)F(s)]s=p1
同理可求得K2、K3、…、Kn 确定待定系数的公式为
Ki=[(s-pi)F(s)]s=pi
例：求F(s)的原函数
K1q s p1
K1(q1) (s p1)2
...
K11 (s p1)q
n i2
Ki (s pi )
式中 K11 = ( s-p1 )qF(s)|s = p1
K12
d ds
[(s
p1 ) q
F (s)]s p1
K13
1 2
d2 ds 2
[(s
p1 ) q
F (s)]s p1
……
K1q
(q
现设D(s)中含有(s-p1)3的因式， p1为D(s)=0的三重根， 其余为单根， F(s)可分解为
F (s)
K13 s p1
K12 (s p1)2
K11 (s p1)3
n i2
(s
Ki pi )
1、K11的求法
F (s)
K13 s p1
K12 (s p1)2
(s
K11 p1)3
(s
1)3 F (s)
1 s2
K11 =
(
s-p1 )3F(s)|s = p1
1 s2
s 1
=1
F (s)
1 s2 (s 1)3
K12
d ds
[(s
p1)3 F (s)]s p1
d ds
1 s2
s 1
2 s3
s 1
=2
K13
1 2
d2 ds 2
1 s2
s 1
1 2
6 s4
s 1
=3
同理可求得
1 1)!
d q1 ds q 1
[(s
p1 ) q
F (s)]s p1
例：求F(s)的原函数
F(s) 1 s2 (s 1)3
解：D(s)=0的根为 p1=-1为三重根 p2=0为二重根
F (s)
K13 s 1
K12 (s 1)2
K11 (s 1)3
K 22 s
K 21 s2
首先以(s+1)3乘以F(s)得
小组成员： 杨朦朦、王曼、薛久明、刘影
一、部分分式展开法
象函数通常可表示为两个实系数的s的多项 式之比，即s的一个有理分式
F(s)
N (s) D(s)
a0sm b0 s n
a1sm1 ... am b1sn1 ... bn
式中m和n为正整数，且n≥m。
分解定理
若n＞m，则为真分式。 真分式用部分分式展开， 需要对分母多项式作因式分解， 求出D(s)=0的根。 D(s)=0的根可以是
单根 共轭复根 重根 三种情况。
二、D(s)=0具有单根的情况
如果D(s)=0有n个单根，设n个单根分别是 p1、p2、…、pn。
于是F(s)可以展开为
F (s) K1 K2 ... Kn
把F(s)分解成若干简单项之和， 而这些简单项可以在拉氏变换表中找到， 这种方法称为部分分式展开法，或称为分解 定理。 用部分分式展开有理分式F(s)时，需要把有 理分式化为真分式。 若n=m，则
F(s) A N0(s) D(s)
F(s)
N(s) D(s)
a0 s m b0 s n
a1sm1 ... am b1sn1 ... bn
s 1 j2 s1 j2
0.5
2e j 45
F(s) s 3 s2 2s 5
p1=-1+j2 p2=-1-j2
K2
s3
=0.5-j0.5
s 1 j2 s1 j2
0.5 2e j45
欧拉公式 e jx cosx j sin x
四、D(s)=0具有重根的情况
D(s)应含(s-p1)n的因式
综上可知：
K1=0.1 K2=0.5 K3=-0.6
F(s) 0.1 0.5 0.6 s s2 s5
f(t)= 0.1 + 0.5e-2t - 0.6e-5t
三、D(s)=0的具有共轭复根的情况
F (s) K1 K2 ... Kn
s p1 s p2
s pn
p1=a+jω p2=a-jω
[(s
p1 )3
F (s)]s p1
F (s)
K13 s p1
(s
K12 p1)2
K11 (s p1)3
n i2
Ki (s pi )
f(t)=
K13e p1t
K12te p1t
1 2
K11t 2e p1t
n i2
Kie pit
4、 D(s)=0具有q阶重根，其余为单根的分解式
F (s)
(s
p1 )3
源自文库n i2
(s
Ki pi
)
上式两边对s求导 ，则K12被分离出来
d ds
[(s
p1 )3
F
(s)]
2(s p1)K13 K12
d ds
(s
p1 )3
n i2
(s
Ki pi
)
K12
d ds
[(s
p1)3 F (s)]s p1
3、K13的求法
用同样的方法可得
K13
1 2
d2 ds 2
K21=1 K22=-3
所以
F (s)
3 s 1
(s
2 1) 2
(s
1 1)3
3 s
1 s2
f(t)= 3e-t +2te-t +0.5t2e-t -3 +t
F(s)
s3
2s 1 7s2 10s
解：
F(s)
s3
2s 1 7s2 10s
2s 1 s(s 2)(s 5)
D(s)=0的根为 p1=0 p2=-2
p3=-5
K1
2s 1
=0.1
(s 2)(s 5) s0
K2
2s 1 s(s 5)
=0.5
s 2
K3
2s 1
=-0.6
s(s 2) s5
K1=[(s- a-jω)F(s)]s= a+jω K2=[(s- a+jω)F(s)]s= a-jω
例：求F(s)的原函数
F(s)
s2
s
3 2s
5
解：D(s)=0的根为
先变形s2+2s+5=0
s2+2s+1+4=0
(s+1)2+4=0
p1=-1+j2 p2=-1-j2
K1
s3
=0.5-j0.5
n i2
(s
Ki pi )
上式两边都乘以(s-p1)3 ，则K11被单独分离出来
(s p1)3 F (s)
(s p1)2 K13 (s p1)K12
K11
(s
p1 )3
n i2
(s
Ki pi
)
K11 = ( s-p1 )3F(s)|s = p1
2、K12的求法 (s p1)3 F (s) (s p1)2 K13 (s p1)K12 K11
s p1 s p2
s pn
将上式两边都乘以(s-p1)，得
(s
p1)F(s)
K1
(s
p1
)(
s
K
2
p2
... Kn ) s pn
令s=p1，得
K1=[(s-p1)F(s)]s=p1
同理可求得K2、K3、…、Kn 确定待定系数的公式为
Ki=[(s-pi)F(s)]s=pi
例：求F(s)的原函数
K1q s p1
K1(q1) (s p1)2
...
K11 (s p1)q
n i2
Ki (s pi )
式中 K11 = ( s-p1 )qF(s)|s = p1
K12
d ds
[(s
p1 ) q
F (s)]s p1
K13
1 2
d2 ds 2
[(s
p1 ) q
F (s)]s p1
……
K1q
(q
现设D(s)中含有(s-p1)3的因式， p1为D(s)=0的三重根， 其余为单根， F(s)可分解为
F (s)
K13 s p1
K12 (s p1)2
K11 (s p1)3
n i2
(s
Ki pi )
1、K11的求法
F (s)
K13 s p1
K12 (s p1)2
(s
K11 p1)3
(s
1)3 F (s)
1 s2
K11 =
(
s-p1 )3F(s)|s = p1
1 s2
s 1
=1
F (s)
1 s2 (s 1)3
K12
d ds
[(s
p1)3 F (s)]s p1
d ds
1 s2
s 1
2 s3
s 1
=2
K13
1 2
d2 ds 2
1 s2
s 1
1 2
6 s4
s 1
=3
同理可求得
1 1)!
d q1 ds q 1
[(s
p1 ) q
F (s)]s p1
例：求F(s)的原函数
F(s) 1 s2 (s 1)3
解：D(s)=0的根为 p1=-1为三重根 p2=0为二重根
F (s)
K13 s 1
K12 (s 1)2
K11 (s 1)3
K 22 s
K 21 s2
首先以(s+1)3乘以F(s)得