抽样技术(金勇进)PPT.pptx
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抽样技术第七章整群抽样ppt课件
11
三、群内相关系数与设计效应
群内相关系数
c
E(Yij Y E(Yij
)(Yik Y Y )2
)
上式中的分子为
NM
(Yij Y )(Yik Y )
i1 jk
NM (M 1) 2
12
上式中的分母为
NM
i1
(Yij Y )2
j 1
NM
1S2
1N
1N
Y
M0
i1
Yij
j 1
M0
Yi
i1
M0
M iYi
i1
21
二、按简单随机抽样抽群
1.简单估计 2.比估计 3.总体比例的估计
22
1.简单估计
在大多数情形，群大小Mi是不相等的。此时，若Mi 相差不多，则仍可按§7.2中的方法处理，用平均群
大 则小这种M方法N1精iN1度M较i 差代。替M。反之，若Mi相差较多，
n
1 n
n 1 i1
yi y 2
1 f nM
sb2
其中f=n/N为抽样比。可见，sb2 是Sb2的无偏估计。
8
当n足够大时，总体均值Y 的置信度为1−α的置信区 间为：
y u 2s y
例7.1 在一次某城市居民小区居民食品消费量调查 中，以每个楼层(相当于居民小组)为群进行整群抽 样。每个楼层都有M=8个住户。用简单随机抽样在 全部N＝510个楼层中抽取n＝12个楼层。全部96个 样本户人均月食品消费额yij及按楼层的平均数yi 与 标准差si ，如下表所示。试估计该居民小区人均食 品消费额的户平均值 ，并给出其0.95的置信区间。
人大金勇进抽样调查PPT课件
总体总值、总体均值、总体比例三者是统一 统计量和估计方法
统计量是根据样本的n个单元的变量值计算出的 一个量，也叫估计量，用于对总体参数的估计。
估计量是随机变量,比如样本均值 估计方法：最常见的估计方法是简单线性估计，
除此之外，还可以借助于辅助变量。
1.2 基本概念
目标总体与抽样总体 抽样框与抽样单元 总体参数与统计量 估计量方差、偏差、均方误差 抽样误差与非抽样误差 精度与费用
目标总体与抽样总体
总体
目标总体也可简称为总体，是指所要研究对象 的全体，或者说是希望从中获取信息的总体， 它是由研究对象中所有性质相同的个体所组成
（2）抽样框中包含的抽样单元务必要“不重不漏”，否则将 出现抽样框误差。
抽样单元分级： 初级单元——>次级单元——>三级单元——>四级单
元……——>基本抽样单元。
总体参数和（样本）统计量
总体参数：总体是调查的客体，而总体参数 是总体某个特征或属性的数量表现。
常见的总体参数有4种：（1）总体总值； （2）总体均值；（3）总体比例；（4）总 体比率。
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/1
几种基本的抽样方式
概率抽样调查 查
非概率抽样调
•简单随机抽样 •分层抽样 •系统抽样 •整群抽样 •多阶段抽样
• 判断抽样(包括典型调查和重点调查) • 便利抽样 • 自愿样本 • 滚雪球抽样 • 配额抽样等
简单随机抽样
简单随机抽样(simple random sampling)又 称纯随机抽样，考虑一个包含N个单位的母体， 从中抽取n个单位作为样本。如果抽样是不放 回的，即同一个单位不能在样本中重复出现， 那么总共有C(N,n) 种不同的取法，也就是说 共有C(N,n)个可能的不同样本。如果每个样 本被抽中的概率都相等，则称这种抽样方法 为简单随机抽样，所得到的样本叫做简单随 机样本（SRS）。
统计量是根据样本的n个单元的变量值计算出的 一个量，也叫估计量，用于对总体参数的估计。
估计量是随机变量,比如样本均值 估计方法：最常见的估计方法是简单线性估计，
除此之外，还可以借助于辅助变量。
1.2 基本概念
目标总体与抽样总体 抽样框与抽样单元 总体参数与统计量 估计量方差、偏差、均方误差 抽样误差与非抽样误差 精度与费用
目标总体与抽样总体
总体
目标总体也可简称为总体，是指所要研究对象 的全体，或者说是希望从中获取信息的总体， 它是由研究对象中所有性质相同的个体所组成
（2）抽样框中包含的抽样单元务必要“不重不漏”，否则将 出现抽样框误差。
抽样单元分级： 初级单元——>次级单元——>三级单元——>四级单
元……——>基本抽样单元。
总体参数和（样本）统计量
总体参数：总体是调查的客体，而总体参数 是总体某个特征或属性的数量表现。
常见的总体参数有4种：（1）总体总值； （2）总体均值；（3）总体比例；（4）总 体比率。
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几种基本的抽样方式
概率抽样调查 查
非概率抽样调
•简单随机抽样 •分层抽样 •系统抽样 •整群抽样 •多阶段抽样
• 判断抽样(包括典型调查和重点调查) • 便利抽样 • 自愿样本 • 滚雪球抽样 • 配额抽样等
简单随机抽样
简单随机抽样(simple random sampling)又 称纯随机抽样，考虑一个包含N个单位的母体， 从中抽取n个单位作为样本。如果抽样是不放 回的，即同一个单位不能在样本中重复出现， 那么总共有C(N,n) 种不同的取法，也就是说 共有C(N,n)个可能的不同样本。如果每个样 本被抽中的概率都相等，则称这种抽样方法 为简单随机抽样，所得到的样本叫做简单随 机样本（SRS）。
抽样技术金勇进PPT
样本量小时，回归估计偏差大于比率估计
三种估计量之间的关系
对于简单随机抽样，简单估计、差值估计是无偏的，比率估计、回归估计是渐近无偏的。小样本条件下回归估计偏差大于比率估计和简单估计。比估计在相关系数大于CX/2CY时优于简单估计。当样本量较小时，不能忽略比率估计及回归估计的偏倚。当辅助变量为调查指标的最近的普查值，可以考虑使用差值估计，尽管差值估计的方差可能比回归估计要大，但由于它是无偏估计，因此，总的均方误差可能比回归估计的小。
该县船舶在调查月完成货运量的比率估计为 用简单估计对货运量进行估计
实际中对于样本量较小的情形，使用比率估计量时不能忽视其偏倚。
四、分层随机抽样下的比率估计
如果各层的样本量不小的话，则可以采用各层分别进行比率估计，将各层加权汇总得到总体指标的估计，这种方式称为分别比率估计量。separate ratio estimator
二、比率估计的性质
偏倚量会小，如果： 样本量n 很大抽样比n/N很大 很大 S x很小 相关系数R接近于1
ห้องสมุดไป่ตู้
比率估计的近似方差
三、比率估计的效率
1.与简单估计的比较简单估计量无偏，而比率估计量渐近无偏。因此这里只比较当ｎ比较大的情形。比率估计量优于简单估计量的条件是：
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BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES. BY FAITH I BY FAITH
＝415331
＝1604
抽样调查理论与方法 金勇进(第二版)-第2章-简单随机抽样
N
X
2
n
N
1
i 1
(Y i R X i )
2
定理 的方差为：
Y 2.7：对于简单随机抽样，n较大时， R N y R
N 1 2 1 f 2 V (Y R ) N (Yi R X i ) n N 1 i 1
推论 2.12：对于简单随机抽样，n较大时， Y y 的方差为：
n N
n N
【例2.1】
设总体有5个单元（1、2、3、4、5）， 按不放回简单随机抽样的方式抽取2个单 元，则所有可能的样本为个：
1，2
1，3 1，4 1，5
2，3
2，4 2，5
3，4
3，5
4，5
【例2.2】
设总体有5个单元（1、2、3、4、5），按放回 简单随机抽样的方式抽取2个单元，则所有可 能的样本为25个（考虑样本单元的顺序）：
i
Y X
Y X
r
n
yi xi
i 1
y x
i 1
i 1
简单估计量
1 Y y n
n
yi
y1 y 2 y n n
i 1
N Y Ny n
n
yi
i 1
a 1 P p n n
n
yi y Y
i 1
ˆ R
【例2.5】
根据例【2.4】的数据和结果，比较两种思路下对应的 方差估计结果。
2.4 回归估计量及其性质
属于简单估计量，不属于比率估计量。
引理 的期望为：
2.3：对于简单随机抽样，n较大时， R r
X
2
n
N
1
i 1
(Y i R X i )
2
定理 的方差为：
Y 2.7：对于简单随机抽样，n较大时， R N y R
N 1 2 1 f 2 V (Y R ) N (Yi R X i ) n N 1 i 1
推论 2.12：对于简单随机抽样，n较大时， Y y 的方差为：
n N
n N
【例2.1】
设总体有5个单元（1、2、3、4、5）， 按不放回简单随机抽样的方式抽取2个单 元，则所有可能的样本为个：
1，2
1，3 1，4 1，5
2，3
2，4 2，5
3，4
3，5
4，5
【例2.2】
设总体有5个单元（1、2、3、4、5），按放回 简单随机抽样的方式抽取2个单元，则所有可 能的样本为25个（考虑样本单元的顺序）：
i
Y X
Y X
r
n
yi xi
i 1
y x
i 1
i 1
简单估计量
1 Y y n
n
yi
y1 y 2 y n n
i 1
N Y Ny n
n
yi
i 1
a 1 P p n n
n
yi y Y
i 1
ˆ R
【例2.5】
根据例【2.4】的数据和结果，比较两种思路下对应的 方差估计结果。
2.4 回归估计量及其性质
属于简单估计量，不属于比率估计量。
引理 的期望为：
2.3：对于简单随机抽样，n较大时， R r
抽样调查理论与方法 金勇进(第二版)第3章-分层随机抽样
分别比估计量要求每一层的样本量都比较大，如果达不 到这个要求，则它的偏差可能比较大，这时要使用联合 比估计量。
3.3.1 分别比估计
定义 3.4 总体均值 Y 和总体总量 Y 的分别比估计为：
y RS Wh y Rh yh Wh Xh xh
ˆ Ny yh X Y ˆ YRS RS h Rh xh
E (YRS ) Y
MSE (YRS ) V (YRS )
2 N h (1 f h ) 2 2 2 (S yh Rh S xh 2Rh S yxh ) nh h 1 L
3.3.2 联合比估计
定义 3.5 总体均值 Y 和总体总量 Y 的联合比估计为：
y RC y st ˆ X RC X x st
居民 户总 数
层
样本户拥有家庭电脑情况 1 0 0 1 1 2 0 1 1 0 3 0 0 0 0 4 1 0 0 0 5 0 0 0 0 6 0 0 0 0 7 0 0 1 0 8 1 0 0 0 9 0 1 1 0 10 0 0 0 0
1 2 3 4
200 400 750 1500
2013-8-10
L
N h Yh
h 1
L
分层随机样本，总体均值 Y 的简单估计
1 y st Wh y h N h 1
L
N
h 1
L
h
yh
7
2013-8-10
Y 定理 3.1：对于分层随机抽样，st 是 Y 的无偏估计。
定理 3.2：对于分层随机抽样，有
V Yst Wh2V Yh
1 yh nh
y
i 1
nh
抽样技术PPT
总体回归 系数
大样本条 件下
残差方 差Se2
当 较大时， 适用场合 ?
层内残差 方差Seh2
无偏
渐近无偏
其中
如果是按比例分配，则可简化为联 合最小二乘估计？
• 【例】某市对中央直属单位和市属单位专业技 术人员总数进行了分层随机调查，已有98年各 层人员总数，135个中央直属单位有75650专业 技术人员，1228个市属单位有315612专业技术 人员。分别在两层中调查了15、20家单位，调 查数据如下，试估计99年全市专业技术人员总 数。
辅助指标x，其总体均值（总量）已知
【例4.1】对以下假设总体（N=6），用简单随机抽样抽 取的样本，比较简单随机抽样比估计及简单估计的 18 29 46
平均值 4.5 18
样本 1 1，2 2 1，3 3 1，4 4 1，5 5 1，6 6 2，3 7 2，4 8 2，5 9 2，6 10 3，4 11 3，5 12 3，6 13 4，5 14 4，6 15 5，6
由此我们可以使用不同于总数N的方法而是采 用辅助变量来进行测量。
• 要估计渔网中长度长于12cm的鱼的总数，抽取 一个鱼的随机样本，估计长度长于12cm的鱼所 占的比例，用鱼的总数N乘以这个比例即可得 到，但如果N未知不能使用。
• 能称量渔网中鱼的总重量。鱼的长度与其重量 相关。
• 调整来自样本的估计量以便它们反映人 口统计学的总量。
• 简单估计量的方差远远大于比估计量的方差，比估计的偏差不大 ，其均方误差也比简单估计的小得多。
• 因此对这个总体，比估计比简单估计的效率高。
二、比率估计的性质
偏倚量会小，如果： • 样本量n 很大 •抽样比n/N很大 • 很大 • S x很小 • 相关系数R接近于1
抽样技术(第5版)课件PPT课件第2章
n i 1
n i j
1 n N
1 n(n 1)
2 (Yi Y ) 2 2
(Yi Y )(Y j Y )
n N i 1
n N ( N 1) i j
n 1 N
n 1 N
1 N
n 1
2
2
(Yi Y )
(Yi Y ) 2
1.5
4.5
10
平均
5
6
5.5
2.5
0.5
3
0
6.5
方差1.95
y -Y
2
证明 性质1
对于固定的有限总体，估计量的期望是对所有可能样本求平均得
到的，因此
y y1 y 2 y n
E y n
CN
nCNn
总体中每个特定的单元
在不同的样本中出现的次数。C n 1
小写符号表示样本的标志值
符号
总
1
Y
N
体
Y1 Y2 YN
Y
i
N
i 1
N
N
Y Yi Y1 Y2 YN
i 1
A 1
P
N N
N
Y Yi 0或1
i 1
i
1 N
N
2
S
Y
Y
2
i
N 1 i 1
N 1
2
样
y y2 yn
i 1
n
i 1
y
x
n i j
1 n N
1 n(n 1)
2 (Yi Y ) 2 2
(Yi Y )(Y j Y )
n N i 1
n N ( N 1) i j
n 1 N
n 1 N
1 N
n 1
2
2
(Yi Y )
(Yi Y ) 2
1.5
4.5
10
平均
5
6
5.5
2.5
0.5
3
0
6.5
方差1.95
y -Y
2
证明 性质1
对于固定的有限总体，估计量的期望是对所有可能样本求平均得
到的，因此
y y1 y 2 y n
E y n
CN
nCNn
总体中每个特定的单元
在不同的样本中出现的次数。C n 1
小写符号表示样本的标志值
符号
总
1
Y
N
体
Y1 Y2 YN
Y
i
N
i 1
N
N
Y Yi Y1 Y2 YN
i 1
A 1
P
N N
N
Y Yi 0或1
i 1
i
1 N
N
2
S
Y
Y
2
i
N 1 i 1
N 1
2
样
y y2 yn
i 1
n
i 1
y
x
抽样技术(金勇进)PPT
(2)
因为 E(ylr ) = E(y) + β0E(X − x) =Y 而 ylr又 表 yi + β0 (X − xi ) 的样本均值 可 为 后者的总体均值为Y 故（2）式成立 2
为什么要使用比率估计/回归估计 为什么要使用比率估计 回归估计
• 利用总体的辅助信息提高估计的精度。
–辅助指标的选择 ：辅助指标应该与调查指标有较好 的正的相关关系 。y 的抽样分布较 y 的抽样分布变 动性要小得多。 xu x –辅助指标的总体总量或总体均值已知。
• 比率估计、回归估计需要有足够的样本量才能 保证估计的有效。
分 抽 下 比 计 两 方 ： 层 样 ， 估 有 种 法 X 1.Separate R atio estim ator N 2 2 2 2 y1 y2 yL i y x r = ,2r2 = , i rL = ∑ 2 1 … ..L) x1 x2 … . ∑xL (h=1,2,… i=1
E ( y − RX )
β的 定 为 0 ，0 是 常 ， ： β 一数则 确 值 β
1 （）
yLr = y +β (X −x) 0
N 1− f 1 V ( y Lr ) = [( Y i − Y ) − β 0 ( X i − X )] 2 ∑ n N −1
1− f 2 = ( S y + β 02 S x2 − 2 β 0 S yx ) n
分 抽 下 比 计 两 方 ： 层 样 ， 估 有 种 法 1.Separate R atio estim ator
∑y , r = ∑y r = ∑x ∑x
1 1
2
2
,
1
2
r … .L …
∑y = ∑x
抽样调查理论与方法 金勇进(第二版)第5章-不等概抽样
ˆ Y HH
M n
0
2 0
n
yi mi
i 1
3676 10926 10926 1024 510 38 . 23 38 . 23 13 . 70 6 . 2 30
75757 087（百元）
ˆ v Y HH
M
n n 1
n
i 1
2
5.2.3 有放回不等概整群抽样
根据汉森-赫维茨（Hansen-hurwitz）估 计量，PPS整群抽样的总体总值估计量为：
1 Y n
n
yi Zi
1 n
N
M n
0
i 1
n
yi M
i
M0y
i 1
估计量的方差：
ˆ V (YHH )
Zi (
i 1
Yi Zi
n
Y )
对于放回不等概抽样，对总体总量的估计 是汉森-赫维茨（Hansen-hurwitz）估计：
ˆ Y HH 1 n
n
yi zi
M n
0
i 1
n
yi mi
i 1
总体总值的无偏估计量
PPS抽样：
1 YHH n
n
yi Zi
M n
0
i 1
n
yi M
i
i 1
ˆ V (YHH )
第5章 不等概抽样
例：欲调查某城市住院病人对于某项医疗服务的偏好。 目标总体：某一时段该城市所有医院的病人。 等概率两阶段抽样：第一阶段中拥有20个病床的医 院和拥有1000个病床的医院被抽中的概率是一样的 ；第二阶段若采用等概抽样，20个病床的医院抽取2 个，1000个病床的医院需要抽取100个。 抽样误差较大； 不同规模医院的病人样本调查难易度和单位成本 不同； 抽样前大医院样本数量未知，容易给调查的管理 造成困难；
抽样技术(第5版)课件PPT课件第9章
i 1
i
Y ) nN 具有无偏估计：
v( y )
n
(y
i 1
i
y ) 2 n(n 1)
n
y
i 1
i
n 是 Y 的无偏估计。其方差 V ( y )
2.放回的PPS抽样
假设按放回的 PPS 抽样方式抽取一个样本量为 n 的样本，第 j 个单元每次入样的概率
为 Z j ，则总体总和 Y 的估计及其方差为:
ത
就不独立了。令መ = 由于其为线性形式，故总体均值
ത
的刀切法估计量即
መ
为其本身:
1
መ
ҧ = መ = ത
=1
መҧ
的方差估计为：
1
መҧ =
=1
=1
1
−1
መ
2
(መ − )ҧ =
[ത − ]
ത2
( − 1)
4.用于比率估计
假定要估计比值 = /，其中Y与X是总体总和。通常的估计量 =
1
ҧ 2
( − )
( − 1)
=1
随机组的划分和组数的确定
独立随机组不存在随机组的划分问题
非独立随机组情形，需要考虑如何进行随机组
的划分
随机组的划分的一个基本原则：
每个随机组本质上具有与原始样本相同的抽
样设计
在各种抽样方法下，如何进行随机组的划分？
1.
2.
3.
不放回简单随机抽样或抽样：将原始样本进行随
将1 放回总体，按相同的方式抽取样本2
重复上述过程，直至获得k个样本
令为目标参数， ( = 1, … , )表示第j个
i
Y ) nN 具有无偏估计：
v( y )
n
(y
i 1
i
y ) 2 n(n 1)
n
y
i 1
i
n 是 Y 的无偏估计。其方差 V ( y )
2.放回的PPS抽样
假设按放回的 PPS 抽样方式抽取一个样本量为 n 的样本，第 j 个单元每次入样的概率
为 Z j ，则总体总和 Y 的估计及其方差为:
ത
就不独立了。令መ = 由于其为线性形式，故总体均值
ത
的刀切法估计量即
መ
为其本身:
1
መ
ҧ = መ = ത
=1
መҧ
的方差估计为：
1
መҧ =
=1
=1
1
−1
መ
2
(መ − )ҧ =
[ത − ]
ത2
( − 1)
4.用于比率估计
假定要估计比值 = /，其中Y与X是总体总和。通常的估计量 =
1
ҧ 2
( − )
( − 1)
=1
随机组的划分和组数的确定
独立随机组不存在随机组的划分问题
非独立随机组情形，需要考虑如何进行随机组
的划分
随机组的划分的一个基本原则：
每个随机组本质上具有与原始样本相同的抽
样设计
在各种抽样方法下，如何进行随机组的划分？
1.
2.
3.
不放回简单随机抽样或抽样：将原始样本进行随
将1 放回总体，按相同的方式抽取样本2
重复上述过程，直至获得k个样本
令为目标参数， ( = 1, … , )表示第j个
抽样调查理论与方法 金勇进(第二版)第4章等概率整群抽样和多阶段抽样
S
2
故 又可写为：
2
N
(Y
M
ij
Y )( Y ik Y )
2
( NM 1 )( M 1 ) S
用简单随机抽样方法抽取n个群，每个群内的M个 单元全部进入样本，则等群抽样均值估计量 y 的方 差可用群内相关系数近似表示
1 M
2
V (y)
V (y)
1 f nM
1567.9 39.6( 万 公 斤 )
评价：虽是无偏估计量，但方差估计与 y i 之 间的差异有关，适合于 y i 之间差异不大的整 群抽样。
（2 ） 等概抽样，比率估计
Yˆ M
t
n i 1 n i 1
yi
i
2
726
n
2 5 7 .1 209
8 9 3 .0 8
M
v ( Yˆ ) s ( Yˆ )
v( y ) 1 f nM
Yˆ NM y
2 2 V ( Yˆ ) V ( NM y ) N M V ( y )
sb
2
总体总值 的估计量 及其方差
ˆ ) N 2 M 2v( y ) v (Y
【例4.1】
在一次对某中学在校零花钱的调查中， 以宿舍作为群进行整群抽样。每个宿舍 都有M=6名学生。用简单随机抽样在全 部N=315间宿舍中抽取n=8个宿舍。全 部48个学生上周每人的零花钱 y ij 及相关 计算数据如表4-2所示。试估计该学校学 生平均每周的零花钱 Y ，并给出其95% 的置信区间。
整群抽样的效率分析
群内相关系数 表达式为：
E ( Y ij Y )( Y ik Y ) E ( Y ij Y )
抽样技术PPT教学课件
（2）不重复抽样时 ：
样本个数=4×3=12
• 若改变样本单位数，取n=3 ，
样本个数=4×3×2＝24
18
必要样本容量的影响因素
STAT
允许误差范围的大小； 抽样调查的组织方式和方法； 人力、财力和物力的允许条件。
19
§4.2 随机抽样技术 STAT 一、简单随机抽样 二、分层抽样 三、系统抽样 四、整群抽样
例：总体群数R=16
A D
E
B F G
CM N
J H
L K
P O I
LP HD
样本群数r=4
样本容量
n nd np nl nh
简单、方便，易于组织，能节省人力、物力、财力 和时间，但其限制了样本在总体中分配的均匀性。 40
特点
STAT
（1）总体和样本都是由“群”组成； （2）引起的抽样误差的方差是群间方差， 群内方差不影响抽样误差； （3）整群抽样均为不重复抽样，可提高样 本的代表性。
34
解：根据最低成本抽样法，则
n大
(50
5020000
20000) / 1508000
600 3005000
30
600
500
400
7家
n中
(150 8000) / 5020000 1508000
500 3005000
30
600
500
400
9家
ni
Ni i / (Ni i /
ci n ci )
式 中： ni为第i层抽出的样本数
Ni为第i层的总单位数
i 为第i层Biblioteka 标准差ci 为第i层每单位的调查费用
抽样技术(第5版)课件PPT课件第7章
n N
n n
若有限总体修正系数 可忽略不计
1 2 1 1
V ( yRD ) S y ( )( R 2 S x2 2 RS yx )
n
n n
1 2 1 1 ˆ2 2
ˆ )
v( yRD ) s y ( )( R sx 2 Rs
yx
n
n n
1 2 ˆ2 2
1 ˆ
2 2
1000 8000
0.32 (7 6.42) 2 0.1 (15 6.42) 2
0.04 (40 6.42) 2 ]
0.0552
v( ystD ) 0.0368 0.0552 0.092
s(Y ) Ns( ystD ) N v( ystD ) 2426.52
, =
1 + 2
7.2 捕获再捕获抽样
一、捕获再捕获估计
捕获再捕获抽样的基本思想是从总体中抽取一个样
本,将样本的每个个体标识(作标记或加标签) 后释放
回总体中,经过一段时间的充分混合后,再从总体中抽
取一个样本,此时,该样本将包括已标识的和未标识的
个体,利用这两个样本的信息对总体数量做估计。
h 1 nh
其中
nh
1
2
sh2
(
y
y
)
hj
h
nh 1 j 1
为第二重样本第h层的方差。
当抽样比
nh 和 n 可以忽略不计时，上式简化为
N
n
wh2 sh2 1 L
( ystD )
wh ( yh ystD )2
nh
n h1
h 1
n n
若有限总体修正系数 可忽略不计
1 2 1 1
V ( yRD ) S y ( )( R 2 S x2 2 RS yx )
n
n n
1 2 1 1 ˆ2 2
ˆ )
v( yRD ) s y ( )( R sx 2 Rs
yx
n
n n
1 2 ˆ2 2
1 ˆ
2 2
1000 8000
0.32 (7 6.42) 2 0.1 (15 6.42) 2
0.04 (40 6.42) 2 ]
0.0552
v( ystD ) 0.0368 0.0552 0.092
s(Y ) Ns( ystD ) N v( ystD ) 2426.52
, =
1 + 2
7.2 捕获再捕获抽样
一、捕获再捕获估计
捕获再捕获抽样的基本思想是从总体中抽取一个样
本,将样本的每个个体标识(作标记或加标签) 后释放
回总体中,经过一段时间的充分混合后,再从总体中抽
取一个样本,此时,该样本将包括已标识的和未标识的
个体,利用这两个样本的信息对总体数量做估计。
h 1 nh
其中
nh
1
2
sh2
(
y
y
)
hj
h
nh 1 j 1
为第二重样本第h层的方差。
当抽样比
nh 和 n 可以忽略不计时，上式简化为
N
n
wh2 sh2 1 L
( ystD )
wh ( yh ystD )2
nh
n h1
h 1
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• 简单估计量的方差远远大于比估计量的方差，比估计的偏差不大， 其均方误差也比简单估计的小得多。
• 因此对这个总体，比估计比简单估计的效率高。
xu
二、比率估计的性质
E(r
R)
1 f nX 2
(SxS y
RS
2 x
)
偏倚量会小，如果：
• 样本量n 很大
•抽x样u 比n/N很大
• 很大 • S x很小 • 相关系数R接近于1
比估计 18 18 17.1
16.875 21.15 15.75 15.75
16 20 16.3 16.36 19.73 16.27 19.2 18.75
y yR x X
yi X xi
1 15
E( yR ) 15 i1 yRi 17.686
E( y)
1 15
15 i 1
yi
18
V ( yR )
• 调查中都有辅助信息，抽样框也通常有每个单元额外 的信息，这些信息能被用来提高我们的估计精度。
为什么要使用比率估计/回归估计
• 利用总体的辅助信息提高估计的精度。
–辅助指标的选择 ：y辅助指标应该与调y 查指标有较好
的正的相关关系 。x 的抽样分布较 xu 的抽样分布变
动性要小得多。
–辅助指标的总体总量或总体均值已知。
• 比率估计、回归估计需要有足够的样本量才能
保证估计的有效。
–有偏估计：当样本量足够大时，估计的偏倚趋于0。
• 简单地想要估计一个比率 :假定总体由面
积不同农业用地构成， yi =i地谷物的产 量, xi ：i地的面积，B=每亩谷物的平均 产量
^
ty Ny
• 想要估计一个总体总数，但总体大小N是未 知的。但是我们知道,于是可以通过来估计N,
• 在一所具有4000名学生的大学提取一个 400个学生的简单随机样本，此样本可能 包含240个女性，160个男性，且其中被 抽中的84名女性和40名男性计划以教学 为毕业后的职业。
4000 124 1240 400
84 2700 40 1300 1270
240
160
• 比率估计量被用来对无回答进行调整
由此我们可以使用不同于总数N的方法而是采 用辅助变量来进行测量。
• 要估计渔网中长度长于12cm的鱼的总数，抽取 一个鱼的随机样本，估计长度长于12cm的鱼所 占的比例，用鱼的总数N乘以这个比例即可得 到，但如果N未知不能使用。
• 能称量渔网中鱼的总重量。鱼的长度与其重量
相关。
t
^
yr
y
tx
x
• 调整来自样本的估计量以便它们反映人 口统计学的总量。
条件下,
y yR x X
y x
X
YˆR
y x
X
y x
X
NyR
Rˆ y x
辅助指标x，V其(Rˆ总) 体1nX均2f值（(Y总Ni 量R1X）i )已2 知
【例4.1】对以下假设总体（N=6），用简单随机抽样抽 取的样本，比较简单随机抽样比估计及简单估计的性质。
1234 5 6
X i 0 1 3 5 8 10
比率估计的近似方差
V ( yR ) V ( XRˆ) X 2V (Rˆ)
V (YˆR ) N 2 X 2V (Rˆ)
当 R>0.5 时,比估计比 srs 有更高的精度。
1 2 V (Rˆ ) E(Rˆ R) X E( y RX ) 分层抽样下，比估计有两种方法： 2
2 v1
(
Rˆ )
Chapter 4 Ratio and Regression Estimator
• 1802年，拉普拉斯想要估计法国的人口数目。他获得 了一个遍布全国范围的30commune的样本，截至1802 年9月23日总共有2，037615居民。在包括1802年9月23 日以前的三年中，215599个新生儿在30个commune。
1 f n
S
2 y
R
2
SLeabharlann 2 x2RSy Sx
比率估计量优于简单估计量的条件是：
R2Sx2 2RSy Sx 0
1 Sx X Cx
2 S y Y 2Cy
正高度 相关
n i 1
(
yi
Rˆxi )2
v2
(
Rˆ
)
1 nx
f
2
( s 2y
2Rˆsxy
Rˆ 2sx2 )
三、比率估计的效率
• 1.与简单估计的比较 简单估计量无偏，而比率估计量渐近无偏。
因此这里只比较当ｎ比较大的情形。
Vy 1 f
n
S
2 y
V yR
1 f n
S
2 y
R
2
S
2 x
2RS yx
1 nX
f
2
n
1 1
n i 1
(
yi
Rˆxi )2
Vr11R.Separ1anxytX11e ,R2fra2tNio1es1timxyiN22a1t,oY…ri … .RrXL i
2xy1LLnX(h=2f 1,2S,y…2 ..LR)
2
S
2 x
2RS
yx
v1(
Rˆ
)
1 nX
f
2
1 n 1
• 设抽取一个行业的样本：令yi为i行业花费在健
y
康保险上的金额，xi为i行业的雇员数。假定对
x
总体中的每个行业xi均已知。我们希望一个行
业花费在健康保险上的金额与雇员数相关。某
些行业在调查中可能涉及不到。估计保险费用 的总花销时调整无回答的方法之一是用总体数
X 乘以比率 y
x
一、
在 srs
Ratio Estimator
1 15
15 i 1
yRi E( yR ) 2 2.82
V ( y) 1 15 15 i1
yi E( y) 2 97.87
B( yR ) E( yR ) Y 0.31356
MSE( yR ) V ( yR ) B2 ( yR ) 2.92
• 简单估计是无偏的，而比估计是有偏的。
• 拉普拉斯认为30个commune的每年注册的新生儿数为 215599/3=71866.33.把2037615按照71866.33来分，拉普 拉斯估计每年每28.35人里有一个注册新生儿。
• 具有众多人口的乡镇也就可能有同样众多的注册新生 儿，通过用28.35乘以全法国年度新生儿总数来估计得 出法国人口总数。
Yi 1 3 11 18 29 46
平均值 4.5 18
yR
C
2 6
15
样本
1 1，2
2 1，3
3 1，4
4 1，5
5 1，6
6 2，3
7 2，4
8 2，5
9 2，6
10 3，4
11 3，5
12 3，6
13 4，5
14 4，6
15 5，6
简单估计 2 6 9.5 15
23.5 7
10.5 16 24.5 14.5 20 28.5 23.5 32 37.5
• 因此对这个总体，比估计比简单估计的效率高。
xu
二、比率估计的性质
E(r
R)
1 f nX 2
(SxS y
RS
2 x
)
偏倚量会小，如果：
• 样本量n 很大
•抽x样u 比n/N很大
• 很大 • S x很小 • 相关系数R接近于1
比估计 18 18 17.1
16.875 21.15 15.75 15.75
16 20 16.3 16.36 19.73 16.27 19.2 18.75
y yR x X
yi X xi
1 15
E( yR ) 15 i1 yRi 17.686
E( y)
1 15
15 i 1
yi
18
V ( yR )
• 调查中都有辅助信息，抽样框也通常有每个单元额外 的信息，这些信息能被用来提高我们的估计精度。
为什么要使用比率估计/回归估计
• 利用总体的辅助信息提高估计的精度。
–辅助指标的选择 ：y辅助指标应该与调y 查指标有较好
的正的相关关系 。x 的抽样分布较 xu 的抽样分布变
动性要小得多。
–辅助指标的总体总量或总体均值已知。
• 比率估计、回归估计需要有足够的样本量才能
保证估计的有效。
–有偏估计：当样本量足够大时，估计的偏倚趋于0。
• 简单地想要估计一个比率 :假定总体由面
积不同农业用地构成， yi =i地谷物的产 量, xi ：i地的面积，B=每亩谷物的平均 产量
^
ty Ny
• 想要估计一个总体总数，但总体大小N是未 知的。但是我们知道,于是可以通过来估计N,
• 在一所具有4000名学生的大学提取一个 400个学生的简单随机样本，此样本可能 包含240个女性，160个男性，且其中被 抽中的84名女性和40名男性计划以教学 为毕业后的职业。
4000 124 1240 400
84 2700 40 1300 1270
240
160
• 比率估计量被用来对无回答进行调整
由此我们可以使用不同于总数N的方法而是采 用辅助变量来进行测量。
• 要估计渔网中长度长于12cm的鱼的总数，抽取 一个鱼的随机样本，估计长度长于12cm的鱼所 占的比例，用鱼的总数N乘以这个比例即可得 到，但如果N未知不能使用。
• 能称量渔网中鱼的总重量。鱼的长度与其重量
相关。
t
^
yr
y
tx
x
• 调整来自样本的估计量以便它们反映人 口统计学的总量。
条件下,
y yR x X
y x
X
YˆR
y x
X
y x
X
NyR
Rˆ y x
辅助指标x，V其(Rˆ总) 体1nX均2f值（(Y总Ni 量R1X）i )已2 知
【例4.1】对以下假设总体（N=6），用简单随机抽样抽 取的样本，比较简单随机抽样比估计及简单估计的性质。
1234 5 6
X i 0 1 3 5 8 10
比率估计的近似方差
V ( yR ) V ( XRˆ) X 2V (Rˆ)
V (YˆR ) N 2 X 2V (Rˆ)
当 R>0.5 时,比估计比 srs 有更高的精度。
1 2 V (Rˆ ) E(Rˆ R) X E( y RX ) 分层抽样下，比估计有两种方法： 2
2 v1
(
Rˆ )
Chapter 4 Ratio and Regression Estimator
• 1802年，拉普拉斯想要估计法国的人口数目。他获得 了一个遍布全国范围的30commune的样本，截至1802 年9月23日总共有2，037615居民。在包括1802年9月23 日以前的三年中，215599个新生儿在30个commune。
1 f n
S
2 y
R
2
SLeabharlann 2 x2RSy Sx
比率估计量优于简单估计量的条件是：
R2Sx2 2RSy Sx 0
1 Sx X Cx
2 S y Y 2Cy
正高度 相关
n i 1
(
yi
Rˆxi )2
v2
(
Rˆ
)
1 nx
f
2
( s 2y
2Rˆsxy
Rˆ 2sx2 )
三、比率估计的效率
• 1.与简单估计的比较 简单估计量无偏，而比率估计量渐近无偏。
因此这里只比较当ｎ比较大的情形。
Vy 1 f
n
S
2 y
V yR
1 f n
S
2 y
R
2
S
2 x
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1 nX
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2
n
1 1
n i 1
(
yi
Rˆxi )2
Vr11R.Separ1anxytX11e ,R2fra2tNio1es1timxyiN22a1t,oY…ri … .RrXL i
2xy1LLnX(h=2f 1,2S,y…2 ..LR)
2
S
2 x
2RS
yx
v1(
Rˆ
)
1 nX
f
2
1 n 1
• 设抽取一个行业的样本：令yi为i行业花费在健
y
康保险上的金额，xi为i行业的雇员数。假定对
x
总体中的每个行业xi均已知。我们希望一个行
业花费在健康保险上的金额与雇员数相关。某
些行业在调查中可能涉及不到。估计保险费用 的总花销时调整无回答的方法之一是用总体数
X 乘以比率 y
x
一、
在 srs
Ratio Estimator
1 15
15 i 1
yRi E( yR ) 2 2.82
V ( y) 1 15 15 i1
yi E( y) 2 97.87
B( yR ) E( yR ) Y 0.31356
MSE( yR ) V ( yR ) B2 ( yR ) 2.92
• 简单估计是无偏的，而比估计是有偏的。
• 拉普拉斯认为30个commune的每年注册的新生儿数为 215599/3=71866.33.把2037615按照71866.33来分，拉普 拉斯估计每年每28.35人里有一个注册新生儿。
• 具有众多人口的乡镇也就可能有同样众多的注册新生 儿，通过用28.35乘以全法国年度新生儿总数来估计得 出法国人口总数。
Yi 1 3 11 18 29 46
平均值 4.5 18
yR
C
2 6
15
样本
1 1，2
2 1，3
3 1，4
4 1，5
5 1，6
6 2，3
7 2，4
8 2，5
9 2，6
10 3，4
11 3，5
12 3，6
13 4，5
14 4，6
15 5，6
简单估计 2 6 9.5 15
23.5 7
10.5 16 24.5 14.5 20 28.5 23.5 32 37.5