史上最全等差数列题型归纳
(完整版)等差数列知识点及类型题
等差数列知识点及类型题一、数列由n a 与n S 的关系求n a由n S 求n a 时，要分n=1和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩。
〖例1〗根据下列条件，确定数列{}n a 的通项公式。
nn n S a a 222,0=+>分析：将无理问题有理化，而后利用n a 与n S 的关系求解。
二、等差数列及其前n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。
2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。
（1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列；（2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2n S An Bn =+的形式（A ，B 是常数），则{n a }是等差数列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例2〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足111120(2),2n n n n S S S S n a ---+=≥=g （1）求证：{1nS }是等差数列； （2）求n a 的表达式。
【变式】已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1.其前n 项和S n 满足2S n ＝2pa 2n ＋a n－p (p ∈R)， 则{a n }的通项公式为________．（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式n a =1a +（n-1）d 及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1a ，n a ，d,n, n S ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
根据等差数列知识点总结及题型归纳
根据等差数列知识点总结及题型归纳
等差数列是数学中常见的数列，也是初中数学中的基础概念之一。
以下是关于等差数列的知识点总结及题型归纳。
等差数列的定义
等差数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数的差值都相等的数列。
通常用字母 a 表示首项，d 表示公差，数列的通项公式为 an = a + (n-1)d。
等差数列的性质
1. 首项与末项之和等于中间项之和的两倍（也即数列的平均值）：a + an = 2 * (a + (n-1)d)。
2. 求和公式：等差数列前 n 项和 Sn = (n/2) * (2a + (n-1)d)。
3. 最后一项的值可以通过首项、末项和公差求得：an = a + (n-1)d。
4. 任意一项的值可以通过首项、公差和项数求得：ak = a + (k-1)d。
等差数列的题型归纳
1. 求等差数列的第 n 项的值。
2. 求等差数列的前 n 项和。
3. 求等差数列中缺失的项或差值。
4. 求等差数列中满足一定条件的项数。
5. 求等差数列中满足一定条件的和。
示例题目
1. 已知等差数列的首项 a = 3，公差 d = 2，求第 5 项的值和前5 项的和。
2. 一个等差数列的首项 a = 1，公差 d = 3，已知数列中缺失了第 4 项，求第 4 项的值。
3. 已知等差数列的首项 a = 2，公差 d = 5，求该等差数列中满足大于 20 的项数。
以上是对于等差数列的知识点总结及题型归纳，希望对你有所帮助。
如有需要，可以参考相应的解题方法和公式。
等差数列的19种经典题型
等差数列的19种经典题型
等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项之差都相等的数列。
以下是一些常见的等差数列题型：
1. 求等差数列的通项公式；
2. 已知等差数列的首项和公差，求第n项的值；
3. 求等差数列前n项的和；
4. 求等差数列中有多少项满足某个条件；
5. 求等差数列的前n项和与后n项和的关系；
6. 求等差数列的和等于某个数的情况下，确定首项和项数；
7. 求等差数列的和等于另一个等差数列的情况下，确定首项、项数及公差；
8. 求等差数列中的两个数之和等于某个数的情况下，确定这两个数的位置；
9. 求等差数列中的两个数之积等于某个数的情况下，确定这两个数的位置；
10. 求等差数列中的两个数之差等于某个数的情况下，确定这两个数的位置；
11. 求等差数列中的两个数之商等于某个数的情况下，确定这两个数的位置；
12. 求等差数列中的两个项之和等于某个数的情况下，确定这两个项的位置；
13. 求等差数列中的两个项的积等于某个数的情况下，确定
这两个项的位置；
14. 求等差数列中的两个项的差等于某个数的情况下，确定这两个项的位置；
15. 求等差数列中的一个项与它前面的项和后面的项的和的比值；
16. 求等差数列中任意两项之间的差的绝对值；
17. 求等差数列的平均值；
18. 已知等差数列的前n项和及项数，求公差；
19. 已知等差数列的前n项和及公差，求项数。
以上是一些经典的等差数列题型，通过掌握这些题型的解题方法和技巧，可以更好地解决与等差数列相关的问题。
数列知识点总结及题型归纳---含答案
数列一、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。
例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a 题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。
例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．642.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）6703.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为 （填“递增数列”或“递减数列”）题型三、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
其中2a bA += a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=即：212+++=n n n a a a （m n m n n a a a +-+=2） 例：1．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= （ ）A ．120B ．105C ．90D ．752.设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A ．1 B.2 C.4 D.8题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 题型五、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+n da ）（2n 2112-+=。
等差数列大题解法技巧汇总，附典型例题及答案
等差数列大题解法技巧汇总，附典型例题及答案等差数列大题求解技巧和题型汇总
数列求和对按照一定规律排列的数进行求和。
求Sn实质上是求{Sn}的通项公式，应注意对其含义的理解。
常见的方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和，但是常见的就记忆上图中的方法就可以了。
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位，数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要有一定的技巧，也就是一些特殊数列，要单独记忆。
求解过程要注意，通法和巧法的使用，第一选择用巧法，实在不行都可以用通法转化成a1和d，再去求解。
主要公式的应用，书记公式，套用，求解
对于递推公式的套用转化，需要强化练习，孰能生巧
方法二更简单些，一定要掌握
先化简，再裂项相消，就简单了
错位相减法要注意，Sn等于的最后两项都要写出来，乘以公比，错位书写，相减，末项前面是减号，中间部分用数列求和公式，再化简，随后把Sn前面的系数除掉。
等差数列的通项求和及性质7大题型 (解析版)--2024高考数学常考题型精华版
等差数列的通项求和及性质7大题型【考点分析】考点一：等差数列的基本概念及公式①等差数列的定义：1－-=n n a a d （或者d a a n n =-+1）*()2，∈≥n N n ．②等差数列的通项公式：1(1)=+-n a a n d ，通项公式的推广：()d m n a a m n -+=③等差中项：若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有=2+a bA （A b a A -=-）．④等差数列的前n 项和公式：()()⎪⎩⎪⎨⎧-++=d n n na a a n S n n 21211考点二：等差数列的性质①通项下标和性质：在等差数列{}n a 中，当+=+m n p q 时，则q p n m a a a a +=+．特别地，当t n m 2=+时，则t n m a a a 2=+．②等差数列通项的性质：()d a dn d n a a n -+=-+=111，所以当0≠d 时，等差数列的通项为关于n 的一次函数，即b kn a n +=．③等差数列前n 项和的常用性质：()n d a n d d n n a S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=2221121，所以当0≠d 时，等差数列的前n 项和为关于n 的二次函数且没有常数项，即Bn An S n +=2因为n d a n d S n ⎪⎭⎫⎝⎛-+=2212当0>d 时，开口向上，n S 有最小值；当0<d 时，开口向下，n S 有最大值；【题型目录】题型一：等差数列通项求和公式运用题型二：等差中项及性质问题题型三：等差数列前n 项和的性质题型四：等差数列前n 项和的最值题型五：等差数列通项公共项及奇偶项和问题题型六：等差数列新文化试题题型七：对于含绝对值的数列求和问题【典型例题】题型一：等差数列通项求和公式运用【例1】（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））在数列{}n a 中，11a =，13n n a a +-=，若2020n a =，则n =（）A ．671B ．672C ．673D ．674【答案】D【分析】分析得到数列{}n a 是以1为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列通项即得解.【详解】∵11a =，13n n a a +-=，∴13n n a a +-=∴数列{}n a 是以1为首项，3为公差的等差数列，∴()()111312020n a a n d n =+-=+-=，解得674n =.故选：D.【例2】（2022·全国·高三专题练习）数列{an }满足()1122n n n a a a n -+=+≥，且26a =-，66a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（）A ．43S S <B ．43S S =C ．43S S >D ．41S S =【答案】B【分析】根据递推公式得到数列{}n a 是等差数列，进而求出公差和通项公式，求出134,,S S S ，得到答案.【详解】数列{}n a 满足()1122n n n a a a n -+=+≥，则数列{}n a 是等差数列，设等差数列{}n a 的公差为d .因为266,6a a =-=，所以6246612d a a =-=+=，即3d =.所以()632312n a n n =-+-=-，所以119S a ==-，396318S =---=-，4963018S =---+=-，所以41S S <，43S S =.故选：B【例3】（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k kk 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【答案】D【解析】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D【例4】（2022·北京石景山·高二期末）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，已知211a =-，47a =-，则（）A ．n S 有最小值，n T 有最小值B ．n S 有最大值，n T 有最大值C ．n S 有最小值，n T 有最大值D ．n S 有最大值，n T 有最小值【答案】C【详解】依题意1111113,221537n a d a d a n a d +=-⎧⇒=-=⇒=-⎨+=-⎩，由0n a ≤解得152n ≤，*N n ∈，所以等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：7S 最小，无最大值.1234567813,11,9,7,5,3,1,1,a a a a a a a a =-=-=-=-=-=-=-=…123456713,143,1287,9009,45045,135135,135135,T T T T T T T =-==-==-==-…当8n ≥时：0n T <，且为递减数列，故n T 有最大值135135，没有最小值.故选：C【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}{},n n a b 均为等差数列，若1122333,7,13a b a b a b ===，则44a b =（）A ．19B ．21C ．23D ．27【答案】B【分析】设,n n a an b b cn d =+=+，得出2()n n a b acn bc ad n bd =+++，令n n n c a b =，可得1n n n d c c +=-构成一个等差数列，求得公差，即可求得4c 的值.【详解】由题意，设,n n a an b b cn d =+=+，则()()2()n n a b an b cn d acn bc ad n bd =++=+++，令n n n c a b =，可得12()n n n d c c acn ac ad bc +=-=+++构成一个等差数列，所以由已给出的113a b =227a b =，3313a b =，121734d c c =-=-=，2321376d c c =-=-=，所以4434138d c c c =-=-=解得：421c =，即4421a b =.故选：B【例6】（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若452a S +=，714S =，则10a =（）A ．18B ．16C ．14D ．12【例7】（2021·福建省华安县第一中学高三期中）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12m S -=-，0m S =，13m S +=，则m 等于（）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D【详解】{}n a 是等差数列，()102m m m a a S +∴==()112m m m a a S S -⇒=-=--=-，又113m m m a S S ++=-=，∴公差11m m d a a +=-=，11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选：D ．【题型专练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知等差数列{}n a 中，1732,4,n a a a S ==为数列{}n a 的前n 项和，则10S =（）A ．115B ．110C ．110-D ．115-【答案】D【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则由734a a =得264(22)d d +=+，解得3d =-，101(1)10910102(3)11522n n S a d -⨯=+=⨯+⨯-=-．故选：D ．2．（2022全国高二专题练习）在等差数列{}n a 中，138a a +=，且2429a a a =⋅（1）求数列{}n a 的首项､公差；（2）设()()1218n n n a a b -+=，若13mm m bb b +++=，求正整数m 的值.【答案】（1）数列{}n a 的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3；（2）6.【分析】（1）根据条件，列出两个关于首项和公差的方程，然后解方程即可；（2）由（1）求出数列{}n a 的通项，然后再求出n b ，再根据13m m m b b b +++=求出m .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，由已知可得：1121112284(3)()(8)0a d a a d a d a d d ⎧+==⎧⇒⎨⎨+=++=⎩⎩或113a d =⎧⎨=⎩，即数列{}n a 的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3.（2）由（1）可知4n a =或13(1)32n a n n =+-=-不满足题意；3．（2022·山西吕梁·高二期末）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知每层圈数相同，共有9圈，则下层比上层多______块石板．【答案】1458【详解】设第n 圈的石板为n a ，由条件可知数列{}n a 是等差数列，且上层的第一圈为19a =，且9d =，所以()21199222n n n S na d n n -=+=+，上层的石板数为9405S =，下层的石板数为27181863S S -=.所以下层比上层多186********-=块石板.故答案为：14584．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知圆O 的半径为5，4OP =，过点P 的n 条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为1a ，最长弦长为n a ，且公差2,13d ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则n 的取值可能是（）A ．5B ．6C ．7D ．85．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列{}n a 为递增数列，若22110101a a +=，5611a a +=，则数列{}n a 的公差d 的值为______．题型二：等差中项及性质问题【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知m 和2n 的等差中项是4，2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是（）A ．8B ．6C ．4.5D ．3【例2】（2022·辽宁·高三开学考试）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若67891020,a a a a a ++++=则15S =（）A ．150B ．120C ．75D ．60【答案】D【例3】（2022·全国·高三专题练习（理））数列{an }满足122n n n a a a ++=+，且4a ，4040a 是函数2()83f x x x =-+的两个零点，则2022a 的值为（）A ．4B ．－4C ．4040D ．－4040【答案】A【分析】由题设可得4a +4040a ＝8，根据已知条件易知{an }是等差数列，应用等差中项的性质求2022a .【详解】由4a ，4040a 是2()83f x x x =-+的两个零点，即4a ，4040a 是x 2－8x ＋3＝0的两个根，∴4a +4040a ＝8，又122n n n a a a ++=+，即数列{an }是等差数列，∴4a +4040a ＝20222a =8，故2022a ＝4.故选：A.【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，422S =，330n S =，4176n S -=，求项数n 的值．【例5】（2022·河南焦作·一模（文））设{}n a 和{}n b 都是等差数列，前n 项和分别为n S 和n T ，若17136a a a ++=，1391112b b b b +++=，则1311S T =（）A ．2633B ．23C ．1322D ．1311【答案】A【详解】由等差数列的性质可得1713736a a a a ++==，所以72a =；因为139********b b b b b b +++=+=，所以63b =．由等差数列的前n 项和公式可得()113137131322262a a a S ⨯==+=，()111611*********b b b T +⨯===，所以13112633S T =．故选：A【例6】（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列{}n a 满足()*122n n n a a a n ++=+∈N ，且38132πa a a ++=，则()79cos a a +=（）A．B ．12-C ．12D ．2【题型专练】1．（2022·陕西·渭南市三贤中学高二阶段练习（理））已知一个等差数列{}n a 的前四项和为21，末四项和为67，前n 项和为77，则项数n 的值为___________.【答案】7【分析】先利用等差数列的性质结合已知条件可求出1n a a +的值，再利用等差数列的求和公式列方程可求出项数n 的值.2.（2022·全国·高三专题练习）下列选项中，为“数列{}n a 是等差数列”的一个充分不必要条件的是（）A ．()1122n n n a a a n +-=+≥B ．()2112n n n a a a n +-=⋅≥C ．数列{}n a 的通项公式为23n a n =-D ．()2112n n n n a a a a n ++--=-≥【答案】C【分析】根据等差数列的中项性质以及通项公式，结合充分必要条件的概念逐项分析即可.【详解】对于A ：数列{}n a 是等差数列()1122n n n a n a a +-⇔=+≥，∴A 选项为“数列{}n a 是等差数列”的一个充要条件，故A 错误；对于B ：易知B 选项为“数列{}n a 是等差数列”的一个既不充分也不必要条件，故B 错误；对于C ：∵23n a n =-，∴()121321n a n n +=+-=-，∴12n n a a +-=，∴数列{}n a 是等差数列，反之若{}n a 为等差数列，则1n n a a d +-=，此时d 不一定为2，所以必要性不成立，∴C 选项为“数列{}n a 是等差数列”的一个充分不必要条件，故C 正确；对于D ：若数列{}n a 是等差数列，则211n n n n a a a a ++--=-，∴211n n n n a a a a ++--=-成立，反之当11a =，22a =，34a =，45a =时，满足211n n n n a a a a ++--=-，但{}n a 不是等差数列，∴D 选项为“数列{}n a 是等差数列”的一个必要不充分条件，故D 错误．故选：C ．3．（2022·全国·高二单元测试）在等差数列{}n a 中，已知13518a a a ++=，42108n n n a a a --++=，420n S =，则n =______．4.（2022·浙江宁波·高一期末）设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且()()2023331202311a a -+-=，()()2023202020201202311a a -+-=-，则下列结论正确的是（）A ．2022320202022S a a =->，B ．2022320202022S a a =-<，C ．2022320202022S a a =>，D ．2022320202022S a a =<，【答案】C【详解】令函数2023()2023f x x x =+，R x ∈，2023()()2023()()f x x x f x -=-+-=-，则()f x 是R 上的单调递增的奇函数，由()()2023331202311a a -+-=得3(1)1f a -=，由()()2023202020201202311a a -+-=-得2020(1)1f a -=-，于是得32020(1)(1)f a f a -=-，且3202011a a ->-，即320202a a +=，且32020a a >，所以等差数列{}n a 前2022项1202232020202220222022202222a a a a S ++=⨯=⨯=，且32020a a >.故选：C5．（2022·四川省高县中学校高一阶段练习（理））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1001a ，1020a 满足10011020OA a OB a OC =+，其中A 为OBC 边BC 上任意一点，则2020S =（）A ．2020B ．1020C ．1010D ．2【答案】C【详解】由题设知：10011021200201a a a a =+=+，而1202020202020()10102a a S ⨯+==.故选：C6．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知等差数列{}n a 中，2a 、8a 是221610x x --=的两根，则()2375a a a +-=（）A ．248B ．60C ．12D ．4题型三：等差数列前n 项和的性质【例1】（2022·广东·金山中学高三阶段练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S =，621S =，则9S =（）．A ．27B ．45C ．18D ．36【答案】B【分析】根据等差数列前n 项和的性质可得3S ，63S S -，96S S -成等差数列，从而可列方程可求出结果.【详解】由已知3S ，63S S -，96S S -，即6，15，921S -成等差数列，所以()9215621S ⨯=+-，所以945S =，故选：B ．【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若20181-=a ，62013201920132019=-S S ，则2020S 等于（）A ．﹣4040B ．﹣2020C ．2020D ．4040【例3】（2022·全国·高二多选题）下列结论中正确的有（）A ．若{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列B ．若{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，则数列n S ，2n S ，3n S ， 也是等差数列C ．若等差数列{}n a 的项数为()21n n >，它的偶数项和为S 偶，奇数项和为S 奇，则1S n Sn +=奇偶D ．若等差数列{}n a 的项数为()211n n +>，它的偶数项和为S 偶，奇数项和为S 奇，则1S n S n+=奇偶【例4】（2023·全国·高三专题练习）两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且3n n T n =+，则220715a ab b ++等于（）A ．10724B ．724C ．14912D ．149【例5】（2021·江苏·高二单元测试）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为Sn 和Tn ，且n n T =3n ++，则使得nna b 为整数的正整数n 的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【题型专练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010=S ，6020=S ，则40S 等于（）A ．110B ．150C ．210D ．280【答案】D【分析】根据在等差数列中，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等差数列即可得解.【详解】因为等差数列{an }的前n 项和为Sn ，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列．故(S 30－S 20)＋S 10＝2(S 20－S 10)，所以S 30＝150，又因为(S 20－S 10)＋(S 40－S 30)＝2(S 30－S 20)，所以S 40＝280.故选：D.2.（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和．若20232023S =，且2021202001202120S S -=，则1a 等于（）A ．-2021B ．-2020C ．-2019D ．-20183.（2022·山西·忻州一中高三阶段练习）设等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别是,n n S T ，且75n n T n +=-，则39a ab +=__________.4.（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项的和分别是n S 和n T ，且21n n na b n =+，则1111S T =（）A ．1221B ．1123C ．613D ．1223【答案】C5.（2021·全国·高二单元测试）已知数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且,3n n T n =+若nn a b λ≥对任意的*n ∈N 恒成立，则实数λ的最大值为（）A ．52B ．0C ．-2D ．26.（2022·全国·高二课时练习）(多选)已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且()()1723n n n S n T +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．5题型四：等差数列前n 项和的最值【例1】（2022·四川省武胜烈面中学校高二开学考试（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且122a =，716S S =，则n S 取最大值时n 的值为（）A ．12B ．12或11C ．11或10D ．10【答案】B【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由122a =，716S S =可解出d 值为－2，从而可知数列{}n a 前11项为正；第12项为0；从第13项起，各项为负，所以n S 取得最大值时n 的值可确定.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由716S S =，得1172116120a d a d +=+，即1110a d +=，又122a =，所以2d =-，所以()2221242n a n n =--=-，令0n a =，可得12n =，所以数列{}n a 满足：当11n ≤时，0n a >；当12n =时，0n a =；当13n ≥时，0n a <，所以n S 取得最大值时，n 的取值为11或12.【例2】（2022·四川乐山·高一期末）已知数列{}n a 为等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，若满足15160,0=<S S ，给出下列说法：①0d <；②80a =；③96S S >；④当且仅当7n =时，n S 取得最大值．其中正确说法的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【例3】（2023·全国·高三专题练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n n S +的最小值为______．【例4】（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若111210>>S S S ，则满足0n S >的最大的正整数n 的值为__________．【例5】（2022·山东·德州市教育科学研究院高二期中）在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若150S >，160S <，则在11S a ，22S a ，…，1515S a 中最大的是（）A ．1S a B ．8S a C ．9S a D ．15S a 【题型专练】1.（2022·河北·石家庄二中高二期末多选题）等差数列{}n a 中，6778,S S S S <>，则下列命题中为真命题的是（）A ．公差0d <B ．96S S <C ．7a 是各项中最大的项D ．7S 是n S 中最大的值【答案】ABD【分析】由6778,S S S S <>得：780,0a a ><，进而再等差数列的性质逐个判断即可【详解】由6778,S S S S <>得：780,0a a ><，所以870d a a =-<，且各项中最大的项为1a ，故A 正确，C 错误；96987830S S a a a a -=++=<，所以96S S <，故B 正确；因为780,0a a ><，等差数列{}n a 递减，所以7S 最大，故D 正确；故选：ABD2．（2023·全国·高三专题练习）等差数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和为n S .现有下列命题，其中是假命题的有（）A ．若n S 有最大值，则数列{}n a 的公差小于0B ．若6130a a +=，则使0n S >的最大的n 为18C ．若90a >，9100a a +<，则{}n S 中9S 最大D ．若90a >，9100a a +<，则数列{}n a 中的最小项是第9项3．（2022·四川眉山·高一期末（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3518a a +=-，972S =-，n S 取最小值时，n 的值为（）A ．11或12B ．12C ．13D ．12或13【答案】D【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意求得首项与公差，从而可求得数列的通项，令0n a ≤，求出n 的范围，从而可得出答案.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3518a a +=-，972S =-，则有11261893672a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得1121a d =-⎧⎨=⎩，所以13n a n =-，令130n a n =-≤，则13n ≤，又130a =，所以当12n =或13时，n S 取最小值.故选：D.4．（2022·山西·怀仁市第一中学校模拟预测（文））数列{}n a 是递增的整数数列，若12a ≥，12300n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（）A ．25B ．22C ．24D ．23【答案】D【分析】数列{}n a 是递增的整数数列，n 要取最大值，则递增幅度要尽可能为小的整数，所以，可得{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解.要取最大值，则递增幅度要尽可能为小的整数题型五：等差数列通项公共项及奇偶项和问题【例1】（2022·重庆市实验中学高二期末）已知数列{}n a 中，11a =，22a =，()1212n n n a a ++=-+，则1819a a =（）A ．3B ．113C ．213D ．219【答案】D【详解】当n 为奇数时，22n n a a +-=，即数列{}n a 中的奇数项依次构成首项为1，公差为2的等差数列，所以，()191101219a =+-⨯=，当n 为偶数时，22n n a a ++=，则422n n a a +++=，两式相减得40n n a a +-=，所以，1844222a a a ⨯+===，故1819219a a =，故选：D.【例2】（2022全国高二单元测试）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在(]1,2021的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列{}n a ，则数列{}n a 的项数为（）A ．101B ．100C ．99D ．98【答案】A【分析】将数列{}n a 中的项由小到大列举出来，可知数列{}n a 为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得n a ，然后解不等式12021n a <≤，即可得解.【详解】由题意可知，数列{}n a 中的项由小到大排列依次为21、41、61、81、L ，可知数列{}n a 是以21为首项，以20为公差的等差数列，则()21201201n a n n =+-=+，由12021n a <≤可得12012021n <+≤，解得0101n <≤，n N *∈ ，则{}1,2,3,,101n ∈ ，因此，数列{}n a 的项数为101.故选：A.【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足：()213nn n a a ++-=，11a =，22a =.(1)记21n n b a -=，求数列{}n b 的通项公式；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求30S .【答案】(1)32n b n =-，(2)353【分析】（1）令n 取21n -代入已知条件可以得到13n n b b +-=，从而求出数列{}n b 的通项公式（2）先分奇偶求出数列{}n a 的表达式，分别求奇数项的和与偶数项的和，相加得到30S （1）因为()213nn n a a ++-=，令n 取21n -，则21213n n a a +--=，即13n n b b +-=，111b a ==，所以数列{}n b 是以1为首项，3为公差的等差数列，所以32n b n =-（2）令n 取2n ，则2223n n a a ++=，所以()()3013292430S a a a a a a =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+，由（1）可知，132********a a a b b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=；()()242246283022123n a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++=+=；所以3033023353S =+=【例4】（2022·四川·成都七中高一期末）已知数列{}n a 的通项公式为2cos 3π=n n a n ，Sn 为数列{}n a 的前n 项和，则2022S 的值为（）A ．672B ．1011C ．2022D ．6066【答案】B【解析】因为2cos 3n y π=的周期为2323ππ=，由2cos 3π=n n a n ，可得121cos132a π⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，2412cos 232a π⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，33cos 231a π==⨯，4814cos 432a π⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，51015cos 532a π⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，6126cos 613a π==⨯，71417cos732a π⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，81618cos 832a π⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，9189cos 913a π==⨯，……，因为20226743=⨯，所以202211[147(16733)][258(26733)]22S =-⨯+++⋅⋅⋅⋅++⨯-⨯+++⋅⋅⋅++⨯[3693674]1++++⋅⋅⋅+⨯⨯1674(116733)1674(226733)674(33674)22222⨯++⨯⨯++⨯⨯+⨯=-⨯-⨯+1674202116742023674202522222⨯⨯⨯=-⨯-⨯+674202120232025222⎛⎫=-⨯+- ⎪⎝⎭()6742022202510112=-⨯-=故选：B 【题型专练】1.（2022·全国·高二课时练习）在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列{}n a ，则50a 等于（）A ．289B ．295C ．301D ．307【答案】B【分析】根据题意，得到能被2除余1满足21n -，被3除余1的数满足32n -，进而求得数列{}n a 的通项公式65n a n =-，即可求解.【详解】由题意，在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，能被2除余1满足21n -，被3除余1的数满足32n -，所以在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，能被2除余1，且被3除余1的数，按从小到大的次序排成一列，可得构成的数列{}n a 是首项为1，公差为6的等差数列，则数列{}n a 的通项公式65n a n =-，所以506505295a =⨯-=.故选：B.2.（2022·海南中学高三）已知数列{}n a 满足()1121nn n a a n ++-=+，则13599a a a a +++⋅⋅⋅+=（）A ．50B ．75C ．100D ．150【答案】A【详解】解：∵()1121nn n a a n ++-=+，∴21241n n a a n ++=+，22141n n a a n --=-.两式相减得21212n n a a +-+=.则312a a +=，752a a +=，…，99972a a +=，∴1359925250a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯=，故选：A.3.（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为（）A ．28B ．29C ．30D ．31【答案】B【分析】本题可设等差数列{}n a 共有21n +项，然后通过S S -奇偶即可得出结果.【详解】设等差数列{}n a 共有21n +项，则13521n S a a a a +=++++ 奇，2462n S a a a a =++++ 偶，中间项为1n a +，故()()()13254212n n S S a a a a a a a +-=+-+-++- 奇偶111n a d d d a nd a +=++++=+= ，131929029n a S S +=-=-=奇偶，故选：B.4.（2022·重庆·三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()1*1π1sin4n n n n a a n +++-=∈N ，则2022S =（）A ．2B ．0C ．2D 【答案】C【解析】当n 为奇数时有1sin4+π+=n n n a a ，函数()*sin 4π=∈N n y n 的周期为8，故有981++++=+n n n n a a a a ，21sin 42π+==a a ，433sin 42π+==a a ，655sin 42π+==-a a ，L，按此规律下去循环重复下去，80S =，故有202225202222=⨯++-=S .故选：C.题型六：等差数列新文化试题【例1】（2022·云南·弥勒市一中高二阶段练习）斐波那契数列（Fibonacci Sequence ）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多，斐波那契（Leonardo Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列{}n a 满足：12211,n n n a a a a a ++===+，现从数列的前2022项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（）A ．5052022B ．2522022C ．5042022D ．14【答案】A【详解】根据斐波那契数列的定义，数列各项除以3所得余数依次为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，…，余数数列是周期数列，周期为8，202225286=⨯+，所以数列的前2022项中能被3整除的项有25221505⨯+=，所求概率为5052022P =，故选A ．【例2】（2022·全国·高三专题练习）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为85.5寸，问大暑的日影长为（）A ．4.5寸B ．3.5寸C ．2.5寸D ．1.5寸【答案】B【详解】因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以构成等差数列{}n a ，由题意得：1474331.5a a a a ++==，则410.5a =，()19959985.52a a S a +===，则59.5a =，所以公差为541d a a =-=-，所以114710.57 3.5a a d =+=-=，故选：B【例3】（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为（）A ．16钱B ．13-钱C ．23钱D ．13钱【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习（理））斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足：12211,n n n a a a a a ++===+.，记121ni n i a a a a ==+++∑ ，则下列结论不正确的是（）A ．1055a =B ．223(3)n n n a a a n -+=+≥C ．201920211i i a a ==∑D ．20212202120221i i a a a ==⋅∑【答案】C【详解】依题意，数列{}n a 的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即1055a =，所以A 正确；当3n ≥时，122121223n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a -----+-+=+=+++=++=+，，所以B 正确；由12211,n n n a a a a a ++===+，可得321432202120202019,,,a a a a a a a a a -=-=-= ，累加得20212122019a a a a a -=+++ 则122019202122021220211a a a a a a a a +++=-=-=-，即2019202111i i a a ==-∑，所以C 错误；由2212122312321,()a a a a a a a a a a a ==-=-，233423432(),a a a a a a a a =-=- ，220212021202220202021202220212020()a a a a a a a a =-=-，所以22212202120212022a a a a a +++=⋅ ，所以D 正确.2．（2022·全国·高二课时练习）2021年是中国共产党建党100周年，《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种，这五种规格党旗的长1a 、2a 、3a 、4a 、5a （单位：cm ）成等差数列，对应的宽为1b 、2b 、3b 、4b 、5b （单位：cm ），且长与宽之比都相等，已知1288a =，596=a ，1192b =，则3b =（）A ．124B ．126C ．128D ．130题型七：对于含绝对值的数列求和问题【例1】（2022·辽宁·高二期中）已知在前n 项和为n S 的等差数列{}n a 中，42222a a -=，3102S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前20项和20T ．【例2】（2022·福建省漳州第一中学高三阶段练习）已知数列{}n a 为等差数列，且280a a +=，26log 1a =.(1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；(2)求数列{}n a 的前n 项和n T .【题型专练】1.（2022·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足()21*20N .n n n a a a n ++-+=∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n S a a a =++⋯+，求n S ．2.（2022·全国·高三专题练习（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1170,2S a ==．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求1001k k a =∑的值．【解析】(1)设等差数列{}n a 的首项和公差分别为1,a d ，由题意可知：111711155062S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得12=10d a =⎧⎨-⎩所以()1021212n a n n =-+-=-(2)由（1）知：当6,n n N ≤∈时，0n a ≥，当15,n n N ≤≤∈时，0n a <所以()()()()100123456781001=k k a a a a a a a a a a =-+-+-+-+-+++++∑L ()()()()1210012345=2a a a a a a a a ++++-+-+-+-+-⎡⎤⎣⎦L ()()10051009954=2=1001022510222S S ⨯⨯⎡⎤-⨯-+⨯-⨯⨯-+⨯⎢⎥⎣⎦=-1000990060=8960++。
等差数列知识点及考点试题解析
等差数列知识点及考点试题解析一．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．二．等差中项如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，由等差数列的定义知2A ＝a＋b．①a，A，b是等差数列的充要条件是2A＝a＋b．②数列{an}是等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．③若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．三．等差数列的通项公式首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d；an＝am＋(n－m)d(n，m ∈N*)四．等差数列的前n项和公式1.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和Sn＝n（a1＋an）2或Sn＝na1＋n（n－1）d．22.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝dn2n⇌数列{an}是等差数列⇔Sn＝2An2＋Bn(A，B为常数)．3.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，若a1>0，d<0≥0，＋1≤0的项数m 使得Sn 取得最大值Sm ；若a1<0，d>0≤0，＋1≥0的项数m 使得Sn 取得最小值Sm ．一．等差数列运算问题的通性方法1.等差数列运算的一般求法是设出首项a1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．2.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a1，an ，d ，n ，Sn ，知其中三个就能求另外两个。
二．等差数列的判定与证明的常用方法1.定义法：an ＋1－an ＝d(d 是常数，n ∈N*)或an －an －1＝d(d 是常数，n ∈N*，n≥2)⇔{an}为等差数列．2.等差中项法：2an ＋1＝an ＋an ＋2(n ∈N*)⇔{an}为等差数列．3.通项公式法：an ＝an ＋b(a ，b 是常数，n ∈N*)⇔{an}为等差数列．4.前n 项和公式法：Sn ＝an2，b 为常数)⇔{an}为等差数列．三．在等差数列{an}中前n项和性质1.Sm ，S2m －Sm ，S3m －S2m ，…，构成等差数列；2.S2n ＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an ＋an ＋1)；3.S2n －1＝(2n －1)an ．n n n n 2n 1n 2n 1n 2n-12m 1m2n 1n(S T a b n S (2n 1)a S a 1S =(2)T (2m 1)b T b -----==-−−→特例n 4.数列项数为奇数2n-1时、分别是等差数列、的前项和）（）(2n-1)a 5.若项数为偶数2n ，则S2n ＝n(a1＋a2n)＝n(an ＋an ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝anan ＋1．6.若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；S奇S偶＝nn－1．四．求等差数列前n项和Sn及最值1，二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.2.图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．3.项的符号法(邻项变号法)：①当a1>0，d<0≥0，＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0≤0，＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值为Sm.数列的单调性当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．考点等差数列基本量的计算【例1-1】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列{}na的前n项和为nS，131,18a S==，则6S=（）A．54B．71C．80D．81【答案】D【解析】设等差数列{}n a的公差为d ，因为131,18a S ==，可得1333318a d d +=+=，解得5d =，所以166********S a d =+=+⨯=.故选：D.【例1-2】（2023·河北·统考模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和是376,1,3n S a S a ==，则3S =（）A ．1B ．1-C ．3D ．3-【答案】D【解析】由已知设等差数列的公差为d ，则3121a a d =+=，117673(5)2a d a d ⨯+=+，解得13a =-，2d =，所以31333S a d =+=-．故选：D.【例1-3】（2023·全国·统考高考真题）记n S 为等差数列{}n a的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（）A ．25B ．22C ．20D ．15【答案】C【解析】方法一：设等差数列{}n a的公差为d ，首项为1a ，依题意可得，2611510a a a d a d +=+++=，即135a d +=,又()()48113745a a a d a d =++=，解得：11,2d a ==，所以515455210202S a d ⨯=+⨯=⨯+=．故选：C.方法二：264210a a a +==，4845a a =，所以45a =，89a =，从而84184a a d -==-，于是34514a a d =-=-=，所以53520S a ==．故选：C.【一隅三反】1．（2023·四川雅安·统考三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．若()*111,2N n n n a S S a n +==++∈，则5S =（）A ．16B ．25C ．29D ．32【答案】B【解析】由12n n n S S a +=++可得12n n a a +=+，即12n n a a +-=，故数列{}n a是以11a =为首项，2为公差的等差数列，所以5154=52252S a ⨯+⨯=，故选：B2．（2023春·广东佛山）（多选）若{}n a为等差数列，211a =，55a =，则下列说法正确的是（）A ．152n a n=-B ．－11是数列{}n a中的项C ．数列{}n a 的前n 项和212n S n n =-+D ．数列{}n a的前7项和最大【答案】ABD【解析】2111a a d =+=，5145a a d =+=，解得113a =，2d =-，对选项A ：()()1312152n a n n=+-⨯-=-，正确；对选项B ：取15211n a n =-=-，13n =，正确；对选项C ：()21132142n n n S n n n -=-⨯=-+，错误；对选项D ：152n a n =-，710a =>，810a =-<，故数列{}n a的前7项和最大，正确.故选：ABD3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等差数列{}n a为递减数列，且31a =，2434a a =，则下列结论中正确的有（）A ．数列{}n a的公差为12-B ．1522n a n =-+C ．数列{}1n a a 是公差为1-的等差数列D ．1741a a a +=-【答案】ABC【解析】由题意知，2432 2.a a a +==又2434a a =，故24,a a 可看出方程23204x x -+=的两根，∵数列{}n a为递减数列，412a ∴=，232a =．∴公差42122a a d -==-，故A 正确；又122a a d =-=，11521222n a n n ∴=+-⨯-=-+（）（），故B 正确；由上可知12n n a a a =，则当2n ≥时，()111222212n n n n a a a a --⎛⎫-=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，当1n =时，214a =，∴数列{}1n a a 是首项为4，公差为1-的等差数列，故C 正确；由C 选项知：15n a a n =-，故17572a a =-=-，∵451222a =-=，174135722a a a ∴+=-+=-，故D 错误．故选：ABC4．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）（多选）已知数列{}n a的前n 项和为n S ，若数列{}n a和均为等差数列，且518a=，则（）A ．16a =B ．830a =C ．560S =D ．798S =【答案】BD【解析】数列{}n a为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则18(5)185n n d dn d a =+-=+-，5(184)(3692182)n n nS d dn d dn d +-=+-+=-，由数列为等差数列，可得则7215d -=两边平方整理得，28160d d -+=，解之得4d =，则42n a n =-，22n S n =，选项A ：1422a =-=.判断错误；选项B ：848230a =⨯-=.判断正确；选项C ：252550S =⨯=.判断错误；选项D ：272798S =⨯=.判断正确.故选：BD考点等差数列的判定与证明【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}n a满足1111,22n n a a a +=-=--．证明：11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求出数11n a ⎧⎫⎨+⎩⎭的通项公式．【答案】证明见解析，111n n a =++【解析】因为112n n a a +=--，所以1111122n n n n a a a a +++=+=--+，则12111111n n n n a a a a ++==++++，即111111n n a a +-=++，又112a =-，则1121112n a ==+-，所以11n a ⎧⎫⎨+⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列，所以()121111n n n a =+-⨯=++．【例2-2】（2023·北京）已知数列{}n a满足()1144,41n n a a n a -==->，记12n n b a =-．求证：数列{}n b 是等差数列．【答案】证明见解析【解析】（定义法）111111422242n n n n n nb b a a a a ++-=-=------()121222nn a a -==-，所以数列{}n b 是首项为11122a =-，公差为12的等差数列.（等差中项法）12n n b a =-，()1111422242n n n n na b a a a ++===----，()1214412224242n nn n n n n a a a b a a a +++--==--⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以()21112202222n n n n n n n n a a b b b a a a ++-+-=+-⨯=---，所以()*212N n n n b b b n +++=∈，所以数列{}n b 是首项为11122a =-，公差为12的等差数列.【一隅三反】1．（2023·安徽）若数列{}n a为等差数列，则下列说法中错误的是（）A ．数列12a ，22a ，32a ，…，2n a …为等差数列B ．数列2a ，4a ，6a ，…，2n a ，…为等差数列C ．数列{}1n n a a +为等差数列D ．数列{}1n n a a ++为等差数列【答案】C【解析】A 选项：因为{}n a为等差数列，所以设1n n a a d --=（d 为常数），又()112222n n n n a a a a d---=-=，所以数列{}2n a 也为等差数列，故A 正确；B 选项：2222n n a a d --=，所以数列{}2n a 为等差数列，故B 正确；C 选项：112n n n n n a a a a da +--={}1n n a a +不是等差数列，故C 错；D 选项：()112n n n n a a a a d+-+-+=，所以数列{}1n n a a ++为等差数列，故D 正确.故选：C.2．（2023·云南）已知等差数列{}n a的前n 项和为n S ，若6812,72,a S ==(1)求数列{}n a的通项公式.(2)证明:数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.【答案】(1)2n a n =(2)证明见解析【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得11512878722a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，有22(1)2n a n n=+-=，所以等差数列{}n a 的通项公式为2n a n =；（2）由(1)知(22)(1)2n nS n n n =+=+，1n S n n =+，所以1(1)1(1)11n n S S n n n n +-=++-+=+，又121S =，故数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列.3．（2023·广东）已知数列{n a }满足112,12nn n a a a a +==+．(1)求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2)求数列{n a }的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)243n a n =-【解析】（1）证明：数列{n a }满足112,12nn n a a a a +==+．两边取倒数可得：1112n n a a +=+，即1112n n a a +-=，∴数列{1n a }是等差数列，首项为1112=a ，公差为2；（2）由（1）可得：()11432122n n n a -=+-=，解得243n a n =-．。
(完整版)等差数列知识点总结及练习(精华版)
等差数列的性质总结1.等差数列的定义：（d 为常数）（）；d a a n n =--12≥n 2．等差数列通项公式：， 首项:，公差:d ，末项:*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈1a n a 推广： ． 从而；d m n a a m n )(-+=mn a a d mn --=3．等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或a A b A a b 2ba A +=b a A +=2（2）等差中项：数列是等差数列{}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项21n +1n a +5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若或(常数) 是等差数列． d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a （2） 等差中项：数列是等差数列． {}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a （3） 数列是等差数列（其中是常数）。
{}n a ⇔b kn a n +=b k ,（4） 数列是等差数列,（其中A 、B 是常数）。
{}n a ⇔2n S An Bn =+6．等差数列的证明方法定义法：若或(常数) 是等差数列．d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a 7.提醒：等差数列的通项公式及前n 项和公式中，涉及到5个元素：，其中n a n S n n S a n d a 及、、、1称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.d a 、18. 等差数列的性质：（1）当公差时，0d ≠等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；11(1)n a a n d dn a d =+-=+-n d 前和是关于的二次函数且常数项为0.n 211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-n （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
等差数列（总结和例题）
等差数列知识清单1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=³或1(1)n n a a d n+-=³。
根据定义，当我们看到形如：d a a n n =--1、da a n n =--212、d aa n n=--1d a a n n =--111、211-++=n n na a a 、d S S n n =--1时，应能从中得到相应的等差数列。
的等差数列。
等差数列的判定方法1. 定义法：若d aa n n=--1或da an n =-+1(常数*ÎN n )Û {}n a 是等差数列．是等差数列．2.2.等差中项：数列等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-³+=Û+n a a a n n n 212+++=Ûn n n a a a ． 3.3.数列数列{}n a 是等差数列Ûbkn a n+=（其中b k ,是常数）。
是常数）。
4.4.数列数列{}n a 是等差数列Û2n S An Bn =+,（其中（其中A A 、B 是常数）。
是常数）。
等差数列的证明方法定义法：若d aa n n=--1或d a ann =-+1(常数*ÎN n )Û {}n a 是等差数列．例1．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（是（ ）A.等比数列，但不是等差数列等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列既非等比数列又非等差数列 答案：B ；解法一：a n =îíì³-==Þîíì³-=-)2( 12)1( 1)2( )1( 11n n n a n S S n S n n n ∴a n =2n －1（n ∈N ） 又a n +1－a n =2为常数，12121-+=+n n a a n n ≠常数≠常数 ∴{a n }是等差数列，但不是等比数列. 2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-Î ，， 首项首项首项::1a ，公差，公差:d :d :d，末项，末项，末项::n a＝1，＝1得＝2，＝1＋×2，项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ______ ______ ；；11<11<＝19(a 119)＝＝120＝ac（C ）8 8 （（D ）10 【答案】A 【解析】由角标性质得1952a a a +=，所以5a =5.=5.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin(2a 4－π3)＝( ) A.32 B.12 C ．－32 D ．－12 答案 D 解析 ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2，∴sin(2a 4－π3)＝sin(3π2－π3)＝－cos π3＝－12，选D. 1. (2009北京东城高三第一学期期末检测，理9）已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π,则cos(a 2+a 8)的值为________________.答案：21-2。
数列题型及解题方法归纳总结
数列题型及解题方法归纳总结一、等差数列等差数列是指数列中的相邻项之差都相等的数列。
下面对等差数列的题型及解题方法进行归纳总结。
1. 求第n项的值设等差数列的首项为a，公差为d，第n项的值为an，则有公式：an = a + (n-1)d2. 求前n项和设等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn，则有公式：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)3. 求公差已知等差数列的首项为a，第m项与第n项的和为s，则公差d的值可以通过以下公式计算得出：d = (sm - sn)/(m - n)4. 求项数已知等差数列的首项为a，公差为d，第n项的值为an，可以通过以下公式求解项数n：n = (an - a)/d + 15. 应用题解题思路在解等差数列应用题时，关键是要找到规律。
可以通过观察数列的特点，列出方程，再解方程求解。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻项之比都相等的数列。
下面对等比数列的题型及解题方法进行归纳总结。
1. 求第n项的值设等比数列的首项为a，公比为q，第n项的值为an，则有公式：an = a * q^(n-1)2. 求前n项和（当公比q不等于1时）设等比数列的首项为a，公比为q，前n项和为Sn，则有公式：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)3. 求前n项和（当公比q等于1时）当公比q等于1时，等比数列的前n项和为n * a。
4. 求公比已知等比数列的首项为a，第m项与第n项的比为r，则公比q的值可以通过以下公式计算得出：q = (an / am)^(1/(n-m))5. 求项数已知等比数列的首项为a，公比为q，第n项的值为an，可以通过以下公式求解项数n：n = log(an/a) / log(q)6. 应用题解题思路在解等比数列应用题时，关键是要找到规律。
可以通过观察数列的特点，列出方程，再解方程求解。
三、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中第一、第二项为1，后续项为前两项之和的数列。
数列题型总结(全)
11、设平面内的向量 点 是直线 上的一个动点，求当 取最小值时， 的坐标及 的余弦值。
12、设向量 ， ， ， ， ， 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，且 ，求 的值。
参考答案
二、1、1、 ∥ ，
2、(1) ．
= =
∵ ，∴ ，∴ ．
∴ max= ．
(2)由已知 ，得 ．
一：定义法：
例：（1）设 是等差数列，证明：数列 （c>0, 是等比数列。（2）设 是正项等比数列，证明
（c>0, 是等差数列。
变式一：数列 的前n项和记为 ，已知 （n=2,3,4…）,证明：数列 是等比数列。
变式二：已知定义在R上的函数f(x)和数列 满足下列条件： ， ，其中a为常数，k为非零实数。令 是等比数列。
数列题型归纳（全）
题型一：求等差数列的公差或取值范围
例一：等差数列 的前n项和 ，若 =4， =20，则该数列的公差d等于
变式一：等差数列 中， ，则该数列的 的公差为
变式二：已知等差数列的首项为31，若从第16项开始小于1，则此数列的公差d的取值范围是
题型二：求等比数列的公比
例一：在等比数列 中， ，则公比q的值为
=
= ．
3、（1）
由 得 又
（2）由 ，得
又 =
所以， = 。
三、1—6 B D A D A A
7、. 8、 9、只要满足 即可10、（5，2）或（-5，-2）
11、设 点 在直线 上， 与 共线，而
即 有 .
故当且仅当 时， 取得最小值 ，此时
于是
12、
变式一：设数列 ， 都是等差数列，若
变式二：在等差数列 中，已知 ，则该数列前11项和等于
等差数列知识点题型总结
等差数列一、知识回顾题型一：等差数列的基本运算1、等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1=1，a k +a 4=0，则k= 2. 已知等差数列}{n a 中，3,131-==a a ，若35-=k S 则k 的值是3、 （04年全国卷三.理3）设数列}{n a 是等差数列，且62-=a ，68=a ，n S 是数列}{n a 的前n 项和，则（A ）54S S < （B ）54S S = （C ）56S S > （D ）56S S = 题型二:等差数列性质的应用4、在等差数列}{n a 中,=+++=+864273,37a a a a a a 则5若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A nn，则135135b b a a ++=6、nS 为等差数列{}n a 的前n 项和，1,442==a S S 则=5a7、在等差数列{a n }中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为8、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =30，S 2n =100，则S 3n =（ ）题型三：等差数列的判定9、已知数列{a n }的前n 项和S n =25n-2n 2．（1）求证：{a n }是等差数列．（2）求数列{|a n |}的前n 项和T n ．10、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足21),2(0.211=≥=+-a n S S a n n n ，求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S1是等差数列11、已知数列{}n a 中，),2(12,5311*-∈≥-==N n n a a a n n ,数列{}n b 满足11-=n n a b （1）求证：数列{}n b 为等差数列 （2）求数列{}n a 中的最大项和最小项总结：. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证1--n n a a =d 为同一常数。
等差数列知识点总结与题型归纳讲义
10.1等差数列知识梳理.等差数列1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)①通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d )⇒当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数．②通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(3)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．①若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．②当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(4)前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2――→a n ＝a 1＋(n －1)dS n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋a 1－d2n ⇒当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且没有常数项．2.常用结论：已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .(2)若{a n }是等差数列，则S nn 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12.(3)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.题型一.等差数列的基本量1．已知等差数列{a n}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a6＝11．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝12，3a2＝a5，∴2a1+5d＝12，3（a1+d）＝a1+4d，联立解得a1＝1，d＝2，∴a6＝a1+5d＝11故答案为：112．（2018•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，∴3×(31+3×22p=a1+a1+d+4a1+4×32d，把a1＝2，代入得d＝﹣3∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．故选：B．3．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴1+3+1+4=2461+6×52=48，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{a n}的公差为4．故选：C．题型二.等差数列的基本性质1．在等差数列{a n}中，已知a5+a10＝12，则3a7+a9等于（）A．30B．24C．18D．12【解答】解：∵等差数列{a n}中，a5+a10＝12，∴2a1+13d＝12，∴3a7+a9＝4a1+26d＝2（2a1+13d）＝24．故选：B．2．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则a9−1311的值为（）A．17B．16C．15D．14【解答】解：由a4+a6+a8+a10+a12＝（a4+a12）+（a6+a10）+a8＝5a8＝120，解得a8＝24．a9−1311=a1+8d−1+103=23a1+143d=23（a1+7d）=23a8＝16故选：B．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝10，S4＝36，则公差d为2．【解答】解：∵a3＝10，S4＝36，∴a1+2d＝10，4a1+4×32d＝36，解得d＝2．故答案为：2．题型三.等差数列的函数性质1．下面是关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：（1）数列{a n}是递增数列；（2）数列{na n}是递增数列；（3）数列{}是递减数列；（4）数列{a n+3nd}是递增数列．其中的真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差d＞0，则a n＝a1+（n﹣1）d＝dn+a1﹣d，∴数列{a n}是递增数列，故（1）正确；B=B2+(1−p，当n＜K12时，数列{na n}不是递增数列，故（2）错误；=+1−，当a1﹣d≤0时，数列{}不是递减数列，故（3）错误；a n+3nd＝4nd+a1﹣d，数列{a n+3nd}是递增数列，故（4）正确．∴真命题个数有2个．故选：C．2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2（n∈N*），则{a n}的通项公式为（）A．a n＝2n B．a n＝2n﹣1C．a n＝3n﹣2D．=1，=12，≥2【解答】解：∵S n＝n2，∴当n＝1时，a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，而当n＝1时也满足，∴a n＝2n﹣1．故选：B．3．在数列{a n}中，若a n＝5n﹣16，则此数列前n项和的最小值为（）A．﹣11B．﹣17C．﹣18D．3【解答】解：令a n＝5n﹣16≤0，解得n≤3+15．则此数列前n项和的最小值为S3=3×(−11+15−16)2=−18．故选：C．题型四.等差数列的前n项和经典结论1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，则S6＝（）A．27B．33C．36D．45【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，故2（S6﹣S3）＝S3+S9﹣S6，即2（S6﹣9）＝9+72﹣S6，求得S6＝33，故选：B．2．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，1=−11，1010−88=2，则S11＝（）A．﹣11B．11C．10D．﹣10【解答】解：=B1+oK1)2，得=1+(K1)2，由1010−88=2，得1+10−12−(1+8−12)=2，d＝2，1111=1+(11−1)2=−11+5×2=−1，∴S11＝﹣11，故选：A．3．若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知=2r1，则77等于（）A．1321B．214C．1327D．827【解答】解：∵=2r1，∴77=2727=132(1+13)132(1+13)=1313=132×13+1=1327，故选：C．题型五.等差数列的最值问题1．已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当S n最大时，n的值为（）A．8B．9C．10D．16【解答】解：∵等差数列{a n}中，S16＞0且S17＜0∴a8+a9＞0，a9＜0，∴a8＞0，∴数列的前8项和最大故选：A．2．在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n为何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．【解答】解：∵等差数列{a n}中S10＝S15，∴S15﹣S10＝a11+a12+a13+a14+a15＝5a13＝0，∴a13＝0，∴数列的前12项为正数，第13项为0，从第14项开始为负值，∴当n＝12或13时，S n取得最大值，又公差d=13−113−1=−53，∴S12＝12×20+12×112（−53）＝130∴S n的最大值为1303．（2014·江西）在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时S n取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，−78）．【解答】解：∵S n＝7n+oK1)2，当且仅当n＝8时S n取得最大值，∴7＜8 9＜8，即49+21＜56+2863+36＜56+28，解得：＞−1＜−78，综上：d的取值范围为（﹣1，−78）．题型六.证明等差数列1．已知数列{a n}满足1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，数列{b n}满足=1−1(∈∗)．（1）求证数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}中的最大项和最小项．【解答】解：（1）由1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，得a n+1＝2−1（n∈N•）b n+1﹣b n=1r1−1−1−1=12−1−1−1−1=1…（4分）又b1=−52，所以{b n}是以−52为首项，1为公差的等差数列…（6分）（2）因为b n＝b1+（n﹣1）＝n−72，所以a n=1+1=22K7+1．…（9分）1≤n≤3时数列{a n}单调递减且a n＜1，n≥4时数列{a n}单调递减且a n＞1所以数列{a n}的最大项为a4＝3，最小项为a3＝﹣1．…（14分）2．已知数列{a n}中，a2＝1，前n项和为S n，且S n=o−1)2．（1）求a1；（2）证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；【解答】解：（1）令n＝1，则a1＝S1=1(1−1)2=0（2）由=o−1)2，即=B2，①得r1=(r1)r12．②②﹣①，得（n﹣1）a n+1＝na n．③于是，na n+2＝（n+1）a n+1．④③+④，得na n+2+na n＝2na n+1，即a n+2+a n＝2a n+1又a1＝0，a2＝1，a2﹣a1＝1，所以，数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n＝n﹣1课后作业.等差数列1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝72，则a1+a5+a9＝（）A．36B．24C．16D．8【解答】解：由等差数列的求和公式可得，S9=92（a1+a9）＝72，∴a1+a9＝16，由等差数列的性质可知，a1+a9＝2a5，∴a5＝8，∴a1+a5+a9＝24．故选：B．2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S8＝4a3，a7＝﹣2，则a10＝（）A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣2【解答】解：等差数列{a n}中，前n项和为S n，且S8＝4a3，a7＝﹣2，则81+28=41+81+6=−2，解得a1＝10，d＝﹣2，∴a10＝a1+9d＝﹣8．故选：A．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＞0，2a5+a11＝0，则下列说法错误的为（）A．a8＜0B．当且仅当n＝7时，S n取得最大值C．S4＝S9D．满足S n＞0的n的最大值为12【解答】解：∵2a5+a11＝0，∴2a1+8d+a1+10d＝0，∴a1＝﹣6d，∵a1＞0，∴d＜0，∴{a n}为递减数列，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣6d+（n﹣1）d＝（n﹣7）d，由a n≥0，（n﹣7）d≥0，解得n≤7，∴数列前6项大于0，第7项等于0，从第8项都小于0，∴a8＜0，当n＝6或7时，S n取得最大值，故A正确，B错误；∵S4＝4a1+6d＝﹣24d+6d＝﹣18d，S9＝9a1+36d＝﹣28d+36d＝﹣18d，∴S4＝S9，故C正确；∴S n＝na1+oK1)2=2（n2﹣13n）＞0，解得0＜n＜13，∴满足S n＞0的n的最大值为12，故D正确．故选：B．4．若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝8时，{a n}的前n项和最大；当S n＞0时n的最大值为15．【解答】解：∵a7+a8+a9＝3a8＞0，a7+a10＝a8+a9＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴n＝8时，{a n}的前n项和最大；∵S15=15(1+15)2=15a8＞0，S16=16(1+16)2=8（a8+a9）＜0，∴当S n＞0时n的最大值为15．故答案为：8；15．5．在数列{a n}中，a2＝8，a5＝2，且2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是（）A．210B．10C．50D．90【解答】解：∵2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），即2a n+1＝a n+2+a n（n∈N*），∴数列{a n}是等差数列，设公差为d，则a1+d＝8，a1+4d＝2，联立解得a1＝10，d＝﹣2，∴a n＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n．令a n≥0，解得n≤6．S n=o10+12−2p2=11n﹣n2．∴|a1|+|a2|+…+|a10|＝a1+a2+…+a6﹣a7﹣…﹣a10＝2S6﹣S10＝2（11×6﹣62）﹣（11×10﹣102）＝50．故选：C．6．已知在正整数数列{a n}中，前n项和S n满足：S n=18（a n+2）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=12a n﹣30，求数列{b n}的前n项和的最小值．【解答】解：（1）∵S n=18（a n+2）2，∴当n＝1时，1=18(1+2)2，化为(1−2)2=0，解得a1＝2．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1=18（a n+2）2−18(K1+2)2，化为（a n﹣a n﹣1﹣4）（a n+a n﹣1）＝0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝4．∴数列{a n}是等差数列，首项为2，公差为4，∴a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．（2）b n=12a n﹣30=12(4−2)−30=2n﹣31．由b n≤0，解得≤312，因此前15项的和最小．又数列{b n}是等差数列，∴数列{b n}的前15项和T15=15(−29+2×15−31)2=−225．∴数列{b n}的前n项和的最小值为﹣225．。
等差数列及其前n项和考点与题型归纳
等差数列及其前n 项和考点与题型归纳一、基础知识1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．在一个等差数列中，从第2项起，每一项有穷等差数列的末项除外都是它的前一项与后一项的等差中项.2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．(2)数列{a n }是等差数列，且公差不为0⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．二、常用结论已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)在等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . (5)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(6)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12. (7)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.(8)若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.(9)在等差数列{a n }中，若a 1>0，d <0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；若a 1<0，d >0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .考点一 等差数列的基本运算[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( ) A ．3 B ．7 C ．9D ．10[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝ －10.(2)因为S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 2＋2d ＝22，d ＝(22－4a 2)2＝3，a 1＝a 2－d ＝4－3＝1，a n＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，由3n －2＝28，解得n ＝10.[答案] (1)B (2)D[解题技法] 等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．[提醒] 在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．[题组训练]1．(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝10，4a 1＋4×32×d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，故选B. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( ) A ．420 B ．340 C ．－420D ．－340解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12得d ＝±2，由a 1>0，a 2＝0，可知d <0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋20×192×(－2)＝－340，选D.3．在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( ) A ．12 B ．18 C ．24D ．30解析：选C 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 因为a 5＋a 10＝12， 所以2a 1＋13d ＝12，所以3a 7＋a 9＝3(a 1＋6d )＋a 1＋8d ＝4a 1＋26d ＝2(2a 1＋13d )＝2×12＝24.考点二 等差数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求a n 的表达式．[解] (1)证明：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0. 因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n.由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n (n －1)，又因为a 1＝12，不适合上式．所以a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.[题组训练]1．(2019·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．49C ．35D ．63解析：选B 由S n＝an 2＋bn (a ，b ∈R )可知数列{an }是等差数列，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49. 2．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＝2－1a n .∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1，∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．考点三 等差数列的性质及应用考法(一) 等差数列项的性质[典例] (1)已知在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．2＋log 25(2)(2019·福建模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9T 9＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6[解析] (1)因为2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4， 所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 225×4＝20.选B.(2)由a 5＝2b 5，得a 5b 5＝2，所以S 9T 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝a 5b 5＝2，故选A.[答案] (1)B (2)A考法(二) 等差数列前n 项和的性质[典例] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27[解析] 由{a n }是等差数列， 得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列， 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B. [答案] B考法(三) 等差数列前n 项和的最值[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17[解析] ∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值． [答案] A[解题技法]1．应用等差数列的性质解题的2个注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[题组训练]1．在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( )A ．－12B ．－13C ．12D ．13解析：选B 法一：设公差为d ，则2d ＝a 5－a 3＝－9＋5＝－4，则d ＝－2，故a 7＝a 3＋4d ＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.法二：由等差数列的性质得a 7＝2a 5－a 3＝2×(－9)－(－5)＝－13，选B.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析：选C 因为a 1>0，a 6a 7<0，所以a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，所以S 12>0，S 13<0，所以满足S n >0的最大自然数n 的值为12.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18. 答案：18[课时跟踪检测]A 级1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10等于( ) A ．90 B ．100 C ．110D ．130解析：选C 由递推公式可知该数列是公差为2的等差数列，S 10＝10×2＋10×92×2＝110.故选C.2．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是( )A ．30B ．29C ．28D ．27解析：选C 由题意，设等差数列的公差为d ，则d ＝a 5－a 35－3＝1，故a 4＝a 3＋d ＝4，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝7×4＝28.故选C.3．(2019·山西五校联考)在数列{a n }中，a n ＝28－5n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，当S n 最大时，n ＝( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：选C ∵a n ＝28－5n ，∴数列{a n }为递减数列． 令a n ＝28－5n ≥0，则n ≤285，又n ∈N *，∴n ≤5.∵S n 为数列{a n }的前n 项和，∴当n ＝5时，S n 最大．故选C.4．(2019·广东中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－66解析：选D ∵a n ＝－2n ＋1，∴数列{a n }是以－1为首项，－2为公差的等差数列， ∴S n ＝n [－1＋(－2n ＋1)]2＝－n 2，∴S n n ＝－n 2n ＝－n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66，故选D.5．(2018·南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为( )A ．20B ．40C ．60D ．80解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝50，S 10＝10a 1＋10×92d ＝200，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋92d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝4. ∴a 10＋a 11＝2a 1＋19d ＝80.故选D.6．(2019·广州高中综合测试)等差数列{a n }的各项均不为零，其前n 项和为S n .若a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，则S 2n ＋1＝( )A ．4n ＋2B ．4nC ．2n ＋1D ．2n解析：选A 因为{a n }为等差数列，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以a 2n ＋1＝2a n ＋1.因为数列{a n }的各项均不为零，所以a n ＋1＝2，所以S 2n ＋1＝(a 1＋a 2n ＋1)(2n ＋1)2＝2×a n ＋1×(2n ＋1)2＝4n ＋2.故选A.7．已知等差数列5,427，347，…，则前n 项和S n ＝________.解析：由题知公差d ＝－57，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝514(15n －n 2)．答案：514(15n －n 2)8．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________. 解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0. ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6×6－30＝6.答案：69．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5.答案：S 510．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________.解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910，a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10.答案：1011．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值． 解：(1)设{a n }的公差为d ， 由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.(2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.12．(2019·山东五校联考)已知等差数列{a n }为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，∵等差数列{a n }的前3项的和为－3，前3项的积为8，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.∵d >0，∴a 1＝－4，d ＝3，∴a n ＝3n －7.(2)∵a n ＝3n －7，∴a 1＝3－7＝－4，∴S n ＝n (－4＋3n －7)2＝n (3n －11)2.B 级1．设a n ＝(n ＋1)2，b n ＝n 2－n (n ∈N *)，则下列命题中不正确的是( )A ．{a n ＋1－a n }是等差数列B ．{b n ＋1－b n }是等差数列C ．{a n －b n }是等差数列D ．{a n ＋b n }是等差数列 解析：选D 对于A ，因为a n ＝(n ＋1)2， 所以a n ＋1－a n ＝(n ＋2)2－(n ＋1)2＝2n ＋3， 设c n ＝2n ＋3，所以c n ＋1－c n ＝2.所以{a n ＋1－a n }是等差数列，故A 正确； 对于B ，因为b n ＝n 2－n (n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝2n ， 设c n ＝2n ，所以c n ＋1－c n ＝2，所以{b n ＋1－b n }是等差数列，故B 正确； 对于C ，因为a n ＝(n ＋1)2，b n ＝n 2－n (n ∈N *)， 所以a n －b n ＝(n ＋1)2－(n 2－n )＝3n ＋1， 设c n ＝3n ＋1，所以c n ＋1－c n ＝3， 所以{a n －b n }是等差数列，故C 正确； 对于D ，a n ＋b n ＝2n 2＋n ＋1，设c n ＝a n ＋b n ，c n ＋1－c n 不是常数，故D 错误．2．(2019·武汉调研)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 7＝36， ∴a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，∴a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值； 当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n >0，当n ≥8时，a n <0，∴a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值． 综上，a n a n ＋1的最小值为－12. 答案：－123．(2018·辽宁五校协作体模考)已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根．(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)在(1)中，设b n ＝S n n ＋c，求证：当c ＝－12时，数列{b n }是等差数列． 解：(1)∵a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根， ∴a 1＝1，a 2＝5，∴等差数列{a n }的公差为4，∴S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n . (2)证明：当c ＝－12时，b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n －12＝2n ， ∴b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2，b 1＝2. ∴数列{b n }是以2为首项，2为公差的等差数列．。
等差数列题型梳理
等差数列的基本题型题型一、证明数列}{n a 是等差数列，解答题第一问可以这样考查（1）定义法：证明当 N n 时，da a n n 1或当2 n 时，d a a n n 1（d 为常数）.具体步骤：第一步，写三项：1 n a ，n a ，1 n a ；第二步，看条件，作选择n n a a 1，还是1 n n a a ；第三步，常消元.（2）等差中项法：当2 n ，1 n a ，n a ，1 n a 成等差数列 当2 n 时，0211 n n n a a a .（3）结论法（选填题）：数列}{n a 是等差数列 q pn a n Bn An S n 2.题型二、等差数列}{n a 的基本量运算，这是解答题的一种主要题型，选填题也有一般利用d n a a n )1(1 和d n n na S n 2)1(1建立关于1a ，d 或n 的方程（组）进行处理.题型三、等差数列}{n a 有关的性质，选填题常考内容题型四、等差数列}{n a 求n S 的最值，可作为解答题的一问（1）函数法：利用求和公式求出d n n na S n 2)1(1，化为Bn An S n 2，看成二次函数Bx Ax y 2利用图象进行求值，特别需要注意的是函数中的x 只能取正整数，即 N x .（2）通项公式法：等差数列}{n a 中当01 a ，0 d 时，n S 有最大值：令1n n a a ，解不等式得到n 值，使n S 取最大值；当01 a ，0 d 时，n S 有最小值：令 001n n a a ，解不等式得到n 值，使n S 取最大值.题型五、利用等差数列巧设项奇数个数成等差数列可设为： ，，，，d a a d a 偶数个数成等差数列可设为： ，，，，，d a d a d a d a 33题型六、等差数列}{n a 的前n 项和n S 易求，求新数列|}{|n a 的前n 项和n T 具体步骤：第一步，区分正负项：令0 n a ，令01 n a 分别求出取正、负时的n 值；第二步，去绝对值求和，找与已知等差数列}{n a 前n 项和n S 的关系n a 先正后负，即当k n 时，0 n a ；当1 k n 时，0 n a ，此时12k n S S k n S T n k n n ，，n a 先负后正，即当k n 时，0 n a ；当1 k n 时，0 n a ，此时12k n S S k n S T k n n n ，，。
等差数列知识点总结和题型总结
S15
75 ， Tn
为数列
Sn n
的前
n
项和，求 Tn
7、设
Sn
是等差数列
a
n
的前
n
项和，若
a5 a3
5 ,则 S9 9 S5
（
）
A．1 B．－1 C．2
D． 1 2
8、已知等差数列{an}满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0 则有( )
A．α1＋α101＞0 B．α2＋α100＜0 C．α3＋α99＝0 D．α51＝51
9、如果 a1 ， a2 ，…， a8 为各项都大于零的等差数列，公差 d 0 ，则( )
a 2d , a d , a, a d , a 2d … （ 公 差 为 d ）； 偶 数 个 数 成 等 差 ， 可 设 为 … ， a 3d , a d , a d , a 3d ,…（公差为 2 d ）
3、当公差 d 0 时，等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d dn a1 d 是关于 n 的 一次函数，且斜率为公差 d ；若公差 d 0 ，则为递增等差数列，若公差 d 0 ，则 为递减等差数列，若公差 d 0 ，则为常数列。
③等差中项：对于数列 an ，若 2an1 an an2 ，则数列 an 是等差数列
知识点 3、 等差数列的通项公式:
④如果等差数列an 的首项是 a1 ，公差是 d ，则等差数列的通项为
an a1 (n 1)d
该公式整理后是关于 n 的一次函数
知识点 4、等差数列的前 n 项和:
等差数列知识点总结与基本题型
等差数列知识点总结与基本题型一、基本概念1、等差数列的概念（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- （2）对于公差d ，需强调的是它是每一项与它前一项的差（从第2项起）要防止把被减数与减数弄颠倒。
（3）0d>⇔等差数列为递增数列0d =⇔等差数列为常数列 0d <⇔等差数列为递减数列（4）一个等差数列至少由三项构成。
2、等差数列的通项公式（1）通项公式：1(1)n a a n d =+-，（当1n =时，等式也成立）； （2）推导方法：①不完全归纳法：在课本中，等差数列的通项公式是由1234,,,,a a a a 归纳而得，这种利用一些特殊现象得出一般规律的方法叫不完全归纳法。
②迭加法：也称之为逐差求和的方法：2132,,a a d a a d -=-=431,,n n a a d a a d --=-=，上述式子相加，1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-。
③迭代法：1223()2()2n n n n n a a d a d d a d a d d ----=+=++=+=++ 313(1)n a d a n d -=+==+-。
（3）通项公式的应用与理解①可根据d 的情况来分析数列的性质，如递增数列，递减数列等。
②用于研究数列的图象。
11(1)()n a a n d dn a d =+-=+-，∴（Ⅰ）0d ≠时，n a 是n 的一次函数，由于n N *∈，因此，数列{}n a 的图象是直线1()n a dn a d =+-上的均匀排开的无穷（或有穷）个孤立点。
（Ⅱ）0d =时，1n a a =，表示平行于x 轴的直线上的均匀排开的无穷（或有穷）个孤立点。
等差数列常考题型归纳总结很全面
等差数列及其前n 项和教学目标：1、熟练掌握等差数列定义；通项公式；中项；前n 项和；性质。
2、能熟练的使用公式求等差数列的基本量，证明数列是等差数列，解决与等差数列有关的简单问题。
知识回顾： 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为)2(1≥=--n d a a n n 或)1(1≥=-+n d a a n n 。
（证明数列是等差数列的关键） 2．通项公式：等差数列的通项为：d n a a n )1(1-+=，当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式，它的图象是一条直线上自然数的点的集合。
推广：d m n a a m n )(-+= 3．中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项；其中2a bA +=。
4．等差数列的前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+可以整理成S n ＝2d n 2＋n da )2(1-。
当d ≠0时是n 的一个常数项为0的二次函数。
5．等差数列项的性质（1）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；特别的，若m ，p ，q N +∈且q p m +=2，则q p m a a a +=2。
（2）已知数列{}{}n n b a ,为等差数列，n n T S ,为其前n 项和，则1212--=n n n n T S b a （3）若等差数列的前n 项和为nS ，则,,,232n n n n n S S S S S --也成等差数列，公差d n d 2'=；（4）⎩⎨⎧≥-==-)2(n ,)1(n ,11n n n S S S a ； （5）若数列{n a }是公差为d的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 也是等差数列，且公差为______。
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课题：等差数列教学目标：掌握等差数列的定义，通项公式和前n 项和的公式以及等差数列的相关性质，并能利用这些知识解决有关问题．教学重点：等差数列的判断，通项公式、前n 项和公式、等差数列的性质应用．（一） 主要知识：()1定义法：1n n a a +-=常数（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列；()2中项公式法：122n n n a a a ++=+（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列； ()3通项公式法：n a kn b =+（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列；()4前n 项求和法：2n S pn qn =+（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列；（二）主要方法：1.涉及等差数列的基本概念的问题，常用基本量1,a d 来处理；2.若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为,,a d a a d -+；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为,a d a d -+，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．3.等差数列的相关性质:()1等差数列{}n a 中，()m n a a m n d =+-，变式m na a d m n-=-；()2等差数列{}n a 的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等差数列．()3等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则q p nm a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=()4等差数列{}na 中，2n S an bn =+（其中1,02a d d =≠） ()5两个等差数列{}n a 与{}nb 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列．()6若{}n a 是公差为d 的等差数列,则其子列2,,,k km k m a a a 也是等差数列,且公差为md ; nka 也是等差数列,且公差为kd()7在项数为21n +项的等差数列{}n a 中，2+1=(+1),=,=(2+1)n S n a S na S n a 奇中偶中中；在项数为2n 项的等差数列{}n a 中2+11=,=,=()n n n n n S na S na S n a a +++1奇偶．()8等差数列{}n a 中，n S n⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是一个等差数列，即点,nn a （*n N ∈）在一条直线上; 点,n S n n （*n N ∈）在一条直线上.()9两个等差数列{}n a 与{}n b 中,,n n S T 分别是它们的前n 项和,则2121n n n n a S b T --=. （三）典例分析：问题1．()1（01全国）设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，求1a ()2（04全国Ⅰ文）等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，已知1030a =，2050a =， ①求通项n a ； ② 若242n S =，求n问题2．()1(03北京春)在等差数列}{n a 中，已知1234520a a a a a ++++=， 则3a = .A 4 .B 5 .C 6 .D 7()2（08届高三湖南师大附中第二次月考）在等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -= .A 24 .B 22 .C 20 .D 8-()3（04全国理Ⅱ）等差数列}{n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列前20项和等于 .A 160 .B 180 .C 200 .D 220()4（04东北三校）设等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，若28515a a a +=-，则9S = .A 60.B 45 .C 36 .D 18问题3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，120S >，130S <(Ⅰ)求公差d 的取值范围；(Ⅱ)指出1S ,2S ,…,12S ，中哪一个值最大,并说明理由问题4．等差数列}{n a 中，55S =-，1015S =，求数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T问题5． 已知数列}{n a 的前项和为n S ，且120n n n a S S -+⋅=()2n ≥，112a =()1求证：1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，()2求n a 的表达式.（四）巩固练习：1.填空：()1若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有 项；()2等差数列前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和是()3若{}n a 是公差为2-的等差数列,如果1472890a a a a +++⋅⋅⋅+=,那么46850a a a a +++⋅⋅⋅+=2.含21n +个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为.A 21n n+ .B 1n n+ .C 1n n- .D 12n n+3.已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数4.等差数列{}n a 中共有21n +项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，11a =，求其项数和中间项.（五）课后作业：1.（06宿迁模拟）已知数列{}n a 中32a =，71a =，若11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，则11a =.A 0 .B 12 .C 23.D 22.（06潍坊模拟）等差数列{}n a 中，18a =，52a =，若在每相邻两项之间各插入一个数，使之成为等差数列，那么新的等差数列的公差是 .A 34.B 34-.C 67- .D 1-3.在等差数列{}n a 中，()353a a ++710132()24a a a ++=，则此数列的前13项之和等于.A 13 .B 26 .C 52 .D 1564.（06江南十校）已知函数()31xf x x =+，数列{}n a 满足11a =，()1()*n n a f a n N +=∈ ()1求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；()2记()212nn n x x x S x a a a =++⋅⋅⋅+，求()n S x .5.（06汕头模拟）已知数列}{n a 中，135a =，数列112n n a a -=-（2,*n n N ∈≥）数列{}n b 满足11n n b a =-（*n N ∈）. ()1求证：数列{}n b 是等差数列；()2求数列}{n a 的最大项与最小项，并说明理由.（六）走向高考：1.（03全国）等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 是.A 48 .B 49 .C 50 .D 512.（02春高考）设{}n a （*n N ∈）是等差数列，n S 是前n 项和，56S S <，678S S S =>， 则下列结论错误的是 .A 0d < .B 70a = .C 95S S > .D 6S 与7S 均为n S 的最大项3.（04福建文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95S S =.A 1 .B 1- .C 2.D 214.（06全国Ⅱ）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612SS = .A 310.B 13 .C 18 .D 195.（06福建）在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++= .A 40 .B 42 .C 43 .D 456.（06广东）已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 .A 5 .B 4 .C 3 .D 27. (06陕西文) 已知等差数列{}n a 中，288a a +=，则该数列前9项和9S 等于.A 18 .B 27 .C 36 .D 458. (06江西文) 在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110n nn a a a +--+=(2)n ≥，则214n S n --= .A 2-.B 0.C 1 .D 29. (06全国Ⅰ文) 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =.A 8 .B 7 .C 6 .D 510. (06山东文) 等差数列{}n a 中，414S =，10730S S -=，则9S =11.（03上海春）设()f x =，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得(5)(4)(0)(5)(6)f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=12. （05湖南）已知数列(){}2log 1n a -（*n N ∈）为等差数列，且13a =，25a =，则21321111lim n n n a a a a a a →∞+⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪---⎝⎭ .A 2 .B 23 .C 1 .D 2113.（07海南）已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d = .A 23- .B 13- .C 13 .D 2314.（07陕西文）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，410S =，则6S 等于.A 12 .B 18 .C 24 .D 4215.（07辽宁）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则 789a a a ++= .A 63 .B 45 .C 36 .D 2716.(06北京文)设等差数列}{n a 的首项1a 及公差d 都是整数,前n 项和为n S , (Ⅰ)若110a =，1498S =,求数列的通项公式；(Ⅱ)若1a ≥6，110a >，14S ≤77，,求所有可能的数列}{n a 的通项公式.17.（07重庆）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足11S >，且6(1)(2)n n n S a a =++，（*n N ∈）． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足(21)1n bn a -=，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：231log (3)n n T a ->+（*n N ∈）．18.（06江苏）设数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足：2n n n b a a +=-，2132++++=n n n n a a a c （1,2,3n =，…）证明{}n a 为等差数列的充分必要条件是{}n c 为等差数列且n b ≤1n b +（1,2,3n =，…）。