离散数学期末复习

离散数学内容总结

第一篇 数理逻辑

第1章 命题逻辑

求命题公式的主析取范式及主合取范式

例 求()()p r q p ∨⌝∧∨的主析取范式及主合取范式。 例 求(P →Q)∧R 的主析取范式及主合取范式。

例 求命题公式R Q P ∨∧)(的主析取范式和主合取范式。 例 求公式A =(p →⌝q )→r 的主析取范式与主合取范式。 例 求()r q p →→的主析取范式。

判断公式类型

例 用等值演算法判断公式q ∧⌝ (p →q )的类型

例 判断下列命题公式的类型（永真式、永假式、可满足式），方法不限。

(1)

(2)

证明

例 证明：()()()r q r p r q p →∧→⇔→∨ 例 证明：r q p r q p →∧⇔→→)()( 例 推证：⌝Q ∧(P →Q)⇒⌝P

例 前提：q p s q r p ∨→→,,，结论：s r ∨。该结论是否有效？请说明原因。

在命题逻辑中构造下面推理的证明：

例 如果小张守第一垒并且小李向B 队投球，则A 队获胜。或者A 队未获胜，或者A 队成为联赛的第一名。小张守第一垒。A 队没有成为联赛的第一名。因此小李没有向B 队投球。

解：先将简单命题符号化。P：小张守第一垒；Q：小李向B队投球；R：A队取胜；S：A 队成为联赛第一名。

前提：(P∧Q)→R，R∨S，P，S

结论：Q

证明：

(1) R∨S 前提引入

(2) S 前提引入

(3) R (1)(2)析取三段论

(4) (P∧Q)→R 前提引入

(5) (P∧Q) (3)(4)拒取式

(6) P∨Q (5)置换

(7) P 前提引入

(8) Q (6)(7)析取三段论

例一个公安人员审查一件盗窃案，已知下列事实：

（1）甲或乙盗窃了录像机；

（2）若甲盗窃了录像机，则作案时间不能发生在午夜前；

（3）若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭；

（4）若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜前；

（5）午夜时屋里灯光灭了。

根据以上事实，推断谁是盗窃犯。（在命题逻辑中构造推理证明。）

解：分析如下。首先将元素符号化：

P：甲偷了录像机；Q：乙偷了录像机；R：作案时间在午夜；S：乙的正词正确；T：午夜时灯光未灭。

前提：P∨Q,P→﹁R, S→T,﹁S→R,﹁T

推演：

(1) ﹁T 前提引入

(2) S→T前提引入

(3) ﹁S (1)(2)拒取式

(4) ﹁S→R前提引入

(5) R (3)(4)假言推理

(6) P→﹁R 前提引入

(7) ﹁P (5)(6)拒取式

(8) P∨Q前提引入

(9) Q (7)(8)析取三段论

所以乙偷了录像机。

例如果今天是周一，则要进行离散数学或C语言程序设计两门课中一门课的考试。如果C语言程序设计课的老师有会，则不考C语言程序设计。今天是周一，C语言程序设计课的老师有会，所以进行离散数学课的考试。

例若明天是星期一或星期三，我就有课。若有课，今天必须备课。我今天没备课。所以，明天不是星期一和星期三。

解设 p:明天是星期一, q:明天是星期三，r:我有课，s:我备课

前提: (p∨q) →r, r →s, ﹁s

结论: ﹁p∧﹁q

证明

① r→s 前提引入

②﹃s 前提引入

③﹃r ①②拒取式

④ (p∨q)→r 前提引入

⑤﹃(p∨q) ③④拒取式

⑥﹃p∧﹃q ⑤置换

结论有效, 即明天不是星期一和星期三

例若明天是周一或周二，小华就要考试。若要考试，今天必须复习。小华今天没复习。所以，明天不是周一和周二。（答案同上）

例如果A工作努力，B或C将生活愉快。如果B生活愉快，那么A将不努力工作。如果D愉快，则C将不愉快。所以，如果A工作努力，D将不愉快。

第2章谓词逻辑

求谓词公式的前束范式

例求谓词公式)

xP∃

→

∀的前束范式

x

xQ

)

(x

(

解⇔∀xF(x)→∃yG(y) 换名规则

⇔∃x∃y(F(x)→G(y)) 量词辖域扩张

例求公式∀x F(x)∧⌝∃x G(x)的前束范式。

解：∀x F(x)∧⌝∃x G(x)

⇔∀x F(x)∧∀x⌝G(x) (*量词否定等值式⌝∃x P(x)⇔∀x⌝P(x)*)

⇔∀x (F(x)∧⌝G(x)) (*量词分配等值式∀x (A(x)∧B(x))⇔∀x A(x)∧∀x B(x)* )

证明

例证明：﹁∃x(A(x)∧B(x))⇔∀x(A(x)→﹁B(x))

在一阶逻辑中符号化下述命题，并推证之。

例凡人必有一死，苏格拉底是人，所以苏格拉底会死的。

解令 F(x): x是人, G(x): x是要死的, a: 苏格拉底

前提: ∀x(F(x)→G(x)), F(a)

结论: G(a)

证明: ① F(a) 前提引入

②∀x(F(x)→G(x)) 前提引入

③ F(a)→G(a) ②UI

④ G(a) ①③假言推理

凡人都会犯错，小王是人，所以小王会犯错。

所有三角形其内角和为180度。△ABC是三角形。所以△ABC内角和为180度。所有的有理数均可以表示成分数。0.3是有理数。所以0.3可以表示成分数。

偶数都可以被2整除，6是偶数。所以6可以被2整除。

哲学家都善于思考。柏拉图是哲学家。所以，柏拉图善于思考。

例东北人都不怕冷，王国端怕冷。所以王国端不是东北人。

解: 设F(x): x是东北人, G(x): x怕冷, a:王国端

前提: ∀x(F(x) →⌝G(x)), G(a)

结论: ⌝F(a)

证明:

① G(a) 前提引入

②∀x(F(x) ⌝→G(x)) 前提引入

③ F(a) ⌝→G(a) ②UI规则

④⌝F(a) ①③拒取

非洲人都不怕热，玛丽怕热。所以玛丽不是非洲人。

凡奇数均不能被2整除，8能被2整除。所以8不是奇数。

凡奇数均不能被2整除，36能被2整除。所以36不是奇数。

英语系学生都不学离散数学，小刘学离散数学。因此，小刘不是英语系学生。海南人都不怕热，小赵怕热。所以小赵不是海南人。

无理数都不能表示成分数，3.1415能表示成分数。所以3.1415不是无理数。

例鸟都会飞，麻雀是鸟，所以麻雀会飞。

证明：令F(x)：x是鸟，G(x)：x会飞，M(x)：x是麻雀，

前提：∀x(F(x)→G(x))，∀x(M(x)→ F(x))

结论：∀x(M(x)→ G(x))

推演：