第二章矩阵分解3_矩阵的最大秩分解资料

1
A
FG
2 1 1
4 0 2 2
1 0
14
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2 1 1
3 2 5
最后需要指出, （2.40）给出的最大秩分解 A FG
不是唯一的.事实上，任取一个r阶非奇异矩阵D，则
A (FD)( D 1G) F~G~ 也是A的满秩分解。
下面将针对“行”的论述改为针对“列”，可得求的最大秩
1 2 0 0 1
而B的前三个非零列组成矩阵
1 0 0
F~
0
0 1
1
0 3
0
1 3
于是, 的最大秩分解为
5 10 5
1
A
F~G~
0
0 1
0
1
0 3
0 0
1
4 1 5
6
1 3
2 1
0 2
1 0
0 0
14 1
5 10 5
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
A行
B
0
0 0
1 0 0
0 1 0
1 1 0
2
5 0
因此,这里 rankA 3 j1 1, j2 2, j3 3 ,根据定理2.8, A
的前三列组成矩阵
1 4 1
F
2 1 1
0 2 2
0
4 1
而B的前三个非零行组成矩阵
1 0 0 2 3 G 0 1 0 1 2 于是, 的最大秩分解为 0 0 1 1 5
定理2.7
设
A
C
mn r
(r
0)
,则必存在
F
C
mr和
r
G
C
rn r
,使得
A FG
证 当 rankA r 时,可通过初等行变换将A化为阶梯形矩阵B,
即存在有限个m阶初等矩阵的乘积P,使得
PA
B
GO
, G
C rn r
, 或者 A P 1B
把 P 1改写为分块阵 P 1 F
S
,F
C
mr r
,
定理2.8
设
A
C
mn r
(r
0)的
Hermite
行标准形为B(如定义
2.12), 令A的 j1, j2 , , jr 列构成的 m r 矩阵为F,
B的前r行构成的 r n矩阵为G 则A的满秩分解为
.
A FG
证 由条件知,存在m阶可逆矩阵P,使得
PA
B
G O
,
G
C
rn r
,
或者
A P 1B
根据定理2.7 ,设 P 1的分块阵为 P 1 F
定义2.12
如果
B
C
mn r
(r
0),并且满足条件:
(1) B的前r行中每一行至少有一个非零元素,且从左到右第一个
非零元素等于1;
(2) B的后m-r行元, 素都等于零;
(3) B的第i行的第一个非零元素1位于第 ji (i 1,2, , r) 列,
j1 j2 jr ;
(4) B的
j1 ,
列构成的矩阵. 证毕.
定理2.8所提供的求矩阵最大秩的方法,我们称为 Hermite行标
准形法.
例:用Hermite 行标准形法求矩阵 1 4 1 5 6
的最大秩分解.
A
2 1 1
0 2 2
0 4 1
0 0 1
14
1 6
解 用初等行变换将A化为 Hermite行标准形
1 0 0 2 3
j2 ,
,
jr
列为单位矩阵I
的前r列.
m
那么称B为 Hermite 行标准形.
定义2.13 称n阶矩阵 P (e j1 , e j2 , , e jn )
为置换矩阵,其中 e1 , e2 , , en 是单位矩阵的从左至右的n个
列向量, j1, j2 , , jn 是 1,2, , n 的一个排列 .
分H解e的rmite 列标准形法.
例:用 Herm列it标e 准形法求前例中矩阵的最大秩分解.
1 0 0 0 0
A
列
B~
0
0 1
1
0 3
0 0 0
1 3
0 0
0
0
5 10 5
因此,这里 rankA 3, i1 1, i2 2, i3 3 ,A 的前三行组成矩阵
G~
1 2
4 1 5 6 0 1 0 14
初等矩阵P.
1 0 1. 2 1 0 0 1 0 1 2 1 0 0
A
E
1
2
1
1
0 1 0 0
20
31
1
0
2 2 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1
最后有
1 A FG 1
2
110
1 0
0 2
1 0
2 3
求矩阵满秩分解的初等行变换法的缺点是必须求出 P和P 1 ，下面介绍一个不需求出 P和P 1简便方法.
S
C m(nr ) nr
则有 A P 1B F S GO FG
其中F是列满秩阵,G是行满秩阵.
(证毕)
这个定理的证明过程给出了求矩阵满秩分解的初等行变换法.
例:用初等行变换法求矩阵
1 0 1 2 A 1 2 1 1
2 2 2 1
的满秩分解.
解 对A E 进行初等行变换,当A变成阶梯阵B时，E就变成
§3 矩阵的最大秩分解
前面两节介绍了n阶矩阵的几种分解，现在开始介绍几种长
方阵的分解。本节介绍矩阵的最大秩分解，它在广义逆矩阵的
讨论中是十分重要的.
定义2.11
设是一个
m
n
阶秩为r>0的复矩阵,记为
A
C
mn r
(r
0)
,如果存在矩阵
F
C
mr r
和
G
C
rn r
, 使得
A FG (2.40)
则称式(2.40)为A的最大秩分解（满秩分解）.
S
,F
C
mr r
,
S
C m(nr) nr
,可得最大秩分解 A FG .
设A.B的分块矩阵为 A (a1, a2 , , an ), B (b1, b2 , , bn )
,对应A的 Hermite 行标准形B,构造阶置换矩阵
P1 (e j1 , e j2 , , e jr , e jr1 e jn )
,则有
AP1 (a j1 , , a jr , a jr1 , , a jn )
BP1
(b j1 ,
, b jr
, b jr1 ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
, b jn
)
Er O
B12 O
,
B C r(nr)
再根据 A P 1B，得
AP1 P 1 (BP1 ) F
S
Er O
B12 O
F
FB12
上式表明F是AP1的前r列构成的矩阵,即F是A的 j1, j2 , , jr