小学奥数 几何五大模型(等高模型)

模型一 三角形等高模型

已经知道三角形面积的计算公式：

三角形面积=底⨯高2÷

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时

发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1

3

，则三角形面积与原来

的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如图 12::S S a b =

b

a

S 2S 1 D

C B

A

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；

反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

三角形等高模型与鸟头模型

【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶

6个面积相等的三角形。 【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：

C E

D B

A

F

C D

B A G

D

C

B

A

⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：

⑸

⑷⑶⑵⑴

⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：

【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。

⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？

⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？

【解析】 因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A

点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。 于是：三角形ABD 的面积12=⨯高26÷=⨯高 三角形ABC 的面积124=+⨯（）高28÷=⨯高 三角形ADC 的面积4=⨯高22÷=⨯高

所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的

4

3

倍； 三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。

【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面

积是 平方厘米。

【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326⨯÷=(平方厘米)。

【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积

是 平方厘米。

C

D

B

A

【解析】 根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也

等于平行四边形面积的一半，为50225÷=平方厘米。

【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则

它内部阴影部分的面积是 。

F E C

B

A

【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为1

20121202

⨯⨯=。

【例 4】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD

边上的任意一点，求阴影部分的面积。

E B

A

E B

A

【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。

连接BH 、CH 。 ∵AE EB =， ∴AEH BEH S S =△△．

同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH ，

∴11

562822

ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．

【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部

分的面积是 。

E D G

C

B

B

C

G E

【解析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段。把H 和这些分点以及正

方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形。这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形

的面积和第5个第6个三角形相等。

因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一。正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。

【例 5】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积

是多少？

E

【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：

E

可得：12EHB AHB S S ∆∆=

、12FHB CHB S S ∆∆=、1

2

DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++= 即11

()361822

EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；

而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111

()()36 4.522228

EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=。

所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影 解法二：特殊点法。找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，

那么图形就可变成右图：

G

(H )

这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：

1111111

3636363613.52222222

ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影。

【例 6】 长方形ABCD 的面积为36，E 、F 、G 为各边中点，H

为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是

多少？

E