数学与应用数学(解析函数的几个等价条件及其证明)[毕业论文]2011-05-26

毕业论文2011届解析函数的几个等价条件的证明及其应用学生姓名学号院系专业指导教师完成日期解析函数的几个等价条件的证明及其应用摘要复变函数论的核心内容是解析函数，而解析函数的等价条件又贯穿于整个复变函数的始终。

本文从解析函数的定义出发，从三个不同角度给出了解析函数的若干等价性，并相应的做了论证和应用举例。

关键词解析函数;C._R.方程;C._R.算子;平均值条件PROOFS AND APPLICATION OFSEVERAL EQUIVALENTCONDUCTIONSIN ANALYTIC FUNCTIONABSTRACTAnalytic function is the core content of complex function theory, and equivalent conditions of which is throughout all complex function. We departure from the definition of analytic function, and give some equivalent conditions of analytic function from three different angles in this paper. Then we give corresponding proves and examples to understand every equivalence.KEY WORDS analytic function ;C._R. equation; C._R. operator ;mean value condition目录中文摘要 (I)英文摘要 (II)目录.............................................................. I II 引言.. (1)1. 预备知识 (2)2. 解析函数若干等价性的证明及其应用 (4)2.1 解析函数的6个基本等价刻画 (4)2.2 利用Cauchy-Riemann算子刻画解析性 (10)2.3 利用平均值条件刻画解析性 (10)3．小结 (11)参考文献 (12)致谢 (13)引 言复变函数论是将实微积分中极限、导数、微分及积分等一系列概念在复数域中的推广。

复变函数论研究的主要对象就是解析函数(Analytic Function)，即可导的复变函数，因此把复变函数论又称为解析函数论，而解析函数的等价条件又贯穿于整个复变函数的始终，在教材[1]中多次出现。

17世纪，L.欧拉和J.leR.达朗贝尔在研究水力学时已发现平面不可压缩流体的无旋场的势函数),(y x Φ与流函数),(y x ψ有连续的偏导数，且满足微分方程组，并指出),(),()(y x i y x z f ψ+Φ=是可微函数，这一命题的逆命题也成立。

柯西把区域上处处可微的复函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。

B.黎曼从这一定义出发对复函数的微分作了深入的研究，得到了柯西-黎曼方程，也称为柯西-黎曼条件。

K.魏尔斯特拉斯将一个在圆盘上收敛的幂级数的和函数称为解析函数，而区域上的解析函数是指在区域内每一小圆邻域上都能表成幂级数的和的函数。

关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。

基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓 。

解析函数这个概念不仅在研究复变函数的理论中非常重要，而且在实际中的应用也非常广泛。

因此，掌握解析函数的概念和解析函数的等价条件的证明及其应用是非常重要的。

基于以上的考虑，我们从不同角度就解析函数的等价性给出了若干结果，并加以了论证说明。

1. 预备知识为了方便，我们用C 记复平面。

下面我们先给出与解析函数相关的若干概念及定理。

定义1.1 [1] 设函数)(z f w =在点0z 的邻域内或包含0z 的区域D 内有定义，考虑比值)0()()()()(0000≠∆∆-∆+=--=∆∆z z z f z z f z z z f z f z w如果当z 按任意方式趋于0z 时，即当z ∆按任意方式趋于零时，比值z w ∆∆/的极限都存在，且其值有限，则称此极限为函数)(z f 在点0z 的导数，并记为)(0z f '，即000)()(lim lim )(0z z z f z f z w z f z z z --=∆∆='→→∆ 这时称函数)(z f 于点0z 可导。

定义1.2 [1] 称z z f ∆')(为)(z f w =在点z 的微分。

记为dw 或)(z df ，此时也称)(z f 在点z 可微，即z z f dw ∆'=)(。

注1.1 函数在某点可微与函数在某点可导是等价的。

定义1.3 [1] 若)(z f 在点0z 的某一邻域内可导，则称)(z f 在点0z 解析。

若)(z f 在区域D 上处处解析，则称)(z f 在区域（连通开集）D 上解析，也称)(z f 是区域D 上的解析函数。

定义 1.4[1] 称),(),,(y x v y x u 的一阶偏微分方程组xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,为柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann 方程，简记为C._R.方程）。

定义1.5 [1] 如果二元实函数),(y x H 在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程0=∆H （2222yx ∂∂+∂∂≡∆），则称),(y x H 为区域D 内的调和函数。

定义1.6 [1] 在区域D 内满足C._R.方程的两个调和函u 、v 中，v 称为u 在区域D 内的共轭调和函数。

定理1.1[1] 设函数)(z f 在复平面C 上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则⎰=Cdz z f 0)( 。

定理1.2[1] 设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，函数)(z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则有)()(21)(D z d z f i z f c∈-=⎰ςςςπ。

我们称定理1.2中的积分公式为Cauchy 积分公式。

下面我们文中要用到的几个记号。

设G 为复平面C 上的开集，所谓)(z f 的紧支集，记作)(sup z pf ，是指包含着集合{}0)(,≠∈z f G z 的（通常拓扑空间）最小闭集。

)(10G C 表示定义在G 上具有紧支集的1C 类函数（即iv u z f +=)(，且v u ,对y x ,有一阶连续偏导数）构成的空间。

ds 表示在C 上的面积元素。

∂表示由式)(21yf i x f f ∂∂+∂∂=∂中所定义的Cauchy-Riemann 算子，简记为C._R.算子。

[2]-[3] 定义1.7[5] 设G 是复平面C 上的一个开集，函数)(z f :C G →。

如果)(z f 是G 上的1C 类，且满足C._R.方程,则称)(z f 在G 上是解析的。

注1.2 结合Cauchy-Riemann 算子和C._R.方程，我们可以得到C._R.方程等价于0)(21=∂∂+∂∂=∂yf i x f f 。

引理1.1[5] 设G 是开集，)(z f :C G →是连续的，并且0=∂⋅⎰gds f ，对所有)(10G C g ∈，则函数)(z f 在G 上是解析的．最后，为了下文中研究用平均值条件来刻画解析性，先给出平均值条件的相关定义以及定理和引理。

记D y y y x x x ∈==),(),,(2121，D 为复平面C 上的有界区域，}|||{)(},|||{)(r x y y x B r x y y x B r r =-=∂≤-=。

定义1.7[6] 对 )()(D C x w ∈，(ⅰ)若对任意D x B r ⊂)(，有⎰∂=)()(21)(x B r ds s w r x w π，则称w 满足第一平均值条件。

(ⅱ)若对任意D x B r ⊂)(,有⎰=)(2)(1)(x B r dy y w r x w π，则称w 满足第二平均值条件。

定理1.2[6] 第一和第二平均值条件等价。

定理1.3[6] 若D x x w ∈=∆,0)(，则w 在D 内满足平均值条件。

定理1.4[6] 若 )(D C w ∈满足平均值条件，则)(D C w ∞∈且0)(=∆x w 。

引理1.2[6]（Weyl 引理）函数w 在D 内调和的充要条件为⎰=∆ΦD dx x x w 0)()(，)(20D C ∈Φ∀2. 解析函数若干等价性的证明及其应用2.1 解析函数的6个基本等价刻画命题2.1 函数)(z f 在区域D 内解析的充要条件是函数)(z f 在区域D 内可微（可导）。

证明：必要性可由解析函数的定义直接得到。

下证充分性：事实上，区域是连通的开集，故对D ∈∀0z ，总0>∃δ，使得 D U ⊂）（δ,z 0。

由条件得)(z f 在),z 0ς（U 上可微，从而根据点解析的概念得到)(z f 在0z 处解析，再由0z 的任意性得到)(z f 在D 上解析。

注2.1 ①此命题是对区域上解析函数定义的一点说明，可称其为解析函数最基本的等价命题。

但特别要指出的是根据点解析的概念，函数在点上的解析性与点上的可微性是不等价的。

②利用此命题可直接得到初等函数在其定义区间内是解析的。

如函数2)(z z f =是初等函数，故利用定理2.1，我们可以得到它在其定义区间C 上是解析的。

定理2.1[1] 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是二元函数 ),(y x u ,),(y x v 在区域D 内可微且满足C._R.方程。

证明：必要性：设)(z f 在)(D z iy x z ∈+=有导数ib a +,其中a 和b 都是实数。

若D z z ∈∆+ 则()()()(||)f z z f z a bi z o z +∆-=+∆+∆ )0|(|→∆z （2-1）其中0≠∆+∆=∆y i x z ，x ∆及y ∆为实增量。

比较（2-1）两边的实部和虚部，就得到(,)(,)u x x y y u x y a x b y o +∆+∆-=∆-∆+ （2-2）和(,)(,)v x x y y v x y b x a y o +∆+∆-=∆-∆+ （2-3） 其中)0)()((22→∆+∆y x 。

所以),(y x u 和),(y x v 在点iy x z +=可微，并且有xv b y u y v a x u ∂∂-=-=∂∂∂∂==∂∂,。

充分性：由此命题的充要条件得（2-2）和（2-3）。

用i 乘（2-3）式两边，再与（2-2）式两边相加，即可以得到（2-1），所以)(z f 在区域D 内解析。