大学物理参考答案第9章

第九章 静 电 场
9－1 电荷面密度均为＋σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图(A )放置，其周围空间各点电场强度E (设电场强度方向向右为正、向左为负)随位置坐标x 变化的关系曲线为图(B )中的( )
题 9-1 图 分析与解 “无限大”均匀带电平板激发的电场强度为0
2εσ
，方向沿带电平板法向向外，依照电场叠加原理可以求得各区域电场强度的大小和方向.因而正确答案为(B ). 9－2 下列说法正确的是( )
(A )
(B )(C )(D )分析与解 9－3 (A ) (B ) (C ) (D ) *9－4 子将( (A ) (B ) (C ) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p 水平指向棒尖端，同时逆电场线方向朝远离棒尖端移动 (D ) 沿顺时针方向旋转至电偶极矩p 水平方向沿棒尖端朝外，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动
题 9-4 图
分析与解 电偶极子在非均匀外电场中，除了受到力矩作用使得电偶极子指向电场方向外，还将受到一个指向电场强度增强方向的合力作用，因而正确答案为(B ).
9－5 精密实验表明，电子与质子电量差值的最大范围不会超过±10－21
e ，而中子电量与零差值的最大范围也不会超
过±10
－21
e ，由最极端的情况考虑，一个有8个电子，8个质子和8个中子构成的氧原子所带的最大可能净电荷是多少？
若将原子视作质点，试比较两个氧原子间的库仑力和万有引力的大小. 分析 考虑到极限情况， 假设电子与质子电量差值的最大范围为2×10
－21
e ，中子电量为10
－21
e ，则由一个氧原子所
包含的8个电子、8个质子和8个中子可求原子所带的最大可能净电荷.由库仑定律可以估算两个带电氧原子间的库仑力，并与万有引力作比较.
解 一个氧原子所带的最大可能净电荷为 二个氧原子间的库仑力与万有引力之比为
显然即使电子、质子、中子等微观粒子带电量存在差异，其差异在±10－21
e 范围内时，对于像天体一类电中性物体的
运动，起主要作用的还是万有引力.
9－6 1964年，盖尔曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克构成，中子就是由一个带e 3
2 的上夸克和两个带e 31-的
下夸克构成.若将夸克作为经典粒子处理(夸克线度约为10－20
m)，中子内的两个下夸克之间相距2.60×10－15
m .求它们之
间的相互作用力.
解 由于夸克可视为经典点电荷，由库仑定律
F 与径向单位矢量e r 方向相同表明它们之间为斥力. 9－7 点电荷如图分布，试求P 点的电场强度.
分析 依照电场叠加原理，P 点的电场强度等于各点电荷单独存在时在P 点激发电场强度的矢量和.由于电荷量为q
解 9－8 (2) 分析 P 的电场强度为(1) 若点(2) 若点P 的证 (1) E L/-L/P =⎰
(2) 当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度
此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(b )］.这说明只要满足r 2/L 2 ＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.
9－9 一半径为R 的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小.
题 9-9 图
分析 这仍是一个连续带电体问题，求解的关键在于如何取电荷元.现将半球壳分割为一组平行的细圆环，如图所示，从教材第9－3节的例2可以看出，所有平行圆环在轴线上P 处的电场强度方向都相同，将所有带电圆环的电场强度积分，即可求得球心O 处的电场强度.
解 将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元θθδδd sin π2d d 2⋅⋅==R S q ，在点O 激发的电场
强度为
由于平行细圆环在点O 激发的电场强度方向相同，利用几何关系θR x cos =，θR r sin =统一积分变量，有 积分得 0
2
/π0
04d cos sin 2εδ
θθθεδ⎰=
=E
9－10 水分子H 2O 中氧原子和氢原子的等效电荷中心如图所示，假设氧原子和氢原子等效电荷中心间距为r 0 .试计算在分子的对称轴线上，距分子较远处的电场强度.
题 9-10 图
分析 水分子的电荷模型等效于两个电偶极子，它们的电偶极矩大小均为00er P =，而夹角为2θ.叠加后水分子的电偶极矩大小为
θcos 20er p =，方向沿对称轴线，如图所示.由于点O 到场点A 的距离x ＞＞r 0 ，利用教材第5 －3 节
中电偶极子在延长线上的电场强度
可求得电场的分布.也可由点电荷的电场强度叠加，求电场分布. 解1 水分子的电偶极矩
解2 由于代入得
(-+r
x
20
2
9－11 的电场强度场力.
分析 (1) (2) 由即：F ＝λE .生作用力.
解 (1) (2) 设F ＋显然有F ＋＝9－12 .
分析 这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S ′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S 的电场强度通量.因而
方法2：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即⎰⋅=S
S d s E Φ
解1 由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有 依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元d S 的方向，
解2 取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为
9－13 地球周围的大气犹如一部大电机，由于雷雨云和大气气流的作用，在晴天区域，大气电离层总是带有大量的正电荷，云层下地球表面必然带有负电荷.晴天大气电场平均电场强度约为1
m V 120-⋅，方向指向地面.试求地球表面单位面积所带的电荷(以每平方厘米的电子数表示).
分析 考虑到地球表面的电场强度指向地球球心，在大气层中取与地球同心的球面为高斯面，利用高斯定理可求得高斯面内的净电荷.
解 在大气层临近地球表面处取与地球表面同心的球面为高斯面，其半径E R R ≈(E R 为地球平均半径).由高斯定理
地球表面电荷面密度 单位面积额外电子数
9－14 设在半径为R 的球体内电荷均匀分布，电荷体密度为ρ,求带电球内外的电场强度分布.
分析 电荷均匀分布在球体内呈球对称，带电球激发的电场也呈球对称性.根据静电场是有源场，电场强度应该沿径向球对称分布.因此可以利用高斯定理求得均匀带电球内外的电场分布.以带电球的球心为中心作同心球面为高斯面，依照高斯定理有
上式中i Q 是高斯面内的电荷量，分别求出处于带电球内外的高斯面内的电荷量，即可求得带电球内外的电场强度分布. 解 依照上述分析，由高斯定理可得
R r <时， 3
2π4π4r E r ρ=
R r >时， 9－15 λ.求离轴线为r 分析 .
解 r ＜R 1 ， R 1
＜r ＜R 2
r ＞R 2， 9－16 分析 W ′＝－W .(1)其中E (2) 根据电场力作功与电势能差的关系，有
其中V 0 是Q 1 、Q 3 在点O 产生的电势(取无穷远处为零电势). 解1 由题意Q 1 所受的合力为零 解得 Q Q Q 4
14132
-=-=
由点电荷电场的叠加，Q 1 、Q 3 激发的电场在y 轴上任意一点的电场强度为
将Q 2 从点O 沿y 轴移到无穷远处，(沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？)外力所作的功为 解2 与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时Q Q 4
1
2-=，并由电势
的叠加得Q 1 、Q 3 在点O 的电势
将Q 2 从点O 推到无穷远处的过程中，外力作功
比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多.
9－17 已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为
其中λ为电荷线密度.(1)求在r ＝r 1 和r ＝r 2 两点间的电势差；(2)在点电荷的电场中，我们曾取r →∞处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取？ 试说明. 解 (1) 由于电场力作功与路径无关，若沿径向积分，则有 (2) 不能.严格地讲，电场强度r e r
ελ
E 0π2=只适用于无限长的均匀带电直线，而此时电荷分布在无限空间，r →∞处的电势应与直线上的电势相等.
9－18 一个球形雨滴半径为0.40 mm ，带有电量1.6 pC ，它表面的电势有多大？ 两个这样的雨滴相遇后合并为一个较大的雨滴，这个雨滴表面的电势又是多大？
分析 势.
解 q 2＝2q 1 9－19 分析 .
解 9－20 (2) 分析 方法(1势..(2) 利
用电势叠加原理求电势.一个均匀带电的球面，在球面外产生的电势为 在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势
其中R 是球面的半径.根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布. 解1 (1) 由高斯定理可求得电场分布 由电势⎰
∞
⋅=
r
V l E d 可求得各区域的电势分布.
当r ≤R 1 时，有 当R 1 ≤r ≤R 2 时，有 当r ≥R 2 时，有
(2) 两个球面间的电势差
解2 (1) 由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内，即r ≤R 1 ，则 若该点位于两个球面之间，即R 1≤r ≤R 2 ，则
若该点位于两个球面之外，即r ≥R 2 ，则 (2) 两个球面间的电势差
9－21 一半径为R 的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，电荷的体密度为ρ.现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出分布曲线.
题 9-21 图
分析 无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称，其电场和电势的分布也呈轴对称.选取同轴柱面为高斯面，利用高斯定理
可求得电场分布E (r )，再根据电势差的定义
并取棒表面为零电势(V b ＝0)，即可得空间任意点a 的电势.
解 取高度为l 、半径为r 且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面，由高斯定理 当r ≤R 时
得
当r ≥R 时
得当r ≤R 时 当r ≥R 时
9－22 (2) 分析 解 (11)
(2) i i E ⎥⎦
⎢⎣+-=-
=22012d x R εx (2) 电场强度方向沿x 轴方向.
(3) 将场点至盘心的距离x ＝30.0 cm 分别代入式(1)和式(2)，得 当x ＞＞R 时，圆盘也可以视为点电荷，其电荷为C 1065.5π8
2-⨯==σR q .依照点电荷电场中电势和电场强度的计
算公式，有
由此可见，当x ＞＞R 时，可以忽略圆盘的几何形状，而将带电的圆盘当作点电荷来处理.在本题中作这样的近似处理，E 和V 的误差分别不超过
0.3％和0.8％，这已足以满足一般的测量精度.
9－23 两个很长的共轴圆柱面(R 1 ＝3.0×10－2
m ，R 2 ＝0.10 m )，带有等量异号的电荷，两者的电势差为450 Ｖ.求：(1) 圆柱面单位长度上带有多少电荷？(2) r ＝0.05 m 处的电场强度.
解 (1) 由习题9－15 的结果，可得两圆柱面之间的电场强度为 根据电势差的定义有
解得 181
2
120m C 101.2ln
/π2--⋅⨯==R R U ελ (2) 解得两圆柱面之间r ＝0.05m 处的电场强度
9－24 轻原子核(如氢及其同位素氘、氚的原子核)结合成为较重原子核的过程，叫做核聚变.在此过程中可以释放出巨大的能量.例如四个氢原子核(质子)结合成一个氦原子核(α粒子)时，可释放出25.9MeV 的能量.即
这类聚变反应提供了太阳发光、发热的能源.如果我们能在地球上实现核聚变，就能获得丰富廉价的能源.但是要实现核聚变难度相当大，只有在极高的温度下，使原子热运动的速度非常大，才能使原子核相碰而结合，故核聚变反应又称作热核反应.试估算：(1)一个质子(H 1
1)以多大的动能(以电子伏特表示)运动，才能从很远处到达与另一个质子相－15
分析 解 (1由k0
2
1E =(2) 得9－25 都用来使0 耗的能量为解 (1即可融化约(2) 9－26 已知水分子的电偶极矩p =6.17×10
－30
C· m .这个水分子在电场强度E ＝1.0 ×105 V · m -1
的电场中所受力矩的最
大值是多少?
分析与解 在均匀外电场中，电偶极子所受的力矩为
当电偶极子与外电场正交时，电偶极子所受的力矩取最大值.因而有
9-27 电子束焊接机中的电子枪如图所示，K 为阴极，A 为阳极，阴极发射的电子在阴极和阳极电场加速下聚集成一细束，以极高的速率穿过阳极上的小孔，射到被焊接的金属上使两块金属熔化在一起.已知V 105.24AK
⨯=U ，并设
电子从阴极发射时的初速度为零，求：（1）电子到达被焊接金属时具有的动能；（2）电子射到金属上时的速度. 分析 电子被阴极和阳极间的电场加速获得动能，获得的动能等于电子在电场中减少的势能.由电子动能与速率的关系可以求得电子射到金属上时的速度.
解 （1）依照上述分析，电子到达被焊接金属时具有的动能
(2)由于电子运动的动能远小于电子静止的能量，可以将电子当做经典粒子处理.电子射到金属上时的速度
题9-27。