第4章 养老保险问题——非线性方程求根的数值解法

f x
的符号
x f ( x)的符号
0 -
0.5 -
1.0 -
1.5 +
4.2.2
逐步搜索法
易见此方法应用关键在步长 h 的选择上。
很明显，只要步长 h 取得足够小，利用此法就 可以得到任意精度的根，但 h 缩小，搜索步数 增多，从而使计算量增大，用此方法对高精度 要求不合适。
4.2.3
二分法
代数方程求根问题是一个古老的数学问题。早在16 世纪就找到了三次、四次方程的求根公式。但直到19世 纪才证明了 n 5 次的一般代数方程式是不能用代数公 式求解的，因此需要研究用数值方法求得满足一定精度 的代数方程式的近似解。
在工程和科学技术中许多问题常归结为求解非线性方 程式问题。正因为非线性方程求根问题是如此重要和基 础，因此它的求根问题很早就引起了人们的兴趣，并得 到了许多成熟的求解方法。下面就让我们首先了解一下 非线性方程的基本概念。
化为等价方程
例4.2.3 对方程 f ( x) x sin x 0.5 0 可用不同的方法将其化为等价方程： （1）
（2）
x sin x 0.5g1 ( x)
x sin
1
x 0.5 g2 ( x)
•
定义4.2.2 （迭代法）设方程为 x g ( x) 取方程根的一个初始近 似 x ，且按下述逐次代入法，构造一个近似解序列：
• 定理4.2.1
设f ( x) 0 为具有复系数的 n 次代数方程，则
f ( x) 0 在复数域上恰有 n 个根（ r 重根计算
r 个）。如果
f ( x) 0为实系数方程，则复数根成对出现，即当: i 0 为 f ( x) 0 的复根，则 i 亦是 f ( x) 0 的根。
bk xk f ( xk )
ak
8
9 10 11
1.132813 1.132813 1.132813 1.133789
1.140625 1.136719 1.134766 1.134766
1.136719 0.020619 1.134766 0.4268415 1.133789 0.00959799 1.134277 0.0045915
4.2.2
逐步搜索法
• 例4.2.1 考察方程 f x x3 x 1 0 由于 f 0 1 0, f 2 5 0 则 f x 在 0, 2 内至少有一个根， 设从 出发，以 为步长向右进行根的搜索。列 x0 h 0.5 表记录各节点函数值的符号。可见在 内必有一根。 1.0,1.5 表4.2.1
h
地向右跨，每跨一步进行一次根的收索。即检查节点
b a ， 为正整数），一步一步 N N
xk a kh 上的函数值 f xk 的符号，若 f xk 0 ，则 xk 即 为方程解。若 f xk 0 ，则方程根在区间 [ xk 1 , xk ] 中，其
宽度为 h 。
二分法的优点是方法简单，且只要求 f ( x) 连续即可，可用二分法求出 f ( x) 0 在 a, b 内全部实根，但二分法不能求复 根及偶数重根，且收敛较慢，函数值计算次数 较多。
• 例4.2.2
用二分法求 f ( x)
1 3 10 2
x
6
x 1 在[1,2]内一
4.1.5
模型求解
• 在(4.1.4)中两式，取初始值，我们可以得到： p k Fk F0 (1 r ) [(1 r ) k 1], k 0,1,2,.., N r q k N Fk FN (`1 r ) [(1 r ) k N 1], k N 1,..., M r • 再分别取，k=N和k=M，并利用FM=0可以求出： q q M M N (1 r ) (1 )(1 r ) 0 p p 它是一个非线性方程。
lim xk x* 为方程




例4.2.4 对例4.2.1中方程考查用迭代法求根
• 二分法的步骤如下：记 a1 a ， b1 b
• 第1步：分半计算 k 1 ，将[a1,b1] 分半。计算中点
x a1 b1 及 2
f x1 。若 f (a1 ) f ( x1 ) 0 ，则根必在
[a1 , x1 ][a2 , b2 ] 内，否则必在 [ x1 , b1 ][a2 , b2 ] 内， （若 f ( x ) 0，则 x x1），于是得到长度一半的区间[a2 , b2 ] 1 含根,即 f (a2 ) f (b2 ) 0 ,且 b2 a2 1 (b1 a1 ) 。
0
x1 g x0 , x2 g x1 , xk 1 g xk
(4.2.5)
这种方法称为迭代法（或称为单点迭代法）， g ( x ) 称为迭代函数。
•
若由迭代法产生序列 有极限存在，即 ，称 为 lim xk x* 收敛或迭代过程 x收敛，否则称迭代法不收敛。若 xk连续， k k 且 ，则 ， x g (4.2.5)
4.1.2
模型分析
假设每月交费200元至60岁开始领取养老金，男子 若25岁起投保，届时养老金每月2282元；如35岁起保， 届时月养老金1056元；试求出保险公司为了兑现保险责 任，每月至少应有多少投资收益率？这也就是投保人的 实际收益率。
4.1.3
模型假设
这应当是一个过程分析模型问题。过程的结果在条
x lim lim g ( 即 的解（称 xk 1为函数 xk ) g lim xk g ( x ) 的不动点），显然 k k k k 在由方程 转化为等价方程 (4.2.4) x x g ( x时，选择不同的迭代 ) 函数 （即使初值 选择一样）且 f，就会产生不同的序列 x g ( x) ( x) 0 这些序列的收敛情况也不会相同。 xk x0 g ( x)
4.2 非线性方程求根的数值方法
4.2.1 根的搜索相关定义
• 定义4.2.1 设有一个非线性方程 f x 0，其中 量 x 的非线性函数。 • （1）如果 x有使 的零点。
f ( x ) 0
f ( x) 为实变
，则称 x为方程的根，或为 f x
• （2）当 f x 为多项式，即 f ( x) an xn an1xn1 ax a0 0 an 0 则称 f ( x) 0为 n次代数方程，( x) 包含指数函数或者三角函 f 数等特殊函数时，则称 f ( x) 0 为特殊方程。 • （3）如果 f ( x) ( x x )m g ( x) ，其中 g ( x ) 0 。 m 为正整数，则 称 x为 f ( x) 0 的 m 重根。当 m 1 时称 x为 f ( x) 0 的单根。
•
第 k 步（*分半计算）重复上述过程。
2
• 设已完成第1步…第 k 1 步，分半计算得到含根 区间 [a1 , b` ] [a2 , b2 ] [ak , bk ] ，且满 足 f (ak ) f (bk ) 0 ,即 x [ak , bk ] ， 1 bk ak k 1 (b a ) 即 ， 2 a b 则第k步的分半计算： xk k k ，且有：
在这里实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，保险 人账户上的资金数值。
4.1.4

模型建立
我们关心的是，在第M月时， FK 能否为非负 数？ 如果为正，则表明保险公司获得收益；如为负，则表明 保险公司出现亏损。当为零时，表明保险公司最后一无 所有，所有的收益全归保险人，把它作为保险人的实际 收益。 从这个分析来看，引入变量FK，很好地刻画了整个 过程中资金的变化关系；特别是引入收益率 r，虽然它 不是我们所求的保险人的收益率，但从问题系统环境中 来看，必然要考虑引入另一对象——保险公司的经营效 益，以此作为整个过程中各量变化的表现基础。
4.2.4
•
迭代法
迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方程，超 越方程及方程组的一种基本方法，但存在收敛性及收敛 快慢的问题。 用迭代法求解 f ( x) 0 的近似根，首先需将此方 程化为等价的方程：
•
x g ( x)
• 然而将 很多的。
(4.2.4)
(4.2.4) 的方法是
f ( x) 0
个实根，且要求精确到小数点后第三位。 （即 x * x k 解 ）
由 0.5 103代入公式(4.2.3) a 1, b 2) ， （
可确ຫໍສະໝຸດ Baidu所需分半次数为 k 11 ，计算结果部分如下表：
（显然 f (1) 1 0, f (2) 0 ）。
表4.2.2
K
部分计算结果
件一定时是确定的。整个过程可以按月进行划分，因为
交费是按月进行的。假设投保人到第月止所交保费及收
益的累计总额为，每月收益率为，用分别表示60岁之前 和之后每月交费数和领取数，N表示停交保险费的月份， M表示停领养老金的月份。
4.1.4
模型建立
在整个过程中，离散变量的变化规律满足：
Fk 1 Fk (1 r ) p, k 0,1,..., N 1 Fk 1 Fk (1 r ) q, k N ,..., M
科学计算与数学建模
—— 养老保险问题
中南大学数学科学与计算技术学院
第四章 养老保险问题
——非线性方程求根的数值解法
养老保险问题 非线性方程求根的数值方法
4.1 4.2
4.3
养老保险模型的求解
4.1 养老保险问题
4.1.1 问题的引入
养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将 提供不同的保险方案供以选择，分析保险品种的实际投 资价值。也就是说，如果已知所交保费和保险收入，则 按年或按月计算实际的利率是多少？或者说，保险公司 需要用你的保费实际至少获得多少利润才能保证兑现你 的保险收益？
f x 0
4.2.1
• 对非线性方程：
其中 f x 在 a, b 连续且 f a f b 0 无妨设 f x 在 a, b 内仅有一个零点。 求方程（ 4.2.1 ）的实根 x 的二分法过程， 就是将 a, b 逐步分半，检查函数值符号的变化， 以便确定包含根的充分小区间。
k
f ( x) 0 的实根 x 的近似值 • 可用二分法求方程 到任意指定的精度，这是因为：设 >0 为 给定精度要求，则由 x x b a ，可 2 得分半计算次数k应满足：
k k
•
•
ln b a ln k
ln 2
4.2.3
2 bk ak 1 x xk k b a 2 2

4.2.2
• 确定新的含根区间 [ak 1 , bk 1 ]，即如果 f (ak ) f ( xk ) 0 ， 则根必在 [ak 1 , bk 1 ][ak , xk ] 内，否则必 在 [ak 1 , bk 1 ] [ xk , bk ] 内，且有： 1 bk 1 ak 1 (b a ) 。总之，由上 k 2 述二分法得到序列 xk ，由(4.2.2) 有： lim xk x 。
• 定理4.2.2 设 f ( x) 在 a, b 连续,且 f (a) f (b) 0 ，则存 在 x a, b ，使得 f ( x ) 0 ，即 f x 在 a, b)内存在实零点。 （
4.2.2

逐步搜索法
对于方程 f x 0 ， x a, b，为明确起见， 设 f a 0 , f (b) 0 ，从区间左端点 x0 a ，出发按某个预 定步长 h （如取