全等三角形的存在性

第十七讲：全等三角形的存在性（讲义）

一、知识点睛

全等三角形存在性的处理思路

1.分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图

形间的对应关系及不变特征考虑分类．

2.画图求解：

①目标三角形确定时，根据对应关系分类，借助边相等、角相

等列方程求解；

②目标三角形不确定时，先从对应关系入手，再结合背景中的

不变特征分析，综合考虑边、角的对应相等和不变特征后列方程求解．

3.结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．

二、精讲精练

1.如图，抛物线C1经过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴的另

一个交点为E．

（1）求抛物线C1的解析式．

（2）设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线C2经过点E（抛物线C2与抛物线C1不重合），且顶点为

M(a，b)，对称轴与x轴交于点G，且以M，G，E为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形全等，求a，b的值．（只需写出结果，不必写出解答过程）

2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++与x 轴的一

个交点为A (-2，0)，与y 轴的交点为C ，对称轴是直线x =3，对称轴与x 轴交于点B ． （1）求抛物线的函数表达式．

（2）若点D 在x 轴上，在抛物线上是否存在点P ，使得 △PBD ≌△PBC ？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与

y 轴

交于点C (0，4)，对称轴直线2x =与x 轴交于点D ，顶点为M

且DM =OC +OD ．（1）求该抛物线的解析式．

（2）设点P (x ，y )是第一象限内该抛物线上的一动点，△PCD 的面积为S ，求

S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．

（3）设点Q 是y 轴右侧该抛物线上的一动点，若经过点Q 的直线QE 与y 轴交于点E ，是否存在以O ，Q ，E 为顶点的三角形与△OQD 全等？若存在，求出直线QE 的解析式；请说明理由．

4. 如图，在平面直角坐标系中，直线1l 过点A (1，0)且与

y 轴平

行，直线2l 过点B (0，2)且与x 轴平行，直线1l 与2l 相交于点P ．点

E 为直线2l 上一点，反比例函数k y x

=（0k >）的图象过点E 且

与直线1l 相交于点F ．

（1）若点E 与点P 重合，求k 的值．

（2）连接OE ，OF ，EF ．若2k >，且△OEF 的面积为△PEF 面积的2倍，求点E 的坐标．

（3）是否存在点E 及y 轴上的点M ，使得以M ，E ，F 为顶点的三角形与△PEF 全等？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

【参考答案】 1. （1）223y x x =-++

（2）a =7，b =2或a =7，b =-2或a =-1，b =2或a =-1，b =-2或

a =1，

b =-4或a =5，b =-4或a =5，b =4

2. （1）213442

y x x =-++

（2）

(18(18--+---，，

(4(4+， 3.（1）

21242y x x =-++（2）21

4(022

S x x x =-+<<+

（3）122y x =+，y =6或7

24

y x =

- 4.（1）2 （2）（3，2）（3）3(2)8，，8

(2)3，

学生做题前请先回答以下问题

问题1：全等三角形的判定有哪些？

问题2：全等三角形存在性问题中如何确定分类标准，分类标准确定的依据是什么？

问题3：全等三角形存在性问题的处理思路是什么？

问题4：全等三角形存在性问题与相似三角形存在性问题处理时的异同有哪些？

全等三角形的存在性（一）

1.如图1，直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点P(x，y)在直线y=-2x+4上，过点P作AB的垂线，与x轴、y轴分别交于点E，F．若△EOF与△AOB全等，则点P的坐标为( )

A. B.

C.

D.

2.如图2，已知点A，B 在抛物线上，且点A在第四象限，点B在第一象限，A，B 两点的横坐标满足方程．连接OB，OA，AB，将线段OB绕点O顺时针旋转90°得到线段OC．若D是坐标平面内一点，且△OAB和△OCD全等，则符合题意的点D的坐标为( )

图1 图2

A.

B.

C.

D.

3.如图3，抛物线经过三

点，线段BC与抛物线的对称轴相交于点D．P为该抛物线的顶点，

连接PA，AD，DP，线段AD与y轴相交于点E．若Q为平面直角坐

标系中的一点，且以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等，则

图3 点Q的坐标为( )

A. B.

C.

D.

学生做题前请先回答以下问题

问题1：全等三角形的判定有哪些？

问题2：全等三角形存在性问题的处理思路是什么？

全等三角形的存在性（二）

1.如图1已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，直线与x轴交于点D ．在第一象限内，若直线上存在点P，使得以P，B，D为顶点的三角形与△OBC全等，则点P的坐标为( )

A.（4，1），（0，3）

B.（4，1），（3，2）或（1，2）

C.（4，1），（0，3）或（3，2）

D.（4，1），（4，-1），（3，2）或（3，-2）

2.如图2，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是直线上不与A，B重合的动点．过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，若以B，C，D为顶点的三角形与△AOB全等，则点C的坐标为( )

A. B.

C.

D.图1 图2