现代设计方法复习题2

现代设计方法复习题

一、有限元部分

1 有限单元法中离散的含义是什么?

离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元，并在其上设定有限个节点；用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体，而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。

2 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质?单元刚度系数和整体刚度系数的物理意义是什么?两者有何区别?

答:单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零）。

整体刚度矩阵的性质：对称性、奇异性、稀疏性。

单元Kij物理意义Kij即单元节点位移向量中第j个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时，在第j个自由度方向引起的节点力。

整体刚度矩阵K中每一列元素的物理意义是：要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。

单元刚度系数[D]矩阵中任一元素Dij的物理意义为：要使微小单元体只在j方向发生单位应变，而其他方向不允许发生应变，则必须造成某种应力组合，在这种应力组合中，i方向应力分量为Dij。）

整体刚度矩阵有以下性质:

1. 整体刚度矩阵是对称矩阵

由单元刚度矩阵的对称性和整体刚度矩阵的组装过程，可知整体刚度矩阵必为对称矩阵。利用对称性，在计算机编写程序时，只存储整体刚度矩阵上三角或下三角部分即可。

2. 整体刚度矩阵中主对角元素总是正的

3. 整体刚度矩阵是稀疏矩阵，非零元素呈带状分布

4. 整体刚度矩阵是奇异矩阵，在排除刚体位移后，它是正定阵。

单元刚度矩阵的性质：1）对称阵 2）主对角线元素恒为正值 3）奇异阵，即|K|=0，

4）所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。

3什么是平面应力问题? 什么是平面应变问题?

（当结构的几何条件满足结构形状呈薄板型，载荷条件满足载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而板平面不受任何外力作用时，称为平面应力问题。）

平面应力问题讨论的弹性体为薄板，薄壁厚度远远小于结构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。而且薄板的两个表面不受外力作用。

m m j j i i m

m j j i i v N v N v N )y ,x (v u N u N u N )y ,x (u ++=++=平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是OXY 平面，则只有正应变εx ，εy 和剪应变γxy ，而没有εz ，γyz ，γzx 。

平面应变问题比如压力管道、水坝等，这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。

4. 弹性力学中的有几个主要物理量? 载荷移置的目的和任务是什么?

弹性力学中的几个主要物理量是载荷、应力、形变和位移。载荷移置的目的和任务是建立总刚度矩阵，将非节点载荷向节点载荷移植，载荷移置遵循 静力等效，即原载荷与移置产生的节点载荷在虚位移上所做的虚功相等。

5.从应用方面，有限元软件通常包含三部分：前处理部分，分析部分，后处理部分。

6.以三角形三节点单元为例说明形函数具有哪些性质？

7.有限元分析的基本思想及其求解步骤：

答：基本思想是先把一个原来是连续的物体剖分（离散）成有限个单元，而且他们相互连接在有限个节点上，承受等效的节点载荷，并根据平衡条件进行分析，然后根据变形协调条件把这些单元重新组合起来，成为一个组合体，再综合求解。由于单元的个数是有限的，结点数目也是有限的，所以称为有限元法。 求解步骤：结构离散化；确定单元位移模式；单元特性分析；整体分析；输出结果分析

二、优化设计部分

1．组成优化设计数学模型的三要素：设计变量，目标函数，约束条件

2．什么是内点惩罚函数法？什么是外点惩罚函数法？他们适用的优化问题是什么？在构造惩罚函数时，内点惩罚函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何不同？。

答：惩罚函数法是一种将有约束优化问题转化为无约束优化问题的计算方法，属于间接算法。

基本思想是用原问题的目标函数和约束函数构建一个新的目标函数，另外再引进一个可变的惩罚因子，当惩罚因子不断变化时，将得到一系列函数，求解每个新的目标函数的极值，直至收敛到原问题的最优点。当迭代的初始点和所有搜索点都在可行域内时，成为内点惩罚函数法。当系列函数极小值的逼近路径是从不可行域到原目标函数f （x ）的极小值点，成为外点惩罚函数法。

内点法：迭代初始点必须在可行域内；不能用于具有等式约束的数学模型；收敛较慢。 外点法：迭代初始点可随意选取，但需人工调整；迭代时间短，收敛快；可求解具有等式和不等式约束的问题；当问题的最优点不在边界时无法求解。

惩罚因子：内点法中，若r 0过小，则新目标函数在边界附近会出现狭窄谷地，会有跑到可行域外的危险，若r 0过大，则初始无约束最优点离边界很远，会使效率大大降低。r 0一般在1~50内选取。外点法中，初始惩罚因子R 0的选择要根据问题的不同进行估算和不断调整。

3．叙述无约束优化设计的主要方法。

间接法——要使用导数的无约束优化方法，如梯度法、 （阻尼）牛顿法、变 尺度法、共轭梯度法等。

直接法——只利用目标函数值的无约束优化问题，如坐标轮换法、鲍威尔法 和单纯形法等。

4．叙述约束优化设计的主要方法。

1）直接法：只能求解不等式约束优化问题的最优解。其根本做法是在约束条件所限制的可行域内直接求解目标函数的最优解。如：约束坐标轮换法、复合形法等。

2、间接法：该方法可以求解等式约束优化问题和一般约束优化问题。其基本思想是将约束优化问题通过一定的方法进行改变，将约束优化问题转化为无约束优化问题，再采用无约束优化方法进行求解。如：消元法，惩罚函数法，乘子法，拉格朗日乘子法。

习题

5、试用黄金分割法求函数()20

f ααα=+的极小点和极小值，设搜索区间

[][],0.2,1a b =（迭代一次即可）

解：显然此时，搜索区间[][],0.2,1a b =，首先插入两点12αα和，由式

()1()10.61810.20.5056b b a αλ=--=--=

()2()0.20.61810.20.6944a b a αλ=+-=+⨯-=

计算相应插入点的函数值()()4962.29,0626.4021==ααf f 。

因为()()12f f αα>。所以消去区间[]1,a α，得到新的搜索区间[]1,b α， 即[][][]1,,0.5056,1b a b α==。

第一次迭代：

插入点10.6944α=， 20.50560.618(10.5056)0.8111α=+-=

相应插入点的函数值()()1229.4962,25.4690f f αα==，