线段垂直平分线的性质及判定定理ppt课件
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时线段的垂直平分线的性质与判定课件
如果一条直线上的点到线 段两个端点的距离相等， 那么这条直线是这条线段 的垂直平分线。
学习垂直平分线的注意事项
理解定义
要深入理解垂直平分线的定义，掌握其几何意义 和性质。
掌握性质
要牢记垂直平分线的性质，并能够灵活运用。
培养能力
要通过练习培养自己的分析问题和解决问题的能力。
如何更好地掌握垂直平分线的知识
垂直平分线的定理
定理1
如果一条直线是线段AB的垂直平 分线，那么这条直线上的任意一 点到A和B的距离相等。
定理2
如果一条直线不是线段AB的垂直 平分线，那么这条直线上任意一 点到A和B的距离之差与到AB的距 离相等。
02 线段垂直平分线 的画法
利用尺规作图
确定线段中点
首先确定线段的中点，标记为C。
垂直平分线的数学表示
假设线段AB，点C是AB的中点，那么 AC和BC的垂直平分线就是直线CB。
垂直平分线的性质
性质1
垂直平分线上的任意一点到线段 两端点的距离相等。
性质2
线段两端点关于其垂直平分线对称。
性质3
垂直平分线是线段最短的路径。即 在给定两点A和B的情况下，AC和 BC的垂直平分线是A和B之以线段的中点 C为起点，绘制直线。
确定垂直平分线
以中点C为圆心，以线段长度为 半径，画一个圆。与第一步绘制 的直线相交于两点A和B。连接这 两点，得到的直线即为线段的垂
直平分线。
利用计算机软件作图
选择绘图软件 绘制线段
选择一个具有绘图功能的计算机软件，如Microsoft Visio、 AutoCAD等。
在物理学中的应用
力学
在物理学中，垂直平分线被广泛应用于力学中。例如，在研究物体的运动时，垂 直平分线可以用于确定物体的重心和转动惯量。
学习垂直平分线的注意事项
理解定义
要深入理解垂直平分线的定义，掌握其几何意义 和性质。
掌握性质
要牢记垂直平分线的性质，并能够灵活运用。
培养能力
要通过练习培养自己的分析问题和解决问题的能力。
如何更好地掌握垂直平分线的知识
垂直平分线的定理
定理1
如果一条直线是线段AB的垂直平 分线，那么这条直线上的任意一 点到A和B的距离相等。
定理2
如果一条直线不是线段AB的垂直 平分线，那么这条直线上任意一 点到A和B的距离之差与到AB的距 离相等。
02 线段垂直平分线 的画法
利用尺规作图
确定线段中点
首先确定线段的中点，标记为C。
垂直平分线的数学表示
假设线段AB，点C是AB的中点，那么 AC和BC的垂直平分线就是直线CB。
垂直平分线的性质
性质1
垂直平分线上的任意一点到线段 两端点的距离相等。
性质2
线段两端点关于其垂直平分线对称。
性质3
垂直平分线是线段最短的路径。即 在给定两点A和B的情况下，AC和 BC的垂直平分线是A和B之以线段的中点 C为起点，绘制直线。
确定垂直平分线
以中点C为圆心，以线段长度为 半径，画一个圆。与第一步绘制 的直线相交于两点A和B。连接这 两点，得到的直线即为线段的垂
直平分线。
利用计算机软件作图
选择绘图软件 绘制线段
选择一个具有绘图功能的计算机软件，如Microsoft Visio、 AutoCAD等。
在物理学中的应用
力学
在物理学中，垂直平分线被广泛应用于力学中。例如，在研究物体的运动时，垂 直平分线可以用于确定物体的重心和转动惯量。
16.2.1 线段垂直平分线的性质课件(共14张PPT) 冀教版数学八年级上册
线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等！
探究新知
符号语言： ∵直线l 垂直平分AB，点P在l上 ∴ PA =PB 作用：该结论常用来证明两条线段相等.
探究新知
学生活动二 【一起探究】
已知：如图，点A，B是直线l外任意两点，在直线l上，试确定一点P， 使得AP+BP最短.
探究新知
理由： 在l上另取一点M，连接MA,MB,MA' 由作图可知，l是AA'的中垂线 ∴AP=A'P,AM=A'M（线段垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等） ∴AP+BP=A'P+BP=A'B
AM+BM=A'M+BM 由“两点之间线段最短”可得A'B＜A'M+BM 即AP+BP最短
巩固练习
探究新知
猜想： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等！
探究新知
学生活动一 【一起探究】
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．
探究新知
证明：∵ l⊥AB ∴ ∠PCA =∠PCB
又∵ AC =CB，PC =PC ∴ △PCA ≌△PCB（SAS） ∴ PA =PB
巩固练习回顾反思Fra bibliotek课后作业
1.课本P 114 A组2,3题，B组1,2题 2.完成相关的练习第16章 第2节 第1 课时
第十六章 轴对称和中心对称
16.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质
学习目标
1.会进行线段垂直平分线的性质定理的证明； 2.理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题； 3.会作最短路径问题.
探究新知
符号语言： ∵直线l 垂直平分AB，点P在l上 ∴ PA =PB 作用：该结论常用来证明两条线段相等.
探究新知
学生活动二 【一起探究】
已知：如图，点A，B是直线l外任意两点，在直线l上，试确定一点P， 使得AP+BP最短.
探究新知
理由： 在l上另取一点M，连接MA,MB,MA' 由作图可知，l是AA'的中垂线 ∴AP=A'P,AM=A'M（线段垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等） ∴AP+BP=A'P+BP=A'B
AM+BM=A'M+BM 由“两点之间线段最短”可得A'B＜A'M+BM 即AP+BP最短
巩固练习
探究新知
猜想： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等！
探究新知
学生活动一 【一起探究】
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．
探究新知
证明：∵ l⊥AB ∴ ∠PCA =∠PCB
又∵ AC =CB，PC =PC ∴ △PCA ≌△PCB（SAS） ∴ PA =PB
巩固练习回顾反思Fra bibliotek课后作业
1.课本P 114 A组2,3题，B组1,2题 2.完成相关的练习第16章 第2节 第1 课时
第十六章 轴对称和中心对称
16.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质
学习目标
1.会进行线段垂直平分线的性质定理的证明； 2.理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题； 3.会作最短路径问题.
线段垂直平分线的性质及判定定理ppt课件
今天学习了线段的中垂线的性质、 及逆定理，你能由此联想到前面学过的 什么知识与此类似吗？
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
角的平分线
A
D
C
P
线段的垂直平分线
M P
O
E
B
定理1 在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。
它是真命题吗?
P
′ 如果是.请你证明它.
已知:如图,PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平分线上. A
B
分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线
上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB
的中点,),然后证明另一个结论正确.
想一想:若作出∠P的角平分线,结论是 否也可以得证?
驶向胜利 的彼岸
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
3、如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直 平分线上，AB、AC 、CE 的长度有什么关系？ AB+BD 与DE有什么关系？
A
AB=AC=CE
AB+BD=DE B D C
E
4 、已知:如图，AB=AC=8cm ,DE是AB边的中垂线 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 交AC于点E，BC=6cm，求△BEC的周长A
l
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB
P1A=P1B
……
P
由此你能得到什么规律？
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
角的平分线
A
D
C
P
线段的垂直平分线
M P
O
E
B
定理1 在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。
它是真命题吗?
P
′ 如果是.请你证明它.
已知:如图,PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平分线上. A
B
分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线
上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB
的中点,),然后证明另一个结论正确.
想一想:若作出∠P的角平分线,结论是 否也可以得证?
驶向胜利 的彼岸
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
3、如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直 平分线上，AB、AC 、CE 的长度有什么关系？ AB+BD 与DE有什么关系？
A
AB=AC=CE
AB+BD=DE B D C
E
4 、已知:如图，AB=AC=8cm ,DE是AB边的中垂线 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 交AC于点E，BC=6cm，求△BEC的周长A
l
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB
P1A=P1B
……
P
由此你能得到什么规律？
线段的垂直平分线的性质课件共17张PPT
A
P
O
B
课堂小结
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？
两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
P
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
与一条线段两个端点距离相
等的点，在这条线段的垂直平分
线上．
A C
B
探索并证明线段垂直平分线的判定
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？
能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
这些点能组成什么几何图形？
P
在线段AB 的垂直平分线l 上的
点与A，B 的距离都相等；反过来，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
l
P 用符号语言表示为：
∵ CA =CB，l⊥AB，
∴ PA =PB．
A
C
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
相等．
课堂练习
线段垂直平分线上的点与这条 线段两个端点的距离相等．
A
P3 P2
P1 B
l
探索并证明线段垂直平分线的性质
证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等．”
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点
P 在l 上．
求证：PA =PB．
l
P
A
C
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
证明：∵ l⊥AB，
与A，B 的距离相等的点都在直线l
上，所以直线l 可以看成与两点A、 A
P
O
B
课堂小结
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？
两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
P
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
与一条线段两个端点距离相
等的点，在这条线段的垂直平分
线上．
A C
B
探索并证明线段垂直平分线的判定
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？
能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
这些点能组成什么几何图形？
P
在线段AB 的垂直平分线l 上的
点与A，B 的距离都相等；反过来，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
l
P 用符号语言表示为：
∵ CA =CB，l⊥AB，
∴ PA =PB．
A
C
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
相等．
课堂练习
线段垂直平分线上的点与这条 线段两个端点的距离相等．
A
P3 P2
P1 B
l
探索并证明线段垂直平分线的性质
证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等．”
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点
P 在l 上．
求证：PA =PB．
l
P
A
C
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
证明：∵ l⊥AB，
与A，B 的距离相等的点都在直线l
上，所以直线l 可以看成与两点A、 A
线段的垂直平分线的性质与判定PPT教学课件
图4
(1)这样的仓库唯一吗？ (2)请多画出几个仓库的位置，它们在一条直线上吗，如果 在，这条直线和 AB 有什么关系？ (3)若要求仓库到两城的距离为 15 千米，则仓库的位置唯一 吗？该如何确定？
答案：略
1．在运算线段垂直平分线的性质定理时，注意是两个条件： 垂线和中点．
2．“点”是指线段垂直平分线上的任意一点，即其上每一 点都到(被垂直平分)线段的两个端点的距离相等．
线粒体
双层膜。是细胞呼吸（有氧呼吸）和能量代谢 的中心。细胞生命活动所需能量的95%来自线 粒体。
叶绿体
双层膜（光合膜）。 是绿色植物细胞进行光合作用的场所。 是重要的有色质体。 是植物细胞和藻类细胞中一类特殊的 细胞器，只存在进行光合作用的细胞 中。
液泡
液泡膜 液泡
细胞液
单层膜。含有无机盐、糖类、蛋白质、色素等。
3．线段的垂直平分线
第 1 课时 线段的垂直平分线的性质与判定
1．线段垂直平分线的性质定理及逆定理 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 ___相__等___． 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段
的__垂__直__平__分__线___上．Leabharlann 2．用尺规作线段的垂直平分线
中心体
没有膜。与细胞的有丝分裂 有关。存在于动物细胞和 某些低等植物的细胞(团藻)。
细胞骨架
骨架结构由肌动蛋白构成的蛋白质纤维（微丝）或 微管组成。与细胞运动、分裂、分化以及物质运输、 能量交换、信息传递等生命活动密切相关。
细胞溶胶
细胞质中除细 胞器以外的液体 部分为细胞溶胶。 细胞骨架位于细 胞溶胶中。内有 多种酶，是多种 代谢活动的场所。
图2
线段垂直平分线性质定理的逆定理(难点) 3.如图 3，AC＝AD，BC＝BD，则( B )
(1)这样的仓库唯一吗？ (2)请多画出几个仓库的位置，它们在一条直线上吗，如果 在，这条直线和 AB 有什么关系？ (3)若要求仓库到两城的距离为 15 千米，则仓库的位置唯一 吗？该如何确定？
答案：略
1．在运算线段垂直平分线的性质定理时，注意是两个条件： 垂线和中点．
2．“点”是指线段垂直平分线上的任意一点，即其上每一 点都到(被垂直平分)线段的两个端点的距离相等．
线粒体
双层膜。是细胞呼吸（有氧呼吸）和能量代谢 的中心。细胞生命活动所需能量的95%来自线 粒体。
叶绿体
双层膜（光合膜）。 是绿色植物细胞进行光合作用的场所。 是重要的有色质体。 是植物细胞和藻类细胞中一类特殊的 细胞器，只存在进行光合作用的细胞 中。
液泡
液泡膜 液泡
细胞液
单层膜。含有无机盐、糖类、蛋白质、色素等。
3．线段的垂直平分线
第 1 课时 线段的垂直平分线的性质与判定
1．线段垂直平分线的性质定理及逆定理 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 ___相__等___． 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段
的__垂__直__平__分__线___上．Leabharlann 2．用尺规作线段的垂直平分线
中心体
没有膜。与细胞的有丝分裂 有关。存在于动物细胞和 某些低等植物的细胞(团藻)。
细胞骨架
骨架结构由肌动蛋白构成的蛋白质纤维（微丝）或 微管组成。与细胞运动、分裂、分化以及物质运输、 能量交换、信息传递等生命活动密切相关。
细胞溶胶
细胞质中除细 胞器以外的液体 部分为细胞溶胶。 细胞骨架位于细 胞溶胶中。内有 多种酶，是多种 代谢活动的场所。
图2
线段垂直平分线性质定理的逆定理(难点) 3.如图 3，AC＝AD，BC＝BD，则( B )
线段的垂直平分线课件
定理应用
在几何作图和证明中，垂直平分线是重要的工具之一。通过 垂直平分线，我们可以找到一个点到线段两端点距离相等的 点，从而解决一些几何问题。
在实际生活中，垂直平分线的应用也十分广泛。例如，在建 筑、道路规划、通信等领域中，常常需要用到垂直平分线的 性质来解决问题。
PART 03
线段垂直平分线的作法
垂直平分线的判定
判定1
若一条直线过线段中点且与线段 所在直线垂直，则该直线为线段
的垂直平分线。
判定2
若一条直线与线段上的两点距离相 等，且该直线与线段所在直线垂直 ，则该直线为线段的垂直平分线。
判定3
若一条直线与线段所在直线垂直， 且该直线上的点到线段两端点的连 线形成的角均为直角，则该直线为 线段的垂直平分线。
详细描述
首先，确定已知线段和该线段的垂直 平分线。然后，使用直尺或三角板， 将垂直平分线与线段的两个端点连接 。最后得到的直线即为所求的垂直平 分线。
PART 04
线段垂直平分线的性质在 生活中的应用
REPORTING
三角形中的垂直平分线
总结词
三角形中的垂直平分线有助于确定顶点的位置和三角形的形状。
详细描述
在三角形中，垂直平分线通过顶点将相对边等分，有助于确定顶点的位置和三角形的形状。在几何学中，垂直平 分线的性质常用于解决与三角形相关的问题。
地球上的经纬线
总结词
地球上的经纬线是垂直平分线的应用实例，用于确定地理位置和方向。
详细描述
经纬线是地球表面上的垂直平分线系统，用于确定地球上任意地点的地理位置和方向。经纬线交汇的 点称为经纬度，是地理坐标的基础。
总结词：操作简单，适合快 速作图。
01
第一步，将三角板的一条直
垂直平分线的性质ppt课件
解:
∵DE是AB的垂直平分线 ∴EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线 段的两个端点的距离相等）
A D B
∵△BCE周长=CE+EB+BC 又∵AC=CE+EA=CE+EB
∴BC=△BCE周长-(CE+EB) =△BCE周长-AC =10cm
E C
21
做一做
已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA 于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB 长为15cm，求△PCD的周长。
22
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
PA=PB
分析：
点P在线段AB的 垂直平分线上
点P在线段BC的 垂直平分线上
A M
M’
P
PA=PB
PB=PC
B
PA=PB=PC
∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上
C N N’
18
例2：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90
度，DE是AB的垂直平分线，连
接AE，∠1：∠2=1：2，求∠B
的度数。
C
E
B
D
A
19
1题图
13
2、如图，在△ABC中，BC的
中垂线交斜边AB于D，图中相
等的线段有（ ）
A、1组
B、2组
C、3组
D、4组
1
2
14
∵DE是AB的垂直平分线 ∴EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线 段的两个端点的距离相等）
A D B
∵△BCE周长=CE+EB+BC 又∵AC=CE+EA=CE+EB
∴BC=△BCE周长-(CE+EB) =△BCE周长-AC =10cm
E C
21
做一做
已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA 于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB 长为15cm，求△PCD的周长。
22
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
PA=PB
分析：
点P在线段AB的 垂直平分线上
点P在线段BC的 垂直平分线上
A M
M’
P
PA=PB
PB=PC
B
PA=PB=PC
∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上
C N N’
18
例2：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90
度，DE是AB的垂直平分线，连
接AE，∠1：∠2=1：2，求∠B
的度数。
C
E
B
D
A
19
1题图
13
2、如图，在△ABC中，BC的
中垂线交斜边AB于D，图中相
等的线段有（ ）
A、1组
B、2组
C、3组
D、4组
1
2
14
《线段的垂直平分线》课件
详细描述
线段垂直平分线是数学竞赛中常用的解题工具之一。在数学竞赛中，常常会遇到一些复杂的几何问题 ，需要利用线段垂直平分线的性质来解决。通过深入理解线段垂直平分线的性质和定理，可以更好地 解决数学竞赛中的几何问题，提高解题效率。
THANK YOU
《线段的垂直平分线》PPT 课件
目录
• 引言 • 线段垂直平分线的性质证明 • 线段垂直平分线的作法 • 线段垂直平分线的应用实例
01
引言
什么是线段的垂直平分线是一条 过线段中点且垂直于线段 所在直线的直线。
性质
垂直平分线上的任意一点 到线段两端点的距离相等 。
详细描述
首先，连接两个给定点并确定中点。 然后，同样使用直角三角板或量角器 ，过中点作与线段垂直的垂线。最后 ，标记垂足，完成作图。
通过三个给定点作已知线段的垂直平分线
总结词
通过三个给定点作已知线段的垂直平分线的方法较为复杂，需要先确定三个点 的中点，然后过中点作垂线。
详细描述
首先，连接三个给定点并确定其中两个点的中点。然后，使用直角三角板或量 角器，过中点作与线段垂直的垂线。接着，再确定第三个点与前两个点的中点 ，重复上述步骤。最后，标记所有垂足，完成作图。
04
线段垂直平分线的应 用实例
线段垂直平分线在几何图形中的应用
总结词
解决几何图形问题
详细描述
线段的垂直平分线在几何图形中有着广泛的应用。它可以用来解决与线段、三角 形、四边形等有关的几何问题，例如线段的等分、角度的确定等。通过利用线段 垂直平分线的性质，可以简化几何图形的解题过程。
线段垂直平分线在日常生活中的应用
在三角形中，垂直平分 线将三角形分为两个面
积相等的子三角形。
线段垂直平分线是数学竞赛中常用的解题工具之一。在数学竞赛中，常常会遇到一些复杂的几何问题 ，需要利用线段垂直平分线的性质来解决。通过深入理解线段垂直平分线的性质和定理，可以更好地 解决数学竞赛中的几何问题，提高解题效率。
THANK YOU
《线段的垂直平分线》PPT 课件
目录
• 引言 • 线段垂直平分线的性质证明 • 线段垂直平分线的作法 • 线段垂直平分线的应用实例
01
引言
什么是线段的垂直平分线是一条 过线段中点且垂直于线段 所在直线的直线。
性质
垂直平分线上的任意一点 到线段两端点的距离相等 。
详细描述
首先，连接两个给定点并确定中点。 然后，同样使用直角三角板或量角器 ，过中点作与线段垂直的垂线。最后 ，标记垂足，完成作图。
通过三个给定点作已知线段的垂直平分线
总结词
通过三个给定点作已知线段的垂直平分线的方法较为复杂，需要先确定三个点 的中点，然后过中点作垂线。
详细描述
首先，连接三个给定点并确定其中两个点的中点。然后，使用直角三角板或量 角器，过中点作与线段垂直的垂线。接着，再确定第三个点与前两个点的中点 ，重复上述步骤。最后，标记所有垂足，完成作图。
04
线段垂直平分线的应 用实例
线段垂直平分线在几何图形中的应用
总结词
解决几何图形问题
详细描述
线段的垂直平分线在几何图形中有着广泛的应用。它可以用来解决与线段、三角 形、四边形等有关的几何问题，例如线段的等分、角度的确定等。通过利用线段 垂直平分线的性质，可以简化几何图形的解题过程。
线段垂直平分线在日常生活中的应用
在三角形中，垂直平分 线将三角形分为两个面
积相等的子三角形。
13.1.2.1 线段的垂直平分线的性质 课件(共22张PPT)人教版数学八年级上册
例5：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点， BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，连接BE.求证： BE垂直平分CD.
证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴∠EDB＝∠ACB＝90°.∵BD＝BC，BE＝BE， ∴Rt△BED≌Rt△BEC，点B在CD的垂直平分线上， ∴DE＝CE，∴点E在CD的垂直平分线上， ∴BE垂直平分CD.
13.1 轴对称
13.1.2线段的垂直平分线的性质
13.1.2.1 线段的垂直平分线的性质
学习目标
1.通过学生自主探究，理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定，会用 线段的垂直平分线的性质和判定解决简单的数学问题，培养学生解决问 题的能力.
2.学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操 作能力和逻辑推理能力.
4.如果将已知、求证换一下位置，还能成立吗？试着探究一下.
如图，已知 PA＝PB，
求证：点 P 在 AB 的垂直平分线上．
证明：如图，过点 P 作 AB 的垂线 l 交 AB 于点 C，
在
R
t△PAC
和
Rt△PB
C
中，
PA＝PB， CP＝CP，
∴R t △PAC≌R t △PB C(H L )．
∴AC＝BC.∴直线 l 垂直平分 AB，
∴点 P 在 AB 的垂直平分线上．
小组讨论
1.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平 分线ON交于点O，分别交BC于点D，E，△ADE的周长为5 cm. (1)求BC的长；(2)求证：点O在线段BC的垂直平分线上．
(1)解：∵OM，ON分别是线段AB，AC的垂直平分线， ∴AD＝BD，AE＝CE.∵△ADE的周长＝AD＋AE＋DE＝5 cm， ∴BC＝BD＋DE＋EC＝5 cm.
线段垂直平分线的性质定理及逆定理课件
基础习题2
已知线段AB的垂直平分线为OM，点 C在直线OM上，AC=5cm， BC=3cm，则AB=多少cm。
进阶习题
进阶习题1
已知线段AB的垂直平分线为OM，点C在 直线OM上，AC=3cm，BC=5cm，求 AB的长度。
VS
进阶习题2
已知线段AB的垂直平分线为OM，点C在 直线OM上，AC=6cm，BC=4cm，求 AB的长度。
理，△AMP≌△MBN，所以PM=PN。
证明逆定理2
假设线段AB上有两点C、D到直线l的距离相等，即CL=DL，取AB的中点M，连接MC 、MD、MN，由于∠CML=∠DML=90°，ML=ML，CL=DL，根据三角形的全等定理
，△CML≌△DML，所以CM=DM，根据中点的性质，CM+MA=DM+MB，所以 AC=BD，即线段AB被直线l垂直平分。
定理证明的注意事项
注意证明的逻辑严推理都是正确的，避免出现 逻辑漏洞。
注意使用正确的几何语言
在书写证明过程时，要使用规范的几何语言，确保表达的准确性和 严谨性。
注意检查结论是否符合题意
在得出结论后，要再次核对结论是否符合题目的要求，确保结论正 确无误。
04 定理的应用
定理在数学竞赛中的解题策略中的应用
在数学竞赛中，利用线段垂直平分线性质定理可以设计出一些巧妙的解题策略， 如利用对称性质简化问题、利用中点性质构造辅助线等。
05 习题与解答
基础习题
基础习题1
已知线段AB的垂直平分线与AB交于 点O，点C在直线OM上，CA=CB， 若AB=6cm，则AC=多少cm。
定理在几何图形中的应用
定理在三角形中的应用
线段垂直平分线性质定理可以用于证明三角形中的一些重要 性质，如等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线 性质等。
已知线段AB的垂直平分线为OM，点 C在直线OM上，AC=5cm， BC=3cm，则AB=多少cm。
进阶习题
进阶习题1
已知线段AB的垂直平分线为OM，点C在 直线OM上，AC=3cm，BC=5cm，求 AB的长度。
VS
进阶习题2
已知线段AB的垂直平分线为OM，点C在 直线OM上，AC=6cm，BC=4cm，求 AB的长度。
理，△AMP≌△MBN，所以PM=PN。
证明逆定理2
假设线段AB上有两点C、D到直线l的距离相等，即CL=DL，取AB的中点M，连接MC 、MD、MN，由于∠CML=∠DML=90°，ML=ML，CL=DL，根据三角形的全等定理
，△CML≌△DML，所以CM=DM，根据中点的性质，CM+MA=DM+MB，所以 AC=BD，即线段AB被直线l垂直平分。
定理证明的注意事项
注意证明的逻辑严推理都是正确的，避免出现 逻辑漏洞。
注意使用正确的几何语言
在书写证明过程时，要使用规范的几何语言，确保表达的准确性和 严谨性。
注意检查结论是否符合题意
在得出结论后，要再次核对结论是否符合题目的要求，确保结论正 确无误。
04 定理的应用
定理在数学竞赛中的解题策略中的应用
在数学竞赛中，利用线段垂直平分线性质定理可以设计出一些巧妙的解题策略， 如利用对称性质简化问题、利用中点性质构造辅助线等。
05 习题与解答
基础习题
基础习题1
已知线段AB的垂直平分线与AB交于 点O，点C在直线OM上，CA=CB， 若AB=6cm，则AC=多少cm。
定理在几何图形中的应用
定理在三角形中的应用
线段垂直平分线性质定理可以用于证明三角形中的一些重要 性质，如等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线 性质等。
垂直平分线课件
详细描述
首先，将圆规的两脚分开，分别置于 已知线段的两个端点上。然后，将圆 规的笔头置于线段的中点，旋转圆规 即可得到垂直平分线。
利用尺规作图作垂直平分线
总结词
尺规作图是一种更为精确的作图方法 ，通过尺规作图可以作出更为精确的 垂直平分线。
详细描述
首先，用直尺画出已知线段。然后， 用圆规以线段的中点为圆心，分别在 已知线段的两侧画弧。接着，用直尺 连接两个交点，即可得到垂直平分线 。
02
垂直平分线也是一条直线，它经 过线段的中点，并且与线段垂直 。
垂直平分线的图形定义
在几何图形中，垂直平分线通常用一 条通过线段中点并与线段垂直的虚线 表示。
这条虚线将线段分为两个相等的部分 ，并且与线段垂直。
垂直平分线的性质
垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等。 经过线段中点的直线是该线段的垂直平分线。
利用垂直平分线性质解决实际问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
垂直平分线的性质在实际问题中有着广泛的应用，如解决 几何作图问题、确定物体的位置等。
在几何作图问题中，利用垂直平分线的性质可以确定对称 点的位置。在解决实际问题时，如建筑、机械设计等领域 ，垂直平分线的性质可以帮助确定物体的位置和方向，简 化问题的解决过程。
垂直平分线的逆定理
总结词
垂直平分线的逆定理是，如果一条直线是某点的垂直平分线，则这条直线上有两点到该点的距离相等。
详细描述
垂直平分线的逆定理是一个与判定定理相反的结论。如果一条直线是某点的垂直平分线，那么在这条直线上存在 两个点，它们到该点的距离是相等的。这个逆定理常常用于证明两条线段相等，或者确定一个点是否在某条直线 上。
质等来进行判定。
首先，将圆规的两脚分开，分别置于 已知线段的两个端点上。然后，将圆 规的笔头置于线段的中点，旋转圆规 即可得到垂直平分线。
利用尺规作图作垂直平分线
总结词
尺规作图是一种更为精确的作图方法 ，通过尺规作图可以作出更为精确的 垂直平分线。
详细描述
首先，用直尺画出已知线段。然后， 用圆规以线段的中点为圆心，分别在 已知线段的两侧画弧。接着，用直尺 连接两个交点，即可得到垂直平分线 。
02
垂直平分线也是一条直线，它经 过线段的中点，并且与线段垂直 。
垂直平分线的图形定义
在几何图形中，垂直平分线通常用一 条通过线段中点并与线段垂直的虚线 表示。
这条虚线将线段分为两个相等的部分 ，并且与线段垂直。
垂直平分线的性质
垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等。 经过线段中点的直线是该线段的垂直平分线。
利用垂直平分线性质解决实际问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
垂直平分线的性质在实际问题中有着广泛的应用，如解决 几何作图问题、确定物体的位置等。
在几何作图问题中，利用垂直平分线的性质可以确定对称 点的位置。在解决实际问题时，如建筑、机械设计等领域 ，垂直平分线的性质可以帮助确定物体的位置和方向，简 化问题的解决过程。
垂直平分线的逆定理
总结词
垂直平分线的逆定理是，如果一条直线是某点的垂直平分线，则这条直线上有两点到该点的距离相等。
详细描述
垂直平分线的逆定理是一个与判定定理相反的结论。如果一条直线是某点的垂直平分线，那么在这条直线上存在 两个点，它们到该点的距离是相等的。这个逆定理常常用于证明两条线段相等，或者确定一个点是否在某条直线 上。
质等来进行判定。
线段的垂直平分线的性质课件ppt
平移等距性
在平移变换中，垂直平分线上的 点到线段两个端点的距离相等， 且等于平移的距离。
旋转变换中应用
旋转不变性
垂直平分线在旋转变换下保持不变， 即旋转后的图形仍然保持垂直平分线 的性质。
旋转等角性
以垂直平分线上一点为旋转中心，旋 转任意角度后，所得图形与原图形关 于该点对称。
对称变换中应用
对称中心
思路拓展与延伸
拓展1
探究线段垂直平分线与三角形的关系。例如，已知三角形ABC 中，D是AB的中点，DE垂直于AC于点E，求证：DE是AB的垂 直平分线。
拓展2
将线段垂直平分线的性质应用于实际问题中。例如，在建筑 设计或工程测量中，如何利用线段的垂直平分线性质来确定 某点的位置或某线段的长度。
易错点提示与防范策略
THANKS
感谢观看
线段的垂直平分线是对称中心，即关于垂直平分线的对称点连线的中点就是垂 直平分线与线段的交点。
对称轴
线段的垂直平分线也是对称轴，即关于垂直平分线对称的两个图形是全等的。
05
典型例题解析与思路拓展
典型例题解析
例题1
已知线段AB和点C，D分别是AB，BC的中点，求证：CD是AB的垂直平分线。
解析
根据中点的定义，可知AC=CB，BD=DA。因为CD是AB的中线，所以CD垂直于AB。 又因为AC=CB，所以角ACD=角BCD，从而角ADC=角BDC。根据角平分线的性质， 可知CD平分角ADB，所以CD是AB的垂直平分线。
性质1
垂直平分线上的任意一点 到线段两端的距离相等。
性质2
线段的垂直平分线是其对 称轴，即线段关于垂直平 分线对称。
判定方法
判定定理
一条直线是某线段的垂直 平分线当且仅当该直线过 线段的中点且与该线段垂 直。
在平移变换中，垂直平分线上的 点到线段两个端点的距离相等， 且等于平移的距离。
旋转变换中应用
旋转不变性
垂直平分线在旋转变换下保持不变， 即旋转后的图形仍然保持垂直平分线 的性质。
旋转等角性
以垂直平分线上一点为旋转中心，旋 转任意角度后，所得图形与原图形关 于该点对称。
对称变换中应用
对称中心
思路拓展与延伸
拓展1
探究线段垂直平分线与三角形的关系。例如，已知三角形ABC 中，D是AB的中点，DE垂直于AC于点E，求证：DE是AB的垂 直平分线。
拓展2
将线段垂直平分线的性质应用于实际问题中。例如，在建筑 设计或工程测量中，如何利用线段的垂直平分线性质来确定 某点的位置或某线段的长度。
易错点提示与防范策略
THANKS
感谢观看
线段的垂直平分线是对称中心，即关于垂直平分线的对称点连线的中点就是垂 直平分线与线段的交点。
对称轴
线段的垂直平分线也是对称轴，即关于垂直平分线对称的两个图形是全等的。
05
典型例题解析与思路拓展
典型例题解析
例题1
已知线段AB和点C，D分别是AB，BC的中点，求证：CD是AB的垂直平分线。
解析
根据中点的定义，可知AC=CB，BD=DA。因为CD是AB的中线，所以CD垂直于AB。 又因为AC=CB，所以角ACD=角BCD，从而角ADC=角BDC。根据角平分线的性质， 可知CD平分角ADB，所以CD是AB的垂直平分线。
性质1
垂直平分线上的任意一点 到线段两端的距离相等。
性质2
线段的垂直平分线是其对 称轴，即线段关于垂直平 分线对称。
判定方法
判定定理
一条直线是某线段的垂直 平分线当且仅当该直线过 线段的中点且与该线段垂 直。
《线段的垂直平分线》课件
《线段的垂直平分线》课件
目录
• 线段与垂直平分线基本概念 • 构造垂直平分线方法 • 垂直平分线与相关几何图形关系 • 垂直平分线在解决实际问题中应用 • 知识点总结与回顾 • 练习题及解答环节
01 线段与垂直平分线基本概 念
线段定义及性质回顾
01
02
03
线段定义
直线上两个点和它们之间 的所有点组成的图形叫做 线段。
关键概念梳理
线段的垂直平分线定义
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条 线段的垂直平分线。
线段的中点
线段上的一点，把线段分成两条相等的部分，这个点叫做线段的中 点。
垂直
两直线相交成直角时，称这两条直线互相垂直。
重要性质归纳
线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
利用尺规作图法
准备工具
直尺和圆规是尺规作图 的基本工具，需确保工 具准确无误。
确定线段
在图纸上确定需要作垂 直平分线的线段AB。
作法步骤
首先以线段AB的两个端 点为圆心，以大于线段 AB长度的一半为半径画 弧，两弧交于两点C和D； 然后连接CD，直线CD 即为线段AB的垂直平分 线。
使用几何画板辅助构造
在四边形中应用举例
在平行四边形中
平行四边形的对角线互相平分，因此可以利用垂直平分线的性质来证明对角线 的性质。
在菱形中
菱形的对角线互相垂直且平分，垂直平分线可以应用于证明菱形的性质和判定。
拓展到多边形和圆中
在多边形中
对于任意多边形，可以通过连接多边形的顶点与对边的中点，构造出多条垂直平 分线。这些垂直平分线会相交于多边形的质心，质心具有一些重要的几何性质。
目录
• 线段与垂直平分线基本概念 • 构造垂直平分线方法 • 垂直平分线与相关几何图形关系 • 垂直平分线在解决实际问题中应用 • 知识点总结与回顾 • 练习题及解答环节
01 线段与垂直平分线基本概 念
线段定义及性质回顾
01
02
03
线段定义
直线上两个点和它们之间 的所有点组成的图形叫做 线段。
关键概念梳理
线段的垂直平分线定义
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条 线段的垂直平分线。
线段的中点
线段上的一点，把线段分成两条相等的部分，这个点叫做线段的中 点。
垂直
两直线相交成直角时，称这两条直线互相垂直。
重要性质归纳
线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
利用尺规作图法
准备工具
直尺和圆规是尺规作图 的基本工具，需确保工 具准确无误。
确定线段
在图纸上确定需要作垂 直平分线的线段AB。
作法步骤
首先以线段AB的两个端 点为圆心，以大于线段 AB长度的一半为半径画 弧，两弧交于两点C和D； 然后连接CD，直线CD 即为线段AB的垂直平分 线。
使用几何画板辅助构造
在四边形中应用举例
在平行四边形中
平行四边形的对角线互相平分，因此可以利用垂直平分线的性质来证明对角线 的性质。
在菱形中
菱形的对角线互相垂直且平分，垂直平分线可以应用于证明菱形的性质和判定。
拓展到多边形和圆中
在多边形中
对于任意多边形，可以通过连接多边形的顶点与对边的中点，构造出多条垂直平 分线。这些垂直平分线会相交于多边形的质心，质心具有一些重要的几何性质。
《线段的垂直平分线》PPT课件
练习
1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交 AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC= 80°， 求∠CAE的度数.
答：∠CAE=50°.
2.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且 AC =BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.
证明： ∵ AC =BC，AD=BD， ∴ 点C和点D在线段AB的垂直平分线上， ∴ CD为线段AB的垂直平分线.
练习
用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要 求写出作法）.
1. 如图，在直线l上求作一点P，使PA= PB.
已知：如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点P,
求证：点P也在AC的垂直平分线上
证明：连接AP,BP,CP.
∵点P在线段AB的垂直平分线上, A
∴PA=PB
同理,PB=PC.
中考 试题
例
如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直
平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE 的周长等于18cm，则AC的长等于（ C ）.
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
解析 ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).
又∵在△BCE中，
∴EB=EA ∴△AEC的周长
=AC+CE+EA
C E
=AC+CE+EB
=AC+BC
B
=4+5 =9
D A
做一做
已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA 于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB 长为15cm，求△PCD的周长。
M A
E C
线段垂直平分线的性质和判定课件
线段垂直平分线的性质表明，线段垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距离相等。这一性质通过几何证明得到了验证，同时引出了垂直平分线的判定方法，即如果一个点到线段两端点的距离相等，那么这个点必定在线段的垂直平分线上中证明某条线是垂直平分线，或在四边形中利用垂直平分线的性质求解相关问题。通过多个例题的分析与解答，可以深入理解和掌握垂直平分线的性质与判定方法，提高解决几何问题的能力。
人教版八年级上册数学第十三章课垂直平分线的性质ppt课件
解：∵ AD⊥BC，BD =DC， A ∴ AD 是BC 的垂直平分线，
∴ AB =AC．
∵ 点C 在AE 的垂直平
分线上，
∴ AC =CE．
B DC
E
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
课堂练习
练习2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的 垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
探索并证明线段垂直平分线的判定
用数学符号表示为：
∵ PA =PB，
P
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
与一条线段两个端点距离相
等的点，在这条线段的垂直平分
线上．
A C
P 在l 上．
求证：PA =PB．
l
P
A
C
B
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
探索并证明线段垂直平分线的性质
证明：∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB．
P3
相等．
P2
你能用不同的方法验证
这一结论吗？
A
P1 B
l
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
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A
M E
B F N
精品
7
2、如图线段MN被直线AB
√ 垂直平分，则ME=NE M
AE
B
N
精品
8
3、如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直 平分线上，AB、AC 、CE 的长度有什么关系？ AB+BD 与DE有什么关系？
A
AB=AC=CE
AB+BD=DE B D C
E
精品
9
4 、已知:如图，AB=AC=8cm ,DE是AB边的中垂线 交AC于点E，BC=6cm，求△BEC的周长A
解：∵ DE是AB边的中垂线 （已知），
∴AE=BE（线段垂直平分线上的点 D
和这条线段两个端点的距离相等）．
E
∵AC=8cm（已知）,
∴AE+EC=BE+EC=8cm （等式性质）.
又∵ BC=6cm（已知）
有垂直平B 分 线，就有等 腰三角形的
C
∴ C△BEC=BE+EC+BC
产生
=8+6=14cm
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）.
精品
4
定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个 端点的距离相等。
M
P
A
B
精品
N5
M P
A
B
N
∵点P在线段AB的垂直平分线上（已知）
∴PA=PB （线段垂直平分线上的点和这条线段
两个端点的距离相等。 ）
精品
6
1、如图直线MN垂直平 分线段AB，则AE=AF
相等的所有点的集合
两个端点距离相等的所有点的集合
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
精品
18
精品
19
精品
2
动起来！
已知直线l垂直平分线段AB，垂足为C；在l上
l
任取一点P，连结PA、PB；
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB
P1A=P1B
……
P
由此你能得到什么规律？
命题：线段垂直平分线
上的点与这条线段两个端点 A
的距离相等。
●P1
B
C
精品
3
猜测（命题）1：线段垂直平分线上的点与
这条线段理
精品
1
1. 理解和掌握线段的垂直平分线的性质和判 定，并能利用它们来进行证明或计算。
2. 通过经历线段的垂直平分线的性质与判定 的证明过程，体验逻辑推理的数学方法。
3. 了解数学和生活的紧密联系，培养用数学 的能力。
1.掌握线段垂直平分线的性质和判定。
2.运用线段的垂直平分线的性质和判定解题。
上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB
的中点,),然后证明另一个结论正确.
想一想:若作出∠P的角平分线,结论是
否也可以得证?
精品
驶向胜利 的彼岸
11
逆定理
逆定理 与一条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上.
老师提示:这个结论是经常用来
证明点在直线上(或直线经过某一点) 的根据之一.
同两个理端，点距离相等的点，在这条线段的垂
∵直点平P分在线B上C的）垂直平分线上
结∴论P：B=三PC角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三 角∴形P三A=个PB顶=P点C 的距离相等。
精品
16
今天学习了线段的中垂线的性质、 及逆定理，你能由此联想到前面学过的 什么知识与此类似吗？
精品
17
角的平分线
A
D
C
P
线段的垂直平分线
M P
O
E
B
定理1 在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。
A
B
N
定 理 线段垂直平分线上的点和这 条线段两个端点的距离相等。
定理2 到一个角的两边的距离相等 逆定理 和一条线段两个端点距离相
的点，在这个角的平分线上。
等的点，在这条线段的垂直平分线上。
角的平分线是到角的两边距离 线段的垂直平分线可以看作是和线段
A
M
B
C
精品
15
如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平
A
分线交于点P。
（21）求点证P是：否PA也=在PB边=PACC。的垂直平分线
证上明呢:？由此你能得出什么结论？
P
解∵: 点P在AB的垂直平分线上
∴∵PPAA==PPCB（线段垂直平分线上的点与 B
C
这∴条点线P在段A的C的两垂个直端平点分的线距上离（相与等一）条线段
已知：如图，直线l⊥线段AB,垂足为C, 且AC=CB.
求证：PA=PB
l
证明：∵ l⊥AB 于点C （已知）, ∴ ∠PCA= ∠PCB=90°（垂直的定义） P
在 △PAC和△PBC中，
AC=BC（已知）,
∠PCA= ∠PCB（已证）,
PC=PC（公共边）
∴ △PAC ≌△ PBC（SAS）.
AC B
驶向胜利
的彼岸
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12
M P
A
B
N
∵ PA=PB（已知）
∴点P在线段AB的垂直平分线上 （和一条线段两个端点 距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上）
精品
13
1、如图PA=PB，则直线MN 是线段AB的垂直平分线。
M
P
A
B
N
精品
14
2、如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是
线段BC的垂直平分线吗？
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10
进步的标志
析思
你能写出定理 “线段垂直平分线上 考
的点与这条线段两个端点距离相等” 分
的逆命题吗? 逆命题 与一条线段两个端点距离相等的点,在这条
线段的垂直平分线上.
它是真命题吗?
P
′ 如果是.请你证明它.
已知:如图,PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平分线上. A
B
分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线
M E
B F N
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7
2、如图线段MN被直线AB
√ 垂直平分，则ME=NE M
AE
B
N
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8
3、如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直 平分线上，AB、AC 、CE 的长度有什么关系？ AB+BD 与DE有什么关系？
A
AB=AC=CE
AB+BD=DE B D C
E
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9
4 、已知:如图，AB=AC=8cm ,DE是AB边的中垂线 交AC于点E，BC=6cm，求△BEC的周长A
解：∵ DE是AB边的中垂线 （已知），
∴AE=BE（线段垂直平分线上的点 D
和这条线段两个端点的距离相等）．
E
∵AC=8cm（已知）,
∴AE+EC=BE+EC=8cm （等式性质）.
又∵ BC=6cm（已知）
有垂直平B 分 线，就有等 腰三角形的
C
∴ C△BEC=BE+EC+BC
产生
=8+6=14cm
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）.
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4
定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个 端点的距离相等。
M
P
A
B
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N5
M P
A
B
N
∵点P在线段AB的垂直平分线上（已知）
∴PA=PB （线段垂直平分线上的点和这条线段
两个端点的距离相等。 ）
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6
1、如图直线MN垂直平 分线段AB，则AE=AF
相等的所有点的集合
两个端点距离相等的所有点的集合
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
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精品
19
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2
动起来！
已知直线l垂直平分线段AB，垂足为C；在l上
l
任取一点P，连结PA、PB；
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB
P1A=P1B
……
P
由此你能得到什么规律？
命题：线段垂直平分线
上的点与这条线段两个端点 A
的距离相等。
●P1
B
C
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3
猜测（命题）1：线段垂直平分线上的点与
这条线段理
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1
1. 理解和掌握线段的垂直平分线的性质和判 定，并能利用它们来进行证明或计算。
2. 通过经历线段的垂直平分线的性质与判定 的证明过程，体验逻辑推理的数学方法。
3. 了解数学和生活的紧密联系，培养用数学 的能力。
1.掌握线段垂直平分线的性质和判定。
2.运用线段的垂直平分线的性质和判定解题。
上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB
的中点,),然后证明另一个结论正确.
想一想:若作出∠P的角平分线,结论是
否也可以得证?
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驶向胜利 的彼岸
11
逆定理
逆定理 与一条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上.
老师提示:这个结论是经常用来
证明点在直线上(或直线经过某一点) 的根据之一.
同两个理端，点距离相等的点，在这条线段的垂
∵直点平P分在线B上C的）垂直平分线上
结∴论P：B=三PC角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三 角∴形P三A=个PB顶=P点C 的距离相等。
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16
今天学习了线段的中垂线的性质、 及逆定理，你能由此联想到前面学过的 什么知识与此类似吗？
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17
角的平分线
A
D
C
P
线段的垂直平分线
M P
O
E
B
定理1 在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。
A
B
N
定 理 线段垂直平分线上的点和这 条线段两个端点的距离相等。
定理2 到一个角的两边的距离相等 逆定理 和一条线段两个端点距离相
的点，在这个角的平分线上。
等的点，在这条线段的垂直平分线上。
角的平分线是到角的两边距离 线段的垂直平分线可以看作是和线段
A
M
B
C
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15
如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平
A
分线交于点P。
（21）求点证P是：否PA也=在PB边=PACC。的垂直平分线
证上明呢:？由此你能得出什么结论？
P
解∵: 点P在AB的垂直平分线上
∴∵PPAA==PPCB（线段垂直平分线上的点与 B
C
这∴条点线P在段A的C的两垂个直端平点分的线距上离（相与等一）条线段
已知：如图，直线l⊥线段AB,垂足为C, 且AC=CB.
求证：PA=PB
l
证明：∵ l⊥AB 于点C （已知）, ∴ ∠PCA= ∠PCB=90°（垂直的定义） P
在 △PAC和△PBC中，
AC=BC（已知）,
∠PCA= ∠PCB（已证）,
PC=PC（公共边）
∴ △PAC ≌△ PBC（SAS）.
AC B
驶向胜利
的彼岸
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M P
A
B
N
∵ PA=PB（已知）
∴点P在线段AB的垂直平分线上 （和一条线段两个端点 距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上）
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1、如图PA=PB，则直线MN 是线段AB的垂直平分线。
M
P
A
B
N
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2、如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是
线段BC的垂直平分线吗？
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进步的标志
析思
你能写出定理 “线段垂直平分线上 考
的点与这条线段两个端点距离相等” 分
的逆命题吗? 逆命题 与一条线段两个端点距离相等的点,在这条
线段的垂直平分线上.
它是真命题吗?
P
′ 如果是.请你证明它.
已知:如图,PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平分线上. A
B
分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线