§1-6 线性时不变系统的基本特性

y ( ) d
t
四、因果性与稳定性
LTI系统的因果性与稳定性，在后续章节将会讲到。 以上系统特性，虽是以连续时间系统为例介绍的，但 是离散时间系统也有同样的特性。 系统还有其他重要特性，比如频率响应特性。本课和 后续课程将会学到与用到。
x(t )
系统
y(t ) x(2t )
x(t )
1 1 1
y (t )
t
1 2
1
t
x(t )
系统
y(t ) x(2t )
x(t )
1 1 1
y (t )
t
1 2
1
t
x(t 1)
1 1 1
y1 (t ) y (t 1 ) 2
2
t
1 2
1
t
所以系统是一时变系统。
综合线性与时不变性，可表示为：
k 1 N k 1 N N N
y (t ) ak yk (t ) 0 yk (t ) 0
k 1 k 1
而
y(t ) ax(t ) b a 0 b b
即在零输入时，系统输出不为零。这部分不为零的输出， 称为系统的零输入响应。
二、时不变性
x(t )
x(t )
1 1
y (t )
1
x1 (t )
0百度文库
t
x2 (t )
0
1
2
t
0
1
t
y1 (t )
1 1 1 2
3
y2 (t )
1
0
1
2
t
0
t
0
1
2
3
4
t
三、连续时间系统的微积分性
1、微分性
x(t )
y (t )
LTI系统
x(t )
y(t )
2、积分性
t
x(t )
y (t )
LTI系统

x ( ) d
x(t ) ak xk (t )
k 1 N
y (t ) ak yk (t )
k 1
N
再例如： 设系统的输入输出之间的关系为： y(t ) ax(t ) b
y1 (t ) ax1 (t ) b x(t ) x1 (t ) x2 (t ) y(t ) a[ x1 (t ) x2 (t )] b y1 (t ) y2 (t ) y2 (t ) ax2 (t ) b
x(t ) ak xk (t t k )
k 1 N
y (t ) ak yk (t t k )
k 1
N
系统同时满足线性与时不变性，称为线性时不变系统， 记为LTI(linear-time-invariant)系统。
例如： 设LTI系统的输入x(t)与输出y(t)之间的关系由下图描述， 试作出当输入分别为x1(t)与x2(t)时，输出y1(t)与y2(t)的波 形图。
x(t t0 )
系统
y (t )
y (t t0 )
例如：设系统的输入输出之间的关系为：
y (t ) tx(t )
y1 (t ) tx(t t0 ) y (t t0 )
系统是时变的。 y(t t0 ) (t t0 ) x(t t0 ) 因为 再如： 设系统的输入输出之间的关系为：
y(t ) t[ x1 (t ) x2 (t )] tx1 (t ) tx2 (t ) y1 (t ) y2 (t ) x(t ) ax1 (t ) y(t ) tx(t ) atx1 (t ) ay1 (t )
系统是线性系统。 综合叠加性与齐次性，线性可表示为：
§1.6 线性时不变系统
一、 线性 线性包含叠加性与均匀（齐次）性。 1、叠加性：
若
x1 (t ) x2 (t )
x(t ) x1 (t ) x2 (t )
系统
y1 (t ) y2 (t ) y(t ) y1 (t ) y2 (t )
称系统满足叠加性。
2、齐次性
x(t ) axi (t )
y(t ) ayi (t )
称系统满足齐次性。同时满足叠加性与齐次性的系统称为 线性系统。
例如： 设系统的输入输出之间的关系为： x(t ) y (t ) tx(t )
y1 (t ) tx1 (t ) y2 (t ) tx2 (t )
系统
y(t ) tx(t )
x(t ) x1 (t ) x2 (t )
y(t ) ax(t ) b
y1 (t ) ax(t t0 ) b y (t t0 )
所以系统是时不变的。
判断一个系统是否满足某种特性，只要能找到一个例 子不满足，就可证明其不满足此特性。
例如： 设系统的输入输出之间的关系为： y(t ) x(2t ) 即如图所示：
系统不满足叠加性，所以不是线性系统。而且
x(t ) cx1 (t ) y(t ) ax(t ) b acx1 (t ) b cy1 (t )
系统也不满足齐次性。
由线性，可以得到系统的一个结果是：在全部时间上系 统输入为零，必然输出为零，即零输入产生零输出。
x(t ) ak xk (t ) 0 xk (t ) 0