§1-6 线性时不变系统的基本特性
线性时不变系统
2）积分特性或求和特性：
若 T{ f(t)}=y(t)
则
t
t
T{ f ( )d} y( )d
若 T{f[k]}= y[k] 则
对序列求和后仍是一个序列
k
k
T{ f [n]} y[n]
n
n
[例] 已知LTI系统在f1(t)激励下产生的响应为y1(t) ， 试求系统在f2(t)激励下产生的响应 y2(t) 。
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
解: (2) 求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t)
由输入f (t)的形式，设方程的特解为
yp(t) = Cet
t>0
将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
0.5(1 e 2(t1) )u(t
1)
连续时间LTI系统的响应
经典时域分析方法 卷积法
零输入响应求解 零状态响应求解
连续时间LTI系统的响应
1. 经典时域分析方法: 求解微分方程 2. 卷积法:
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
y(t) yx (t) y f (t) yx (t) f (t) * h(t)
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
解:
(3) 求方程的全解
y(t)
yh (t)
《信号与系统教学课件》§1.6系统模型及其分类
目录
系统模型及其分类概述 线性时不变系统模型 非线性系统模型 时变系统模型 离散时间系统模型
01
CHAPTER
系统模型及其分类概述
01
02
03
系统模型是对实际系统的抽象和描述，它反映了系统的基本特性和行为。
系统模型可以用各种形式表示，如数学公式、框图、状态方程等。
系统模型是进行系统分析、设计和优化的基础。
图像处理
非线性系统在控制工程中用于实现复杂系统的稳定控制和优化控制。
控制工程
非线性系统在生物医学工程中用于研究人体生理系统的动态特性和生理信号处理。
生物医学工程
非线性系统的应用
04
CHAPTER
时变系统模型
时变系统是指系统的参数随时间变化的系统。
时变系统的特性会随时间发生变化，因此其行为更加复杂和不可预测。
系统模型的定义
线性时不变系统
这种系统在输入信号和输出信号之间具有线性关系，且系统参数不随时间变化。
非线性时不变系统
这种系统在输入信号和输出信号之间具有非线性关系，且系统参数不随时间变化。
时变系统
这种系统的参数随时间变化，因此其行为也随时间变化。
离散时间系统
这种系统的行为在离散时间点上描述，通常用差分方程或离散状态方程表示。
通过建立和解决差分方程来分析离散时间系统的动态行为。
离散时间系统的分析方法
数字信号处理
离散时间系统广泛应用于数字信号处理领域，如音频处理、图像处理、雷达信号处理等。
控制工程
离散时间系统在控制工程中用于描述和设计数字控制系统。
通信工程
在通信工程中，离散时间系统用于数字信号的传输和处理，如数字调制解调、数字滤波等。
1.6 线性时不变系统
x[n] x[k] [n k] k
y[n] x[k]h[n k] k
表明：因为输入能分解成δ[n]的加权和， 所以输出能表示成h[n]的同样形式的加权和。
EXAMPLE
x[n] 2 [n 2] 3 [n] [n 3]
y[n] x[k]h[n k] 2h[n 2] 3h[n] h[n 3] k
EXAMPLE
let,x[n] [n], then,y[n] h[n]
(1) y[n] 2x[n], h[n] 2 [n]
(2) y[n] x[n] 0.5 x[n 50]
1, n 0 h[n] [n] 0.5 [n 50] 0.5, n 50
0
(3) y[n] x[n k]
,
h[n]
0
,
the corresponding output is
y[0] x[0 k]h[k]
k
h*[k]
h[k]
| h[k] | .
k,k0 | h[k ] |
k ,k 0
Therefor,if h[n] is not absolutely summable,it is possible for
a bounded input to produce an unbounded output.
A LTI system can be completely characterized by h[n]
y[n] T{x[n]}
T
x[k][n
k]
k
linear
x[k]T[[n k]] k
T{ [n]}h[n]
x[k]h[n k] x[n]h[n]
time-invarient k
线性时不变系统
x(k∆τ).∆τ.h(t −k∆τ)
则系统对输入x(t)的总响应为所有冲激响应之和： 则系统对输入x(t)的总响应为所有冲激响应之和： x(t)的总响应为所有冲激响应之和
yf (t) ≈ ∑x(k∆τ).∆τ.h(t −k∆τ)
当：
∞
∆τ →dτ,k∆τ →τ
∞ −∞
∞
k=−∞
求和符号改为积分符号
x1 (t ) = e −t 和x2 (t ) = 5e −t 求分别输入
时的输出y(t)。 。 时的输出
解：
y1 (t ) = (e −2t + e − t )u (t )
y2 (t ) = (−3e
−2 t
+ 5e )u (t )
−t
2.2 单位冲激响应
单位冲激响应： 单位冲激响应：线性时不变系统在单位冲激信 的激励下产生的零状态响应。 表示。 号 δ (t ) 的激励下产生的零状态响应。用h(t)表示。 表示 即：
x(t) = ∫ x(τ )δ (t −τ )dτ
−∞
y f (t) = ∫ x(τ )h(t −τ )dτ
上述积分是x(t)与h(t)之间的一种二元运算， 上述积分是x(t)与h(t)之间的一种二元运算，用 x(t) 之间的一种二元运算 y(t)=x(t)*h(t)表示 表示。 y(t)=x(t)*h(t)表示。即
第二章 线性时不变系统 （LTI：Linear Time Invarient) ：
重点： 重点： 理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质； 理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质； 掌握LTI系统的性质； 系统的性质； 掌握 系统的性质 难点： 难点： 深刻理解卷积积分与卷积和的概念； 深刻理解卷积积分与卷积和的概念；
线性时不变系统及其特性.ppt
e ( t ) rt ( ) 1 1 e ( t ) et ( ) rt ( ) rt ( ) 1 2 1 2 et ( ) rt ( ) 2 2
e1 (t)
H H
H
r1 ( t )
r2 ( t )
r1 (t) r2 (t)
e2 (t)
e1 (t) e2 (t)
d A r ( t ) 1 0 A r ( t )5 A e ( t ) d t 原方程两端乘A：
d r ( t ) A 1 0 r ( t )5 A e ( t ) d t
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性
t 0( 1 )
t 0( 2 )
t 0
r ( 0 ) e ( 0 ) e (2 )
现在的响应=现在的激励+以前的激励
所以该系统为因果系统。
例： 微分方程 r 所代表的系统是否是因果系统 ( t ) e ( t ) e ( t 2 ) 解：
t 0
r ( 0 ) e ( 0 ) e (2 )
e( t )
r (t )
O
T
t
O
t
e( t t 0 )
r (t t 0 )
O t0
t0 T
t
O
t0
t
二．时变系统与时不变系统
判断方法 先时移，再经系统＝先经系统，再时移
f (t )
H
H f (t )
DE
y (t )
f (t )
y (t )
f (t )
若 则
未来的激励
所以该系统为非因果系统。
定义 一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系 统的时间起点无关，称为非时变系统，否则称为时变系统。 分析： 电路分析上看：元件的参数值是否随时间而变 从方程看：系数是否随时间而变 从输入输出关系看：
随机过程的线性时不变性
随机过程的线性时不变性随机过程是概率论中的一个重要概念，它描述了一系列随机事件的演化规律。
而线性时不变性则是随机过程的一个重要性质，它在多个领域中都有广泛的应用。
本文将着重介绍随机过程的线性时不变性，包括定义、性质、应用等方面。
一、定义随机过程的线性时不变性是指在时间上平移或者缩放随机过程，其统计性质保持不变。
具体而言，设X(t)为一个随机过程，若对于任意时间T，任意实数a和b，都有aX(t-T) + b具有与X(t)相同的统计性质，那么称X(t)具有线性时不变性。
二、性质1. 均值和方差不变性：设X(t)具有线性时不变性，那么它的均值E[X(t)]和方差Var[X(t)]在时间平移或缩放下保持不变。
证明：由于均值和方差的定义都是对于随机变量的期望，因此只需证明E[aX(t-T)+b] = E[X(t)]和Var[aX(t-T)+b] = Var[X(t)]即可。
根据线性时不变性的定义，有E[aX(t-T)+b] = aE[X(t-T)] + b，Var[aX(t-T)+b] = a^2Var[X(t-T)]，由于X(t)具有相同的均值和方差，因此E[X(t)] =E[X(t-T)]，Var[X(t)] = Var[X(t-T)]。
2. 相关性不变性：设X(t)具有线性时不变性，并且X(t)与X(t-T)的相关系数为ρ，则aX(t-T)+b与X(t)的相关系数也为ρ。
证明：设Y1 = X(t)与Y2 = X(t-T)，由相关系数的性质，有ρ =Cov(Y1, Y2) / (σ(Y1)σ(Y2))，其中Cov(Y1, Y2)为Y1与Y2的协方差，σ(Y1)和σ(Y2)分别为Y1和Y2的标准差。
根据线性时不变性的定义，有Y1 = X(t)，Y2 = X(t-T)，则aY2 + b = aX(t-T) + b，则Cov(Y1, aY2 + b) = Cov(X(t), aX(t-T)+b) = aρ(σ(X(t))σ(X(t-T))，同时有σ(Y1) = σ(X(t))，σ(Y2) = σ(X(t-T))，因此ρ' = Cov(Y1, aY2 + b) / (σ(Y1)σ(aY2+b)) = aρ。
§1.8 线性时不变系统及其特性
f1 (t )
H [ f1 (t )]
H [ f 2 (t ) ]
C1
f 2 (t )
H []
C2
C2 H [ f 2 (t )]
∑
C1 H [ f1 (t )] + C2 H [ f 2 (t )]
若
H [C1 f1(t) + C2 f2 (t)] = C1H [ f1(t)] + C2H [ f2 (t)]
H
r (t) 1
r2 (t)
r1 (t)+ r2 (t)
H
H
信号与系统
一．线性系统与非线性系统
e1(t) e2 (t)
α1e1 (t ) + α 2 e2 (t )
线性： 线性：
H
H
H
r (t) 1
r2 (t)
α1r1 (t ) + α 2 r2 (t )
α1e1(t) +α2e2 (t) →α1r (t) +α2r2 (t) 1
是线性系统，否则是非线性系统。 H[] 是线性系统，否则是非线性系统。
则系统
注意：系统非零状态单独处理。 注意：系统非零状态单独处理。
信号与系统
一．线性系统与非线性系统
判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统? 例：判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统 d r(t) +10r(t) + 5 = e(t) t >0 dt 解：设信号 e(t) 作用于系统，响应为 r(t) 作用于系统， 作用于系统时，若此系统具有线性， 当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
信号与系统
一．线性系统与非线性系统
先线性运算，再经系统＝先经系统， 判断方法 先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算
线性时不变系统
u (n)
k
(k ) (n k )
k 0
n
对任何离散时间信号 x(n) ,如果每次从其中取出
(t ) h(t ) 于是系统对任意输入 x(t ) 的响应 可表示为： y(t ) x( )h(t )d x(t ) h(t )
k
x ( k ) h( n k ) ，
h( n)
h(1) 1
h(0) 2 h(1) 0
h(2) 3 h(3) 1
x(0) x(1) x(2) x(3) x ( n) 1 0 2 1
y(1)
1 2 0 3
0 0 0 0
2 4 0 6
1 2 0 3
y (0)
y(1)
y (2)
y (3)
二. 卷积积分（The convolution integral） 与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统 对 (t )的响应为 h (t )，则该系统对 x(t ) 的响应可
表示为： y(t ) x( )h (t )d
若系统是时不变的，即：若 (t ) h(t )，则有:
n h( n) 0
x(k )
1
0n4 otherwise
1, 0 n 6
otherwise
h(n k ) nk
k
0kn60源自4n① n 0 时，
y ( n) 0
n n k 0 k 0
第一章 09线性时不变系统
线性时不变系统主要内容线性系统12时不变系统线性时不变系统3满足叠加、比例(齐次、均匀)性(1) 分解性线性系统的三个条件：系统响应可分解为：零输入响应+零状态响应y (t )=y zi (t )+y zs (t )(2)零输入线性(3)零状态线性线性系统的定义：y zi (t )是零输入响应，y zs (t )是零状态响应1、线性系统(2)零输入线性叠加性与比例性。
输入为零时，由各初始状态{x 1(0),x 2(0), ⋅⋅⋅,x n (0)}引起的响应满足则nk =1∑a k x k (0) 若x k (0) →y zik (t )(k =1~n )n ∑→a k y zik (t )k =1零输入响应满足叠加、比例(齐次、均匀)性(3) 零状态线性初始状态为零时，由各激励f 1(t )、f 2(t )、⋅⋅⋅、f m (t ) 引起的响应具有叠加性与比例性（均匀性）。
若f k (t ) →y zsk (t )则m∑b k f k (t ) →k =1m ∑b k y zsk (t ) k =1零状态响应满足叠加、比例(齐次、均匀)性(k =1~m )y (t )=2+4f (t )例讨论具有如下输入、输出关系的系统是否线性。
解f 2 (t ) →y 2(t )= 2+4f 2(t )f 1 (t ) +f 2(t ) →不满足零输入线性，是非线性系统。
2+4[f 1 (t )+ f 2(t )]≠y 1 (t )+ y 2(t )=4+4[f 1 (t )+ f 2(t )]f 1 (t ) →y 1(t )= 2+4f 1(t)y (t )=2+4f (t )=y zi (t )+y zs (t )在初始状态相同的情况下，系统响应与激励加入的时刻无关。
系统参数不随时间变化的系统，也称非时变系统、常参系{x 1(0),x 2(0), ⋅⋅⋅,x n (0)}{x 1(t 0)= x 1(0),x 2(t 0)=x 2(0), ⋅⋅⋅,}f (t −t 0)→y (t −t 0)f (t )→y (t )时不变系统定义统，定常系统等；系统参数随时间变化的是时变系统，也称变参系统。
§1.6线性时不变系统
§1.6线性时不变系统•线性系统与非线性系统•时变系统与时不变系统•因果系统与非因果系统•稳定系统与不稳定系统通信与信息工程学院江帆一、系统的定义若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。
电子系统是电子元器件的集合体。
电路侧重于局部，系统侧重于全部。
电路、系统两词通用。
二、系统的分类及性质可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，提出对系统进行分类的方法。
下面讨论几种常用的分类法。
1. 连续系统与离散系统若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号也是连续信号，则称该系统为连续时间系统，简称为连续系统。
若系统的输入信号和输出信号均是离散信号，则称该系统为离散时间系统，简称为离散系统。
2. 动态系统与即时系统若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。
含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。
否则称即时系统或无记忆系统。
3. 线性系统与非线性系统满足线性性质的系统称为线性系统。
（1）线性性质系统的激励f (·)所引起的响应y(·) 可简记为y(·)= T[ f (·)]系统f (·)y (·)线性性质包括两方面：齐次性和可加性。
若系统的激励f (·)增大a倍时，其响应y(·)也增大a倍，即T[a f(·)] = a T[ f (·)]则称该系统是齐次的。
若系统对于激励f1(·)与f2(·)之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，即T[f1(·)+ f2(·)] = T[ f1(·)]+T[ f2(·)] 则称该系统是可加的。
若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的，即T[a f 1(·) + b f 2(·)] = a T[ f 1(·)] + bT[ f 2(·)]()()t e t e 2211αα+H()()t r t r 2211αα+)()()()(22112211t t t t r r e e αααα+→+H()t e 2()t r 2H)(1t e ()t r 1（2）动态系统是线性系统的条件动态系统不仅与激励{ f(·) }有关，而且与系统的初始状态{x(0)}有关。
第2章__线性时不变系统
g (t ) u(t ) h(t ) h()d
求系统零状态响应举例：如图所示系统， hD (t ) (t 1 ) hG (t ) u(t ) u(t 3) ， ，输入 x(t ) u(t ) u (t 1)，求零状态响应y（t）
k
h[k ]x[n k ]
2、分配律
x[n] (h1[n] h2 [n]) x[n] h1[n] x[n] h2 [n]
x(t ) (h1 (t ) h2 (t )) x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
物理意义： （1）LTI系统对两个输入的和的响应等于对 单个输入响应的和
y[n]
k
x[k ]h [n]
k
• 若该线性系统又是时不变的 ，则有
hk [n] h[n k ]
其中h[n]是系统输入为δ[n]时的零状态响应, 称为单位脉冲(样本)(序列)响应 y[n] x[k ]h[n k ] 所以对LTI系统,有 ： k 对照卷积的定义，有： y[n] x[n] h[n] 称为卷积和
通信中的编码器都是可逆的 例： y(t ) 2 x(t ) w(t ) 1 y(t )
2
y[n]
k
x[k ]
n
w[n] y[n] y[n 1]
不可逆：
y[n] c
y(t ) x (t )
2
2.2.3 因果性
因果系统 ：系统在任何时刻的输出只决定于现在 的输入以及过去的输入
y (t )
因此当 h(t ) dt 时，输出为有界-充分性 亦可证必要性 h(t ) dt 连续时间LTI系统的稳定性 离散时间LTI系统的稳定性 h[n]
§1.8 线性时不变系统的性质
X
第
2. 判断方法
4 页
先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算
f1 t
C1 C1 f1 t
f2 t
C2 C2 f2 t
H
HC1 f1 t C2 f2 t
f1 t H H f1t C1 C1H f1 t
f2 t H H f2 t C2 C2 H f2 t
系统的这种特性称为因果特性。
符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统)。
2.判断方法
输出不超前于输入
X
第
3.实际的物理可实现系统均为因果系统
10 页
非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信 号的压缩、扩展，语音信号处理等。
若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度 等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。
4.因果信号
t = 0接入系统的信号称为因果信号。 表示为：
e(t) e(t)u(t) 相当于t 0,e(t) 0
X
§1.8 线性时不变系统的性质
•线性系统与非线性系统 •时变系统与时不变系统 •线性时不变系统的微分特性 •因果系统与非因果系统
中北大学信息与通信工程学院
第
一．线性系统与非线性系统
2 页
1.定义
线性系统：指具有线性特性的系统。
线性:指均匀性叠加性。
均匀性(齐次性)：
et rt ket krt
叠加性：
e1 e2
(t (t
) )
r1 r2
((tt))
e1
(t
)
e2
(t
)
r1
(t
)
r2
第二章 线性时不变系统
hh[nn − k ) = α ( −k]
n−k
k
0
k
n−6
0
4
n
13
x[n]
h[n]
h[n-k]0 1 2 3 4
1.
0 123456
n<0
0≤n≤4
y[n] = 0
y[n] = ∑ a n − k
k =0 n
n-6 n n-6 n
0
2.
3. n > 4
n−6 < 0 y[n] = ∑ a n − k
( ] h[n)
( ] 因此，只要得到了LTI LTI系统对 因此，只要得到了LTI系统对 δ [n)
的响应
单位脉冲响应(impulse response)， 单位脉冲响应(impulse response)，
就可以得到LTI系统对任何输入信号 就可以得到LTI系统对任何输入信号 LTI 响应： 响应：
−∞ 0
宽度的区段， 对一般信号 x (t ) ，可以分成很多 ∆ 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x ∆ (t ) 近似表示 x (t ) .当 ∆ → 0 时，
x∆ (t ) → x(t )
17
于是： 于是：
x(t) = ∫ x(τ )δ (t −τ )dτ
−∞
∞
表明： 任何连续时间信号 x(t ) 都可以被分解为移位 表明： 加权的单位冲激信号的线性组合。 加权的单位冲激信号的线性组合。
y[n] =
若系统具有时不变性， 若系统具有时不变性，即：
k = −∞
∑ x[k ] h [n]
k
∞
[]
∞
[ ] h[ ] 则 若 δ (n) → h( n) ， :
第2章线性时不变系统
对于连续时间信号而言，我们也可以 利用冲激函数的抽样性质来推导系统输出 的卷积表示。
冲激函数的选择性质是这样的：
x(t ) (t t0 ) x(t0 ) (t t0 )
由于冲激函数是偶函数，
[t t0 ] [(t t0 )] [t0 t ]
于是有，
x( ) (t )d x(t ) (t )d
x(t ) (t )d
=1
x(t )
我们就得到了一个结论，可以将连续时间函数
x(t ) 表示为：
x(t )＝
x( ) (t )d
2.2.2 卷积积分
2 0 0 t t
1 t 2
y(t 1) x1 ( )d (1 )d (1 t 1) (1 (t 1) 2 ) / 2
t 1 t 1 1 1
1 2 t 2 2
t 1
y(t ) 0
t 3
1 t 2
y(t ) (t 1) (t 1) / 2 t / 2 1/ 2
例题2.1 已知一个LTI系统的输入信号为，x[n] （
n
u[n]
0 1
），该LTI系统的单位冲激响应为， ，试求该LTI系统的输出
h[n] u[n]
x[n]
y[n]
h[n]
解：
y[n] x[n] * h[n]
k
x[k ]h[n k ]
h[n]
h[k ]
n
h[k ]
k
h[n k ]
k
n
k
h[n k ]
§1-6 线性时不变系统的基本特性
y (t ) ak yk (t ) 0 yk (t ) 0
k 1 k 1
而
y(t ) ax(t ) b a 0 b b
即在零输入时，系统输出不为零。这部分不为零的输出， 称为系统的零输入响应。
二、时不变性
x(t )
x(t ) ak xk (t )
k 1 N
y (t ) ak yk (t )
k 1
N
再例如： 设系统的输入输出之间的关系为： y(t ) ax(t ) b
y1 (t ) ax1 (t ) b x(t ) x1 (t ) x2 (t ) y(t ) a[ x1 (t ) x2 (t )] b y1 (t ) y2 (t ) y2 (t ) ax2 (t ) b
所以系统是时不变的。
判断一个系统是否满足某种特性，只要能找到一个例 子不满足，就可证明其不满足此特性。
例如： 设系统的输入输出之间的关系为： y(t ) x(2t ) 即如图所示：
x(t )
系统
y(t ) x(2t )
x(t )
1 1
y(t )
1
t
1 2
1
t
x(t )
系统
y(t ) x(2t )
y(t ) ayi (t )
称系统满足齐次性。同时满足叠加性与齐次性的系统称为 线性系统。
例如： 设系统的输入输出之间的关系为： x(t ) y(t ) tx(t )
y1 (t ) tx1 (t ) y2 (t ) tx2 (t )
系统
y(t ) tx(t )
x(t ) x1 (t ) x2 (t )
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一、 线性 线性包含叠加性与均匀（齐次）性。 1、叠加性：
若
x1 (t ) x2 (t )
x(t ) x1 (t ) x2 (t )
系统
y1 (t ) y2 (t ) y(t ) y1 (t ) y2 (t )
称系统满足叠加性。
2、齐次性
x(t ) axi (t )
x(t t0 )
系统
y (t )
y (t t0 )
例如：设系统的输入输出之间的关系为：
y (t ) tx(t )
y1 (t ) tx(t t0 ) y (t t0 )
系统是时变的。 y(t t0 ) (t t0 ) x(t t0 ) 因为 再如： 设系统的输入输出之间的关系为：
y(t ) ax(t ) b
y1 (t ) ax(t t0 ) b y (t t0 )
所以系统是时不变的。
判断一个系统是否满足某种特性，只要能找到一个例 子不满足，就可证明其不满足此特性。
例如： 设系统的输入输出之间的关系为： y(t ) x(2t ) 即如图所示：
x(t ) ak xk (t t k )
k 1 N
y (t ) ak yk (t t k )
k 1
N
系统同时满足线性与时不变性，称为线性时不变系统， 记为LTI(linear-time-invariant)系统。
例如： 设LTI系统的输入x(t)与输出y(t)之间的关系由下图描述， 试作出当输入分别为x1(t)与x2(t)时，输出y1(t)与y2(t)的波 形图。
y(t ) ayi (t )
称系统满足齐次性。同时满足叠加性与齐次性的系统称为 线性系统。
例如： 设系统的输入输出之间的关系为： x(t ) y (t ) tx(t )
y1 (t ) tx1 (t ) y2 (t ) tx tx(t )
x(t ) x1 (t ) x2 (t )
k 1 N k 1 N N N
y (t ) ak yk (t ) 0 yk (t ) 0
k 1 k 1
而
y(t ) ax(t ) b a 0 b b
即在零输入时，系统输出不为零。这部分不为零的输出， 称为系统的零输入响应。
二、时不变性
x(t )
y ( ) d
t
四、因果性与稳定性
LTI系统的因果性与稳定性，在后续章节将会讲到。 以上系统特性，虽是以连续时间系统为例介绍的，但 是离散时间系统也有同样的特性。 系统还有其他重要特性，比如频率响应特性。本课和 后续课程将会学到与用到。
x(t )
系统
y(t ) x(2t )
x(t )
1 1 1
y (t )
t
1 2
1
t
x(t )
系统
y(t ) x(2t )
x(t )
1 1 1
y (t )
t
1 2
1
t
x(t 1)
1 1 1
y1 (t ) y (t 1 ) 2
2
t
1 2
1
t
所以系统是一时变系统。
综合线性与时不变性，可表示为：
系统不满足叠加性，所以不是线性系统。而且
x(t ) cx1 (t ) y(t ) ax(t ) b acx1 (t ) b cy1 (t )
系统也不满足齐次性。
由线性，可以得到系统的一个结果是：在全部时间上系 统输入为零，必然输出为零，即零输入产生零输出。
x(t ) ak xk (t ) 0 xk (t ) 0
y(t ) t[ x1 (t ) x2 (t )] tx1 (t ) tx2 (t ) y1 (t ) y2 (t ) x(t ) ax1 (t ) y(t ) tx(t ) atx1 (t ) ay1 (t )
系统是线性系统。 综合叠加性与齐次性，线性可表示为：
x(t )
1 1
y (t )
1
x1 (t )
0
t
x2 (t )
0
1
2
t
0
1
t
y1 (t )
1 1 1 2
3
y2 (t )
1
0
1
2
t
0
t
0
1
2
3
4
t
三、连续时间系统的微积分性
1、微分性
x(t )
y (t )
LTI系统
x(t )
y(t )
2、积分性
t
x(t )
y (t )
LTI系统
x ( ) d
x(t ) ak xk (t )
k 1 N
y (t ) ak yk (t )
k 1
N
再例如： 设系统的输入输出之间的关系为： y(t ) ax(t ) b
y1 (t ) ax1 (t ) b x(t ) x1 (t ) x2 (t ) y(t ) a[ x1 (t ) x2 (t )] b y1 (t ) y2 (t ) y2 (t ) ax2 (t ) b